Матрица жесткости податливости

Матрицы жесткости В< и податливости аы ) характеризуют упругие свойства материала в целом. Упругие свойства компонентов материала (волокна и матрицы), а также напряжения и деформации в каждом компоненте отличаются от их средних значений по типичному объему (Ви), (а ), (О ), /еЛ соответственно на величины б -, [c.53]

Если расположение волокон материала в типичном объеме подчиняется определенному геометрическому закону или известны характеристики его случайного поля, то вычисление средних значений компонент матрицы жесткости (или податливости) материала не представляет труда. Их усреднение по типичному объему АУ осуществляется как среднее интегральное [c.54]

Расчет эффективных упругих констант в плоскости композиционного материала ( ,, Е , 12, <3 2) с учетом компонент матрицы жесткости в случае плоского напряженного состояния несколько проще, чем в случае плоской деформации. Это связано с тем, что компоненты матрицы податливости в плоскости материала при плоском напряженном состоянии находят обращением матрицы жесткости второго порядка, а при плоской деформации после обращения матрицы жесткости необходимо еще учесть добавки к полученным компонентам матрицы [c.73]

Компоненты матрицы податливости симметризованного элемента с1х в осях 1, 2, 3 определяют через компоненты матрицы жесткости по зависимостям [c.93]

Для того чтобы перейти от коэффициентов жесткости к более распространенным в инженерной практике модулям упругости и коэффициентам Пуассона, следует обратить матрицу 1Сц] и получить матрицу коэффициентов податливости [5 у] [93]. [c.162]

Различными типами анизотропии обладают и многие искусственные, в частности, некоторые композитные материалы. Напряженно-деформированное состояние в них определяется на основе теории упругости анизотропного тела, в которой физические уравнения (уравнения закона Гука) содержат матрицу жесткости или податливости, соответствующую типу анизотропности тела. К числу анизотропных материалов относятся фанера, древеснослоистые пластики, стекловолокнистые материалы и др. [c.480]

ИХ узлов. Структуры содержат многократно повторяющиеся стержневые пространственные ячейки, матрицы жесткостей и податливостей которых в зависимости от конфигурации повторяют по своему строению матрицы жесткостей и податливостей кристаллов тех или иных сингоний и классов, т. е. обладающих соответствующей им анизотропией. Вследствие этого при расчете таких конструкций, учитывая малость размеров ячейки по сравнению с габаритными размерами, иногда в качестве расчетной схемы принимают сплошную анизотропную среду, в которой как бы размазаны дискретные свойства стержневой системы. [c.481]

Очевидно, что начальное условие для матрицы податливости L ( ) нельзя сформулировать, если жесткость упругой опоры стремится к нулю ( i —> О или Сз 0)- В этом случае можно поступить двояким образом. Можно перенумеровать компоненты вектора состояния у так, чтобы вектор в начальном сечении не был нулевым. Например, если конец балки х = 0 свободен, можно принять у1 = IQ, М[ Уа = ш, Тогда матрица L в выражении (11.71) будет представлять собой матрицу жесткости отсеченной части балки, и начальные значения всех ее элементов будут нулевыми. [c.475]

При расчете колебаний с помощью матрицы податливости такая ситуация возникает в том случае, если частота, при которой производится расчет, является резонансной для выделенной части конструкции. При расчете с помощью матрицы жесткости это же явление возникает при частоте, антирезонансной для выделенной части системы. [c.477]

Иногда удобно решать задачи с использованием динамических жесткостей. Тогда фундаментальную матрицу динамических податливостей (1.1) можно обратить в фундаментальную матрицу динамических жесткостей периода [c.42]

Наиболее просто матрица жесткости К и, как следствие, матрица податливости Я, формируются в методе конечных элементов [9]. Благодаря этому метод конечных элементов (МКЭ) наиболее широко применяется в инженерных расчетах деталей машин и элементов конструкций. [c.85]

Коэффициенты матрицы податливости можно находить обращением матрицы жесткости К. В практических расчетах эти коэ( )фициенты определяют по уравнению (4.42), считая единичную нормальную силу приложенной последовательно в каждом контактирующем узле. Коэффициент податливости %и-го узла находят по осевому Wi и радиальному Ui перемещению этого узла от единичной нормальной силы, приложенной в этом же узле [c.86]

