Проблема начальных условий

Проблема начальных условий. В заключение рассмотрим ряд вопросов, относящихся к постановке начальной задачи в НТП (см. [10, 11]). [c.126]

И начальные условия, можно рассматривать различные классы движений. Проблема отыскания адекватных эксперименту решений сводится к правильному заданию характеристик теплообмена Nui п Nua на межфазной границе. [c.121]

Характерная особенность современных цифровых ЭВМ заключается в том, что при выполнении своих функций, начиная с того времени, как в них введены начальные условия и программа, они работают без всякого вмешательства человека. Это требует решения проблемы организации в вузах типовых вычислительных центров и лабораторий, обеспеченных общими методиками и стандартными программами решения задач учебного курса ТММ, и методического построения решаемых задач, обеспечивающих возможность вдумчивого общения пользователя с ЭВМ в диалоговом режиме. [c.9]

Эти гипотезы не доказаны. Более того, общепринятого определения аттрактора не существует. Проблема предельного поведения траекторий исследуется с двух сторон. С одной стороны, определения аттрактора даются так, чтобы каждая диссипативная система (для простоты ниже речь идет именно о таких системах) имела аттрактор. При этом аттрактор не должен содержать лишних точек и должен совпадать с тем пространством установившихся режимов , которое наблюдается в численном или натурном эксперименте. Например, максимальный аттрактор диссипативной системы — пересечение всех сдвигов поглощающей области преобразованиями фазового потока за положительное время — может быть гораздо шире пространства установившихся режимов . На рис. 58а показана динамическая система с поглощающим кольцом, максимальный аттрактор которой — окружность, содержащая два положения равновесия — седло и узел. Фазовые кривые стремятся к седлу из множества начальных условий меры нуль почти все (в смысле меры Лебега) фазовые кривые стремятся к узлу, который и следует считать физическим аттрактором . [c.156]

Однако в общем недостаточно ясно, что мы подразумеваем, когда говорим о решении системы дифференциальных уравнений. В самом деле, проблема считается решенной, когда координаты частиц модели в момент времени t выражены как простые функции времени t и тех параметров, которые определяют их начальные положения и скорости. Но что такое простые функции Мы будем, далее, считать функцию/(<) не формальным выражением, содержащим t, а величиной, определяемой переменной t, тогда невозможно четко разграничить простые и непростые функции. Если мы опускаем слово простые и говорим только функции, то каждая динамическая проблема разрешена как только она хорошо сформулирована, потому что дифференциальные уравнения с начальными условиями и начальным значением t определяют координаты в момент времени t. Это не только домыслы математиков, но и реальный факт, потому что в современных методах численного решения динамических проблем с помощью электронных вычислительных машин можно получить решение с любой желаемой степенью точности после замены дифференциальных уравнений разностными. Например, в баллистике этот современный [c.196]

Проблема распространения волн в вязкоупругих средах сводится к решению различных краевых задач для уравнений типа (1.33), (1.34) или (1.36), (1.37) или более сложных уравнений, описывающих поведение анизотропных, неоднородных вязкоупругих сред при заданных начальных условиях. [c.25]

Проблемы устойчивости и чувствительности механических систем возникают в связи с неизбежными отклонениями (возмущениями) начальных условий, параметров внешнего возбуждения и параметров самой системы от их номинальных невозмущенных значений. Обычно в реальных условиях ставят требование достаточной малости влияния таких отклонений на номинальные свойства системы и ее движение. [c.32]

Теперь при решении требуется указать начальные условия на параметр и. Возникает не отвлеченная проблема о равновесии при неизменном значении силовых параметров, а задача о реакции модели на внешние, очевидно, дополнительные к нагрузке Р воздействия. [c.10]

