Закон сохранения энергии и уравнение теплопроводности

Закон сохранения энергии и уравнение теплопроводности [c.146]

Для установления связи между функциями и, V, ш, р, р, Т, р, Ср, X механика жидкости и газа дает четыре уравнения, из которых три выражают закон сохранения импульса и одно — уравнение неразрывности — выражает закон сохранения массы вещества. Из термодинамики используются недостающие пять уравнений уравнение состояния, связывающее давление, плотность и температуру жидкости уравнение, устанавливающее зависимость вязкости от температуры уравнение энергии, выражающее закон сохранения энергии, и уравнения, устанавливающие зависимость теплоемкости и теплопроводности от температуры. [c.8]

Дифференциальное уравнение энергии определяет распределение температуры в теле. Оно выводится на основании закона сохранения энергии и закона Фурье. Получим уравнение для движуш,ейся среды с равномерно распределенными внутренними источниками теплоты. Предполагается, что теплоноситель представляет собой изотропное однородное тело с теплопроводностью X, теплоемкостью [c.256]

В случае неподвижной газовой среды, когда наряду с радиационным переносом теплоты учитывается и теплопроводность, из закона сохранения энергии вытекает уравнение 118) [c.201]

Дифференциальные уравнения теплопроводности. Теория теплопроводности является феноменологической теорией, она не рассматривает механизм процесса распространения теплоты, а ограничивается описанием этого процесса на основе закона сохранения энергии и закона Фурье. [c.177]

Приведенная система дифференциальных уравнений теплопроводности (энергии), движения и уравнения сплошности описывает множество явлений распространения тепла в движущемся потоке жидкости, так как она получена при использовании общих законов сохранения энергии и вещества, поэтому она характеризует лишь основные принципиальные стороны этих явлений, общие для всего указанного множества. Частные особенности отдельных конкретных тепловых явлений характеризуются так называемыми условиями однозначности. Применительно к процессам конвективного теплообмена условиями однозначности задаются геометрическая форма и размеры системы, в которой изучаются процессы конвективного теплообмена физические свойства жидкости, входящие в рассмотренную систему дифференциальных уравнений распределение температуры и скорости в прост-ранстве нной области, в которой исследуется явление для какого-то начального момента времени распределение скорости на твердых и жидких границах исследуемой пространственной области. На жидких границах (во вход- [c.137]

На основании закона сохранения энергии и закона Фурье жно вывести уравнение теплопроводности. Для тела, в ковром находится равномерно распределенный источник теп-.ловой энергии, уравнение теплопроводности имеет вид [c.17]

Дифференциальные уравнения, описывающие процесс, отражают наши представления о физической сущности процесса. Например, дифференциальное уравнение теплопроводности является частным случаем закона сохранения энергии и сводится к утверждению, что изменение внутренней энергии элементарного объема тела равно количеству теплоты, которым он обменивается с остальной массой тела. [c.34]

Это уравнение называется в математической физике уравнением теплопроводности или уравнением Фурье. Оно может быть выведено, разумеется, и гораздо более простым образом, без помощи общего уравнения переноса тепла в движущейся жидкости. Согласно закону сохранения энергии количество тепла, поглощающееся в некотором объеме в единицу времени, должно быть равно полному потоку тепла, втекающего в этот объем через ограничивающую его поверхность. Как мы знаем, такой закон сохранения может быть выражен в виде уравнения непрерывности для количества тепла. Это уравнение получается приравниванием количества тепла, поглощающегося в единице объема жидкости в единицу времени, дивергенции плотности потока [c.277]

Это уравнение выражает зависимость изменения во времени температуры в некоторой точке тела от свойств поля и производительности источников теплоты в окрестности этой точки, т. е. устанавливает связь между пространственными и временными изменениями температуры. Решая уравнение теплопроводности, можно определить температурное поле в твердом теле. При этом искомая функция Т(х,у,2,с) должна удовлетворять уравнению (2.5) и, следовательно, соответствовать закону сохранения энергии. Однако для получения однозначного решения уравнения (2.5) необходимо выполнение следующих условий [c.81]

При выводе дифференциального уравнения применим закон сохранения энергии, сочетая его с основным законом теплопроводности. Выделим в теле элементарный параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 11-3). Количество поступившей теплоты и выделенной внутренними источниками [c.139]

