Энергия упругой деформации . 112. Устойчивость упругого равновесия

Поэтому п )и неизменном значении f4 и /г оо потенциальная энергия U О, Следовательно, рассматривая связи как абсолютно жесткие, т, е. пренебрегая их деформациями, мы вместе с тем можем не учитывать потенциальной энергии упругих деформаций этих связей. В частности, можно не учитывать этой потенциальной энергии при рассмотрении вопроса об устойчивости состояния равновесия системы при наличии [c.173]

Основным критерием устойчивости, как известно из механики твердого тела, является условие минимума потенциальной энергии системы. Например, для шарика, лежащего на дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальная энергия будет наименьшей по сравнению со всеми соседними положениями. Если шарик расположен на вершине выпуклости или на седловине (рис. 435), его положение равновесия будет неустойчивым. Этот критерий применим, естественно, и к упругим системам,— конечно, с учетом потенциальной энергии деформации. [c.419]

Потенциальная энергия. В общем случае потенциальная энергия является функцией обобщенных координат и времени. В ме- ханизмах потенциальная энергия, участвующая в колебательном процессе, создается в основном за счет упругих деформаций Предположим, что все упругие связи стационарны. Далее, не теряя общности, примем- за нуль отсчета потенциальной энергии положение устойчивого равновесия системы, так что [c.59]

Существует также теорема [3], которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой Лагранжа в состоянии равновесия консервативной системы ее полная потенциальная энергия принимает стационарное значение, причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы — как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной системы может быть обусловлена двумя причинами геометрическими и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом твердом теле. [c.77]

Возвратимся к нашей задаче. Устойчивость оболочки (так же, как и устойчивость любого упругого тела) можно рассматривать только исходя из первоначально нелинейной постановки задачи. Действительно, в силу теоремы Кирхгофа [51] задача о равновесии любого упругого тела в линейной постановке имеет единственное решение с точностью до перемещений тела как абсолютно твердого. Это решение непрерывно зависит от внешних возмущений (внешние силы и заданные перемещения на границе тела), т. е. является устойчивым. Для справедливости теоремы Кирхгофа достаточно, чтобы потенциальная энергия, накопленная в теле в результате деформаций, была положительно определенной функцией деформаций. Для оболочек это условие выполнено (см. 1.10). [c.38]

При удалении внешних сил деформированное упругое тело возвращается к своему естественному состоянию, соответствующему данной температуре. Таким образом, естественное состояние идеального упругого тела при данной температуре является устойчивой формой равновесия при этой телшературе. Упругое тело обладает свойством накапливать в себе энергию в обратимой форме. Для того чтобы вызвать деформацию тела, нужно затратить известное количество работы и наоборот, такое же количество работы получаем при удалении внешних сил, когда тело возвращается к своему естественному состоянию (при деформации температура тела предполагается все время постоянной). [c.14]

Сущность упругой деформации состоит в следующем. При нормальных условиях между атомами металлического тела действуют электростатические уравновешивающие силы притяжения и отталкивания. Такому положению равновесия отвечает минимум потенциальной энергии кристаллической решетки. Если приложить к телу внешнюю силу, то равновесие внутренних сил нарушается. Для восстановления равновесия атомы из положений устойчивого равновесия немного смешаются в близлежащие положения, не превышающие расстояния между соседними атомами (параметра решетки) при этом потенциальная энергия решетки [c.112]

Проектирование и расчет 158 -- подкрепленные ортотропные — Деформации 154— 156 — Нагрузки поперечные фиктивные 155 — Равновесие— Уравнения 154 — Свойства упругие 153 — Устойчивость — Уравнения основные 153—156 — Энергия деформации и энергия изгиба 156 [c.557]

