Единственность решения задачи теплопроводности

Единственность решения задачи теплопроводности [c.41]

Весьма привлекательна идея сведения обыкновенного дифференциального уравнения к алгебраическому, уравнения в частных производных с двумя аргументами к обыкновенному, уравнения в частных производных с п аргументами к уравнению также с частными производными, но с п — 1 аргументами, поскольку уменьшение числа аргументов в уравнении, как правило, упрощает отыскание его решения. Добиться уменьшения числа аргументов любого из перечисленных дифференциальных уравнений (в случае их линейности) принципиально возможно с помощью интегрального преобразования. Разберемся в этом вопросе на примере обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего единственный аргумент t, исключение которого трансформирует дифференциальное уравнение в алгебраическое. Операторный метод весьма эффективен и находит широкое применение, например, в некоторых задачах теплопроводности [15]. В данной главе для иллюстрации метода приведены решения задач о прогреве тел простой формы стержня полубесконечного и стержня конечных размеров, а также круглой пластины. [c.193]

Такая процедура очень трудоемка, однако осуществима, если ф(х) поддается измерению. Это означает, что, например, в задаче теплопроводности температура Г(х) должна быть измерена внутри образца. Наиболее практичный способ обойти трудности, связанные с измерением M j(x — х ), заключается в том, чтобы попытаться установить общие свойства Мц и затем постулировать какой-либо разумный вид этой функции. В изотропном случае это значит угадать вид единственной функции M k). Здесь оказывается полезным точное решение, полученное методом возмущений при сохранении в формуле (47) лишь первого члена. В этом случае мы можем выяснить поведение функции M k) при k- Q и k- оо, а также ее общий вид в промежуточных точках. Из этих результатов мы можем сделать некоторые заключения о M k) в случае, когда флуктуации не являются малыми. [c.264]

Очевидно, что в области элемента можно построить бесконечное множество гармонических функций, которые принимали бы одно и то же значение на части границы S. Таким образом, задание на части границы только температуры является не достаточным для однозначного определения температуры в области элемента. Дня того чтобы задача теплопроводности имела бы единственное решение в области V, необходимо на доступном для измерений участке поверхности S, помимо температуры, задать также [c.79]

Задание граничных условий 1 рода — толчок 100 % на одной из поверхностей — является предельным случаем, так как эквивалентен заданию q или а, стремящемуся к бесконечности. Температурные поля, полученные при граничных условиях 1 рода, дают картину максимально возможных ошибок, связанных с изменением интересующих нас величин. Эквивалентный эффективный коэффициент теплопроводности А.Э должен дать возможность получить при расчете монолитной оболочки такое же температурное поле, как в многослойной оболочке. Из условия единственности решения прямых задач теплопроводности следует, что нельзя найти такие значения которые позволили бы получить одинаковые поля. Речь идет о получении значений Я,э, которые дадут близкие по значениям температурные поля на некоторых режимах работы оболочек с учетом числа слоев, соотношений термических сопротивлений слоев контактов и металла. В работах [7, 8] рассматриваются эффективные теплофизические характеристики, позволяющие на нестационарных режимах получить в монолитной оболочке температурное поле для многослойной оболочки. В [81 показано, что в каждой конкретной задаче можно получить эквивалентные постоянные ч. Суд, которые с определенными по величине (часто весьма значительными) ошибками позволяют получить эквивалентное температурное поле. [c.140]

На нестационарных режимах многослойные оболочки имеют температурные поля, которые никогда не совпадают с полями соответствующих эквивалентных монолитных оболочек, имеющих постоянные эквивалентные и эффективные Ха и Суэ-Этот вывод тривиален, если задача теплопроводности с постоянными X, Су имеет единственное решение. Однако многие исследователи делают многократные попытки получить [c.143]

Присоединяя условия единственности к дифференциальному уравнению теплопроводности, можно решить его до конца, т. е. численно определить температуру в любой точке тела и в любой момент времени. На этом пути могут возникнуть лишь математические трудности, преодолению которых посвящены многочисленные специальные курсы. Здесь нужно подчеркнуть, что если каким-либо способом найдена функция от координат и времени, удовлетворяющая одновременно дифференциальному уравнению и краевым условиям, то функция эта дает единственное решение конкретной задачи. [c.23]

Как было сказано, если краевая задача теплопроводности является конкретно поставленной, то принципиально возможно найти ее аналитическое решение, т.е. определить вид функции, которая выражает температуру через независимые переменные х, у, г, и т, а также через параметры, входящие в условие единственности Ч На этом пути стоят только математические трудности, которые во многих случаях могут быть преодолены с помощью ставших классическими методов решения уравнений соответствующего типа. Изложение этих методов дается, например, в [30,50]. Наша ближайшая цель будет заключаться только в обосновании преимуществ той формы функциональных связей, в какой представляются для инженерного пользования готовые решения типовых задач. Речь идет о придании решениям безразмерной формы. [c.45]

