Симметрия системы упругая

ИЗ больших диагоналей куба является одновременно и высотой тетраэдра. Боковые ребра тетраэдра совпадают с тремя ребрами куба, выходящими из одной вершины, а основанием тетраэдра является сечение куба вдоль трех диагоналей боковых граней. Ввиду симметрии структуры упругие свойства материала также обладают элементами симметрии одно из направлений армирования является осью упругой симметрии третьего порядка. При повороте системы координат, связанной одной осью с направлением волокон, на угол 120° в плоскости основания тетраэдра все упругие свойства материала вследствие симметрии сохраняются. [c.16]

Остается определить осредненные (по композиту) приращения деформации ползучести, происходящие в течение первого интервала времени. Это делается путем вычисления системы упругих узловых сил, необходимых для удвоения приращений деформации ползучести каждого треугольного конечного элемента. Процедура включает в себя только законы a(s) компонентов композита и уравнения, связывающие узловые силы и напряжения в каждом элементе. Приложение системы узловых сил к массиву конечных элементов (с подходящими ограничениями, вытекающими из условий симметрии) и последующий упругий анализ этого массива прямо приводят к осредненным (по композиту) приращениям деформации ползучести и приращениям напряжения для первого интервала времени. Эти приращения добавляются к напряжениям и деформациям, соответствующим времени / = О, что приводит, таким образом, к напряженно-деформированному состоянию композита в момент времени t = At. Такое вычисление можно повторить п раз до получения напряженно-деформи-рованного состояния в каждом конечном элементе и в композите к моменту времени t = пМ. [c.268]

Равенство усилий в стержнях I вытекает из упругой симметрии системы. Только при этом равенстве выполняется условие равновесия — одинаковыми и противоположно направленными оказываются моменты усилий в крайних стержнях относительно точки приложения усилия N3. [c.219]

Использование свойств упругой симметрии. Примером умозрительных соображений, позволяющих принять групповые неизвестные такого состава, при которо.м происходит упрощение системы канонических уравнений — разделение ее на самостоятельные системы, может служить использование свойства упругой симметрии системы. [c.573]

Выбор грузового состояния. Некоторое упрощение в системе канонических уравнений метода перемещений в случае конструкции, обладающей упругой симметрией, может быть получено путем разбиения внешней нагрузки на доли, соответствующие симметрии системы, в том числе циклической, как это было сделано и в методе сил. [c.597]

Неизвестные лишние метода сил групповые, построенные по принципу упругой симметрии системы 574 [c.614]

Упругий элемент, расположенный в плоскости симметрии системы, может смещаться по вертикали, что допускает дополнительная связь в виде скользящего зацепления, наложенная на [c.9]

При назначении точек коллокации должна быть учтена геометрическая и упругая симметрия системы. Вообще задача выбора этих точек связана с теорией интерполяции и аппроксимации [50]. [c.185]

Мы не останавливаемся. здесь на указаниях о рациональном выборе основной системы потому, что все известные из курса строительной механики приемы целиком применимы и здесь. При назначении основной системы, конечно, возможно и необходимо использовать симметрию системы, если таковая имеет место, способ группировки неизвестных, введение упругих центров и т. п. Некоторые из этих приемов проиллюстрированы ниже на примерах. [c.343]

Поэтому большой практический интерес представляет собой решение проблемы к какой системе упругой симметрии принадлежит та или иная поликристаллическая порода, какой матрицей постоянных описывается ее упругая анизотропия. [c.14]

Уц , У(/ > У/к , Уц , Уу , У 1к связаны между собой неявным образом. Поэтому задача определения 21 значения компонент матрицы Сцд дпя триклинной системы упругой симметрии чрезвычайно сложна. Такая задача практически неразрешима в случае, если пространственное положение осей и плоскостей симметрии упругой среды заранее неизвестно [ 28,33,34]. [c.21]

