Уравнения упругого равновесия в перемещениях

УРАВНЕНИЯ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ [c.73]

Возможные перемещения между собой не связаны и совершенно произвольны, поэтому коэффициенты, стоящие при них в скобках в уравнении (96), можно приравнять к нулю. В результате получаются три уравнения упругого равновесия и три граничных условия Коши, записанные через напряжения. Для решения предлагаемой задачи эти уравнения необходимо записать в перемещениях. Уравнения упругого равновесия в перемещениях при соблюдении условия (93) запишутся так [34] [c.160]

Уравнения упругого равновесия в перемещениях получим путем исключения компонент тензора напряжений atj (Xk) из уравнений равновесия (4.3), используя формулу закона Гука (4.4). [c.72]

Уравнения упругого равновесия в перемещениях. Учитывая выражение лапласиана вектора перемещения а в криволинейных координатах по формуле (2 . 100) и выражение ког понент градиента скаляра div а = по формуле (2 .87), получим векторное уравнение Лаг (4.15) в криволинейных координатах [c.119]

Рассмотрим этот метод. Выразим уравнения равновесия в перемещениях, как это имело место в теории упругости (1.26). Решим для этого первое уравнение (У1П.16) относительно Ох, учитывая (У1П.17) и подставив значение перемещений из условия Коши (У1П.21) [c.108]

Можно показать, что из этого условия вытекают уравнения равновесия во внутренних точках тела и силовые граничные условия на поверхности тела Sp. Этих уравнений достаточно для решения задач вязкоупругости, так как их нужно понимать как уравнения равновесия в перемещениях (обобщение, уравнений Ляме на случай вязко-упругого тела). [c.356]

Уравнения упругого равновесия и движения в перемещениях [c.75]

Для решения задач теории упругости в перемещениях необходимо уравнения равновесия для точек внутри тела (уравнения Навье) представить в перемещениях. С этой целью выразим напряжения через деформации в форме Лямэ, а деформации представим через перемещения по уравнениям Коши. [c.54]

Аналогично можно получить и другие уравнения равновесия. Таким образом, сводка уравнений равновесия в перемещениях для упруго-пластической области будет иметь еле- [c.288]

Используя соотношения упругости (6.26) и (6.27), получаем систему уравнений равновесия в перемещениях [c.242]

Выражая силы и моменты по уравнениям упругости (5.46) и заменяя деформации и параметры изменения кривизны их значениями по (5.97), получим уравнения равновесия в перемещениях. Эту систему уравнений удобно записать в матричной форме [c.278]

Разрешающие уравнения численных методов решения задач теории упругости представляют из себя обычно уравнения равновесия в перемещениях, которые и устанавливают связь между силами, действующими на тело, и перемещениями его точек (см. ниже) [c.115]

При плоском напряженном состоянии уравнения теории упругости имеют тот же вид, что и при плоской деформации, лишь в уравнения обобщенного закона Гука входят другие коэффициенты. Вследствие этого уравнения равновесия в перемещениях (в декартовой системе координат) будут иметь вид (1.6.9) при следующих значениях коэффициентов [c.72]

Уравнения равновесия в перемещениях изотропного упругого тела приводятся к виду [c.678]

Тогда эти уравнения примут известный вид уравнений равновесия в перемещениях линейно-упругого изотропного тела [c.730]

Это — аналог уравнений равновесия в перемещениях линейной теории упругости. При задании поверхностных сил F к нему присоединяется краевое условие [c.771]

Их левые части представляют частный случай уравнений равновесия в перемещениях линейной теории упругости (здесь VV-и = У2 ). [c.772]

Применим метод однородных решений П. Ф. Папковича к уравнениям равновесия упругости, записанным в перемещениях [c.77]

Для вывода уравнений уточненной теории оболочек используем уравнения равновесия упругости, записанные в перемещениях [c.110]

В статьях [55, 56] предлагается новый вариант теории трехслойных пластин с несжимаемым в поперечном направлении заполнителем, основанный на гипотезе ломаной нормали. Уравнения равновесия в перемещениях получены с помощью принципа Лагранжа. Формальным введением малого параметра в дифференциальные уравнения решение исходной задачи сведено к итерационному процессу, содержащему решение задачи об изгибе пластины на упругом основании и плоской задачи теории упругости. Точное решение получено для прямоугольной шарнирно-опертой по контуру пластины, найдена оценка погрешности приближенного решения, получаемого после произвольного числа итераций. Этими же авторами предложен метод расчета осесимметричных круглых трехслойных пластин с легким сжимаемым заполнителем на действие нагрузок, симметричных и обратносимметричных относительно срединной плоскости. Разложение нагрузок на составляющие позволяет упростить определение постоянных, входящих в общее решение задачи. [c.13]

В случае отсутствия массовых сил имеем уравнения упругого равновесия (11.15) и условия на границе (11.13), которым будут удовлетворять действительно существующие упругие перемещения и, v, w. [c.311]

Так как возможные перемещения Ьп, bv, bw ничем между собой не связаны и совершенно произвольны, то мы должны приравнять нулю коэффициенты, стоящие при них в скобках. Таким образом, мы получим три уравнения упругого равновесия Коши [c.316]