Гораздо более целесообразным, а иногда и единственно возможным, является опытный метод определения К, уже с успехом применявшийся на практике. Пользуясь им, нет необходимости интегрировать уравнение теплопроводности из всей теории нам понадобится только одна наша основная теорема ( 8 гл. 1) моделирование дает нам полное практическое решение задачи о регулярном охлаждении тела любой формы, происходящем в условиях совершенного контакта с окружающей средой, т. е. С->оо. [c.95]

Известно, что задача считается поставленной корректно, если доказано существование решения, его единственность и устойчивость. Если существование и единственность решения обратной задачи теплопроводности следует из физики этой задачи, а также подтверждается теоремой Ковалевской [230], то анализ третьего условия корректности (устойчивости решения) показывает математическую некорректность обратных задач теплопроводности. [c.167]

Из табл. 5 видно, что такие выдающиеся свойства окиси бериллия, как высокая температура плавления, высокое электрическое сопротивление и хорошая теплопроводность в кристаллическом состоянии, позволяют использовать ее в качестве тугоплавкого материала. Кроме того, устойчивость и химическая инертность при высоких температурах делают окись бериллия выдающимся тугоплавким материалом в ряде случаев, где ее применение часто является единственным решением некоторых задач, связанных с работой при высоких температурах. [c.58]

По теореме единственности решения, если некоторая функция Т (х , т) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности, начальным и граничным условиям, то она является единственным решением данной задачи. [c.105]

Основное уравнение (1-11) относится к бесконечно малому элементу температурного поля и, взятое само по себе, ничего не говорит о развитии теплопроводности во всем пространстве, охваченном процессом, и за все время, в течение которого он протекает. Для получения полной картины, отражающей качественные и количественные признаки конкретной задачи, нужно математически поставить эту задачу, после чего найти решение основного уравнения. При постановке задачи необходимо фиксировать определенную геометрическую форму теплопроводящего тела, его физические свойства (коэффициенты тепло- и температуропроводности) и, кроме того, задать так называемые краевые условия. В состав краевых условий входят начальное распределение температуры (временное краевое условие) и условия на границах (пространственные краевые условия). Перечисленные условия в совокупности определяют одно единственное явление и в этом смысле могут быть названы условиями единственности, а задача, решаемая с их помощью, краевой задачей. [c.23]

По теореме единственности решения (доказательство теоремы дано в приложении), если некоторая функция Т х, у, 2, х) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности, начальным и граничным условиям, то она является единственным решением данной задачи. [c.30]

В виде рядов выписывается решение в случае произвольно заданного распределения температур при т О для тел простейшей формы и одномерных задач (см. разд. 4.2). Однако и в этом случае вычисление коэффициентов ряда является часто весьма трудоемким. В связи с этим наряду с аналитическими развивались и численные методы решения нестационарных задач теплопроводности, причем с появлением электронных счетных машин эти методы приобрели решающую роль в проведении точных инженерных тепловых расчетов (прогрев теплозащитных покрытий, камер сгорания и сопел ЖРД, тепловые режимы ИСЭ). Численные методы являются, пожалуй, единственным инструментом решения нелинейных задач и задач теплопроводностей тел сложной формы. [c.91]

Для установления безразмерных величин, специфических для краевой задачи того или иного рода, нет необходимости в наличии завершенного аналитического решения достаточно располагать дифференциальными уравнениями процесса и формулировками конкретных условий единственности. Обратимся в связи с этим к основной цели — к построению тех безразмерных величин, которые отвечают случаю нестационарной теплопроводности при наличии внутренних источников тепла. С этой целью, прежде всего, необходимо привести к безразмерному виду дифференциальное уравнение (1-9), закладываемое в основу анализа. [c.47]

Если произвольные постоянные А (e ) и B(s ), которые предполагаются зависящими от величины e , выбрать так, чтобы до момента теплового воздействия на тело (то) удовлетворить начальному распределению температур в теле, а величину е определить из заданного граничного условия рассматриваемой задачи, то полученное решение дифференциального уравнения теплопроводности оказывается единственным. [c.158]

Итак, однородная задача (24), (26) имеет счетное множество решений, обладающее, по-видимому, полнотой в классе 2 ([—1, 1]). Полагая, что система т является полной системой линейно независимых собственных функций, приходим к выводу о том, что решение однородного уравнения конвективной теплопроводности (4) существует и единственно для краевой задачи вне шара радиуса Во, если на его поверхности о задана температура как функция сферического угла 9. На бесконечности температура предполагается постоянной и равной нулю. Очевидно, что можно получить решение и в том случае, если на поверхности 8о задать тепловые граничные условия второго или третьего рода, поскольку неизвестные произвольные коэффициенты Сп, содержащиеся в т , и здесь однозначно определяются. Каждый коэффициент взаимно однозначно связан с интенсивностью 2 -польного теплового источника. [c.267]