В общем виде для сред произвольной симметрии такую задачу решить очень трудно. На настоящий момент подобная задача, по-видимому, может быть решена только в отношении сред орторомбической (ортотропной) системы упругой симметрии и систем более высокого порядка (трансверсально-изотропной или поперечно-изотропной, кубической). Поэтому рассмотрим особенности пространственного распространения волн в среде в предположении, что она относится к сравнительно простому типу — поперечно-изотропной. Эта среда характеризуется пятью независимыми константами упругости Сц = С22 Оз = С2з С44 = С55 Сбб = ( 11- (- пУг. Не равными другим являются константы См, Сзз. [c.25]

Задача № 200. (Я. Г. Пановко и И. Н. Губанова. Устойчивость и колебания упругих систем. Изд-во Наука , 1967). Составить дифференциальные уравнения свободных вертикальных колебаний автомобиля, происходящих параллельно плоскости его симметрии, если масса приведенной в колебание системы равна т, а момент инерции относительно поперечной оси, проходящей через центр масс, равен /пг . [c.445]

Пусть плоскости симметрии совпадают или параллельны координатным плоскостям. Если в такой системе координат изменить направление какой-либо оси, например х, на обратное, то упругие постоянные не должны измениться. При таком преобразовании нормальные напряжения в , нормальные деформации сохраняют свои знаки (так как каждый индекс у ац, гц входит дважды). Сдвиги ei2, eia и касательные напряжения 012, Oia изменяют свои знаки. Сдвиг еаз и касательное напряжение 023 сохраняют знаки. Аналогичные следствия получим, если изменим направление осей Хч и Хг на обратные. [c.115]

Триклинная система. Триклинная симметрия (классы l и i) не накладывает никаких ограничений на компоненты тензора а выбор системы координат с точки зрения симметрии вполне произволен. При этом отличны от нуля и независимы все 21 модуль упругости. Произвольность выбора системы координат позволяет, однако, наложить на компоненты тензора дополнительные условия. Поскольку ориентация системы координат относительно тела определяется тремя величинами (углами поворота), то таких условий может быть три можно, например, три из компонент считать равными нулю. Тогда независимыми величинами, характеризующими упругие свойства кристалла, будут 18 отличных от нуля модулей и 3 угла, определяющих ориентацию осей в кристалле. [c.52]

Далее, отражение в плоскости симметрии, перпендикулярной к оси у, есть преобразование х- х, у —у, z -> z, или для величин I, г I -> г , т] -> . Поскольку при этом преобразовании Ццх переходит в то эти две компоненты должны быть равны друг другу. Таким образом, кристаллы ромбоэдрической системы обладают всего шестью модулями упругости. Для того чтобы написать выражение для свободной энергии, надо составить сумму [c.54]

Другие возможные элементы симметрии гексагональной системы ничего не добавляют к этим ограничениям. Таким образом, имеется всего пять модулей упругости. Свободная энергия имеет вид [c.55]

Анизотропное упругое тело называется ортотропным, если существует такая ортогональная система координат х,-, в которой координатные плоскости (точнее, плоскости, проведенные параллельно координатным плоскостям в любой точке тела) являются плоскостями упругой симметрии. [c.42]

Необходимо подчеркнуть, что число упругих постоянных, фигурирующих в законе Гука, сокращается лишь тогда, когда плоскости симметрии приняты за координатные плоскости. В других системах координат по-прежнему уравнения будут содержать двадцать одну константу, которые выражаются через девять независимых констант формулами (8.2.7). [c.242]

Плоская или пространственная упругая система (например, рама) обладает плоскостью геометрической и упругой симметрии. Показать, что потенциальная энергия системы от одновременного действия симметричной и антисимметричной силовых групп выражается канонической квадратичной формой. Показать, каким образом произвольную (несимметричную) силовую группу мож- но заменить совокупностью симметричной и антисимметричной групп. [c.172]

Аналогичная 7.54 задача, но рама обладает двумя осями геометрической и упругой симметрии. Определить неизвестные угловые моменты из системы уравнений, каждое из которых со-держит только одну неизвестную. [c.181]

