Тензор упругих констант

Переходя от относительных деформаций к абсолютным, из (1.1) получим иное уравнение движения, содержащее тензор упругих констант [c.19]

Наличие таких равенств приводит к тому, что в общем случае число независимых компонент тензоров упругих модулей сокращается с 36 до 21 — столько констант имеет твердое тело, не обладающее никакой симметрией. [c.126]

Часто оказывается, что анизотропное тело обладает известной симметрией строения. Это относится, прежде всего, к кристаллам, к композитным материалам регулярного строения, к биологическим объектам типа древесины или кости. Используя свойства симметрии, можно выбрать такую специальную систему координат, для которой некоторые компоненты тензора модулей упругости обращаются в нуль или становятся тождественно равными между собой, и общее число упругих констант оказывается меньше чем 21. [c.240]

Для анизотропного тела вводятся тензор-операторы четвертого ранга, заменяющие упругие константы в законе Гука. Соответственно закон наследственной упругости записывается в одной из следующих форм [c.593]

Анализ изложенных подходов к расчету упругих характеристик композиционного материала показывает, что наиболее корректный учет сближения волокон и влияния схемы укладки арматуры на эффективные характеристики материала возможен на уровне решений граничных задач теории упругости для многосвязной области. Такой подход очень громоздок и связан с трудоемким численным анализом. Приближенные формулы можно получить из решения задач меньшей сложности. На основе обычных приближений по Фойгту и Рейссу, пренебрегая несущественными компонентами тензора напряжений, действующими в пределах типового объема материала, выведены довольно простые выражения для расчета упругих констант. В эти выражения входят параметры, характеризующие только объемное содержание и упругие свойства компонент материала. [c.56]

В работе 10 содержится вывод выражений для упругих констант в случае плоской задачи для малых искривлений арматуры. За основной прием при решении задачи принято усреднение тензора податливости неоднородного материала по углу, характеризующему поворот площадки при движении точки по линии искривления волокон. Сложные интегралы для вычисления коэффициентов матрицы податливости представлены разложениями в ряды. Выражение для модуля упругости при удержании первого члена в ряду соответствует (3.14). При этом погрешность вследствие неучета остальных членов ряда не превышает 9 % при ф 0,5. В этом же диапазоне параметра ф расчетные значения модуля упругости [по (3.13)1 удовлетворительно согласуются со значениями, вычисленными по формуле [c.64]

Анализ изменения упругих свойств материала с увеличением направлений пространственного армирования можно проводить для каждой компоненты тензора упругих свойств (в частности, технических констант) в отдельности или для совокупности деформационных характеристик при повороте осей координат или (и) изменении поля напряжений. В первом случае анализируется деформируемость материала в узком смысле — на заданную нагрузку и определенную ориентацию осей упругой симметрии материала в конструкции. Во втором случае получают интегральные оценки деформируемости материала, по существу отражающие характер анизотропии и полезные для качественного сравнения различных анизотропных материалов. В этом плане введена Б рассмотрение в качестве характеристики деформируемости материала поверхность деформируемости, заданная в пространстве напряжений . [c.86]

Упругие константы трансверсально изотропной среды /, п, к, G . и G определяются через компоненты тензора упругих модулей С [c.105]

Рассмотрим некоторые результаты численного моделирования процессов деформирования и накопления повреждений неоднородной среды с использованием описанной математической модели. Расчеты методом конечных элементов при пошаговом пропорциональном изменении значений компонент тензора макродеформаций были проведены для реализации представительного объема, содержащего 3072 элемента структуры с различными прочностными и одинаковыми упругими константами G = 4 10 МПа, 1 = 6,7 10 МПа, (ji сг) = = 2,5 10-3, jk , = 0,3, 6 = 3. [c.129]

Упругие константы компонентов были выбраны следующими G = = 2,1 ГПа, I/ = 0,25 для матрицы и G = 10,5 ГПа, I/ = 0,25 для волокна. С помощью входящих, согласно (6.4), в уравнения (9.20) функций поврежденности неупругие свойства материала матрицы описывались нелинейной зависимостью второго инварианта тензора напряжений от соответствующего инварианта тензора деформаций. Значения инвариантов определялись по (6.6) и (6.7). Графическое выражение зтой зависимости приведено на рис. 11.6. Подобные диаграммы деформирования были получены, в частности, при проведении экспериментов на образцах полиэтилена [68] и сплава ВТ5-1 [233]. [c.261]

