Движение асимптотическое относительно точки

Д. Р. Меркин (1956) исследовал устойчивость линейной системы, находящейся под действием только гироскопических сил. Рассмотрением характеристического уравнения он доказал, что для устойчивости равновесия такой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы гироскопических коэффициентов 0. Показано также, что если на систему помимо гироскопических действуют и диссипативные силы с полной диссипацией, то положение равновесия всегда устойчиво в первом приближении. В. В. Румянцев (1957) показал, что положение равновесия нелинейной системы при указанных условиях асимптотически устойчиво по отношению к скоростям q i. В. М. Матросов (1959) обобщил эти результаты, доказав, что положение равновесия нелинейной системы устойчиво относительно qi и а всякое возмущенное движение асимптотически приближается к одному из положений равновесия qi = i, q = О, причем устойчивость сохраняется и при параметрических возмущениях. [c.38]

Очевидно, что аналогия с М полная. Неблуждающие точки относительно Мг образуют замкнутую совокупность Мг, состоящую из кривых движения. К этой совокупности стремится асимптотически любая точка Р, принадлежащая совокупности г блуждающих относительно Мг точек, при возрастании или убывании времени мы можем так же сформулировать утверждение, аналогичное приведенному в конце предыдущего параграфа. [c.198]

Отсюда следует, что если мы докажем, что все четыре дуги, исходящие из инвариантной точки, пересекают эти сетки, то, очевидно, мы сможем распространить заключения, сделанные нами выше относительно движений, асимптотических к периодическим движениям устойчивого типа, на периодические движения неустойчивого типа. Мы докажем сейчас, что это действительно имеет место при условии, что, во-первых, асимптотическая аналитическая дуга, исходящая из одной инвариантной точки неустойчивого типа, не будет тождественна дуге, исходящей из другой такой точки, и, во-вторых, что в нашей системе пе существует периодического движения общего устойчивого типа с неизменными периодами в формальных рядах. Случай, когда одно из этих условий не удовлетворяется, нужно считать совершенно исключительным. Мы будем проводить рассуждения только для того случая, когда в нашей системе не имеется кратных периодических движений, хотя заключение остается справедливым при гораздо более общих условиях. [c.236]

Так как рассматриваемые гиперболические функции приближаются к единице асимптотически, то это определяет такой же асимптотический характер приближения относительной скорости к своей предельной величине. Следовательно, с определенного, конечного промежутка времени движение частиц можно рассматривать с некоторой погрешностью как равномерное. Последнее позволяет приближенно определить время и длину разгона частиц до практически равномерного движения. Для пневмотранспорта и противотока соответственно из (2-49) и (2-46) получим [c.69]

Так как функция е"", где а>0, со временем монотонно убывает, стремясь к нулю, то движение точки в этом случае не будет колебательным и она под действием восстанавливающей силы будет постепенно (асимптотически) приближаться к равновесному положению jf=0. График такого движения, если при =0 л =л о>0 и v =v , имеет в зависимости от значения v a вид одной из кривых, показанных на рис. 260 (/ — при Uio>0 2 — при Од. <0, когда Id oI невелик 3 — при Уз о<0, когда Уд о1 велик все эти результаты качественно ясны из физических соображений). При д о<0 вид графиков не изменится (они будут лишь зеркально отображенными относительно оси О/) наконец, при лго>0 и из-о = О график (кривая 1) имеет максимум В в начальный момент времени =0. [c.240]

Дадим прежде всего качественное описание структуры затопленной свободной, т. е. не стесненной стенками, турбулентной струи, вытекающей из плоского или круглого сопла (рис. 9.7). Если сопло надлежащим образом профилировано, то распределение скоростей в его выходном сечении будет равномерным. По мере продвижения струи происходит ее торможение окружающей жидкостью и наряду с этим вовлечение последней в движение. Поэтому на некотором расстоянии 1 поперечное сечение ядра течения с равномерным распределением скоростей уменьшается до нуля, а вокруг него образуется струйный пограничный слой, в котором скорость асимптотически изменяется от значения Ыд до нуля при удалении от оси струи. Участок длиной состоящий из ядра и струйного пограничного слоя, называют начальным участком свободной струи. За сечением х — лежит относительно небольшой переходный участок. [c.378]