Построение деформационной модели базируется на математическом принципе суперпозиции двух идеализированных ее составляющих упругого армирующего каркаса с приведенной матрицей жесткости и упругопластического изотропного связующего с заданной кривой упрочнения. Допущения, принятые при построении первой составляющей модели, характерны для пространственной стержневой системы в расчете учитывается лишь одноименная с каждым из четырех направлений волокон жесткость. Сеть волокон считается размазанной по всему объему куба, принятого за представительный элемент. Таким образом, при равномерно распределенной плотности энергии деформации находится эквивалентная матрица жесткости однородного материала. Обозначив ее индексом а (армирующие волокна), приведем полную запись для нее в системе главных осей упругой симметрии 123 [c.79]

Второй способ расчета приводит к большим допустимым нагрузкам, нежелп первый (при а = 30° на 19%). Заметим, что для определения предельного состояния системы, т. е. нагрузки Р , нет необходимости прослеживать поведение системы в упругой области и последовательность перехода ее элементов в пластические состояния. В данном случае в предельном состоянии все три стержня текут, поэтому достаточно положить Ni = Ni — N3 — a F и составить уравнение равновесия, мы получим формулу (2.5.5). Так получилось вследствие симметрии системы, вообще же, для возможности общего течения достаточно, чтобы напряжения достигли предела текучести в двух стержнях. В случае, изображенном на рис. 2.3.3, заранее не известно, какой стержень потечет первым, какой вторым и который из трех остается упругим. Поэтому, казалось бы, для такой задачи необходимо повторить проделанный выше анализ, который, естественно, окажется более сложным вследствие асимметрии системы. Но в предельном состоянии могут быть только три воз-люжности [c.57]

Вопрос ударного нагружения упругой системы для системы, когда ось симметрии системы расположена вертикально и по этой оси падает груз, рассмотрен рядом авторов, в частности проф. Е. Н. Тихомировым [1, 2], С. И. Доброгурским [3] при работе дробилки, как правило, линия падения камня не совпадает с осью симметрии щеки. [c.80]

Системы с распределенными связями между периодами. Когда структура системы отлична от стержневой, например упругие диски с лопатками, вместо сравнительно легко определяемых матриц динамических жесткостей или податливостей для периода системы необходимо построить интегральные операторы, которые могут быть весьма сложными. Поскольку образование их связано с определенными трудностями, при решении задач тарного типа систему рационально расчленять не на периоды, а на кольцевые участки, динамические характеристгию которых можно описать более простыми средствами. Этот путь можно использовать и для систем стержневого типа. При таком подходе свойства спектров можно реалшо вать путем введения понятия волновых динамических жесткостей и податливостей [25]. Фундаментальные матрицы волновых динамических жесткостей (податливостей) полностью определяют необходимые для расчета динамические характеристики кольцевых участков, если они найдены для всех чисел волн т перемещений (усилий), допускаемых порядком симметрии системы. [c.43]

Рассмотрим нецентральносимметричпый анизотропный материал, соответствующий кристаллу кубической симметрии. В системе координат, связанной с кристаллографической симметрией, тензоры упругих модулей принимают форму (4). [c.59]

Можно показать ), что условие того, что упругая энергия является однозначной функцией деформации, состоит в равенстве коэффициентов и При этом число независимых коэффициентов уменьшается от 36 до 21. В совершенно аэлотропном материале, в котором нет пространственной симметрии (например, для кристаллов триклинной системы) упругие свойства среды определяются значениями 21 различной величины. Если материал имеет оси или плоскости симметрии, находятся новые соотношения между этими коэффициентами (Ляв, стр. 172) и число независимых упругих постоянных существенно уменьшается. Например, для кубического кристалла остаются только три независимые постоянные. [c.17]

