Производные узловые

Так как в него входят вторые производные, на границах между элементами требуется обеспечить непрерывность функции 0 н ее нормальных производных. Узловые параметры удобно представить в внде [c.340]

Производные узловые 37 Проницаемость диэлектрическая 266 [c.300]

Линейная аппроксимация x t) на дискретных элементах позволяет определить производную в й-й узловой точке в виде [c.109]

Этот метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений называют также методом сеток. Он состоит в следующем. Вся область рассматриваемого тела (область решения краевой задачи) — ось балки, плош адь пластины, поверхность оболочки и т. д.— покрывается сеткой линий, точки пересечения которых называют узлами. За неизвестные принимаются значения разыскиваемых функций в узлах сетки. Для этого строятся приближенные формулы для производных от функций, выраженные через узловые ординаты этих [c.229]

Вычисление по формулам (8.3) и (8.4) можно представить в виде схем, называемых операторами для вычисления производных и изображенных на рис. 8.1, а под сеткой узлов. Чтобы в точке i вычислить производную, надо наложить центр оператора (отмеченный прямоугольником) на эту точку и составить сумму произведений узловых ординат на соответствующие коэффициенты оператора. [c.230]

Третью производную / i" можно получить, применив оператор первой производной ко второй производной /", значение которой в каждой узловой точке получается по оператору второй производной [c.230]

Используя далее выражения для потенциальной энергии, подставляя в него напряжения, определенные через узловые перемещения, одновременно переходя к соответствующему выражению перемещений через узловые смещения, получим энергию как квадратичную функцию узловых смещений. Минимизируя далее функцию энергии, т. е. беря частные производные от энергии по соответствующим узловым перемещениям, придем к системе алгебраических линейных уравнений, определяющих искомые перемещения узлов, что и приводит к решению поставленной задачи. [c.118]

Уравнения (8.53) образуют замкнутую систему относительно функций Q и 1>. В численном методе сеток эту систему записывают в конечно-разностной форме, заменяя производные их разностными аналогами по формулам численного дифференцирования. Для этого область течения покрывают сеткой со сторонами Ах и Ау по координатным направлениям. Расчетный интервал времени делят на отрезки At. Каждой узловой точке сетки приписывают пару индексов i, k, определяющих ее координаты Xi = = iAx, r/ft = kAy. Момент времени характеризуется временной координатой nAt. [c.319]

Пока использовались только кусочно-линейные функции. Их вид однозначно определялся узловыми значениями функций, и не требовалось непрерывности производных в узлах. Понятно, что далеко не все задачи можно решить, используя такие функции, и простейшая иллюстрация этого факта — уравнение четвертого порядка [c.169]

Одним из универсальных методов решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (см., например, [6]). Он заключается в следующем. Область непрерывного изменения аргумента заменяется конечной совокупностью точек (узлов), называемых сеткой, сами же функции, рассматриваемые в этих точках, называются сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия (если они дифференциальные), заменяются теми или иными разностными соотношениями. Тогда для значений функций в узловых точках получается система алгебраических уравнений. [c.172]

Здесь буквой е обозначена принадлежность функции или вектора к тому или иному элементу, а д — вектор неизвестных в узловых точках, включающий перемещения в этих точках и, если необходимо, производные. Вектор деформаций равен [c.632]

Если МЫ имеем гладкую функцию двух независимых переменных w x, у), то по формулам, подобным (1) и (2), можно получить приближенные значения производных. Допустим, например, что рассматривается прямоугольная область (рис. 1) и что нам известны значения функции w в узловых точках регулярной квадратной сетки с размером ячейки б. Тогда для определения приближенных значений частных производных функций в некоторой точке О можно использовать следующие выражения [c.518]

По граничным значениям функции ф и ее первых производных мы мол<ем определить приближенные значения ф в узловых точках сетки вблизи границы, например в точках Л, С и на рис. 19. Имея, например, в точке В значения фд и (Зф/Эл )д, получаем [c.541]