Помимо ограничений, вытекающих из результата, полученного Гриффитсом, которые связаны с явлениями пластичности, необходимо иметь в виду, что этот результат базируется исключительно на статических условиях, без учета инерционных явлений. Этот результат можно использовать при решении проблемы начальной неустойчивости, а не при рассмотрении стадий распространения или остановки трещины, когда важную роль играют динамические явления. [c.23]

Одна из проблем, связанных с гравитационной стабилизацией космических аппаратов,— проблема выбора начальной ориентации. Космическому аппарату в равной степени безразлично , каким концом его продольная ось обращена к Земле. Однако поскольку для решения вопроса о размещении полезной нагрузки это, как правило, отнюдь не безразлично, важность задачи начальной ориентации очевидна. В ряде исследований показаны границы начальных условий, которые не приводят к беспорядочному кувырканию спутника (например, [63, 75, 83, 90]). [c.195]

В разд. 11.8 1ш видели, что механической моделью подобной системы может служить газ со слабым взаимодействием. Релаксация к равновесному состоянию выделенной частицы, движущейся в равновесной среде, описывается теми же законами, что и броуновское движение. В частности, мы видели, что уравнение Фокке-ра — Планка можно вывести из уравнения Ландау, которое в свою очередь в гл. 18 было получено из механического описания системы. Однако в газе со слабым взаимодействием и при броуновском движении действуют совершенно разные физические механизмы установления равновесия. Отметим прежде всего, что выделенная частица ничем не отличается от остальных частиц среды, кроме своих начальных условий. С другой стороны, в проблемах, рассмотренных в разд. 11.2 и 11.3, взаимодействие между частицами не является слабым — могут происходить сколь угодно сильные столкновения. [c.300]

Прежде чем закончить данный раздел, сделаем следующее замечание. Для любых соображений, основанных на концепции меры, характерно, что нерегулярными поведением отдельных точек и даже бесконечного множества точек меры нуль можно полностью пренебречь. Таким образом, если обратиться к примитивному двумерному изображению (см. фиг. П.5.2), то речь идет о том, что и точка Pq, и все точки линии 1 сбились с пути по сравнению с движением всего фазового объема. Однако такие точки образуют подмножество меры нуль в первоначальном множестве, а потому их наличием можно пренебречь они не дают вклада в общую меру. Этот важный факт следует всегда иметь в виду при рассуждениях аналогичного рода. Он помогает понять как силу, так и ограниченность подобных методов рассмотрения. С одной стороны, появляется возможность описывать общие, глобальные свойства движения в фазовом пространстве, пренебрегая патологическими начальными условиями. С другой стороны, вполне может оказаться, что в какой-то физической проблеме интерес представляют именно такие патологические системы. [c.376]

Уже в 30-е годы было начато изучение устойчивости более общих систем, чем у Ляпунова, что соответствует переходу от пространств конечного числа измерений с евклидовой метрикой к пространствам бесконечно большого числа измерений и метрикой общего характера. Эти исследования были продолжены и значительно продвинуты за последние два десятилетия с широким использованием методов функционального анализа. Переход к пространствам бесконечного числа измерений и общим метрикам дал возможность расширить теорию устойчивости на механические системы, описываемые не обыкновенными дифференциальными уравнениями, а бесконечными системами конечноразностных уравнений, уравнениями с запаздывающим или опережающим аргументом, уравнениями в частных производных и интегро-дифференциальными уравнениями и т. д. Такие системы все чаще встречаются в технике и физике, в теории устойчивости их удельный вес, несомненно, будет расти. Для таких систем подход к проблеме устойчивости в духе Ляпунова имеет особое значение, потому что для них весьма важен правильный учет начальных возмущений и распределение решений по типам и классам в зависимости от начальных условий. Опыт показывает, что здесь встречается гораздо большее разнообразие зон начальных условий, которым соответствуют разные по характеру решения, т. е. разное поведение физической системы. [c.132]

Проблемы начальных данных, граничных условий и ударных слоев 133 [c.133]