Возбужденное возмущением состояние системы в определенных случаях может быть новым, сколь угодно близким к первоначальному положением равновесия (покоя) системы (рис. 18.2,г). Относительно такого проверяемого положения равновесия говорят, что оно безразличное или нейтральное. В других случаях вызванное возмущением состояние системы представляет собой движение. Если этим движением является монотонное возвращение к исходному положению системы (рис. 18.2, (3) или затухающие колебания (рис. 18.2, н), то проверяемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Если вызванное возмущением движение является незатухающими периодическими (в частности, гармоническими) колебаниями, то проверяемое положение равновесия устойчиво (рис. 18.2, а), и, наконец, в случае, если движением, вызванным возмущением, является монотонный уход от проверяемого положения равновесия (рис. 18.2, е) или возрастающие по размаху с течением времени колебания, равновесие неустойчиво. [c.284]

Асимптотически устойчивое множество траекторий L в фазовом пространстве динамич. системы наз. аттрактором, если оно 1) компактно и неразложимо на отдельные структурные элементы 2) инвариантно относительно Т Т L = L 3) оператор Т рекуррентен на L, т. е. для сколь угодно больших времён (о>0 траектория y t) = T x произвольной точки xsL при r>fo пройдёт в сколь угодно малой окрестности точки х, В случае замкнутых траекторий последнее требование означает бесконечнократное прохождение системой каждой точки траектории, т. е. периодич. движение (в силу теоремы Коши см. Коши задача). Примеры аттракторов асимптотически устойчивые стационарные состояния для ур-ния (4) — это точка. с = 0] устойчивые предельные циклы странные аттракторы (отвечающие стохастическим колебаниям в нелинейных диссипативных системах). [c.254]

Допустимая область параметров и т), при которых вихревые пары участвуют в чехарде, на рис. 27 заштрихована. Анализ графиков позволяет отметить следующие обстоятельства. При О, т.е. когда вихри расположены на одной прямой, имеем 0,171 < т) < 5,828, что согласуется с результатами работ [142,172]. Если отношение я лежит вне указанного интервала, скажем Т) > 5,828, то пара / 3, проскочив через пару 2 4, неограниченно удаляется от нее. При этом расстояние между вихрями в парах 1 3 2 4 асимптотически приближается к значению 2с. При 1 для любого О чехарда оказывается допустимой. Замкнутые линии (рис. 27) суть траектории относительного движения вихревых пар [c.119]

С физической точки зрения представляет интерес следующее замечание, которое можно сделать относительно движений, отображаемых устойчивым предельным циклом. Именно, можно сказать, что для таких движений период и амплитуда ) не зависят от начальных условий в том смысле, что все соседние движения (соответствующие целой области начальных значений — так называемой области устойчивости в большом) асимптотически приближаются к периодическому движению по предельному циклу, которое имеет определенный период и определенную амплитуду . [c.327]

Как уже говорилось в предыдущих главах, динамика частшш может быть описана в трехмерном фазовом пространстве (х, у, Z = wt). Но ранее мы сосредоточивали свое внимание на хаотиче. ских движениях такой системы. Теперь же нас интересуют только движения, периодические относительно либо левого, либо правого положения равновесия (дг = 1). Таким образом, в качестве аттракторов в этой задаче можно рассматривать предельные циклы. [Взяв отображение Пуанкаре асимптотического движения, мы получим конечное множество точек вблизи одного из положений равновесия ( 1,0).] Здесь мы не отличаем субгармоники с периодом 1 от субгармоники с периодом 3. Мы предполагаем, что вынуждающая сила /о достаточно мала и не вызывает хаотических колебаний и длиннопериодических субгармоник. [c.252]

С широким внедрением ЭВМ и вычислительной математики аналитические методы в аэродинамике не утрачивают своего значения. Хотя число этих методов относительно невелико (размерностный количественный анализ, асимптотические методы, методы характеристик и малого параметра, линеаризация уравнений движения), тем не менее с их помощью можно решать многие прикладные задачи. Для инженерной практики важное значение имеет тот факт, что аналитическое решение определяет соответствующие зависимости от параметров в явном виде, в то время как в вычислительном эксперименте необходимо проводить значительное число однотипных расчетов, которые позволяют установить правильные количественные соотношения между газодинамическими характеристиками. [c.3]

Покажем, что герполодия представляет собой спираль, бесконечно закручивающуюся вокруг асимптотической точка Р. В самом деле, скорость точки /, описывающей полодию, имеет в теле строго определенное асимптотическое направление, а именно — направление касательной к полодии в конце средней оси. Направление же абсолютной скорости, касательной к гер-полодии, совпадает с направлением относительной скорости (так как эти две скорости в данном случае геометрически равны). Это направление увлекается движением твердого тела, ось вращения которого становится в пределе нормальной к плоскости (Р). Таким образом, точка /, которая чертит на плоскости герполо-дию, описывает один полный виток вокруг асимптотической точки каждый раз, когда твердое тело делает один полный оборот. [c.108]