Далее с помощью экстраполяции найдем значения ф для узловых точек, расположенных вне границы. Начиная вновь с нижней стороны пластинки и учитывая, что вдоль этой стороны дц> ду обращается в нуль, примем для только что названных точек те же значения ф з, ф , ф55. что и для внутренних точек, смежных с границей ). Таким же образом поступаем и с верхней стороной пластинки. Вдоль вертикальной стороны пластинки имеем значение производной [c.544]

Используя метод конечных разностей, примем квадратную сетку. При рассмотрении узловой точки О (рис. 24) мы можем определить вторые производные в уравнении (40) тем же путем, что и раньше. Для первой производной можно принять выражение [c.547]

Теперь, когда производные от функции IV могут быть заменены приближенными выражениями через значения функции IV в узловых точках по (8.39), можно дифференциальное уравнение изгиба пластин С. Жермен — Лагранжа [c.209]

Проанализируем теперь с учетом (4.25) структуру системы (4.21). Видно, что производная дl >/дUi представляет собой сумму произведений неизвестных температур ы,-, uj, на постоянные известные коэффициенты, зависящие от координат узлов и параметров задачи, а также постоянных известных членов, не зависящих от искомых температур. Левые части уравнений (4.21), получаемые путем суммирования частных производных, имеют такую же структуру, и, следовательно, приравнивая их нулю, мы получаем линейную систему разностных уравнений относительно неизвестных температур узловых точек. [c.138]

Сущность метода заключается в том, что в дифференциальном уравнении производные искомой функции заменяются приближенными соотношениями между конечными разностями в отдельных узловых точках температурного поля. В результате такой замены получаем уравнение в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению простых алгебраических операций. Расчетное соотношение приводится к виду, где будущая температура в рассматриваемой узловой точке является функцией времени, настоящей температуры в рассматриваемой точке и настоящей температуры в соседних точках. Такие уравнения составляются для всех узловых точек рассматриваемой области, включая и граничные. В результате получаем замкнутую систему алгебраических уравнений. Ввиду однотипности вычислений при решении такой системы представляется широкая возможность для использования современной вычислительной техники. [c.107]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Система полученных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (5.5) может быть решена с использованием какой-либо разностной схемы на временном слое. В этом случае отрезок времени D, разбивается точками tie на интервалы А/ = или At = rjN, где TV - достаточно большое число. Производная по времени от узловой температуры Тр заменяется конечными разностями в соответствии с одной из следующих форм [c.172]

Основным численным методом решения дифференциальных уравнений теплопроводности является метод конечных разностей [23]. Формально он базируется на приближенной замене в дифференциальном уравнении и граничных условиях производных разностными соотношениями между значениями температур в узлах конечно-разностной сетки. В итоге для каждого узла с неизвестным значением температуры получается алгебраическое уравнение, которое для задачи стационарной теплопроводности может быть также получено из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплопроводящих стержней [12, 18]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [24], а для реализации этих методов в математическом обеспечении современных ЭВМ предусмотрены стандартные программы. Алгебраическому уравнению для каждой узловой точки можно дать вероятностную интерпретацию и использовать для решения задач метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [12]. [c.44]

Выделим в области V, занятой неоднородным анизотропным телом сложной формы (см. 2.4), М узловых точек е у, т=1 М. Температурное состояние тела будем характеризовать вектором Т = T (f) jyj размерности М, компоненты которого представляют собой искомые зависимости от времени t температур выделенных узловых точек. После конечно-разностной аппроксимации в (2.36), (2.38) и (2.40) производных по пространственным координатам получим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений [12] [c.45]

Для моделирования левой части уравнения (Х.25) используется тоже / -сетка. При этом потенциалы ее узловых точек пропорциональны переменной 0. Для моделирования правой части (Х.25) в узловые точки необходимо вводить токи I, пропорциональные производной по времени от переменной Н [c.145]

Тогда ток, вводимый в узловые точки согласно (X.26), должен быть пропорционален производной по времени от разности переменных [c.145]

Однако даже при любом выборе а, и ai+ очевидно, что s(xi)=yi и s(xi+i)=yi+i, т. е. S х) действительно интерполирует узловые значения функции. Из условий гладкой стыковки 5(лг) и ее двух производных во внутренних узлах интервала Ixi, х ], а также из единственности кубических парабол, проходящих через четыре первых и четыре последних узла, получается система линейных уравнений для определения значений ai(i=l, 2,,.., п) [98]. Матрица системы является трехдиагональной симметричной, при любом выборе Xiустойчивость определения значений а,-. Окончательные выражения для коэффициентов кубического сплайна имеют вид [c.183]