Упругая деформация происходит в металле в результате отклонения атомов в кристаллической решетке от положения устойчивого равновесия величина этого отклонения не превышает расстояние между соседними атомами. Отклонение атомов от положения устойчивого равновесия увеличивает потенциальную энергию, накопленную в теле, и до определенных пределов величина смещения атомов возрастает пропорционально увеличению деформирующих сил (закон Гука). В любых условиях действие внешних сил на тело уравновешивается противодействием межатомных сил, стремящихся вернуть атомы в положение устойчивого равновесия с минимумом потенциальной энергии. [c.358]

Обобщенную силу Q = —кх, возникающую при отклонении системы из положения устойчивого равновесия, называют обобщенной квазиупругой силой. В роли квазиупругой силы могут выступать самые различные силы, — например, в пружинном маятнике такой силой является сила упругой деформации пружины, а в математическом маятнике — составляющая момента силы тяжести. В молекулярной физике моделью гармонического осциллятора служит двухатомная молекула. В этом случае кинематическим параметром т является приведенная масса атомов Л и В, образующих молекулу АВ, а в качестве квазиупругих сил выступают химические силы. Действительно, пусть энергия взаимодействия атомов, [c.216]

Из вышеизложенных рассуждений следует, что равновесие упругого тела устойчиво лишь в том случае, если полная энергия деформации минимальна, и неустойчиво — во всех прочих случаях. Таким образом, критерием устойчивости равновесия упругого тела является неравенство [c.133]

Равенство (3.34) показывает, что для истинных напряжений (или внутренних усилий) линейно-упругая система имеет потенциальную энергию деформации стационарной (для устойчивого равновесия минимальной). Поскольку энергия U численно равна работе внутренних сил, которая, в свою очередь, равна работе внешних сил деформированного тела, это положение часто называют принципом наименьшей работы. [c.63]

Применим критерий Лагранжа к анализу устойчивости равновесия системы, изображенной на рис. 18.54, а. Стержень предполагается абсолютно жестким, так что энергия деформации аккумулируется только в упругом шарнире (рис. 18.54,6) [c.377]

Другими словами, в линейных задачах теории упругости вторая вариация полной потенциальной энергии выражается той же положительно определенной квадратичной формой (3.17), что и удельная потенциальная энергия деформации. Следовательно, б"5 > О, и всякое положение равновесия упругой линейной системы устойчиво, поскольку полная потенциальная энергия имеет минимальное значение. [c.78]

В классической линейной теории упругости принята такая постановка задачи материал подчиняется закону Гука, а компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями (1.17). В этом случае задача сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Это решение описывает устойчивое (в рамках линейной теории упругости) положение равновесия, т. е. соответствует минимуму полной потенциальной энергии. [c.24]

В силу положительной определенности удельной потенциальной энергии деформации состояние равновесия ненапряженного тела — устойчиво. При достаточно малых значениях параметра нагрузки F напряженно-деформированное состояние упругого тела может быть описано уравнениями линейной теории упругости это состояние равновесия будем называть начальным. В окрестности точки F =-= О начальное состояние равновесия, как нетрудно показать, остается устойчивым, Начальное состояние равновесия нагруженного тела может перестать быть устойчивым только тогда, когда параметр F превысит некоторое критическое значение F p, т. е. при F > F p становятся возможными такие отклонения от начального состояния равновесия, при которых АЭ О.. А поскольку при F а F p начальное состояние остается устойчивым и любые возможные малые отклонения приводят к увеличению полной потенциальной энергии, то естественно так определить критическое значение параметра нагрузки — это нижняя граница тех значений F, при которых возможны малые отклонения системы от начального состояния равновесия, приводящие к АЭ == 0. [c.29]

Ф1 = О и ф2 = 0. Найдем критическое значение силы F p, при превышении которого вертикальное состояние равновесия перестает быть устойчивым. Для того чтобы воспользоваться критерием устойчивости (1.69), подсчитаем изменение полной потенциальной энергии системы с точностью до квадратов углов ф1 и ф2- Энергия деформации упругих шарниров равна [c.31]