Граничные условия определяют особенности протекания процесса на границах занятого им объема и взаимодействие изучаемого процесса и соседних процессов, которые оказывают на него влияние. Если для заданных условий однозначности существует единственное и устойчивое решение, то говорят, что задача поставлена корректно. Необходимо заметить, что общепринятая постановка задач феноменологической теории теплопроводности приводит к сколь угодно большой скорости распространения тепла. [c.200]

Приближенные аналитические методы решения задач теплопроводности [2—4] не дают возможности получить достаточно точные численные результаты при математическом моделировании температурных полей в многослойных конструкциях, даже в сравнительно простых случаях (одномерная задача, постоянные теплофизические свойства материала, число слоев основного материала) [4, 5]. Трудности возрастают в том случае, когда необходим учет переменности термических сопротивлений контактов по толш,ине и вдоль поверхности конструкции. Для двухмерных и объемных задач нестацианарной теплопроводности при сложной форме сварных узлов многослойных конструкций единственным путем получения надежных данных по температурам является численное моделирование на вычислительных машинах (ВМ). На рис. 1 показана схема многослойной стенки в районе сварного шва. В [1] показано, что для значений термических сопротивлений контактов, имеюш их место для сталей, применяемых [c.145]

В первой главе представлены основные уравнения простран ственной задачи теплопроводности и термоупругости тел, облада ющих прямолинейной анизотропией, уравнения теплопроводности и термоупругости в цилиндрических и сферических, координатах, выведены уравнения теплопроводности и термоупругости пластин, обладающих прямолинейной и цилиндрической анизотропией. Отметим, что существование и единственность решения задачи термоупругости для анизотропной неоднородной среды обосновывается Р. Фурухаши [162]. [c.8]

Традиционные методы моделирования температурных полей на электрических моделях с использованием серийно выпускаемых нашей промышленностью электрических интеграторов или аналогичных средств индивидуального изготовления имеют весьма ограниченные возможности для решения нелинейных задач теплопроводности. Например, такие широко распространенные электроинтеграторы, какЭГДА, ЭИНП, в которых в качестве моделирующей среды используется электропроводная бумага, резистивно-емкостные сетки (в том числе и универсальная сеточная модель УСМ-1) без применения дополнительных приспособлений и устройств, а также без разработки специальных методов решения не приспособлены для решения нелинейных задач. Практически единственными моделями, на которых нелинейные задачи могут быть решены без дополнительных методик и устройств, являются резистивные сетки с изменяющейся структурой. Задачи на таких сетках решаются методом Либмана [324], который предполагает выполнение решения последовательно на каждом шаге во времени с использованием итераций внутри каждого шага и соответствующим пересчетом и корректировкой элементов структуры, в общем случае, после каждого приближения. [c.18]

В главе XI Изменение физического состояния дается обзор работ по теории плавления. Глава написана Егером недостаточно полно и глубоко. В основном автор изложил в ней работы, вышедшие до 1950 г. После 1950 г. появились работы принципиального характера, в которых а) исследовались общие свойства решегшй задачи плавления— существования и единственности и б) развивались эффективные методы решения задачи. При этом в общем случае задача плавления рассматривалась нелинейной—в неоднородном веществе, плотность и теплопроводность которого изменяются с температурой. [c.8]

Из (31), (33) следует, что (32) представляет собой разложение по действительным показателям степени В, по крайней мере, в области пе очепь больших значений Ке и Рг. Заметим, что при Рг = О или Ке = О система функций, отвечающая положительным показателям степени при В, тп(п<0) также совпадает, как и при га > О, с полной липейно независимой системой полиномов Лежандра. Можно полагать, как и в случае с га > О, что свойства полноты и линейной независимости функций (га<0) сохраняются и при Рг >0, Ке > 0. Это дает основание утверждать, что решение тепловой задачи в шаровом слое также существует и единственно и представимо в виде разложения (32). Видимо, существование и единственность решения краевой задачи для однородного уравнения конвективной теплопроводности будут иметь место, как в случае уравнения Лапласа, и для областей более общего вида. [c.268]

