Конечный элемент для задач второго порядка

Первые примеры конечных элементов для задач второго порядка п-симплексы типа (к), (3 ) [c.54]

КОНФОРМНЫЕ МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧ ВТОРОГО ПОРЯДКА [c.114]

По-видимому, первые оценки ошибок для методов конечных элементов на приближенно заданных областях были получены советскими математиками (см., например, работу Оганесяна, 1966). Они получили оценки для кусочно-линейных аппроксимаций на треугольных сетках и рассматривали только приближенное решение для задач второго порядка с граничным условием [c.147]

Для решения осесимметричных задач с использованием изопараметрических конечных элементов высоких порядков вводится тороидальный элемент, образованный вращением плоского изо параметрического четырехугольного конечного элемента первого или второго порядка вокруг оси симметрии. Интерполяционные соотношения для таких элементов строятся в плоскости, проходя щей через ось вращения, и, очевидно, совпадают с рассмотрен ными ранее подобными соотношениями (4.32) и (4.33) для плоских четырехугольных элементов с тем лишь отличием, что в качестве глобальных координат теперь выступают цилиндрические координаты гиг. [c.84]

Рассмотрим семейство изопараметрических четырехугольных конечных элементов первого и второго порядка применительно к решению плоской задачи стационарной теплопроводности. Функции формы таких элементов и интерполяционные соотношения для связи систем глобальных и локальных координат были установлены ранее при анализе плоской задачи теории упругости. [c.98]

Рассмотрим трехмерные шестигранные изопараметрические конечные элементы первого и второго порядка применительно к трехмерной задаче теории стационарной теплопроводности. Функции формы и необходимые интерполяционные соотношения для этих элементов были установлены при анализе соответствующей задачи теории упругости. [c.103]

Этот тип элемента является объектом наибольшего числа теоретических исследований, так как к нему хорошо применим математический анализ Не касаясь здесь этой темы, отсылаем интересующегося читателя к специальным работам [1, 2, 3]. Остановимся лишь на элементах первого и второго порядка, которые представляются наиболее пригодными для моделирования физических задач (механики, электротехники, теплотехники). Треугольные конечные элементы представляют дополнительный интерес с точки зрения программного обеспечения САПР, так как для них имеются простые автоматические алгоритмы для генерации сети области. [c.58]

Для изопараметрических элементов граница в плоскости т] прямолинейна и все граничные интегралы вычисляются непосредственно численным интегрированием. В действительности основное заключение теории для краевой задачи второго порядка, по-видимому, таково изопараметрический метод устанавливает локальное преобразование координат в направлении нормали и по касательной, точнее и удобнее того, которое достигалось конечно-разностным методом. [c.238]

Описание конформных методов конечных элементов для решения задач второго и четвертого порядков (гл. 2). [c.8]

Обсудим кратко применение этой теоремы Основной вывод состоит в том, что бигармоническая задача может решаться при тех же самых пространствах конечных элементов, которые обычно используются для решения задач второго порядка, при условии выполнении включений Р К)с Р , частности, если [c.380]

Необходимой предпосылкой для контроля колебаний механических систем является понимание деталей динамического поведения систем при действии возбуждающих сил, приложенных в различных точках системы. Для решения этой задачи использовались различные подходы, включая прямое получение необходимой информации путем замеров, математическое моделирование и точное решение дифференциальных уравнений движения в частных производных, дискретное моделирование с помощью конечных элементов и решение результирующей большой системы дифференциальных уравнений второго порядка, энергетические методы и объединение решений соответствующих подсистем полной системы. Все эти подходы имеют свои достоинства и недостатки, и ни один из методов сам по себе не может считаться наилучшим. Выбор подхода определяется наличием средств и времени, опытом и искусством исследователя, без страха встречающего каждую специфическую задачу, по- [c.14]