Мы подробно рассмотрим метод разделения переменных, кратко изложенный в 7 гл. 6. При решении задачи этим методом надо, во-первых, найти полный набор решений уравнений с разделенными переменными (элементарных решений) и затем представить общее решение в виде суперпозиции этих решений и, во-вторых, с помощью граничных и начальных условий найти коэффициенты в общем решении. В то время как первую проблему для модельных уравнений, которые обсуждались в гл. 6, можнО решить, вторую можно точно решить лишь в некоторых случаях. Тем не менее метод полезен даже тогда, когда вторая проблема неразрешима или только приближенно разрешима, потому чтО он дает возможность получить решение в аналитическом виде [c.172]

В этой главе, посвященной двумерным течениям, проблемы внешнего и внутреннего течений изучаются отдельно. Возможно, имеет смысл выделить в обоих случаях основные положения теории пограничного слоя, которые важны при решении задач отрыва. Как правило, поток является смешанным (ламинарное течение переходит в турбулентное). Поскольку отрыв зависит от характера пограничного слоя, необходимо найти начальные условия турбулентного течения. Толщина потери импульса 0 и толщина потери полной энергии, которая определяется как [c.144]

Когда мы ранее исследовали случай р = О, мы получили только один период. Поэтому кажется странным, что в каждом случае мы получили по два периода. Причина этого заключается в необходимости удовлетворить начальные условия при решении нашей проблемы. Например, для среды, не дающей размножения нейтронов, наши начальные условия, требующие определенной начальной плотности, приводят к наличию двух периодов, которые и описывают изменение этих плотностей со временем. Эти результаты получаются непосредственно. Значительно более важный результат может быть получен при рассмотрении случая, когда [c.110]

Траектории действительного движения и варьированные траектории ( окольные пути ) сравниваются при одинаковых начальных и одинаковых конечных положениях (см. (26)) на фиксированном промежутке времени, что не позволяет считать обоснованным применение уравнений движения (27) (а также (29) и (31)), полученных с помощью интегрального принципа, для определения ускорений в моменты времени 0 и 1. В противном случае возникает вопрос являются ли условия фиксированности начального и конечного положений связями, из которых следуют уравнения (26) для виртуальных перемещений, и не требуется ли рассматривать их реализацию с помощью реакций Иначе говоря, является ли область интегрирования, в которой вычисляется действие, замкнутой или открытой При применении общего уравнения динамики (15) этот вопрос не возникает, так как виртуальные перемещения на концах временного промежутка могут быть любыми из множества, определяемого ограничениями, в том числе и не равными нулю. Однако в отличие от силовой механики , действие применяется и при рещении проблем квантования, связанных с проблемой краевых условий. Эти проблемы существуют в механике, математике и физике (вообще в естествознании). [c.32]

Для решения этой проблемы необходимо, очевидно, рассматривать задачу о надкритических движениях в нестационарной постановке. При этом возможны и развиваются в литературе два близких по идее подхода. Один из них связан с рассмотрением эволюции начального возмущения и требует решения нелинейных нестационарных уравнений с начальными условиями. Другой подход основан на исследовании устойчивости стационарных надкритических движений. [c.147]

Трудность проблемы пространственного заряда хорошо демонстрируется тем фактом, что даже уравнение параксиальных лучей (12.9), записанное для нерелятивистского пучка с постоянной плотностью заряда, движущегося в области пространства, свободной от внешних сил, является нелинейным дифференциальным уравнением. Решим его с начальными условиями, заданными при 2=0 в виде гь 0)=го и г/(0)=Го. Вводя безразмерные переменные [И] [c.607]