Дальнейшее решение включает следующие процедуры. В результате стыковки отдельных элементов и присоединения граничных условий формируется система линейных алгебраических уравнений относительно узловых обобщенных перемещений. После ее решения по известным узловым обобщенным перемещениям определяются реакции элемента [см. (4.136)] и узловые внутренние силовые факторы [см. (4.130)]. С помощью выражения (4.132) определяется вектор производных в узловом сечении, после чего с использованием (4.119) вычисляются деформации и изменения кривизн. [c.156]

Для расчета одного режима вулканизации подготавливается исходная информация в соответствии со следующими идентификаторами программы Н — толщина эквивалентной пластины, м КТ — температурный коэффициент вулканизации Кт , ТЭ — температура эквивалентного изотермического режима вулканизации Тэ, °С N — общее число элементарных слоев, выделяемых в эквивалентной пластине N — номер границы между элементарными слоями (номер узловой координаты), для которой при сокращенном объеме выводимой на печать информации печатаются значения температуры и эквивалентного времени вулканизации наряду с такими же величинами для поверхностей эквивалентной пластины TAY — шаг интегрирования по времени Ат, с, задаваемый постоянным либо условным выражением в зависимости от времени, обозначаемого идентификатором TAY ВП — время процесса вулканизации, анализируемое с помощью программы Тв, с Г1, Г2 — тип граничного условия, принимающий значения 1, 2 или 3 соответственно для двух противоположных поверхностей эквивалентной пластины ТО — начальное значение температуры пластины Tq, °С, задаваемое в том случае, если начальная температура эквивалентной пластины не принимается переменной ТН1, ТН2 — начальные температуры соответствующей поверхности эквивалентной пластины, задаваемые в том случае, если формулируется для соответствующей поверхности граничное условие первого рода, °С Т1, Т2 — приращения температуры границ пластины за шаг по времени АГь АГг, °С, при граничном условии первого рода или температуры теплоносителей, контактирующих с соответствующими сторонами пластины, при граничных условиях третьего рода (при граничных условиях второго рода данные параметры пе задаются) AL1, AL2 — коэффициенты теплоотдачи к соответствующим поверхностям пластины ai и а2 при граничных условиях третьего рода, Вт/(м-К), или плотность теплового потока через соответствующую поверхность пластины q[ или q2, Вт/(м -К), при граничных условиях второго рода (при граничных условиях первого рода данные параметры не задаются) ПП — признак вида печати результатов (при ПП = 0 печатается в цикле по времени массив узловых значений температуры и массив значений эквивалентного времени вулканизации, при ПП= 1 печатаются лишь элементы указанных массивов, имеющие индексы 1, N , N - - 1) ЧЦ — число шагов по времени в циклах интегрирования, через которое планируется печатание текущих результатов ПХ, ПТ — признаки задания массивами соответственно линейных координат по толщине пластины, выделяющих элементарные слои, и узловых значений температуры в тех же точках для начального температурного профиля пластины (указанные величины формируются в виде массивов при ПХ=1 и ПТ=1) СИГМА—весовой коэффициент смежного слоя ко второй производной в уравнении теплопроводности, принимающий значения от нуля до единицы в зависимости от выбираемой сеточной схемы интегрирования (возможно задание этого коэффициента в зависимости от критерия Фурье для малой ячейки сетки, значение которого в программе присваивается идентификатору R4) А(Т, К)—коэффициент температуропроводности, для которого задается выражение в зависимости от температуры материала и линейных координат Х[К] и Х[К + 1], ограничивающих элементарный слой эквивалентной пластины L(T, К)—коэффициент теплопроводности для эквивалентной пластины, для которого задается выражение в зависимости от тех же параметров, что и для коэффициента температуропроводности X[N - - 1] — массив линейных координат Xi пластины, i=l, 2, 3,. .., -h 1, который при ПХ = 0 является рабочим [c.234]