Законы подобия для теплопередачи в потоке жидкости формулируются, как известно, в виде условий, накладываемых на характеристические размеры находящихся в потоке (или ограничивающих поток) твердых тел, скорость течения и разность температур между твердым телом и жидкостью. Все эти три параметра входят в граничные условия основных уравнений — сохранения энергии и движения — и посредством их определяют общие решения. Последние будут содержать значения вязкости и теплопроводности жидкости. Во всех известных методах установления законов подобия коэффициенты вязкости и теплопроводности рассматриваются как постоянные величины. Такое приближение обусловлено тем, что общий вид функциональных зависимостей для коэффициентов вязкости и теплопроводности считается неизвестным оно справедливо только в том случае, когда разности температур в различных точках жидкости достаточно малы. Полученные в этих предположениях критерии подобия не определяют полного подобия, а характеризуют по существу только внешнее подобие процессов теплопередачи в разных жидкостях совокупность их в ряде случаев является недостаточной, а форма написания — не очевидной. [c.7]

Применение закона сохранения энергии к анализу процесса теплопроводности в неподвижной изотропной среде приводит к дифференциальному уравнению теплопроводности, которое связывает временное и пространственное изменение температуры [c.167]

На основе фундаментального закона теплопроводности и закона сохранения энергии получены дифференциальные уравнения в частных производных, которые могут быть решены в случаях простых геометрических конфигураций. [c.296]

Обсуждение метода контрольного объема. В книге будет использоваться метод контрольного объема для получения дискретных аналогов. Основная причина этого заключается в том, что дискретные аналоги, полученные этим методом, являются не только формальной математической аппроксимацией, но и имеют ясный физический смысл. Интересующие нас дифференциальные уравнения представляют собой законы сохранения. Например, уравнение теплопроводности основано на законе сохранения энергии. В дальнейшем мы используем законы сохранения количества движения при течении в каналах и сохранения массы при течениях в пористых средах. Когда дискретные уравнения получены методом контрольного объема, они представляют собой законы сохранения энергии, количества движения, массы для каждого контрольного объема. Из этого следует, что полученное численное решение удовлетворяет законам сохранения этих величин во всей расчетной области. [c.31]

Аналитические методы позволяют описать статику и динамику теплотехнических объектов управления с достаточной для решения многих задач степенью точности. Уравнения статики, как правило, получают на стадии теплотехнических расчетов обьекта. Описание динамики вновь проектируемых объектов обычно отсутствует. Дифференциальные уравнения являются наиболее общей формой описания динамических свойств объекта. Составление дифференциальных уравнений базируется на использовании физических законов, определяющих процессы в системе. При описании теплотехнических объектов используют уравнения теплового и материального балансов, уравнения теплообмена, теплопроводности и другие конкретные формы выражения основных физических законов сохранения энергии, вещества, количества движения и т.д. [c.551]

Подставив (4.3) и (4.4) в закон сохранения энергии (3.46), получим уравнение теплопроводности [c.93]

Для нахождения из закона сохранения энергии (4.63) уравнения теплопроводности воспользуемся вторым равенством из (4.60) и принятыми при получении соотношений (4.69) допущениями. Тогда [c.112]

Соотношения (5.8) определяют линейную ньютоновскую) жидкость. Закон сохранения энергии в форме уравнения теплопроводно сти можно получить, если положить А = A J,T) и определить зависимость вектора плотности теплового потока от реактивных переменных, например, в виде закона Фурье (4.7). После некоторых преобразований, учитывающих равенства (5.4) и (5.7), получим [c.116]

Се = —Тд В/дТ , РТ принять связь между компонентами вектора плотности теплового потока и градиента температуры в форме закона Фурье (4.7), то закон сохранения энергии принимает вид уравнения теплопроводности, в котором учтена связь между полями температуры и напряжений [c.132]

Нам осталось выявить связь энтропии с теплопроводностью. Перенос тепла в твердом теле происходит от мест с более высокой температурой к местам с более низкой температурой и называется теплопроводностью. Этот самопроизвольный необратимый процесс приводит к производству энтропии. Уравнение теплопроводности выводится из закона сохранения энергии, выраженного в виде уравнения переноса энтропии. Этот закон, являющийся локальной формулировкой второго закона термодинамики, имеет вид [c.17]

Основное энергетическое уравнение, выражающее закон сохранения энергии, получим, используя уравнения движения и обобщенное уравнение теплопроводности, [c.44]