Эта задача уже рассматривалась ранее (см. 5.13) здесь для ее решения использованы описанные в 8.5, 8.6 конечные элементы шпангоута первого и второго порядков. На рис. 8.11 представлены зависимости осевой силы N = NIP и изгибаю-ш,его момента М = М1(Рг) от угла 0, полученные аналитически. Крестиками отмечены результаты, полученные при разбиении четверти кольца на 10 элементов первого порядка, кружочками — на 10 элементов второго порядка. Последние результаты получены с помощью местного сглаживания (см. 5.12) значений N и М с последующим их осреднением по смежным элементам. Непосредственное вычисление напряжений (без сглаживания) обнаруживает здесь такие колебания ях вокруг истинных значений, которые полностью искажают действительную картину. Например, осевая сила N в узлах первого конечного элемента оказывается равной 11,44Р, [c.328]

За время, прошедшее после выхода в свет первого издания книги, в развитии численных методов произошли существенные изменения. Сформировалось новое научное направление — вычислительная механика деформируемого твердого тела, целью которого является получение решения задач с заданной степенью точности с помощью ЭВМ. Создаются методы, позволяющие наиболее эффективно использовать преимущества новых поколений ЭВМ. С увеличением числа решаемых уравнений приходится отказываться от ряда методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении сравнительно небольшого числа уравнений. В самом деле, если для решения системы линейных алгебраических уравнений второго или третьего порядка можно обойтись методом Крамера, то уже для решения системы 30 уравнений на ЭВМ с быстродействием 1 миллиард операций в секунду потребуется времени в 1.5 миллиарда раз больше, чем время существования Земли [82]. Поэтому очевидно, что говорить об универсальности того или иного метода, например метода конечных элементов, наиболее распространенного среди инженеров, не имеет смысла. Разумеется, не претендуют на универсальность и методы, излаженные в настоящем издании. [c.5]

Этот раздел обобщает предыдущий в трех направлениях здесь вводятся неоднородные краевые условия, рассматриваются квадратичные и даже кубические элементы, а не линейные, и решаются дифференциальные уравнения четвертого порядка, а не только второго. Оценки ошибок для различных конечных элементов часто приводятся без доказательств, так как они вытекают из теории, которая будет развита далее в этой книге. Этап г метода конечных элементов те же, что и прежде вариационная постановка задачи, выделение кусочно полиномиальных подпространств в некотором допустимом пространстве, построение и решение линейных уравнений KQ Р. Эта схема в одномерном случае более или менее закончена. [c.67]

Описание и анализ сходимости неконформных методов конечных элементов для задач второго порядка (4.2) и задач четвертого порядка (6.2). [c.8]

U) Конечный элемент должен, конечно, соответствовать решаемой задаче. Как было показа1Ю для конформных методов конечных элементов, это требует использования конечных элементов класса i или Кроме тою, мы увидим, что математическое доказательство сходимости требует (кроме всего прочего) включений P- (K) zPk, для задач второго порядка и включений Р К)с Рк , для задач четвертого порядка. Между прочим, эти условия были хорошо известны инженерам, открывшим их эмпирически задолго до получения их математиками. [c.104]

Анализ таких неконформных методов проводится точно таким же образом, как и в случае неконформных методов для задач второго порядка (см. разд. 4.2). В разд. 6.2 мы сосредоточиваем свое внимание на одном примере, где общин конечный элемент — прямоугольник Лдини. Для этого конечного элемента мы показываем, что (теорема 6.2.3) [c.326]

Что касается аппроксимации задач четвертого порядка на областях с криволинейными границами, то упомянем работу Мэнсфилда [6], где рассматривается, кроме того, эффект численного интегрирования. Его подход аналогичен использовавшемуся у Сьярле, Равьяра [3] для задач второго порядка. Криволинейные изопараметрические конечные элементы нового типа предлагаются Робинсоном [1]. В случае задачи о свободно опертой пластине (см. упр. 1.2.6) упомянем парадокс Бабушки (см. Бабушка [1], а также Биркгоф [1]) В противоположность задачам второго порядка нельзя получить сходимость аппроксимации, если криволинейная граница заменяется ломаной. Это происходит потому, что краевое условие А -(1—а)3 = 0 на Г (которое включается в вариационную формулировку) заменяется тогда на краевое условие ду и — О. [c.368]