На основании рассмотрения энергии деформации мы можем решить также вопрос об устойчивости равномерно сжатого стержня в упругой среде, когда нет опор и концы стержня совершенно свободны Здесь также вид искривленных форм равновесия будет зависеть от жесткости упругой среды. Мы сохраним наши предыдущие обозначения й ограничимся лишь окончательными результатами, приведенными в табл. 9. Здесь даны значения коэффициента длины который должен быть вставлен в прежнюю формулу (117). [c.284]

Хотя величины работы Wi и в противоположность работе в случае упругости представляют собой потери энергии, они однозначно определяются смещениями или деформациями, испытываемыми элементами материала, находящегося в пластическом состоянии до тех пор, пока деформации остаются малыми следовательно, принцип возможных перемеи ений оказывается применимым к устойчивому равновесию-, он требует, чтобы [c.172]

Стержень (тонкий) кинематика — (исследования Кирхгофа), 398 —402. 463 — 463, уравнения равновесия —, 402. 414 зависимость между кривизной, степенью кручения и упругими моментами —, 36, 405 деформация в —, 405—408 компоненты деформации —, 408—410 малые смещения в —, 412 выражение потенциальной энергии —, 412, 423 —, согнутый в первоначальном состоянии, 413—415 кинетическая аналогия согнутого—, 416, 417 эластика и ее устойчивость, 418—421, 429 частные задачи о равновесии —, 421, 430, 431-434, 439, 440, 441 различные задачи об устойчивости —, 435, 437, 443 малая деформация кривых —, 463 — 466 различные частные задачи о равновесии кривых —, 467— [c.672]

Метод Ритца основан на использовании известной теоремы Дирихле—Лагранжа, на основании которой формулируется следующий принцип потенциальная энергия упругого тела в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение. Для использования метода Ритца в задачах расчета пластин необходимо составить выражения для потенциальной энергии деформации пластины U и работы внешних сил А. Полная потенциальная энергия пластины равна их разности [17= U—A). Можно показать, что при задании прогиба в виде (20.67) полная потенциальная энергия является квадратичной функцией параметров а , n=n(ali). [c.450]

ВОЙ силы Fx, совершающей работу по упругому изменению длины оси. Этот член следует учитывать в случае, подобном описай-ному в 2.6, где рассматривалась балка, у которой наложенное-связи препятствуют осевым смещениям на концах, если исследовать эту балку энергетическим методом, а не пользоваться уравнениями равновесия этот метод, как было показано, удобен для применений. В случаях осевой нагрузки, когда концы могут свободно перемещаться в осевом направлении, как в случае за-> дачи о потере устойчивости, работа, совершаемая внешней осевой нагрузкой при упругом изменении длины оси, обращает в нуль только упомянутую выше энергию осевой упругой деформации уравнениях, следующих из принцица возможной работы, и поэтому принято опускать оба этих члена. Однако работу, совершаемую внешней осевой нагрузкой на пути, равном уменьшению расстояния между концами вследствие искривления (изменения кривизны) центральной линии, необходимо учитывать, как это будет сделано в случае, рассмотренном ниже в этом разделе. [c.101]

Во всех тех случаях, когда в конструкциях применяются тонкие стержни или пластинки, необходимо считаться с возможностью потери устойчивости деформации таким образом ставится общая проблема устойчивости упругих систем. Мы уже видели, что первые исследования, относящиеся к проблемам этого типа, были сделаны Эйлером и Лагранжем, которыми был решен ряд отдельных, не связанных между собою задач. Во всех этих задача % при одних и тех же внешних силах возможны два вида равновесия и обычное доказательство 134) однозначности решений уравнений теории упругости оказывается неприменимым. Общая теория устойчивости была предложена Брайаном (G. Н. Вгуап) Он пришел к выводу, что исключения из теоремы об единственности возможны лишь тогда, когда большие относительные смещения разных частей тела сопровождаются малыми деформациями в отдельных точках, как это имеет место в случае тонких стержней и пластинок, или же тогда, когда возникают смещения, мало отличающиеся от тех, которые возможны для неизменяемого твердого тела последнее обстоятельство имеет место, например, в случае сферы, сдавливаемой круглым кольцом несколько меньшего диаметра. Во всех случаях, когда возможны две формы равновесия, критерий для определения той формы, которая будет иметь место, состоит в условии, что энергия должна иметь наименьшее значение. [c.42]

