Топологическая транзитивность

Лемма. Пусть Т Х- Х — топологически транзитивное непрерывное отображение компактного метрического про-странства] существует такая точка х Х, что [c.37]

X называется топологически транзитивной, если существует такая точка ж X, что ее траектория 0 х) = плотна в X. [c.42]

Предложение 1.3.4. Топологически транзитивный сдвиг на топологической группе О минимален. [c.42]

Прежде чем перейти к доказательству этого предложения, установим некоторые общие критерии топологической транзитивности. [c.44]

Доказательство. Пусть отображение / топологически транзитивно, т. е. орбита некоторого элемента ж 6 X плотна. Тогда, в частности, эта орбита пересекает и Ц к V, поэтому /"(ж) е U, f (х) 6 V, где для определенности т п. Следовательно, множество f U)nV непусто (напомним, что f 4A) = ж 6 Х /(ж) е А ). [c.44]

Следствие 1.4.3. Непрерывное открытое отображение f локально компактного сепарабельного метрического пространства топологически транзитивно тогда и только тогда, когда не существует двух непересекающихся открытых непустых f -инвариантных подмножеств. [c.44]

Следствие 1.4.4. Если отображение f X- X топологически транзитивно, то не существует непостоянной f-инвариантной непрерывной функции ip X Ж. [c.45]

Чтобы доказать обратное утверждение, достаточно показать, что рациональная независимость величин 1,7 ,...,7 влечет топологическую транзитивность 2 . Отсюда в силу предложения 1.3.4 следует минимальность сдвига Xf. [c.45]

Докажите, что отображение Т , Л (х, у) = (х+а, у+х) (mod 1), является топологически транзитивным тогда и только тогда, когда а иррационально, [c.46]

Предложение 1.7.2. Справедливо равенство Р Е ) = 2" - 1. Отображение топологически транзитивно, его периодические точки плотны в S. [c.54]

Доказательство. Если j"(z) = z, то = г и = = 1. Таким образом, каждый корень из единицы степени 2" — 1 является периодической точкой для Е, периода п. Имеется ровно 2" - 1 таких корней из единицы. Эти точки равномерно распределены по окружности, и когда п велико, интервалы между ними становятся малыми. Чтобы доказать топологическую транзитивность, рассмотрим двоичные интервалы [c.54]

Пусть. .. — двоичное представление целого числа к, возможно, с несколькими нулями в начале. Тогда ж 6 Д тогда и только тогда, когда ж,. = к- для г = 1,... п. Значит, 2"() = = S, и, так как всякий интервал I с S содержит некоторый двоичный интервал, то Е 1) = 5 для некоторого п. Таким образом, для любых непустых открытых подмножеств U и V существует такое число neN, что множество E2 U)nV непусто, и по лемме 1.4.2 отображение топологически транзитивно. [c.54]

Предложение 1.8.1. Множество периодических точек отображения плотно, топологически транзитивно, и ( ) = А"-ьАр" — -2. Числа ( ) определяются в соответствии с определением 1.7.1.) [c.57]

Теперь мы можем доказать, что отображение топологически транзитивно. Возьмем произвольные непустые открытые подмножества ЦУ с Т . [c.58]

Другой аспект асимптотического поведения связан с регулярностью возвращений по отношению ко времени. Из топологической транзитивности следует, что итерации любого открытого множества время от времени пересекают любое другое открытое множество. Более сильное свойство возвращения — наличие топологического перемешивания. [c.59]

По лемме 1.4.2 каждое топологически перемешивающее отображение топологически транзитивно. С другой стороны, никакой сдвиг не является топологическим перемешиванием. Это следует из того факта, что сдвиги сохраняют метрику на торе, индуцированную стандартной евклидовой метрикой R", и из следующего общего критерия. [c.59]

В процессе изучения различных примеров в предыдущей главе мы обнаружили несколько полезных понятий, связанных с асимптотическим поведением динамических систем. К настоящему моменту наш список таких понятий включает скорость роста числа периодических траекторий, их пространственное распределение (например, плотность), топологическую транзитивность, минимальность, а- и ш-предельные множества и топологическое перемешивание. В гл. 3 и 4 мы существенно расширим и систематизируем этот список. Прежде, чем приступить к этому, рассмотрим задачу изучения асимптотического поведения гладких динамических систем с другой точки зрения. [c.70]