Упругие константы Су, измеряемые в паскалях (Па), как из,-,-(м /Н), являются тензорами 4-го ранга, имеющими в общем случае 21 независимую компоненту для одного [c.155]

Основные математические объекты МСС суть тензоры различных порядков нулевого — скаляры (плотность, энергия), первого — векторы (радиус-вектор, поток тепла, скорость), второго — тензоры деформаций, внутренних напряжений, третьего и четвертого — тензоры пьезоэлектрических констант, коэффициентов вязкости и упругости и др. Все эти тензоры считаются непрерывно дифференцируемыми достаточное число раз по координатам и по времени, ограничены вместе с их производными в области тела. Все они введены в XIX веке в процессе создания теории упругости, гидромеханики и других разделов теоретической физики, и затем в алгебре и геометрии была создана их общая теория. [c.50]

Подставляя компоненты матрицы (6.17) в формулы (2.27) и (3.78) преобразования тензоров напряжений и деформаций, находим, что матрица упругих констант для среды, [c.203]

Используя правило преобразования напряжений и деформаций, доказать, что упругие константы являются компонентами декартова тензора [c.226]

Эти результаты мы можем использовать для того, чтобы находить неизвестные параметры при вычислении силовых констант (например, в оболочечной модели) из измерений подходящих компонент тензора упругости. [c.152]

Здесь Ф( ) (К) есть собственное значение тензора силовых констант для узлов, удовлетворяющих условию К, — К = К. В предельном случае длинных волн можно установить связь этой формулы с выражением (11.8), относящемся к случаю континуального приближения,— для этого используются соотношения типа (6.12), связывающие макроскопические модули упругости с параметрами, характеризующими микроскопические межатомные силы. Таким образом, в рамках рассматриваемого приближения введенные нами коллективные переменные наделены должными физическими свойствами. [c.522]

Для решения задач прикладной геомеханики используются физические уравнения теории упругости (линейной и нелинейной),, пластично-вязких течений и др. Кратко остановимся иа основных уравнениях состояния, связывающих напряжения и деформации-Для описания поведения изотропного однородного упругого тела необходимо знать модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Кроме этих двух констант, используются две другие упругие константы, которые непосредственно связаны с шаровой и девиатор-ной составляющими тензора напряжений модуль объемной деформации К и модуль сдвига (перекоса) О. [c.55]

В матрице С упругих констант, называемой тензором напряжений, соблюдается соотношение [c.10]

Преобразованные компоненты тензоров диэлектрической проницаемости, пьезоэлектрической и упругой констант для сегнетовой соли [c.123]

Соотношения (6.10) носят название обобщенного закона Гука для анизотропного упругого тела. Коэффициент ii,mn образуют тензор упругих констант. Их всего восемьдесят одна. Действительно, пусть преобразование координат дается формулой x i = lijxj. Тогда в новых осях x i компоненты тензора напряжений а ц найдутся по формуле [c.114]

Условия симметрии тензора упругих констант VijlEj = согласно [c.127]

Набор коэффициентов образует тензор четвертого ранга т1, называешй тензором упругих констант, В силу симметрии тензоров Р и ё количество независимых кошонент тензора в общем с.яучае равно 36. йх определение яв-щется тяжелой экспериментальной задачей. Как было показано в II, дта изотропной оре-дд это количество сводится к двум, [c.47]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

В силу симметричности тензора жесткости значения эффективных констант материала, рассчитанные по формуле (3.31), должны совпадать с их расчетными значениями по второй из формул (3.27), так как j3 x = = Sa 3- При соблюдении условий (3.26) это требование выполняется. Аналогичные (3.27), (3.31), (3.32) выражения для упругих констант слоистой среды приведены в работе [83]. [c.67]