Задачу отыскания решения уравнения (18), удовлетворяющего уравнению (20), называют краевой задачей для уравнения (18) при условиях уравнения (20). Известно, что не при всяком краевая задача для уравнения (18) при условиях уравнения (20) имеет решение. Однако доказано, что при единственном условии а = О, что соблюдается во вЬех случаях математической постановки реальных задач теплопроводности, существует бесконечное множество значений для которых задача допускает решение. Каждое значение р, для которого краевая задача допускает решение, отличное от 0 =0, называют собственным значением, а соответствующее этому р , решение Хь — собственной функцией. Каждому собственному значению р отвечает лишь одна собственная функция (с точностью [c.10]

Однако применение явных схем метода чередующихся направлений для решения задач гидродинамики ограничено по двум причинам. Во-первых, хотя для внутренних точек конечно-разностная схема (3.316) является явной, в целом эта схема фактически будет неявной из-за граничных условий. При первом направлении обхода по схеме (3.316а) должно быть известно значение с (д+1)-го временного слоя при втором направлении обхода по схеме (3.3166) должно быть известно значение где / = maxi. Это обстоятельство не вызывает осложнений в случае задач теплопроводности, где температуры или градиенты температуры на границах, как правило, известны для всех моментов времени. Но значения вихря на стенке не известны и, как уже было отмечено при обсуждении неявных схем метода чередующихся направлений, это вызывает затруднения. Во-вторых (и это гораздо важнее), если данная схема комбинируется с другими схемами и в ней для конвективных членов используются какие-либо варианты аппроксимации из схемы с разностями против потока, схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, схемы чехарда и явной схемы метода чередующихся направлений, то полученная комбинированная схема либо оказывается безусловно неустойчивой, либо для нее опять появляются ограничения вида 1 и /г ), характерные для явных схем. Единственной сравнительно успешной комбинацией является комбинация схемы, в которой по обоим чередующимся направлениям обхода точек используются разности против потока для конвективных членов и явной схемы метода чередующихся направлений с осреднением для диффузионных членов (см. Ларкин [1964]) [c.148]

Из изложенных ранее соображений по поводу преимуществ, которые возникают от приведения физических закономерностей к безразмерному виду, ясно, что именно на этом пути следует искать возможность широкого обобщения результатов такого единичного числового решения, которое выражает соотношение между размерными величинами. В самом деле, одна единственная числовая связь между безразмерными величинами определяет количественные признаки множества явлений, описываемых посредством первоначальных разжрных величин. Принято говорить, что такое множество образует группу (семейство) подобных явлений. Смысл, вкладываемый в понятие о подобии явлений, вытекает из предшествующих параграфов, в которых обсуждаются задачи нестационарной теплопроводности. Однако там не применялись термины, связанные с теорией подобия, и не были высказаны в явной форме некоторые соображения. Этот пробел здесь восполняется, поскольку освещение многих рассматриваемых далее вопросов дается именно с позиций теории подобия. [c.67]

Полнота систем уравнений и условий исследована лишь для отдельных задач математической физики колебаний, теплопроводности, диффузии, гидродинамики, магнитной гидродинамики, а для совместных задач она не рассматривалась, и сама математическая задача не ставилась. При правильной постановке задачи общее решение ее должно быть единственным. В таком случае должно быть единственно возможным математическое выражение протекаемых явлений. При подобии постановок задач, оп.исываюш их явления, должны подобно протекать сами явления. Верно и обратное заключение для подобия явлений должны быть подобны описываюш,ие их уравнения и их граничные и начальные условия. Последняя задача является частным случаем общей задачи качественного исследования систем дифференциальных уравнений. [c.12]

В частности, здесь требуются дополнительные предположения о существовании решений, их единственности и должной зависимости их от параметров и управляющих функций (а также и предположения о некоторых специфических обстоятельствах, связанных с математическими конструкциями, например, о наличии внутренних точек у рассматриваемых по ходу дела множеств элементов функциональных пространств и т. д.). В общих случаях многие из таких предположений нелегко проверить эффективно. Таким образом, хотя формализм принципа максимума достаточно полно переносится на рассматриваемые системы (с соответствующими выкладочными изменениями, отвечающими особенностям нового аппарата), однако по содержанию общая проблема такого переноса все-тА ки представляется еш,е не исследованной до конца, тем более, что вопрос о классах допустимых управлений и ж о существовании в них оптимальных управлений и Ь) и движений х 1) в общем случае пока исследован также не полностью. К числу строгих результатов, относящихся к проблеме существования и единственности оптимального управления системами, описываемыми функциональными уравнениями, (22.1), отвечающим случаям параболических и гиперболических систем, относятся результаты Ю. В. Егорова (1962). При этом, в частности, была рассмотрена задача об управлении процессом теплопроводности, когда управляющие функции м входят в граничные условия и минимизируется квадратичный функционал, определенный распределением температуры, при заданном интервале времени или минимизируется время переходного процесса к желаемому распределению температуры при известных квадратичных ограничениях. [c.235]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...