Докажите, что отображение Д топологически транзитивно. [c.91]

Мы уже встречались с такими свойствами, связанными с наличием некоторого возвраш ения траекторий, как топологическая транзитивность (определение 1.3.1), минимальность (определение 1.3.2) и топологическое перемешивание (определение 1.8.2). Топологический тип замыкания множества Рег(/) всех периодических точек представляет собой другой инвариант того же типа. Кроме того, из определения 1.6.2 нам известны понятия ш-пре-дельного и а-предельного /-инвариантного множества х для каждой точки X. Некоторые инварианты топологического сопряжения можно получить, изучая топологический тип совокупности а-и w-предельных множеств например, топологическая транзитивность эквивалентна тому факту, что одно из этих множеств содержит все пространство. Объединение всех а-или w-предельных множеств не обязано быть замкнутым. Топологический тип [c.138]

Приведите пример топологически транзитивной динамической системы на компактном многообразии, для которой единственное минимальное множество — неподвижная точка. [c.142]

Мы начнем эту главу с демонстрации того, как различные свойства возвращения, такие как рекуррентность орбиты (определение 3.3.2), топологическая транзитивность (определение 1.3.1), минимальность (определение 1.3.2) и топологическое перемешивание (определение 1.8.2), могут быть уточнены в количественном отношении посредством вычисления асимптотических частот, с которыми возникают соответствующие типы возвращения. Чтобы показать, что для некоторых орбит такие асимптотические частоты существуют, мы должны обратиться к теории меры. Позже будет установлено, что топологическая энтропия, будучи уже по определению количественным инвариантом, также обладает статистическим аналогом, с которым она тесно связана. [c.143]

Замечание. Обратное утверждение в общем случае неверно (см. упражнение 4.2.2). Однако оно верно при предположении, что преобразование / топологически транзитивно (см. упражнение 4.1.5). [c.150]

Предположим, что / — топологически транзитивное непрерывное отображение ком- [c.155]

Покажите, что, производя соответствующую замену времени , обращающуюся в нуль в одной точке, можно перевести иррациональный линейный поток Т на двумерном торе в вещественно аналитический топологически транзитивный поток, единственная инвариантная борелевская вероятностная мера которого — б-мера с носителем в единственной точке. [c.155]

Эти соображения применимы практически дословно к любому сдвигу на торе, где элемент 7 = (7[,..., 7 ) таков, что числа 71,..., 7 и 1 рационально независимы. По предложению 1.4.1 это условие необходимо и достаточно для минимальности Т . В 1.4 мы показали, что то же самое условие является необходимым для топологической транзитивности и, следовательно, поскольку носителем меры Лебега является весь тор, по второму утверждению предложения 4.1.18 это условие также необходимо для наличия эргодичности относительно меры Лебега. [c.156]

То же доказательство может быть проведено для линейного потока если UJ удовлетворяет условию предложения 1.5.1. Так же как и в случае сдвигов, это условие является необходимым для наличия топологической транзитивности и эргодичности относительно меры Лебега и достаточным для наличия минимальности и строгой эргодичности. [c.157]

Теперь мы приведем другое доказательство строгой эргодичности сдвигов тора. Оно состоит из двух частей. Сначала с использованием соображений из анализа Фурье мы докажем эргодичность. Соображения такого рода весьма полезны при анализе многих динамических систем алгебраического происхождения, включая растягивающие отображения и гиперболические автоморфизмы тора. В случае сдвига доказательство эргодичности по существу содержится в нашем доказательстве топологической транзитивности (предложение 1.4.1). [c.157]

Хотя мы уже привели два доказательства эргодичности сдвигов тора, дадим набросок еще одного доказательства того факта, что из топологической транзитивности сдвига следует эргодичность. Это доказательство очень гео-метрично и содержит несколько идей, которые оказываются полезными для анализа широких классов динамических систем, включая и некоторые системы без очевидной алгебраической структуры (см., например, предложение 5.1.24 и теорему 12.7.2). [c.159]