Производных (1.11-5), которая обеспечивала бы выполнение граничных и начальных условий данной проблемы. Для этого во всех типичных случаях векторный потенциал должен быть охарактеризован в некоторой конечной области пространства это означает задание компонент А. для бесконечно большого числа несчетных значений г., образующих г.-континуум. Существование этого множества создает трудности при проведении конкретных расчетов, особенно при решении вопросов нормировки. Поэтому целесообразно найти такой метод, в котором без ограничения общности векторный потенциал описывался бы счетным множеством численных значений. Мы покажем, что существуют две возможности для такого представления. Они заключаются в выборе, смотря по обстоятельствам, определенных граничных условий, не затрагивающих общую применимость метода, ибо при его проведении ограничивающую поверхность можно выдвинуть далеко вовне, в пределе до бесконечности. Там, во всяком случае, величину А. можно считать достаточно быстро убывающей. Оба возможных метода мы опишем в двух следующих пунктах. [c.128]

И тот и другой подходы к проблеме изменения начальных условий приводят нас к следующей задаче величины (10.78) получают некоторые приращения (положительные или отрицательные) требуется определить соответствующие приращения элементов невозмущенной орбиты. [c.517]

Развитие аналитической теории дифференциальных уравнений позволило дать еще одну трактовку проблеме интегрируемости в небесной механике. Если можно найти решение дифференциальных уравнений задачи небесной механики в виде рядов, сходящихся для любых априорно заданных параметров системы (массы тел, начальные условия и др.), то данную задачу также можно отнести к интегрируемым задачам. Для задачи трех тел такое решение найдено Зундманом (см. 2.05). Основные трудности, которые возникают при отыскании решения в виде степенных рядов, связаны с устранением особенностей в дифференциальных уравнениях, возникающих из-за возможности столкновения двух или большего числа тел (см. 2.04). [c.811]

Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления-с частными производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна, дает по определении ее частных производных все первые и все конечные интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек. И он думает, что те,, кто не одобряет его мнения во всей его общности, могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики определить Зп прямоугольных координат или других характеристик положения свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции времени , включающих, следовательно, 6п начальных постоянных, которые зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, п других констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти п масс через т , т ,..., т и их Зп прямоугольных координат — через Xi,y ,Zi,. .., х , у , и, следовательно, 3 компонентов ускорения или вторых производных этих координат по времени — через х , У , . .. [c.284]

При использовании метода упругого эквивалента в псевдоби-фуркационных проблемах мы ограничимся случаем постоянства напряжений ог/ и, следовательно, постоянства 8ц1Т. Тогда соотношение (2.12) можно проинтегрировать и с учетом нулевых начальных условий получить [c.137]

Проблема суш,ествовапия решений уравнения Больцмана изучена лишь для задачи с начальными условиями в безграничной области и для молекул с конечным радиусом взаимодействия (с обрезанным потенциалом взаимодействия). Для пространственно-однородного случая теорема существования доказана как для молекул-шаров 2), так и для псевдомаксвелловских молекул ) для полного нелинейного уравнения Больцмана. Для линейного уравнения доказана теорема существования и изучено асимптотическое поведение решений для задачи с начальными условиями, зависяш.ими от пространственных координат ), Пространственно-неоднородная задача для нелинейного уравнения Больцмана рассмотрена Градом 5). Однако существование решений доказано для времен тем меньших, чем больше начальная функция распределения отличается от равновесной. Таким образом, для времен макромасштаба существование доказано лишь для малых начальных возмущений. [c.79]

Как отмечалось выше, теория Гильберта неполна, а чтобы сделать ее полной, необходимо решить три задачи связи о начальном, пограничном и ударном слоях. Те же проблемы возникают и в случае разложения Чепмена — Энскога, а такя е и в случае модифицированного разложения, предлояленного в 4. Мы рассмотрим сначала задачу о начальном слое, следуя работе Грэда [6]. Полная теория доляша заниматься сращиванием упомянутых разлоя ений с произвольными начальными данными, однако такая теория включает в себя решение нелинейных интегро-дифферен-циальных уравнений д практически мало полезна. Действительно, принимая во внимание характер гильбертова и аналогичных ему разлоя ений, мы моя ем ограничиться выбором начального условия того же типа, что и само решение, т. е. условия, сводящегося при 8 О к максвелловской функции. Итак, начальные данные произвольны в рамках условия, согласно которому их МОЖНО записать в виде м + е/дг, где — максвелловская функция. [c.133]