Надлежащий выбор системы координат позволяет существенно упростить исходные матрицы податливости и жесткости, если материал обладает симметрией упругих свойств. Рассмотрим, например, композиционный материал, состоящий из упругого связующего, регулярно армированного в одном направлении упругими волокнами (рис. 1.2). Для описания деформационных свойств такого материала можно воспользоваться моделью однородного анизотропного упругого тела. В произвольно ориентированной системе координат матрица податливости (и жесткости) будет целиком заполненной, а число подлежащих определению независимых коэффициентов не ясным. В системе координат (Xi, х , х ) плоскость (х , Xs) можно считать плоскостью упругой симметрии матрица коэффициентов податливости в этом случае будет иметь структуру (1.11). Еще более полно симметрия упругих свойств рассматриваемого материала выявляется в системе координат (х1, хг, Xj) плоскость х, Хг) тоже можно считать плоскостью упругой симметрии. Следовательно, теперь все координатные плоскости — плоскости упругой симметрии, материал является ортотропным и матрица коэффициентов податливости имеет структуру (1.12). Более того, при равномерном распределении армирующих волокон допустимо считать, что упругие свойства во всех направлениях в плоскости (x l, Хз) идентичны. Теперь становится ясным, что рассматриваемый материал является трансверсально изотропным, матрицы его коэффициентов податливости имеют вид [c.13]

Коэффициенты матриц жесткости и податливости связаны следующими соотношениями [c.17]

Наконец, технические постоянные упругости выражаются через компоненты матриц жесткости и податливости следующим образом [c.17]

В (1.57) шесть коэффициентов матрицы жесткости слоя gtj в осях (х, у) записаны через четыре независимых коэффициента Число коэффициентов У не случайно равно четырем. Оно отражает то обстоятельство, что независимо от преобразований системы координат число независимых характеристик определяется лишь типом симметрии материала. При плоском напряженном состоянии трансверсально изотропный однонаправленный материал имеет четыре независимых характеристики жесткости (податливости), которые могут быть представлены в одном из взаимосвязанных вариантов [c.21]

Яе R = A - матрица, обратная к матрице податливости называется матрицей жесткости системы по заданным направлениям А,. [c.80]

Известно, что матрица жесткости или податливости относится к главным осям материала, но ее довольно просто можно преобразовать в матрицу жесткости при любом угле к главным осям поворотом осей координат на любой требуемый угол [19]. Если преобразуется матрица податливости, то, зная новые коэффициенты податливости, можно легко рассчитать инженерные константы, модуль Юнга и т. д., соответствующие новому направлению. [c.212]

Если криволинейная балка ориентирована произвольным образом относительно декартовой системы координат и подвергается совместному действию продольных, поперечных, изгибающих и крутящих сил и моментов на концах, а также внешней нагрузки, распределенной по пролету, то связи между внешними силами и деформациями становятся более сложными. Для прямой балки эти связи представляются в виде матриц жесткости и податливости, которые широко используются в строительной механике ). [c.301]

В реальных эластомерных конструкциях основания пакета обычно соединены с достаточно жесткими фланцами. Задаются смещения фланцев или силы и моменты, приложенные к этим фланцам. В любом случае сначала делается расчет конструкции в предположении, что заданы относительные смещения оснований Ог, йх и и>у. Если известны не смещения оснований, а внешняя нагрузка, то делается пересчет искомых функций от смещений к силам и моментам с помощью соотношений податливости (6.10). При таком пересчете возможна потеря точности (три-четыре знака и более), связанная, в частности, с обращением матрицы жесткости в формулах (6.6). Поэтому практическое значение при численном решении краевых задач имеет выбор точки приведения (центра поворота), относительно которой вычисляются смещения и силы в (6.6). [c.65]

Если принять, что перемещения v известны, то из (3.1) можно найти силы Р, вызывающие эти перемещения Р = = A- v, Полагая к = Д- , придадим последнему равенству вид Р = kv. Введенная здесь матрица к имеет размер 2x2 и называется матрицей жесткости рассматриваемой системы. Согласно теореме Максвелла о взаимности перемещений, справедливо равенство 6ia = 631, т. е. матрица податливости Д является симметричной. Обратная к ней матрица к будет поэтому также симметричной. [c.50]

Определение 7.5. dki и D называются коэффициентами и матрицей податливости а сд./ и С — коэффициентами и матрицей жесткости упругого тела. [c.215]

Здесь С и D — матрицы жесткости и податливости модели (см. определение 7.5), М — матрица масс, X и Р — столбцы обобщенных перемещений и внешних сил соответственно. Отметим, что в более сложных моделях матрица масс может не быть диагональной. [c.431]