Если критическая точка есть минимум, то про соответствующее относительное равновесие говорят, что оно орбитально устойчиво (так как близкие движения лежат в узком кольце), в противном случае — неустойчиво (вспомним асимптотические движения в одномерных системах, аналог которых имеется и здесь). Если h не намного отличается от минимального значения /i,, то по формуле Линдштедта (тема 6) [c.79]

Машинный агрегат оказался бы при этом чрезмерно нагруженным и сам по себе не мог бы осуществить разбег. Если приведенный момент сил сопротивления не носит движущий характер, то какую бы начальную угловую скорость ни сообщить звену приведения, машинный агрегат рано или поздно остановится. При движущем характере приведенного момента произойдет реверсирование движения ведущего вала вариатора. Правда, в предельном частном случае, когда ( )=0, при постоянном передаточном отношении г/=г/о, (i/o= onst), как легко показать, имеется решение и>=—bJ2a уравнения (8.11) движения машинного агрегата, относительно которого все решения, определяемые начальными условиями u) (i ) > асимптотически устой- [c.275]

Центроиду, т. е. геометрическое место всех мгновенных центров / шарнирного четырехзвенника, можно построить на рис. 3 как последовательность точек пересечения всех направлений кривошипа АоА с соответствующими направлениями коромысла Известно для кривошипно-коромыслового механизма центроида распадается на две ветви и р , которые асимптотически удаляются в бесконечность в тех положениях, в которых направления АоА и ВдВ параллельны. Ветвь р относится к положениям j4o>1, лежащим выше стойки oSoi а ветвь р — к положениям АоА, лежащим ниже АоВо- Так как полюс О относительного движения колес постоянно сохраняет свое расстояние до шарнира А о, то окружность, описанная вокруг А о (рис. 3) радиусом АоО, пересечет центроиду р, в данном случае ее ветвь р , в точках и Р2, определяющих положения ведомого колеса гл с угловой скоростью, равной нулю. Эти точки непосредственно определяют также угол поворота кривошипа ф з, который соответствует этим положениям ведомого колеса г а. Этот угол можно определить по рис. 2 как расстояние по горизонтальной оси между точками пересечения графика с нулевой осью i, соответствующей i% =0. [c.228]

Сделаем следующее замечание относительно начального момента времени 1о- Если невоз-мущенное движение и(/) устойчиво по Ляпунову для какого-нибудь фиксированного / з, то оно будет устойчивым по Ляпунову для любого Поэтому можно ограничиться проверкой устойчивости и асимптотической устойчивости лишь для некоторого заданного момента го. [c.458]

В работе Ло [67] проведено обобщение результатов более ранних исследований [54] по проблеме установившегося квази-статического процесса роста трещины в упруго-вязко-пластическом материале — учтены инерционные эффекты. В этих работах предполагалось, что скорость мгновенной неуиругон деформации пропорциональна многовенным значениям напряжений в некоторой степени например, = 4sP s. . при одноосном напряженном состоянии, где s =(s, /s,/) относительно разгрузки не делалось никаких специальных оговорок. Если значения показателя степени р меньше 3, то асимптотическое поле будет упругим. Для значении р, превосходящих 3, Ло построил некоторое асимптотическое решение в виде произведения, обладающее тем же замечательным свойством полной автономии — независимости от условий нагружения вдали от трещины. Как установлено Ло, зависимость неупругой деформации перед трещиной на линии ее движения от радиуса в случае типа 3 деформации окрестности вершины имеет вид [c.96]

Ротационное движение. Если моменты действуюш,их сил имеют силовую функцию, то первое приближение к движению (в асимптотическом смысле) получается путем осреднения силовой функции по невоз-муш,енному движению, а также, может быть, по орбитальному движению спутника. При этом спутник совершает невозмуш,енное движение Эйлера — Пуапсо относительно постоянного по величине вектора кинетического момента движение самого вектора кинетического момента описывается двумя каноническими уравнениями (В. В. Белецкий, 1963) [c.291]

Мы уже видели ( 1,2 главы VIII), что вблизи такого периодического движения устойчивого типа существует бесконечное мпо кество других периодических движений устойчивого типа, соответствующих инвариантным точкам поверхпости S относительно какой-нибудь степени Г преобразования Г. Рассмотрим какое-нибудь такое движение, которое будет общего устойчивого типа с переменными периодами в формальных рядах. Для него существуют множества EJ и которые оба должны быть также всюду плотны в S. Но множества Е и пе имеют общих точек, поскольку одно и то же движение не может быть асимптотическим к двум различным периодическим движениям в одном направлении (в данном случае в направлении отрицательных t). Аналогично не могут иметь общих точек множества Е и E . [c.235]