Проблема построения ударных волн важна не только для численных схем, предусматривающих выделение сильных разрывов, но и для схем сквозного счета. Последнее связано с тем, что в общем случае размазывание скачков ведет к существенному снижению точности в областях их влияния [1]. По этой причине при очевидной целесообразности выделения главных скачков [2], например головного, ограничивающего область возмущенного потока, особого рассмотрения заслуживают методы плавающих скачков, предусматривающие выделение тех разрывов, интенсивность которых превосходит некоторое пороговое значение [3-6]. Несмотря на актуальность проблемы, в настоящее время нет четких рекомендаций, обеспечивающих устойчивое построение неразмазанных ударных волн в задачах более чем с двумя независимыми переменными. Поэтому каждый алгоритм, пригодный для эешения таких задач, создается в процессе почти случайного поиска, даже при успешном исходе которого работоспособность созданного алгоритма ограничивается достаточно гладкими ударными волнами, хорошими начальными условиями и т.п. [c.169]

В результате исследований, посвященных принципу максимума и аналогичным ему критериям классического вариационного исчисления, были разработаны общие приемы построения необходимых признаков оптимальности, по-видимому, вполне достаточные для большинства типичных экстремальных задач о программном управлении. Как правило, в настоящее время решение этого вопроса не вызывает принципиальных затруднений, во всяком случае, если речь идет о минимизации (максимизации) функционалов вида (8.2) и подобных им. При встрече с новым кругом задач этого типа обычно удается учесть дополнительные обстоятельства и составить соответствующие необходимые условия экстремума по широко известным теперь общим рецептам. Однако составление дифференциальных уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности, является лишь первым, хотя и чрезвычайно важным этапом в решении конкретных проблем. Следующий этап состоит в интегрировании этих уравнений с учетом краевых условий, которым должно удовлетворять искомое оптимальное движение. Эта краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное состояние, остается до сих пор трудной проблемой. Дело заключается в следующем. Необходимые признаки оптимальности, выражаемые дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа для координат Х1 1) и множителей Лагранжа Я-г ( ) (или для имеющих тот л е смысл координат г) г 1) вектора -ф ( ) в случае принципа максимума), определяют внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени совершенно определенным образом, отталкиваясь от начальных условий х ( о) и ( о)-Начальные данные ( о) обычно задаются по условиям задачи. Величины ( о) ("Фг ( о)) определяют по условиям принципа максимума направление в пространстве х , в котором уходит оптимальное движение х (t) из точки X to). Трудность состоит в выборе величин (Ьо), которые обеспечивают прицеливание оптимального движения как раз в заданное конечное состояние X 1х) (или на заданное многообразие М конечных состояний и т. п.). Эффективное преодоление этой трудности, как правило, тормозится невозможностью получения явной зависимости между величинами х ( 1) и А, ( о) вследствие неинтегрирз емости в замкнутой форме дифференциальных уравнений задачи. Каждая новая серия соответствующих краевых задач, особенно, если речь идет о нелинейных объектах, требует обычно для своего разрешения подбора специальных вычислительных алгоритмов. Лишь для отдельных классов задач выведены некоторые закономерности, облегчающие их конкретное решение. [c.192]

Краткосрочный прогноз погоды с помощью решения уравнений гидродинамики требует, в отличие от многих других задач гидродинамики (обтекание крыла, ракеты и др.), умения получить решение в весьма общих предположениях о характере движения. При решении задачи прогноза мы не можем, например, ограничиваться рассмотрением плоского случая проблема наша нестационарна начальные условия, вообще говоря, произвольные и т. д. Однако решение самой общей системы уравнений гидромеханики представляет непреодолимые трудности. Необходимо было начинать с упрощений, но таких, которые все же позволяли бы нести рассужде- ния в достаточно общей форме. [c.561]

