Лагранжиана скорости

Так как по условию начала Лагранжа скорости должны удовлетворять теореме живых сил, то для всех сравниваемых движений должно удовлетворяться уравнение [c.546]

Выражение в квадратных скобках в уравнении (1-7.12) представляет собой, очевидно, субстанциональную производную скорости выкладки, приводящие к уравнению (1-6.7), можно без труда повторить с заменой ноля плотности р полем скорости v. Подставляя выражение (1-7.12) в уравнение (1-7.10), получаем динамическое уравнение в форме Лагранжа [c.45]

Принцип возможных перемещений, или принцип Лагранжа, содержит необходимые и достаточные условия равновесия некоторых механических систем. Он формулируется следующим образом для равновесия механической системы, подчиненной идеальным, стационарным ы неосвобождающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма -элементарных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю на любом возможном перемещении системы, если скорости точек системы в рассматриваемый момент времени равны нулю, т. е. [c.387]

Согласно [402] среднеквадратичное смещение и лагранжев коэф-с )ициент автокорреляции между двумя значениями скорости в поле с однородной турбулентностью связаны простым соотношением [c.53]

Параметр К представляет собой лагранжев микромасштаб турбулентности, К — отношение времени передачи импульса частицы при столкновении к промежутку времени, в течение которого элемент жидкости остается в области корреляции скоростей. [c.75]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Функция L от обобщенных координат и обобщенных скоростей, равная разности между кинетической и потенциальной энергиями системы, называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Тогда в случае потенциальных сил уравнения Лагранжа примут вид [c.379]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Такие решения с применением систем уравнений Лагранжа второго рода являются приближенными не только из-за численных методов решения дифференциальных уравнений, но и потому, что трение в кинематических парах здесь можно оценить лишь весьма приближенно, а упругость звеньев и зазоры в кинематических парах не учитываются вообще. Поэтому при разработке опытных образцов ПР применяют экспериментальные методы динамического исследования ПР, позволяющие с помощью соответствующих датчиков и аппаратуры записать осциллограммы перемещений, скоростей и ускорений звеньев и опытным путем учесть как неточности теоретического расчета, так и влияние ранее неучтенных факторов. [c.338]

Здесь А — постоянный множитель Лагранжа, w — модуль скорости, 1 — угол наклона скорости к оси х. [c.169]

Чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа, выразим кинетическую энергию системы в зависимости от обобщенных координат и обобщенных скоростей. Кинетическая энергия ползуна, движущегося поступательно вдоль оси Ох, [c.360]

Так как ири применении принципа Мопертюи—-Лагранжа при переходе от одного пунш к другому варьируются не только координаты и скорости точен системы, но и время, то в этом случае рассматривается полная вариация функции AW. [c.410]

Цель исследования уравнений Лагранжа состоит как раз в том, чтобы показать, что такой детерминизм полностью сохраняется при использовании лагранжева формализма. Чтобы доказать это, нужно выяснить структуру двух основных функций, которые входят в уравнения Лагранжа, — кинетической энергии Т и лагранжиана L как функций координат q, скоростей q и времени. Эти две функции играют столь важную роль во всем последующем изложении, что выявление их структуры существенно и само по себе. [c.137]

Обращаясь к уравнениям (45), мы устанавливаем также, что каждое из этих уравнений является уравнением второго порядка, число же их равно п. Следовательно, общий порядок системы уравнений Лагранжа (22) (легко видеть, что все это верно и для уравнений, представленных в форме (29)) равен 2п. Поэтому для того, чтобы определить движение, нужно задать 2п начальных данных. Этими начальными данными являются значения п координат qi, q и п скоростей (ji,. .., q в начальный момент t = t . [c.141]

Для системы с механическими голономными связями различие между операторами d и б имеет простой механический смысл, соответствующий различию между возможными и виртуальными скоростями, а число п новых координат равно числу степеней свободы системы. Имея в виду это обстоятельство, мы при выводе уравнений Лагранжа считали, что п удовлетворяет неравенству ns SN, хотя при отсутствии механических связей оснований для такого обобщения не было. [c.154]

При таком определении потенциальных сил обобщенные силы, зависящие от обобщенных скоростей, уже не могли бы быть потенциальными и при их наличии нельзя было бы использовать уравнения Лагранжа в форме (29). Между тем можно определить понятие потенциальной обобщенной силы так, чтобы уравнения Лагранжа в форме (29) оказались пригодными для описания движений некоторых важных систем при наличии сил, зависящих от скоростей. [c.157]