В, А, Свекло [314] получил решение о совместном действии на упругую полуплоскость клина и штампа, что дало возможность получить также решение следующих задач а) задача о клине параболической формы, забитом на некоторую глубину в полуплоскость б) полуплоскость, армированная вдоль оси симметрии системой жестких тонких включений эллиптического вида в) полуплоскость, армированная тонким включением прямоугольного вида. [c.20]

Общее рассмотрение симметрии системы показывает, что линейные члены в уравнениях, связывающих электрическое поле и индукцию с упругой деформацией и напряжением, имеются лищь для среды, л1[шенной центра симметрии. Такая среда может быть образована монокристаллами, не имеющими центра симметрии, областями определенным образом ориентированных кристаллов пли она может быть более или менее регулярно поляризована в результате внешних воздействий. Пьезо.члектрпческие свойства сред, которые ие являются монокристаллами, изучались многими исследователями, однако наблюдаемые в них эффекты были слабо выражены и плохо воспроизводились [1 ]. Положение существенно измен[1лось после открытия пьезоэлектрического эффекта у поликристаллического титаната бария, подвергнутого предварительной поляризации в сильном электрическом поле [34, 35]. [c.238]

В матричной форме тензор констант упругости для самой низкосимметрнчаюй триклинной системы упругой симметрии записывается как Сцд = Сар = Сра [c.19]

При определении типа симметрии среды основная задача состоит в определении числа элементов симметрии, их вида (ось, плоскость) и взаимного расположения [101]. Существует известный, развиваемый Г.Т.Продайводой и др. [30, 35, 102-104] способ, позволяющий по данным измерений величин фазовой скорости распространения упругих колебаний в нескольких взаимнонеэквивалентных направлениях выполнить анализ системы упругой симметрии. [c.93]

Как выше отмечено (п. 1.3), анизотропные среды описываются триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной, тригональной, гексагональной и кубической системами упругой симметрии. При расчете констант упругости минералов, как правило, для определения числа и направленности их элементов упругой симметрии используются оптические, рентгено-структурные методы, нейтронного просвечивания [6,105]. Расчет констант выполняется путем использования величин скорости распространения упругих колебаний в определенных направлениях кристалла 18]. В некоторых случаях для расчета использовали показатели деформируемости кристалла [6]. Как было показано в разделе 1.1, горные породы представляют собой поликристаллические, а чаще всего полиминеральные образования, упругие свойства которых являются результатом взаимодействия фактически неопределимого числа зерен. Система упругой симметрии поликристаллических образований всегда выше, чем минералов, ее слагающих [ 105, 106]. Если, например, горная порода состоит из минеральных зерен триклинной, моноклинной сингоний, ориентировка осей которых в среднем детерминирована и определяет наличие упругой анизотропии, однако имеет и долю статистического разброса, система симмеарии такой породы будет выше сингоний минералов. Поэтому в подавляющей массе случаев горные породы будут характеризоваться типами симметрии не ниже средних сингоний ромбической, тетрагональной, гексагональной, кубической и изотропной. Это подтверждается известными экспериментальными данными [35, 107-112], а также результатами косвенной оценки, полученными с помощью микроструктурного анализа [113, 114]. [c.94]

В качестве исходной, наиболее удобно рассмотреть среду ромбической (орторомбической) симметрии, так как из этой системы, при наличии некоторых равенств, можно вьщелить тетрагональную, гексагональную и др. типы симметрий. Ромбической системе упругой симметрии отвечает набор из 9 независимых констант или постоянных [c.94]

Определенный вид таких равенств или соотношений позволяет диат ностировать другие, более простые (высшие) системы упругой симметрит [c.104]

На основе анализа акустополяриграмм, числа и взаимного положения элементов симметрии, а также соотношений скоростей делают заключение о системе упругой симметрии, к которой принадлежит порода, и рассчитывают все константы ее упругости [8]. [c.226]

В изотропном теле упругие свойства одинаковы для любых направлений, поэтому любая плоскость и любая ось являются плоскостью и осью симметрии. Если потребовать сохранения свойств кубически симметричного тела при произвольном повороте системы координат Xi, то между постоянными Си С , Сз получится еще одно соотношение [c.116]