Полезно отметить определенную устойчивость правил квантования (1.2). Она связана все с тем же свойством движения существованием точно N интегралов движения. Предположим, что мы хотим огрубить траектории и вместо бесконечно малой области dq в окрестности точки q рассмотреть конечную область Дд. Другими словами, пусть суммирование в формуле (1.9) производится не по точным замкнутым орбитам, а по таким, которые замыкаются в малой, но конечной области фазового пространства ДГ. Одпако реальная траектория системы ие может сойти со своего тора и перейти на другой тор (без наличия возмущения). Поэтому точность в определении велпчпн h. будет та же ДГ. Следовательно, правила квантования (1.2) будут определяться с той же относительной точностью, с которой отбираются периодические траектории. Именно поэтому, в частности, оправдан переход от точрюго выражения (1.4) к асимптотической формуле (1.5), полученной методом перевала. [c.243]

С этой точки зрения идея использования гамильтоновского подхода для создания эффективных асимптотических методов представляется весьма привлекательной. Эта идея исходит из того, что любая гамильтоновская формулировка уравнений движения предполагает задание двух непременных атрибутов скобки Пуассона и гамильтониана системы. Причем, если гамильтониан системы фиксирует в фазовом пространстве гиперповерхность, на которой лежит динамическая траектория системы, то скобка Пуассона определяет в качестве своих аннуляторов все остальные инварианты движения. По существу, это означает, что в скобках Пуассона содержится вся информация относительно внутренних свойств симметрии, ответственных за динамическую индивидуальность системы. Поэтому, если мы хотим избежать потери этих свойств, мы должны использовать только такие приближения, которые не затрагивают скобки Пуассона. Таким образом, объектом приближений может быть только одна величина — гамильтониан системы. [c.180]

Среди всех интегралов движения особое значение имеют (асимптотически) аддитивные интегралы движения (в смысле формулы (3)), для которых существует специальное название законы сохранения. Законы сохранения имеют весьма глубокое происхождение, связанное с инвариантностью описания механической системы относительно некоторой группы преобразований времени и координат. Именно, существует весьма общая гео ел а Нётер, утверждающая, что для системы дифференциальных уравнений, которые могут быть получены как уравнения Эйлера из некоторого вариационного принципа, из инвариантности вариационного функционала относительно однопараметрической непрерывной группы преобразований следует существование одного закона сохранения. Если группа содержит I параметров, то из инвариантности функционала будет следовать существование I законов сохранения. [c.27]

Иными словами, координаты материальных точек системы определяются введенными физическими требованиями лишь с точностью до преобразоваиня ( ), и не видно никаких препятствий тому их выбору, при котором восстанавливается простая формула (16) для центра инерции, которая вместе с (23) определяет функцию Лагранжа через координаты Ro отдельных материальных точек. Вид отвечающей относительным движениям части L (р, р) остается при этом произвольным ограничения на него налагает лишь необходи-мбсть выполнения асимптотической аддитивности при любом разбиении системы иа удаленные подсистемы. [c.51]

Движение называется вибрационным или либрационным, если соответствующая фазовая траектория, не имея в себе особых точек, замкнута вокруг центра (кривая 3). В этом случае имеем незатухающие колебания. Движение называется ротационным, если фазовая траектория является периодической относительно х кривой. Движение называется лимитационным, если изображающая точка асимптотически стремится к особой точке. Такова, например, на рис. 50 ветвь траектории 4, лежащая слева, а также справа снизу от седла Ь, и, кроме того, нижняя часть кривой 1, т. е. 1". Движение называется инфинитным или убегающим, если изображающая точка уходит в бесконечность (например, верхняя правая ветвь кривой 4, т. е. 4, или кривой 1, т. е. 1, а также кривая 5). [c.109]

Представляется важным также и то обстоятельство, что уравнения (6.13) сравнительно легко анализировать, когда случайные воздействия являются быстрофлуктуирующими, так что параметр v велик в сравнении с характерными частотами невозмущенной (а = 0) системы, и вклад от флуктуаций a(f) в динамику движений x t) на интервале времени te = относительно мал. В этом случае ряды справа в (6.13) представляют собой, как увидим в 3, разложения по степеням малого параметра, и их дальнейшее упрощение может проводиться регулярным образом с помощью известных асимптотических методов усреднения 143, 44]. [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...