Первый путь. Неинерциальный наблюдатель мог бы и в более сложном случае (например, при наличии механических связей) рассуждать так, как это делали мы выше в разобранном примере. Именно, он мог бы, составив полную кинетическую энергию (в абсолютном движении ), выразить ее через свои относительные координаты и скорости (рассматривая переносные скорости своей системы как заданные функции времени ) и воспользоваться затем уравнениями Лагранжа в их обычной записи. На [c.163]

Действительно, если мы будем считать L некоторой произвольной функцией от обобщенных координат q, обобщенных скоростей q и, быть может, времени t и подставим эту функцию в уравнения Лагранжа (29), а потом проделаем выкладки, аналогичные тем, которые были проделаны в 3, то вместо уравнений (44) мы получим уравнения [c.165]

Такое описание движения тяжелого симметричного волчка носит чисто качественный характер и является приближенным. В действительности в случае Лагранжа регулярная прецессия возникает лишь при вполне определенных начальных условиях. В иных случаях возникает более сложное движение угловая скорость прецессии не сохраняет постоянного значения, а ось волчка не только прецессирует вокруг вертикали, но и совершает колебания в вертикальной плоскости. Это колебательное движение соответствует изменению угла 0 и называется нутацией. [c.206]

В случае ненатуральной системы неравенство (11) выполнено в силу ограничений, накладываемых на выбор лагранжиана L. В силу (11) система равенств (9) может быть всегда разрешена относительно обобщенных скоростей, т. е. представлена в виде [c.261]

Читателю рекомендуется самому убедиться в том, что в случае движения точки в центральном поле, который был рассмотрен в 7 гл. III, всегда существует циклическая координата. Для этого надо вспомнить, что движение в центральном поле является плоским в качестве обобщенных координат выбрать полярные координаты в этой плоскости и, составив функцию Лагранжа, установить, что эта функция не зависит явно от полярного угла. Читатель может легко убедиться и в том, что закон сохранения секториальной скорости при движении в центральном поле является лишь примером рассматриваемого здесь первого интеграла, обусловленного наличием циклической координаты. [c.269]

Переходим к составлению уравнений Лагранжа. Для этого вычислим частные производные от кинетической энергии 7 по обобщенным скоростям ф и [c.496]

Для составления системы уравнений Лагранжа второго рода следует вычислить частные производные от кинетической энергии Т по обобщенным скоростям и г [c.501]

Для составления уравнений Лагранжа второго рода вычислим частные производные от кинетической энергии Т по обобщенным скоростям фо и ф1, а затем возьмем производные от полученных результатов по времени. Находим [c.510]

Полученные уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода. Производные от обобщенных координат q, q2,. .., qs называются обобщенными скоростями. Уравнения Лагранжа второго рода не содержат реакций идеальных связей, что делает их удобными для практического использования. Таким образом, в общем случае каких угодно активных сил и при наличии идеальных связей движение материальной системы определяется S уравнениями Лагранжа второго рода (3.29). [c.59]

При составлении ураннений Лагранжа второго рода кинетическая энергия системы должна быть выражена через обобщенные координаты и обобщенные скорости. В рассмотренных примерах предыдущего параграфа было показано, как это сделать в частных случаях. [c.74]

Эти уравнения носят название уравнений Эйлера — Лагранжа. Отметим, что коэффициенты не зависят от структуры и движения механической системы, а их значение зависит только от определения величин через обобщенные скорости qi, 2, . [c.85]

Предположим, что функция Лагранжа (кинетический потенциал) голономной системы является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, т. е. [c.100]

Метод Рауса заключается в одновременном исключении циклических координат из уравнений Лагранжа второго рода, при этом число уравнений движения в независимых координатах понижается на число исключенных циклических координат. Предположим сначала, что все обобщенные координаты позиционные. Тогда функция Лагранжа будет функцией всех обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени /, т. е. [c.110]

Подставляя в уравнения Лагранжа вместо обобщенной силы Q ее выражение через потенциальную энергию, получим удобную форму уравнений Лагранжа для случая консервативной системы Иногда этому выражению придают еще более простой вид, пользуясь тем, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей и потому - = 0 перенеся все члены в левую часть и [c.433]

Составим уравнение Лагранжа (262). Частная производная от кинетической энергии системы по обобщенной скорости [c.434]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Функцией Лагранжа назы- Иногда этому выражению придают бо-вают разность кинетической лее простой ВИД, пользуясь тем, что и потенциальной энергий си- потенциальная энергия П не зависит стемы 1 = Т — П. qj скоростей И, следовательно, частные [c.261]

Теперь мы имеем все необходимые величины для составления уравнения Лагранжа (228). Возьмем частную производную от кинетической энергии по обобщенной скорости = i)j [c.263]