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности Фурье были приняты за основу самые общие законы физики сохранения энергии и теплопроводности Фурье. Поэтому оно не связано никакими ограничивающими конкретными условиями теплообмена и является основным уравнением математической физики для расчетов различных условий теплопередачи в телах. Так, если внутри нагреваемого (охлаждаемого) тела имеется дополнительный самостоятельный источник теплоты с удельной мощностью со, ккал/(м -ч), то для описания процесса теплопередачи к дифференциальному уравнению прибавляется дополнительный член [c.24]

Изучение распространения звука в текучих средах, т. е. в жидкостях и газах, начнем с классической гидродинамики. Как известно, в гидродинамике предполагается, что покоящаяся текучая среда является однородной, изотропной, вязкой, теплопроводной, химически инертной. Любую проблему движения в рамках гидродинамики можно рассмотреть с помощью системы четырех дифференциальных уравнений, которые выражают закон Ньютона, уравнение состояния текучей среды, закон сохранения массы (уравнение непрерывности) и закон сохранения энергии в термодинамическом процессе движения среды. [c.166]

Конечно-разностная аппроксимация уравнений распространения тепла. Приступим к построению разностной схемы для уравнения энергии и соотношений для потоков теплопроводности и излучения. Для этого предварительно преобразуем тождественно закон сохранения энергии (VI. 1). Используем значения и / из уравнений состояния (VI. 13) и производную от потока поглощаемой энергии из закона Бугера— Ламберта (VI.2). В результате получим [c.172]

Гл. III посвящена механике типичного конечного элемента сплошной среды. Она начинается с изложения соответствующих термодинамических понятий и принципов, за которым следует вывод локальной и глобальной форм закона сохранения энергии для сплошных сред. Используя теорию, развитую в гл. II, мы далее выводим из закона сохранения энергии общие кинематические соотношения и уравнения движения и теплопроводности для конечного элемента сплошной среды. В главу включен также краткий обзор теории определяющих уравнений и указан вид определяющих уравнений для дискретных моделей полей перемещений и полей температур. [c.7]

Чтобы описать и найти температурное поле в движущейся жидкости, аналогично дифференциальному уравнению теплопроводности на основе закона сохранения энергии выводится специальное дифференциальное уравнение -дифференциальное уравнение энергии. Это уравнение учитывает и перенос тепла теплопроводностью, и накопление тепла в элементарно малом объеме в результате изменения его теплосодержания при протекании через него потока теплоносителя. По форме оно похоже на дифференциальное уравнение Фурье [c.99]

Распространение пламени в горючей газовой смеси вне зависимости от механизма воспламенения (теплопроводностью при медленном горении или ударной волной при детонации) подчиняется основным законам газовой динамики и, следовательно, может быть описано уравнениями сохранения массы, количества движения и энергии. [c.218]

Уравнение (2.55) выражает закон сохранения энергии и является уравнением энертии. Оно может быть выведено путем замены в уравнении теплопроводности (2.25) справедливого для твер- [c.95]

Уравнение теплопроводности в твердой среде может быть выведено непосредственно из закона сохранения энергии, выраженного в виде уравнения непрерывности для количества тепла. Количество тепла, поглощаемое в единицу времени в единице объема тела, равно Т dSldt, где —энтропия единицы объема. Эта величина должна быть приравнена — div q, где q — плотность потока тепла. Этот поток практически всегда пропорционален градиенту температуры, т. е. может быть записан в виде q = = —и VT (х — теплопроводность). Таким образом, [c.174]

Конечно-разностное представление дифференциального уравнения Фурье и граничных условий сводит решение задачи теплопроводности к расчету температур в конечном числе точек — узлов сетки (рис. 1.11). Чтобы дискретизованная задача была близка к исходной, необходимо сделать сетку достаточно частой. Поэтому число неизвестных (т. е. значений температур в узлах) оказывается большим, и решение задачи требует использования ЭВМ. Конечно-разностную аппроксимацию уравнения теплопроводности можно получить, записывая закон сохранения энергии для контрольного объема, содержащего внутренний узел К, L (заштрихован на рис. 1.11). [c.31]

Наглядным примером может служить вывод дифференциального уравнения теплопроводности. При выводе этого уравнения мы отвлекались от всей конкретной обстановки явления и рассматривали только выделенный дифференциальный объем тела. Для вывода уравнения нам потребовался единственный опытный факт, заключающийся в том, что перераспределение теплоты в среде возможно только при наличии температурных градиентов, не равных нулю. Приняв для описания этого факта гипотезу (закон) Фурье, мы получили возможность приложить к изучению темнературного поля тела закон сохранения энергии. [c.94]