В случае п = 2, т. е. в случае двух тел, соответствующие уравнения вида (3) элементарно интегрируются в квадратурах. Полученш.1е анали-Т1гческие выражения позволяют сделать исчерпывающие заключения о возможном характере движен1ш, а также найти расположение тел в любой данный момент времени по заданным начальным условиям. Картина сразу же неизмеримо осложняется, когда мы переходим к п = 3 — проблеме трех тел - и тем более к п > 3. Как выразился французский математик Борель — в небесной механике, как в счете дикарей, много — равняется трем . [c.13]

До этого места в изложении процедуру решения проблемы и процесс проведения рассуждений представляли как последовательность событий, выполняемую из начального состояния в направлении состояния (состояний) цели. Другой способ, которым иногда пользуются, исходит из заданной цели и выполняется в обратном порядке, при этом стараются удовлетворить начальным условиям. В обратной процедуре проведения рас-суждений, известной среди специалистов по ИИ как способ рас-суждений от цели к фактам , сначала находят одно или более состояний, которые могут привести к определению цели, и проверить, достигнуто ли соответствие с начальным состоянием (состояниями). Если нет, то поиск продолжается. Для систем продукций это означает, что в этом случае части тогда согласуются между собой и соответственно части если запускаются в действие (например, если часть тогда используется для нахождения более отдаленной вершины). Конкретно выбор либо процедуры от цели к фактам , либо процедуры от фактов к цели определяется прежде всего двумя факторами — соотношением случаев ветвления с переходом назад по телу программы и случаев ветвления с переходом вперед, а также соотношением числа состояний цели и числа начальных состояний. Другими словами, если сформированное дерево поиска в конкретной проблемной области разветвляется в значительно большей степени при прямой процедуре поиска, чем при обратной процедуре поиска, то в этом случае процедура от цели к фактам будет более целесообразной. Если разветвление в обоих направлениях приблизительно одинаково, решаюшее значение приобретат число состояний. Процедура от цели к фактам выглядит более привлекательной при решении задач синтеза сложных объектов, когда сушествует широкий спектр исходных объектов, на основе которых приводится синтез. Примером служит задача определения того, какие характеристики материала необходимы для оптимального изготовления конкретного устройства. Здесь лучше было бы начать процедуру поиска с состояния цели (требований к устройству), чем с поисков наборов характеристик для всех возможных материалов. [c.286]

И только открытия последних десятилетий позволили усомниться в правильности таких суждений. Оказалось, что существуют системы, в фазовом пространстве которых имеются области с локальной экспоненциальной неустойчивостью. В таких областях движения, начальные условия которых мало отличаются друг от друга, расходятся на конечное расстояние в небольших объемах фазового пространства. Более того, практически любая система проявляет хаотическое поведение Интегрируемые задачи, обладающие регулярным поведением, обычно представляют собой исключительные случаи. Мы стапкиваемся с принципиально неразрешимой повышением точности вычислений проблемой непредсказуемости поведения системы, обладающей высокой чувствительностью к заданию начальных данных. [c.4]

Выяснение асимптотического поведения траекторий играет большую роль в изучении гладких динамических систем. Особый интерес представляет оно, в частпости, в свете физических приложений. В настоящей работе мы рассматриваем только потоки, удовлетворяющие акспоме А (А-потоки). Известно, что в этом случае траектория f x очень чувствительна, нли неустойчива , по отношенню к начальному условию х, и соотношение (1), которое дает возможность вычислить временное среднее наблюдаемой g, является, по-видимому, наилучшим способом описания асимптотического поведения траектории Естественная проблема состоит в распространении формулы (I) на случай динамических систем, не удовлетворяющих аксиоме А. [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...