Каждое измеримое множество, рассматриваемое в малом масштабе, сконцентрировано точнее говоря, оно заполняет некоторые маленькие шары или кубы почти полностью и практически не пересекается с другими, потому что это множество может быть аппроксимировано сколь угодно хорошо (по мере) конечными совокупностями кубов. Зафиксируем инвариантное множество А и число е > О и найдем такой маленький куб Л, что Л(Л П Л) > (1 — е)Л(Л). Образы Д под действием итераций нашего отображения обладают тем же свойством, поскольку и мера А, и множество А инвариантны. Так как наше отображение является изометрией, любой образ А представляет собой куб того же размера. В силу топологической транзитивности можно найти совокупность образов, покрывающих все фазовое пространство почти равномерно, без большого числа перекрытий. Для завершения доказательства достаточно установить, что каждая точка покрывается не более, чем N раз, где N не зависит от е, потому что в этом случае мера множества А превосходила бы 1 — Так как е может быть выбрано произвольно малым, мы заключаем, что множество А имеет полную меру. [c.159]

Доказательство. 1. Так как из перемешивания следует эргодичность, достаточно рассмотреть эргодический сдвиг Т . Если Л — маленький шар, то, так как — топологически транзитивная изометрия, найдется бесконечно много таких чисел щ, что 2 " (Л)пЛ = 0. Следовательно, Л(Г-" (А)ПА)=0. [c.163]

Покажите, что если корень из единицы является собственным значением матрицы L, то существует непостоянный -инвариантный тригонометрический полином, н поэтому преобразование F]i не является топологически транзитивным и, следовательно, не эргодично. [c.169]

В предыдущих параграфах мы видели, что основные свойства, связанные со статистическим поведением орбит, а именно наличие возвращения для почти всех относительно инвариантной меры точек, эргодичность, строгая эргодичность и перемешивание, могут рассматриваться как более сильные количественные аналоги качественных свойств, описывающих возвращение, а именно возвращения орбит, топологической транзитивности, минимальности и топологического перемешивания соответственно (см. предложение 4.1.18 и замечание после определения 4.2.8). Теперь рассмотрим статистический аналог глобального инварианта скорости роста орбит — топологической энтропии. Это число называется энтропией сохраняющего меру преобразования или энтропией относительно инвариантной меры (см. определения 4.3.7 и 4.3.9). В случае эргодической меры энтропия может быть определена, подобно ее топологическому аналогу, как показатель экспоненциальной скорости роста числа статистически значимых отрезков орбит, различимых с произвольно хорошей, но конечной точностью ]. [c.170]

Связь между понятиями топологической энтропии и энтропии относительно инвариантной меры более полна и точна, чем для таких пар понятий, как рекуррентность орбит — типичное относительно инвариантной меры возвращение, топологическая транзитивность — эргодичность, минимальность — строгая эргодичность, топологическое перемешивание — перемешивание. Для этих случаев данная связь односторонняя статистическое свойство влечет топологический аналог, но, вообще говоря, не наоборот. В случае энтропий связь между ними описывается вариационным принципом (теорема 4.5.3), который утверждает, что топологическая энтропия непрерывного отображения равна точной верхней грани энтропий этого отображения по всем инвариантным мерам. Таким образом, не только статистическое свойство (скажем, положительность энтропии относительно инвариантной меры) влечет топологический аналог (в этом случае положительность топологической энтропии), но и наоборот, из положительности топологической энтропии следует существование инвариантной меры с положительной энтропией (это свойство представляет собой количественное усиление теоремы Крылова — Боголюбова 4.1.1 для случая отображений с положительной топологической энтропией). [c.170]

Докажите, что любой топологически транзитивный сдвиг на торе обладает односторонним образующим разбиением, состоящим нз двух элементов. [c.188]

Доказательство. может не быть гиперболическим, символическим потоком из-за отсутствия топологической транзитивности, Однако замыкание множества перноднческих траекторий потока Ч п является объединением непересе-каюшихся замкнутых множеств У[,. .., Ущ, таких, что на каждом нз них является гиперболическим символическим потоком. Заметим, что [c.132]

Напомним теперь, что гомеоморфизм Х- Х называется топологически транзитивным, если в X существует всюду плотная траектория, и топологически перемешивающим, еслн для любых двух открытых множеств и и V найдется такое М, что и ]УФ0 при всех n N. Нетрудно показать, что ТМЦ топологически траизитнвна (соответственно является топологически перемешивающей) тогда и только тогда, когда она неразложима (соответственно примитивна). [c.205]