Состояние движущейся среды (в наиболее общем случае — газа с высокой скоростью) описывается с помощью функции р, Т, с, и, V, W, (J, (X, X, определяющих соответственно распределение давления, температуры, теплоемкости, скорости, плотности, вязкости, теплопроводности жидкости. Связи между этими функциями устанавливаются девятью уравнениями. Три уравнения механики выражают закон сохранения импульса, а четвертое уравнение — закон сохранения массы вещества. Термодинамика дает уравнение состояния, связывающее давление, плотность и температуру. Кроме того, сюда относится уравнение энергии, выражающее закон сохранения энергии, а также уравнения, устанавливающие зависимость вязкости, теилоемкости и теилопроводности от температуры. [c.5]

Уравнение энергии. В соответствии с законом сохранения энергии количество теплоты, передаваемое в любой элементарный объем жидкости за счет теплопроводности и конвекции, равно изменению теплосодер5кан и я этого объема. [c.37]

Уравневия массо1юреноса. В основе явления массопереноса лежат два фундаментальных закона природы закон сохранения массы и закон сохранения и превращения энергии. Направленность процессов переноса определяется вторым законом термодинамики — принципом увеличения энтропии s. Наиболее общие уравнения массопереноса и тепло-переноса идентичны, поэтому ряд решений задач теплопроводности можно применить к решению задач массопереноса [48, 80]. Произведение скорости изменения энтропии dS/dt на Г равно сумме произведений плотностей потоков J,- на соответствующие термодинамические движущие силы X . Для массопереноса прямой термодинамической силой является диффузия под действием градиента концентрации вещества, поэтому при Т — onst масса т вещества, проходящего в стационарном режиме через площадь S в направлении х в единицу времени (первый закон Фика) [c.206]

Уравнение теплопроводности содержит в себе закон передачи тепла (зако1Н Фурье) и закон сохранения энергии, показывая, что количество тепла, входящее в любой бесконечно малый элемент йх-йу-йг в течение промежутка времени йх, равно сумме количества тепла, уходящего из элемента и остающегося в нем. т. е. идущего на изменение его теплосодержания. [c.102]

Зависимость пространственного распределения температуры от времени выражается диференциальным уравнением теплопроводности. Задача нахождения распределения температуры сводится к решению этого уравнения. Вид решения в каждом конкретном Случае определяется формой тела, условиями на его поверхности (граничными условиями) и начальным распределением температуры (начальными условиями). Вывод диференци-ального уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье (1П, 3) и законе сохранения энергии, который в данном случае выражается в том, что разность количеств тепла, вошедшего за время ёх в некоторый элементарный объем, вырезанный в теле, и вышедшего из него вследствие теплопроводности, полностью расходуется на изменение температуры рассматриваемого элементар ного объема. [c.44]

Уравнение изменения температуры среды с объемным поглощением лазерного излучения. Процесс теплопереноса — это процесс передачи тепловой энергии. Следовательно, в первую очередь он определяется законом сохранения энергии. Пусть dQ = рТй8 — количество теплоты, получаемое единицей объема вещества (р — плотность, Т — термодинамическая температура, 5 — энтропия единицы массы вещества). Если dQ = О, то процесс теплопередачи происходит адиабатически. В отсутствие вязкости и теплопроводности условие адиабатичности можно выразить уравнением [32] [c.163]

Уравнение (5.14) соответствует уравнению количества движения в проекции на ось л . Члены, стоящие в левой части этого уравнения, называют конвективными членами. Уравнение неразрывности (5.16) выражает собой закон сохранения массы. Третье уравнение (5.16) также имеет простой физический смысл, представляя собой математическое выражение закона сохранения энергии. Левая часть соответствует конвективному выносу энергии из элементарного объема. Первый член в правой части определяет подвод тепла теплопроводностью второй член и (др1дх) 112 [c.112]

Прежде всего нам пoнaдoб .т я уравнения, устанавливающие математическую связь между величинами, характеризующими процесс теплопроводности. Одного закона Фурье (см. Приложение) недостаточно, так как он связывает две искомые вeли и ы — температуру и поток тепла. Его необходимо дополнить вторым уравнением. Этим урав-ншиш является соответствующая запись закона сохранения энергии (первого начала термодинамики). [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...