Моноклинная система. Рассмотрим класс С, выбираем систему координат с плоскостью х, у, совпадающей с плоскостью симметрии. При отражении в этой плоскости координаты подвергаются преобразованию х х, у - у, г —г. Компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих координат. Поэтому ясно, что при указанном преобразовании все компоненты среди индексов которых индекс г содержится нечетное (1 или 3) число раз, переменят свой знак, а остальные компоненты останутся неизменными. С другой стороны, в силу симметрии кристалла все характеризующие его свойства величины (в том числе и все компоненты kthim) должны остаться неизменными при отражении в плоскости симметрии. Поэтому ясно, что все компоненты с нечетным числом индексов г должны быть равными нулю. Соответственно этому общее выражение для свободной упругой энергии кристалла моноклинной системы есть [c.52]

Рассмотрим пластический изгиб круглой пластины (рис. 81) при осесимметричной нагрузке q = q(r) г — радиус-вектор, 2h — постоянная толщина пластины, ось г цилиндрической системы координат направлена вниз). До достижения предельной нагрузки пластина не испытывает пластических деформз1фй. Все положения, принятые в теории упругости при изгибе пластин (гл. IV), сохраняются. Компонентами напряжений Ог, Xrz в тонкой пластине пренебрегаем, касательные напряжения Тге, te равны нулю в силу симметрии. [c.130]

Напомним, что пьезоэффект возможен только для сред, не обладающих центром -еимметрии, и, следовательно, пьезоэлектрические материалы являются существенно анизотропными. Комплекс постоянных, входящих в уравнения состояния (5.8) для среды с самой низкой симметрией (триклинная система, класс 1), состоит из 21 модуля упругости, 18 пьезоэлектрических и шести диэлектрических постоянных. Учет симметрии кристалла приводит к уменьщению количества постоянных в соотношениях (5.8). Подробный анализ зависимости свойств пьезоэлектрического кристалла от его симметрии представлен в [229]. [c.237]

К системе приложены внешние силы силы тяжести G = nttg, Q = mjg и реакции связей F , F. Упругая сила пружины равна F — ей, где 6 — деформация пружины, которую мы представил в виде суммы статической деформации бет и дефорл1ацип xd, происходящей за счет смещения точки D при движении системы, так что f = с(бст-Ь зги). Когда система находится в положении статического равновесия, упругая сила пружины (F i = сбот) удерживает в равновесии блок с грузом. Из соображений симметрии следует, что при атом fот = fют = (G + Q)I2, или [c.230]

Решение. Выполнив вначале обычный упругий расчет дважды (ввиду симметрии) статически-иеопределимой системы, выясняем (рис. 155), что наибольший изгибающий момент оказывается в се- [c.270]

Таким образом в случае плоской деформации процедура усреднения компонент жесткости слоев композиционного материала с абсолютной точностью позволяет определить эффективные жесткости Оц ( , / 1,2) в плоскости лишь для косоугольной равновесной структуры материала. Отметим также, что эти компоненты равны соответственно компонентам жесткости слоя, определенным при повороте системы осей упругой симметрии слоя на угол 0 вокруг оси 3. Однако технические упругие константы — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — композиционного материала и отдельного слоя имеют различия, так как отличаются их компоненты податливости, полученные обращением матриц различных порядков. В плоской задаче для равновесного косоугольного армированного композиционного материала обращается матрица жесткости второго порядка, соответствующая ортотроп ному материалу, а для отдельного слоя, повернутого на угол 0, обращается матрица жесткости (при ез — О) третьего, порядка, соответствующая моноклинной симметрии материала. [c.73]

В расчете деформационных свойств композиционного материала вдоль характерных направлений была использована матрица преобразований, опре-деляюнщя положение осей декартовой системы координат и связанной с ней системы конечных элементов относительно главных осей упругой симметрии материала. [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...