Лемма 1.4.2. Пусть f X—>X —непрерывное отображение локально компактного сепарабельного метрического пространства X в себя. Отображение f топологически транзитивно тогда и только тогда, когда для любых двух непустых открытых подмножеств ЦУсХ существует такое целое число N = N U,V), что пересечение f U) П V непусто. [c.44]

Перейдем к доказательству достаточности. Пусть U ,U2,... — счетная база топологии X. Это значит, что для любого ж 6 X и всякого такого открытого множества U, что xeU с X, имеется такой индекс п, что xeU U. Кроме того, выберем Ц таким образом, что замыкание С/, компактно. Чтобы доказать топологическую транзитивность, достаточно предъявить орбиту, которая пересекает каждое множество По нашему предположению существует такое целое число ЛГ,, что / (ЩП непусто. Пусть Ц —такое непустое открытое множество, что Vj с n/ >(i72). Очевидно, что V компактно. Существует такое целое число iVj, что / =(Т )П l jreny TO. Снова выберем открытое множество таким образом, что с F] П Продолжая этот процесс, мы определяем индуктивно последовательность таких открытых множеств V , что +, С К + Пересечение [c.44]

Замечание. Отображение тг Щ- К, тг(и , w,,...) = 0, /3(wo)/3(w,)... где К —стандартное канторово множество, /3(0)= О, /3(1) = 2, является гомеоморфизмом, и, очевидно, -п о = Е о тт. Таким образом, предложение 1.7.3 влечет топологическую транзитивность сдвига Это простейший пример ситуации, когда ограничение гладкой системы на инвариантное множество выглядит как некоторый сдвиг. Соответственно отображение h, описанное в доказательстве предложения 1.7.3, является самым простым примером кодирования. Мы подробно обсудим эту тему в 2.4 и 2.5. [c.63]

Пусть f X—fX —топологически транзитивный гомеоморфизм компактного метрического пространства, и пусть ф —непрерывная функция на X. Докажите, что любые два непрерывных решения <р когомологического уравнения [c.116]

Наконец, для гиперболического автоморфизма тора Р мы будем использовать тот же прием, что и в доказательствах топологической транзитивности (предложение 1.8.1) и отделенности периодических точек друг от друга (см. п. 3.2 д). А именно, если точки х,уеТ близки друг к другу, то имеет место одна из трех возможностей либо эти две точки находятся на одном и том же коротком отрезке растягивающейся прямой, либо на одном и том же коротком отрезке сжимающейся прямой, либо можно единственным образом указать минимальный прямоугольник, состоящий из отрезков сжимающихся и растягивающихся прямых, проходящих через х и у. В первых двух случаях ситуация очень похожа на то, что мы имели в случае растягивающих отображений. А именно, расстояние между положительными (соответственно отрицательными) итерациями точек х, у равно расстояний вдоль растягивающейся (соответственно сжимающейся) прямой и возрастет экспоненциально, до тех пор пока не превзойдет 1/(3 + у5) = 1/(2А). В по следнем случае можно использовать только что изложенное соображение заменяя у точкой г — пересечением неустойчивой прямой л с устойчивой прямой у — и используя неравенство треугольника. Расстояние между по ложительными итерациями жиг растет, пока оно не достигнет по крайне мере величины 1 /(2Л), в то время как расстояние между положительным итерациями г ч у равно расстоянию Шз1(2/, г) - Л"". [c.136]

Таким образом, мы показали, что типичное поведение относительно инвариантной меры является статистическим аналогом рекуррентности, эргодичность — аналогом топологической транзитивности, а строгая эргодичность — минимальности. Очень важно подчеркнуть, что утверждения, обратные к любому из утверждений предложения 4.1.18, неверны, даже если предположить дополнительно, что / — диффеоморфизм компактного многообразия. Другими словами, вообще говоря, замыкание объединения носителей всех /-инвариантных мер может быть меньше, чем замыкание множества всех рекурентных точек отображения, топологически транзитивное отображение может не иметь эргодической меры с полным носителем (т. е. меры, положительной на всех непустых открытых множествах) и минимальное множество может быть носителем более чем одной инвариантной меры. Однако, хотя соответствующие контрпримеры не могут быть названы патологическими, они все же должны рассматриваться как несколько нетипичные. (См., например, упражнение 4.1.9 и следствие 12.6.4.) Так, мы покажем, что для всех примеров из гл. 1 имеет место естественное соответствие между топологическими и статистическими свойствами. [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...