Б котором производная (dxldt)k определяется непосредственно из дифференциального уравнения, описывающего x t) в момент tk, например из уравнения (3.38). Используя совместно (4.65) и (3.38), можно последовательно вычислять значения x t) и ее производной во всех узловых точках, если заданы начальное условие и дискретный аналог y t) в тех же узловых точках. [c.109]

Подставляя выражение (24.21) в формулу (24.18), находим функцию Р,(г, 0), а затем из (24.19) получаем Piir, 0). Итак, отображающая функция ы( ) определена. Можно показать, что она удовлетворяет условиям (24.16), причем в узловых точках значение производной равно среднеарифметическому. [c.200]

Чтобы найти частные производные этой функции напряжений, представим себе гладкую поверхность, координаты которой в узловых точках имеют вычисленные значения. Наклон этой поверхности в любой точке даст нам соответствуюш,ее приближенное значение касательного напряжения при кручении. Максимальные напряжения действуют в серединах сторон контура сечения. Чтобы получить некоторое представление о точности, которой можно добиться с принятым малым числом узловых точек сетки, найдем вызванные кручением напряжения в точке О (рис. 2). Для получения необходимого наклона рассмотрим некоторую гладкую кривую, имеющую в узловых точках на оси л вычисленные значения а, р и 7. Эти значения, деленные на /4G0б приведены во второй строке табл. 1.1. Остальные строки таблицы дают значения конечных разностей последовательно возрастакщего [c.519]

Граничные условия задачи выражаются в конечно-разностной форме. Для казкдой точки контура можно записать два граничных условия. В эти уравнения помимо значений прогибов внутри контура п па контуре входят значения прогибов в законтурных точках. В итоге получается система линейных алгебраических уравнений, пз которых определяются значения прогибов во всех узловых точках. Зная величины прогибов в каждой точке, можно определить, далее, через них вторые производные д и>1дх и д юЮу и, следовательно, величины изгибающих моментов Мх и Му. Точность полученных результатов решения задачи зависит от размера шага к. По мере уменьшения шага точность возрастает, но одновременно возрастает и число уравнений, которые нужно решать для определения прогибов в узловых точках. При замене производных конечными центральными разностями ошибка пропорциональна Поэтому точность вычисления быстро возрастает с уменыненпем шага. Вместе с тем примерно пропорционально 1/к возрастает число уравнений. [c.211]

Решение задачи сводится к решению системы линейных уравнений, из которой определяются значения функции ф для каждой узловой точки сетки. Затем, используя известные вырагкения для производных через значения функции в узловых точках (8.39), определяются нормальные о и 1 асательные Хху напряжения в каждой точке области. [c.214]

При определении различных пространственно-временных полей необходимо находить решения краевых. задач для дифференциальных уравнений в частных производных в заданных областях изменения пространственных переменных и временных интервалах. Отличительной особенностью применения численных методов является дискретизация нросгранственной и временной областей на первом же этапе решения задачи. При дискретизации выбираются узловые точки в пространственной и временной областях. На втором этапе составляется система алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в этих узловых точках. На третьем — проводится решение системы и находятся значения исследуемых величин в узловых точках. Отметим, что дискретизация области часто делается и при расчете на основе аналитических решений, однако в этих случаях она проводится на заключительных этапах, реализуемых уже после получения аналитического решения. [c.69]

Существуют два основных численных. метода решения уравнений в частных производных метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они отличаются сп н обами получения системы уравнений для значений искомых функций в узловых точках. Метод конечных разностей базируется непосредственно на дифференциальном уравнении и граничных условиях, а метод конечных элементов — на эквивалентной вариационной постановке задачи. [c.69]

МКР применяют для приближенного решения краевой задачи в прямой постановке (2.2 - 2.4). При этом определяют значения тензора Q в конечном числе фиксированных точек (узлов). Производные тензора Q по координатам, входящие в дифференциальные уравнения (2.2) и (2.3), аппрокотмируют подходящими разностными соотношениями, получая в результате систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений тензора Q. [c.49]