С использованием приведенньк выше полиномов можно построить интерполирующие функции, которые обеспечат условия сходимости решения по методу конечных элементов для краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка. В отдельных случаях полином третьей степени может обеспечить сходимость решения и для краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями четвертого порядка. [c.63]

Описание и анализ сходимости при одновременном использовании изоиараметрических конечных элементов и численного интегрирования для решения задач второго порядка на областях с криволинейными границами (4.4). [c.8]

Следовательно, мы имеем в своем распоряжении метод аппроксимации решения задачи четвертого порядка, используюш,ий те же программы конечных элементов, которые нужны и для решения задач второго порядка. [c.371]

Кесаван, Ваннинатхан [1] математически исследовали эффект численного интегрирования в сочетании с использованием изопараметрических конечных элементов для дискретных задач второго порядка, получающихся с помощью метода, описанного в разд. 7.2. Заметим, что этот метод (с использованием численного интегрирования и изопараметрических конечных элементов) был реализован также Бурга [1]. Оказывается, что получаемые результаты предпочтительны по сравнению с результатами, которые дают обычные методы конечных элементов. С практической точки зрения ясно, что такой подход существенно проще, чем прямое применение численного интегрирования и изопараметрических конечных элементов к более стандартной дискретизации бигармонической задачи. [c.394]

При использовании метода конечных элементов ключевыми являются вопросы выбора типа конечного элемента для аппроксимации области, а также получения матрицы жесткости конечного элемента, отвечающей физическому содержанию решаемой задачи. Как показывают расчеты, наилучшие результаты в плоской задаче дает использование четырехточечных элементов (рис. 1.9). При применении треугольных элементов и их комбинаций (например, два смежных треугольных элемента с общей функцией гидростатического давления) точность решения получается ниже, возникает зависимость результатов расчета от характера разбиения области. Использование четырехугольных восьмиточечных элементов второго порядка существенно ухудшает экономические показатели решения из-за резкого увеличения требуемой оперативной памяти. По этой же причине нерациональной является линейная аппроксимация функции гидростатического давления внутри элемента. Аппроксимация же константой для функции гидростатического давления дает более чем удовлетворительные результаты изме- [c.15]

В главе 4 будет дана другая формулировка метода конечных элементов, эквивалентная предыдущей, но использующая непосредственно идеологию методов Ритца и Бубнова — Галеркина. Преимущество этого подхода — в открыФнн возможностей для обоснования, усовершенствования и обобщения на широкие классы краевых задач математической физики, недостаток — в трудностях машинной реализации соответствующего алгоритма для проблем, содержащих в качестве неизвестных вектор-функции илн дифференциальные операторы порядка выше второго. [c.130]

Алгоритмы решения системы линейных уравнений не являются предметом исследования в методе конечных элементов, этому вопросу посвящена обширная специальная литература. Здесь мы хотим коснуться проблем хранения и решения систем уравнений в связи с тем, что этот этап решения задачи оказывает исключительное влияние на эффективность вычислений. Например, типичная двумерная задача приводит к матрице А=1000 с шириной ленты Я=100. Если проводить решение системы уравнений такого порядка методом Гаусса без учета симметрии и ленточности матрицы, а затем учесть эти факторы, то во втором случае для хранения матрицы требуется объем памяти в 10 раз меньший, чем в первом случае, и примерно в 100 раз меньше времени ЭВМ. [c.57]

Вообще при численном решении задач по расчету динамики трещин требуется использование всех резервов точности для уменьшения влияния неблагоприятных факторов, повышающих погрещность расчета. Сейчас уже можно сформулировать ряд требований к сингулярным конечным элементам, которые обеспечивают сходимость [28, 52]. В частности, необходимо включать в число базисных функций элемента члены нулевого порядка, соответствующие смещениям тела как жесткого целого, и члены второго порядка, соответствующие постоянным напряжениям, т. е. число используемых для аппроксимаили собственных функций должно быть таким, чтобы число неизвестных коэффициентов При этом было не меньше числа степеней свободы элемента. Кроме того, необходимо позаботиться о непрерывности перемещений при переходе границы между сингулярным и регулярным элементами. [c.77]