Выбираем N сечений стержневой системы с указанием обобщенных перемещений жд, в них. Вычисляем элементы 5д / матрицы податливости D. В соответствии с утверждением 7.3 5д / — перемещение по направлению жд , вызванное действием единичной силы Pi = 1. При наличии упругих опор проводим модификацию (12.40) матрицы D. Затем находим матрицу жесткости С = [c.433]

Выражения (III.71) и (III.72) по существу являются записью формул прямого хода метода исключения Гаусса для частного случая исключения неконтактирующих неизвестных из уравнений (III.68). Поэтому получить матрицу жесткости (податливости) 1 ] и вектор правой части F) можно обычным гауссовым исключением при условии, что уравнения, относящиеся к исключаемым неизвестным, должны располагаться в начале системы уравнений подобласти. [c.80]

Сборка суперэлементов, описывающих поведение подобластей, производится на основе удовлетворения условий (III.65) — (III.67). Фактически процедура поиска по границе контакта (сопряжения) есть ие что иное, как совместное решение уравнений равновесия суперэлементов для контактирующих (сопрягающихся) подобластей. В дальнейшем определение не контактирующих неизвестных и определение НДС производятся отдельно для каждой подобласти. Заметим, что для случая сопряжения (контактирования) нескольких кусочно-однородных тел или для искусственного расчленения конструкции по тем или иным признакам сборка суперэлементов проводится один раз, после чего находятся остальные неизвестные подобластей. По-видимо-му, основным преимуществом такого подхода по сравнению с обычным формированием блочно-диагональной матрицы в МГЭ является сокращение информационных объемов. Нет необходимости хранения полной системы уравнений, отдельные части — блоки системы обрабатываются сразу по мере их формирования. Каждый блок представляет собой матрицу жесткости (податливости) определеннрй подструктуры-подоб-ласти, части конструкции. Это дает возможность соединить поэтапное [c.80]

В приближении, предложенном Фойг-том, эффективные значения компонент матрицы жесткости материала можно принять равными их средним значениям, т. е. Вц = (А у). В этом случае, как следует из сравнения (3.1) и (3.2), достаточно принять е = 0(о 0). Если принять = О (е . о), то из (3.1) и (3.2) следует равенство эффективных значений компонент матрицы податливости их средним значениям, т. е ац = (ц у). Последнее приближение предложено Рейссом [118]. [c.54]

Таким образом в случае плоской деформации процедура усреднения компонент жесткости слоев композиционного материала с абсолютной точностью позволяет определить эффективные жесткости Оц ( , / 1,2) в плоскости лишь для косоугольной равновесной структуры материала. Отметим также, что эти компоненты равны соответственно компонентам жесткости слоя, определенным при повороте системы осей упругой симметрии слоя на угол 0 вокруг оси 3. Однако технические упругие константы — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — композиционного материала и отдельного слоя имеют различия, так как отличаются их компоненты податливости, полученные обращением матриц различных порядков. В плоской задаче для равновесного косоугольного армированного композиционного материала обращается матрица жесткости второго порядка, соответствующая ортотроп ному материалу, а для отдельного слоя, повернутого на угол 0, обращается матрица жесткости (при ез — О) третьего, порядка, соответствующая моноклинной симметрии материала. [c.73]

Матрица податливости aij , 1, ) = = 1, 2,. .., 6, определяемая на участке dx, является обратной по отношению к матрице жесткости (В ,), компоненты которой тождественны соответствующим компонентам тензора жесткости [Втпп1] п, к, I = I, 2, 3 их вычисляют по общей методике расчета констант слоистой среды по формулам (3.33)—(3.36). Усредненные значения выражений, входящих в правые части этих формул, находят по зависимостям, аналогичным (3.43). При этом компоненты тензора жесткости каждого слоя Втпк1 в системе координат 123 рассчитывают по формулам пересчета констант материала при повороте главных осей упругой симметрии 1 3 вокруг оси 2 на угол 0. Необходимые для расчета компоненты матрицы жесткости 5 , 1,/ = 1, 2,. ... 6, в главных осях 1 23 выражают через упругие постоянные [c.91]

В соответствии с алгоритмом рассматриваемого метода составлена программа для ЭЦВМ [32], позволяющая получить диаграммы деформирования любого слоя и слоистого композита до разрушения. Также определяются напряжения в слое, достигшие предельных значений, и соответствующая им нагрузка на композит. Для каждой ступени нагружения распечатываются компоненты матриц жесткости и податливости, модули упругости и коэффициенты Пуассона композита. Процесс анализа прост, обладает значительной гибкостью и удобен в пспользованип. Основное внимание следует уделить исходным данным о свойствах материалов слоя. [c.152]