Если принять за основные функции неизвестные перемещения, то решение задачи теории упругости можно свести к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений в перемещениях. Действительно, заменяя в дифференциальных уравнениях равновесия (движения) (2.22) компоненты напряжений через компоненты деформаций согласно обобщенному закону Гука (2.24), а затем с помощью геометрических уравнений Коши (2.23) представляя компоненты деформаций через компоненты перемещений, получаем три дифференциальных уравнения равновесия в перемещениях [c.74]

Постановка задачи теории упругости в перемещениях при граничных условиях состоит в том, чтобы найти три функции перемещений, которые удовлетворяют внутри области К, занимаемой телом, дифференциальным уравнениям равновесия в перемещениях (2.25), а на границе области — граничным условиям (2.26). Динамическая задача ставится аналогично, однако перемещения зависят не только от координат, но и от времени т. е. функции должны удовлетворять дифференциальным уравнениям движения в перемещениях, граничным и начальным условиям. [c.76]

Итак, можно рассматривать, по крайней мере для практических целей, перемещения, произведенные внешними силами, приложенными и распределенными некоторым образом на концах призм, как представленные формулами, полученными из дифференциальных уравнений упругого равновесия посредством метода, который мы называем смешанным и который дает точные значения в одном случае, а во всех других случаях быстро достигаемые пределы вне малых частей, на которые действуют силы и которые конструкторы всегда укрепляют и снабжают подкладками. [c.493]

Подробный вывод этого уравнения дан В. В. Новожиловым 33]. Объемный интеграл берется по всему объему упругого тела, а поверхностный — по всей его поверхности. Если уравнение записать с учетом всех возможных упругих перемещений бы, би и бш, согласовав их с геометрическими связями, наложенными на упругую систему в случае равновесия, и с кинематическими связями в случае движения, то получится вариационное уравнение Лагранжа для упругого равновесия. В развернутом виде оно записывается так [c.159]

Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях и метод упругих решений. [c.121]

Как и в теории упругости, задачи теории пластичности реша-ются в перемещениях или в напряжениях. При решении задач в перемещениях за неизвестные принимаются три компонента перемещения и, и, т, которые вводятся в уравнения равновесия ( 111.20), и граничные условия с помощью зависимостей (1.9), ( 111.5), ( 111.6), 111.17), ( 111.19). [c.107]

В перемещениях, уравнения упругости в цилиндрических координатах [77, уравнения (3.3б ) и (3.26)], можно написать дифференциальные уравнения дискретного метода и уравнения напряжений для ребра т в конечно-разностной форме по переменным лир и в аналитической по переменной г. Эти уравнения приводим для осесимметричной задачи (полные уравнения даны в работе [Ю]). Уравнения равновесия [c.263]

Аналогично преобразуем и два других дифференциальных уравнения равновесия (4.1). Таким образом, получаем группу уравнений для решения задачи теории упругости в перемещениях [c.44]

Решение задачи в перемещениях строится на базе уравнений, получающихся путем замены в уравнениях равновесия (19.3) напряжений T.V, ст,/, Хху деформациями с использованием соотношений упругости (19.1) с последующей заменой деформаций их выражением через перемещения согласно соотношениям Коши (19.2). Это дает два дифференциальных уравнения в частных производных вида [c.441]

Для решения задач упруго-пластического деформирования тела в перемещениях необходимо представить уравнения равновесия тела (уравнения Иавье — Коши) в перемещениях. [c.287]

Реп1ение уравнений равновесия в форме, данной Кельвином. В этом параграфе будет выведена общая форма частного решения векторного уравнения упругого равновесия. С этой целью разложим вектор перемещения по методу Кельвина ). Выразим перемещение через скалярный потенциал (р и векторный потенциал / по формуле [c.152]

Ураанения равновесия упругого тела в перемещениях. Только-что выведенные уравнении, связывающие тензор напряжений и тензор деформации ( 11, ур-ния (12) и (14)] совместно с условиями равновесия [c.32]

М. Гуртин и Е. Штернберг [2041 установили для теории ползучести изотропных тел аналоги уравнений равновесия в перемещениях (уравнений Ляме), уравнений сплошности в напряжениях (уравнений Бельтрами—Мичелла), теоремы взаимности работ (теоремы Бетти), а также аналоги общего решения однородных уравнений в форме Б. Г. Галеркина и П. Ф. Папковича. Аналог уравнений Бельтрами—Мичелла использовался раньше также Н. X. Арутюняном [7]. Упомянутые выше уравнения, как отмечено в [238], могут быть формально получены из соответствующих уравнений теории упругости с помощью принципа 20 [c.20]

Другой возможный путь развития такой теории состоит р использовании кинематических гиротез для вывода уравнений равновесия в перемещениях и естественных граничных условий ц ним из вариационных принципов теории упругости [9]. [c.101]

Для вывода уравнений равновесия в перемещениях будем исходить из принципа возможных перемещений, ёогЛасно которому полная потенциальная энергия системы ЧГ, равнай разности мен цу упругим потенциалом я и работой внешних сил А, должна для дейстдатедьньрс -1Йренещ ний иметь стационарное значение. - [c.101]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...