Формально процедура перехода от эйлерова к лагранжеюму описанию сводится к замене независимых переменных в основных уравнениях. Определим лагранжев скорость перемещения частицы из очевидного соотношения [c.211]

С произвольным распределением скорости жидкости в тангенциальном направлении, но без учета тангенциального ускорения частиц. Крайбел [4381 рассматривал эту задачу, полагая, что схема газового потока соответствует модели вращения твердого тела. Свободновихревое движение жидкости при одинаковой осевой скорости обеих фаз, но без учета изменений тангенциальной и радиальной скоростей частиц в осевом направлении исследовалось в работе [343]. Так как во всех этих работах рассчитывались только траектории частиц, то использовалась система координат Лагранжа, что само по себе исключительный случай в гидромеханике. Во всех этих исследованиях не учитывалось распределение плотности и скорости отложения частиц. [c.339]

Решение. Маятник имеет одну степень свободы и его Лоложение определяется углом ф (см. рис. 324). Следовательно, qi=сила тяжести Р и 6/li= (—Ра sin ф)бф, где а=ОС. Поэтому Qi = —Pa sin ф. Кинетическая энергия маятника T=Jo( l i или T=Joобобщенную скорость, а (о=ф). Уравнение Лагранжа, так как 91=Ф, имеет вид [c.380]

Для определения угловых ускорений всех звеньев редуктора применим уравнение Лагранжа второго рода (125.6). Чтобы воспользоваться этим уравнением, определим кинетическую энергию системы как функцию обобщенной скорости ф[ равной угловой скорости ведущего вала со,, Для пычислония кинетической энергии рассматриваемой системы необходимо знать угловые скорости всех звеньев редуктора ведущего вала (колеса /) Ш[, ведомого пала (полила) со,,, сателлита со, . [c.348]

Решение. В одиородном поле силы тяжести материальная точка движется в вертикальной плоскости, содержащей вектор начальной скорости va. Выберем за начало коордннат точку А, ось х направим горизонтально в сторону движения точки, а ось (/ — вертикально вверх. Полная механическая энергия материальной точки при ее движении в однородном поле силы тяжести остается постоянной. Для определения траектории точки воспользуемся принципом стационарного действия Мопертюи—Лагранжа. [c.411]

Идеальные связи. Для того чтобы записать второй закон Ньютона для материальной точки, движение которой стеснено механической удерживающей связью, надо к действующим на точку силам добавить реакции связи. Эти реакции сами зависят от характера движения точки, т. е. являются функциями ее скоростей и ускорений. Используя лагранжев формализм для систем, содержащих механические связи, часто удается описать дьижения системы, не вводя в рассмотрение эти функции — реакции связи. [c.154]

Второй путь. Неинерциальный наблюдатель мог бы с самого начала добавить к исходным (приложенным) силам переносные и кориолисоры силы инерции. Относительные скорости, входящие в Еыражения для кориолисовых сил, рассматривались бы при этом как неизвестные функции. Далее такой наблюдатель мог бы рассуждать так Теперь, после добавления сил инерции, в моей системе отсчета верен второй закон Ньютона значит, в этой системе верны и уравнения Лагранжа, если в них входит кинетическая энергия видимого мной (т. е. относительного ) движения и если обобщенные силы подсчитываются, исходя из виртуальных перемещений в относительном движении . Поэтому такой наблюдатель мог бы сразу выписать уравнение Лагранжа в своей системе отсчета, подсчитывая кинетическую энергию через свои , т. е. относительные скорости. Но при подсчете обобщенных сил ему пришлось бы принять во внимание и работу сил инерции на виртуальных перемещениях в относительном движении. [c.164]

Система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной координатой, а ее движение — одним уравнением Лагранжа. За обобщенную координату можно взять, например, абсциссу Хц центра диска или угол ф отклонения маятника от вертикали, по не надо брать за обобн1енные координаты обе эти величины н составлять два уравнения Лагранжа по каждой из координат, потому что обобщенные координаты. оолжны быть независимыми друг от друга величинами, а величины х и ф являются зависимыми и связаны соотношением х = гср. Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Выбор той или иной обобщенной координаты зависит от нас. Мы выберем ф. Выразим н этой обобщенной координате и обобщенной скорости ф кинетическую и потенциальную энергии системы. Определим сначала координаты шарика М, принимаемого за материальную точку, учитывая, что по уравнению связи л = /-ф [c.437]

Решение. В отличие от системы, рассмотренно/ в задаче Л 195, здесь система имеет две степени свободы и движение ее может быть описано двумя уравнениями. Лагранжа. За обобщенные координаты примем независимые величины ф и л. .,]. При подсчете кинетической энергии скорость точки А мы уже не можем опре- [c.444]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...