Как и в большинстве теорий прочности композитов, в анализе, использующем критерий тина Хплла, в качестве основной технологической единицы слоистого материала принимается однонаправленный слой. Модули композита, его матрицы жесткости и податливости вычисляются по четырем независимым упругим константам материала слоя при помощи обычных процедур преобразования и интегрирования (см. разд. 4.3). Деформации композита, вызванные любой приложенной нагрузкой, определяются при помощи его упругих свойств. Затем рассчитываются деформации е,/ и напряжения ац каждого слоя, и при помощи критерия прочности Хилла оценивается напряженное состояние каждого слоя [c.152]

Как и в большинстве методов построения предельных поверхностей слоистых композитов, считается, что разрушение локализовано в слое, для которого выполнен критерий проч-ностп. После изменения упругих свойств разрушенного слоя в соответствии с его новым состоянием снова определяются эффективные значения матриц жесткости и податливости композита. Действующие на композит нагрузки теперь воспринимают слои, в которых предельное состояние еще не достигнуто. Процесс ступенчатого приложения нагрузки повторяется до разрушения слоистого композита в целом. Считают, как правило, что для полной потери несущей способности композитом достаточно, чтобы по крайней мере в двух слоях было достигнуто предельное напряжение (деформация) в направлении волокон. [c.153]

Аналогичные неприятности появляются и в случае, когда выделенная часть системы неустойчивая. G указанными выше трудностями можно бороться, чередуя расчеты с помощью матриц жесткости и податливости на разных участках интервала интегрирования. Однако этот путь может оказаться недостаточно эффективным, если, например, значения резонансных и антире-зонансных частот близки. В этих условиях определенные преимущества имеет изложенный ниже вариант метода прогонки, разра-. ботанный А. А. Абрамовым. [c.477]

Решение контактной задачи методом конечных элементов осуществляется аналогично, так как матрица податливости контактирующего тела получается путем обращения его матрицы жесткости. Однако благодаря простоте формирования матрицы жесткос-TI тела, присущей этому методу, решение контактной задачи упрощается. [c.116]

Фундаментальная матрица динамических жесткостей, как и фундаменталньая матрица динамических податливостей, полностью характеризует динамические свойств а периода системы в точках стыка с соседними периодами. Она также симметрична и устанавливает связь между амплитудами усилий и перемещений по точкам стыка -го периода слева (а) и.справа (Ь) [c.42]

Системы с распределенными связями между периодами. Когда структура системы отлична от стержневой, например упругие диски с лопатками, вместо сравнительно легко определяемых матриц динамических жесткостей или податливостей для периода системы необходимо построить интегральные операторы, которые могут быть весьма сложными. Поскольку образование их связано с определенными трудностями, при решении задач тарного типа систему рационально расчленять не на периоды, а на кольцевые участки, динамические характеристгию которых можно описать более простыми средствами. Этот путь можно использовать и для систем стержневого типа. При таком подходе свойства спектров можно реалшо вать путем введения понятия волновых динамических жесткостей и податливостей [25]. Фундаментальные матрицы волновых динамических жесткостей (податливостей) полностью определяют необходимые для расчета динамические характеристики кольцевых участков, если они найдены для всех чисел волн т перемещений (усилий), допускаемых порядком симметрии системы. [c.43]

Анизотропия самого общего вида у реальных материалов, когда матрица коэффициентов податливости ISl содержит 21 независимый коэффициент, — явление редкое. Обычно структура материала такова, что его упругие свойства в некоторых направлениях идентичны. В этих случаях число независимых коэффидиентов в матрице коэффициентов податливости (и, следовательно, в матрице коэффициентов жесткости) уменьшается, и при надлежащем выборе системы координат упрощается запись закона Гука. [c.9]

Эти недостатки можно избежать, если матрицу жесткости г конечного элемента обработать специальным образом -для Qt,i степени свободы, по направлению которой присоединение имеет определенную податливость, на матрице Кг и векторах узловых усилий (к которым приведена местнаяг нагрузка) производится Жорданово исключение с предварительной засылкой в элемент Ки значения податливости присоединения. Если происходит только снятие связи (нулевая жесткость присоединения), то в элемент Кп ничего не засылается. [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...