Эти условия вынуждают полиномы в методе конечных эле-менто.в сочленяться в узлах. Для ог типичны модифицированные эрмитовы кубические полиномы непрерывность вращения остается неизменной, а функция может терпеть разрыв, связанный с разрывом VI. Очевидно, что для задачи о дуге такие пробные функции неприемлемы, а так как энергия деформации тоже изменяется при отбрасывании г, то вопрос о сходимости остается открытым. Для случая дуги окружности и правильного многоугольника отсутствие сходимости было доказано Вальцем, Фул-, тоном и Цирусом (Вторая Райт-Паттерсонская конференция). Уравнения-метода конечных элементов оказались просто разностными, но согласованными с неверным дифференциальным уравнением. Главные члены были правильными (радиус кривизны проявился через угол 0 в условии непрерывности рамки), но для отдельно избранного элемента появились также нежелательные члены нулевого порядка по Л ). Это наводит на мысль [c.154]

Фуджи дал также полезный анализ устойчивости разностных аппроксимаций (по временной переменной) уравнения (24) в методе конечных элементов. Предположим, например, что члены Q" заменяются центральными разностными отношениями второго порядка (А/)-2(д"+ — Q ). Из теории конечных разностей хорошо известно, что величина At должна быть ограничена, или же вычисляемые приближения будут экспоненциально расти вместе с п. Для одномерного волнового уравнения условия устойчивости процесса вычислений имеют вид At h/ 3 для согласованной матрицы массы М и Ai h — для диагональной матрицы, полученной при приближенном расчете матрицы М. (Тонг [Тб] заметил в последнем случае дополнительную устойчивость.) Фуджи исследовал и другие конечноразностные схемы, а также гиперболические уравнения более общего вида для краевых задач с начальными условиями, в том числе и уравнения упругости. [c.293]

На протяжении этого раздела будет предполагаться, что конформный метод конечных элементов используется для решения краевых задач второго и четвертого порядков. Суммируем вначале различные предположения, которым должно удовлетворять пространство конечных элементов Хд в соответствии с проведенным в предыдущем разделе обсуждением. Такое простраН-ство ассоциируется с триангуляцией д множества Q= U К [c.53]

Учитывая большое число монографий по методу конечных элементов, традиционные математические основы этого метода мы изложим кратко. Подробнее рассмотрены актуальные технические вопросы, которые в книгах освещены слабее способы триангуляции двумерных и трехмерных областей, экономичные кубатурные формулы и использование смешанного метода как систематического аппарата для замены обременительных главных условий в базисных подпространствах на естественные условия. Такая замена, например, позволяет упростить работу с неоднородными краевыми условиями Дирихле, свести бигармоннческое уравнение к системе уравнений второго порядка, снять весьма неудобное требование соленоидальности базисных функций в задачах Стокса и Навье - Стокса. [c.7]

Смешанный метод для бигармонического уравн ия. Сопоставляя три предыдущих пункта, можно увидеть, что при переходе от трехмерной задачи теории упругости к задаче о пластине интегрирование по толщине привело к более простой математической задаче с двумя независимыми переменными. За пониижние размерности мы расплачиваемся увеличением порядка уравнения, позтому в билинейной форме появляются вторые производные. В итоге практическая реализация метода конечных элементов, как мы увидим дальше, значительно усложняется из-за поиска решения в существенно более узком классе функций, что на-кладьшает ижсткие ограничения на использование различных конечных элементов. [c.35]

Отметим также, что все перечисленные в гл. 2 конечные злементы используются для решения уравнений второго порядка, когда ш = 1, в условиях положительной определенности и ограниченности и /. И только одии прямоугольный эрмитов элемент степени 3 может быть использован для решения задач с т = 2, т.е. уравнений четвертого порядка. По этой причине мы будем рассматривать квадратурные формулы лишь для решения уравнений второго порядка (ш = 1). И только в виде исключения укажем кубатурную формулу для указанного элемента при решении уравнений 4-го порядка. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...