Каждый полином используется в прямоугольной области плоскости XY, ограниченной четырьмя прямыми линиями х Xi, х = = Хг х У — У , У У +1- Каждый полином определяется через заданные значения функции Z (х, у) и значения частных производных Zx = (dZ/dx), Zy = (dZldy), Zxy = d ZIdxdy) узловых точек прямоугольника. [c.145]

Данный алгоритм, подробное описание которого приведено в [4], был реализован в виде программы на языке АЛГАМС. В качестве контрольного был просчитан пример, рассмотренный в [4]. Соответствующие результаты показаны на рис. 5, где цифрой J обозначены узловые точки исходной кривой, 2 — точки, полученные после прибавления случайных нормальных отклонений (о = 1,0), 5 и 4 — оптимальные приближения функции и производной (МНК), 5 — производная полинома шестой степени, [c.161]

Так как в выражения для деформаций входят вторые производные, то функция смещения должна обеспечивать непрерывность как прогиба, так и угла наклона нормали к границе между элементами. Чтобы удовлетворить условию непрерывности угла наклона, в качестве узловых параметров будем рассматривать три компоненты перемещений перемещение и повороты нормали ф,-, ij),- относительно осей х i у соответственно. Положительные направления узловых прогиба и поворотов показаны на рис. 4.6. Их величины задаются векторами, направленными по соответству-юдчм осям. [c.148]

Решение системы (2.42) представляет собой корректируемый вектор, образованный из компонент вектора независимых переменных Хц по принципу наибольшего влияния на соответствуюш ие нелинейные функции /р и наименьшего влияния на величину расчетных затрат. Часто такие переменные для каждой узловой функции /р (X) можно указать заранее, на основе опыта инженерных расчетов узлов установки. В случае, когда этого нельзя сделать на базе имеющегося опыта, для выявления вектора X достаточно проанализировать частные производные dfpldxj и dSldxj (р = 1,а), (/ = l,s). Чем больше величина dfpldxj, тем сильнее зависимость /р (xj) аналогично для функции 3 (xj). [c.28]

На рис. 2 приведены результаты расчета пограничного слоя при Ua = и, — Vo = V = 0-, tu = t = Т =1 М — = 0 0 = 1 р, = 0,01 h = 0,01 I = 0,0001, когда порядок производной от поперечной скорости, монотонно убываюш,ей в направлении оси у вблизи внешней границы слоя, изменяется в пределах от fe = 1 до fe = 5. Из рисунка видно, что при увеличении k наряду с повышением точности решения существенно возрастает число узловых точек s на каждом слое п, определяющее объем вычислительных операций. Относитель- [c.156]

П.ростые переменные RB = 0.015 DB = 0.005 — соответственно наружный радиус и толщина стенки стального вала, м Н = 0.009 — суммарная толщина сопряженного изделия (стенки вала и слоя резиновой смеси) N = 20 — число элементарных слоев, выделяемых в двухслойном изделии С =11—номер индекса точки на границе контакта вала с резиновой смесью в общей нумерации границ элементарных слоев, начинающейся с I = 1 для внутренней поверхности вала КТ = 1.93 ТЭ = 160 — соответственно температурный коэффициент вулканизации /Ст и температура эквивалентного изотермического режима вулканизации Тэ °С ВП = 900 — время процесса вулканизации, для которого намечается произвести расчет, с Г1 = 2 Г2 = 1 —род граничных условий (второй и первый) соответственно на внутренней поверхности вала и на наружной поверхности слоя резиновой смеси ТО = 30 — начальная температура изделия Го, °С ТН2 = 170 — начальная температура наружной поверхности изделия, образующаяся при совершенном тепловом контакте с формой Гн, °С Т2 = О — приращение температуры формы за шаг по времени AL1 = О — плотность теплового потока через внутреннюю поверхность вала ЧЦ = 10 — число циклов интегрирования по времени, через которое намечается производить печатание текущих результатов ПХ = 1 — признак задания массивом значений узловых линейных координат эквивалентной пластины ПТ = 0 — признак задания постоянной начальной температуры изделия ПП = 1 — признак печатания сокращенного объема информации в цикле интегрирования по времени СИГМА = = 1/2 — коэффициент к производной в сеточной схеме интегрирования уравнения теплопроводности. [c.205]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...