Из результатов 29—37 следует, что довольно типичной картиной деформации оболочки будет такая, когда имеется несколько форм равновесия оболочки при заданных условиях ее работы. Более того, в ряде случаев оболочка будет иметь несколько устойчивых форм равновесия. Естественно, встает вопрос о выборе той формы равновесия, которая имеет наибольшие шансы осуществиться в опыте. В нашей терминологии ( 29) это вторая задача теории устойчивости. Она не может быть решена, если не привлечь более тонкие данные об условиях работы оболочки и ее параметрах. Речь идет о разбросе параметров ее формы, упругих характеристик, внешней нагрузки и, таким образом, о построении статистической теории работы оболочки. Разумеется, такая теория должна включать и те критерии, которыми пользуются в теории устойчивости упругих систем, например, оценку степени устойчивости системы по уровню потенциальной энергии системы. Из всего предыдущего следует, что весьма широкий круг задач будет охвачен, еслп считать, что реализации случайного процесса деформации оболочки а(м>1, м>2, гу) принадлежат Я(и. Таким образом, полное и строгое рассмотрение вопроса требует введения вероятностных распределений в данном функциональном пространстве. Хорошо известны трудности, с которыми сопряжено построение такой теории. Онп значительно возрастают, если иметь в впду создание доступных для современных ЭВМ вычислительных алгоритмов. [c.339]

При анализе условий образования устойчивых зародышей на основе равновесных диаграмм состояния необходимо дополнительно учитывать зависимость свободной поверхностной энергии на границе раздела фаз Я. и энергии упругой и пластической деформации Е от кривизны межфазной границы. При одинаковом объеме зародыша новой фазы энергия деформации будет наименьшей, если зародыши имеют форму плоского линзовидного диска, и наибольшей, если он представляет собой шар [6]. При одинаковой величине поверхности зародышей поверхностная энергия также наименьшая у плоского линзовидного диска и наибольшая у шара. При построении равновесных диаграмм состояния эти энергии полагают постоянными, что справедливо в первом приближении только в случае плоской границы. Однако даже при плоской границе раздела поверхностная энергия зависит от того, какими кристаллографическими плоскостями сопрягаются фазы. То же самое можно отметить и относительно энергии деформации, поскольку она зависит от анизотропии коэффициента линейного расширения и модулей упругости и сдвига в различных кристаллографических направлениях. Итак, если поверхность раздела фаз криволинейна, то равновесие сдвигается. Чем больше кривизна межфазной границы или меньше ее радиус, тем резче смещение лиш й растворимости на диаграмме состояния и тем больше приращение свободной энергии, приходящееся на единицу объема возникающей или растворяющейся фазы. Для того чтобы в этих условиях приращение свободно энергии системы в целом было наименьнгим, необходим переход некоторого количества одной фазы в другую, имеющую более низкий уровень уделыгоп свободной энергии. [c.24]

Рассмотрим упругое тело, которое находится в состоянии устойчивого равновесия и иепо-движно оперто на две малые части своей поверхпости (рис. 4.3). Объемными силами пренебрегаем, нагрузка задается новерх-ностными силами в виде сосредоточенных сил и моментов Мт реализуемых, папример, парой сил. Перемегцения, соответствующие силам Р , обозначим через повороты соответствуют крутящим моментам М . Тогда паиряжепия и деформации, а также энергия деформации определяются как функции щ ж и = 11(и, ср). [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...