Тензор 4-го ранга Dijki тензор упругих податливостей) обладает такими же свойствами симметрии, как и тензор модулей упругости Eijki. Необходимо подчеркнуть, что число постоянных упругости сокращается, если плоскости симметрии приняты за координатные. В другом случае по-прежнему уравнения будут содержать двадцать одну константу, которые вырг1жаются через девять независимых постоянных. [c.33]

Однако в задачах геофизики, сейсмологии, сейсмического фундаменто-строения, виброизоляции и виброзащиты фундаментов и т.п. использование представления тензора 0g в виде (3.1.4) или (3.2.4) является неоправданным, так как изучаются процессы распространения упругих волн в материалах (различные виды грунтов), для которых известны лишь обычные упругие константы. В подобных случаях представляется целесообразным использование приближенного, предложенного в [61] подхода. Задача в соответствии с этим подходом рассматривается в эйлеровой системе координат. [c.52]

С учетом (1.5)-(1.7), (1.33) и (1.34), параметры повреждаемости 0Jki2i П1 Gi2 < G13 рассчитываются через компоненты тензора [9], упругие константы трансверсально-изотропной среды [c.16]

Упругое взаимодействие зерен при их произвольной форме учтено Э. Кренером [28] с помощью введеного Эшелби понятия упругой поляризуемости . Сначала Э. Кренер определил упругую поляризуемость анизотропного шарика в изотропной среде, т. е. тензор определяющий дополнительное стеснение, вызванное формой шарика и различием упругих постоянных шарика и среды. Далее он отметил, что вычисленный тензор упругой поляризуемости не связан с формой зерна, а определяет некоторый упругий диполь, который одинаков для различных форм зерна. Переход к расчету упругих констант поликристалла производится при предположении, что в пределах идеального, т. е. однородного и изотропного, поликристалла суммарная упругая поляризуемость (интеграл тензора упругой поляризуемости по всем возможным ориентациям) равна нулю. [c.391]

Они образуют матрицу из 81 упругой константы и преобразуются как компопенты тензора четвертого ранга, который называют тензором модулей упругости. Только для изотропного материала упругие постоянные пе зависят от ориептации системы коордипат (см. 2.2). [c.46]

Здесь Sa— изменение во времени градиента компонента тензора дпс-торсии, а = 1, 2,., , , 9 Л — градиент компонента тензора дисторсии, отражающий калибровочное поле t — предельная скорость распространения калибровочного поля в структурно-неоднородной среде —градиент компонента тензора изгиба-кручения —структурные константы, учитывающие, что калибровочные поля образуют алгебру Ли Я — генераторы группы GL(3) —источники калибровочных полей, связанные с изменением репера т] во времени — потоки, обусловленные изменением репера в пространстве D — = — XMv — ковариантная производная S , 2 — компоненты тенг зора напряженности калибровочного поля Сйр — упругие константы р — плотность материала I — размерный параметр структурных уровней деформации среды. [c.11]

Пере11дем к определению дисторсии, учитывающих пеинтегри-руемую часть. Для это11.цели рассмотрим лагранжиан теории упругости с тензором деформации Грина (2.17). В случае изотропного тела будет только две упругие константы и лагранжиан в декартовых координатах имеет вид [c.27]

Материал, свойства которого одинаковы для образцов, вырезанных в любом направлении, называется изотропным. Более точно, это определение изотропии относится к весьма малым образцам, вырезанным в окрестности одной и Toii же точки. Изотропный материал может быть неоднородным, т. е. упругие свойства его могут меняться от точки к точке. Очевидно, что потенциал напряжений или упругая энергия изотропного тела не должен меняться при измененпи осей координат, поэтому он должен выражаться через инварианты тензора деформаций. Единственная однородная квадратичная форма, составленная из этих инвариантов, зависит от двух констант и выражается следующим образом [c.239]

Прием формального усреднения и по-луэмпирическнй расчет по формулам (3.81) и (3.82) деформационных констант пространственно-армированного волокнистого композиционного материала являются недостаточно обоснованными для рассматриваемой в работах [40, 42, 43] модели. Логический довод в пользу обоснования принятой в (3.81) и (3.82) эмпирической смеси упругих характеристик заключается в следующем. В силу операции усреднения в общем случае тензоры эффективной жесткости и податливости не взаимообратимы, т. е. [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...