Уравнения упругие 58, 61, 92, 104 — Закон

Задавшись какой-либо формой сечения (причем таким образом, чтобы размеры его определялись только одним параметром), из уравнения (10.144) находим закон изменения этого параметра по длине балки. Тем самым определяем размеры всех сечений. Для нахождения перемещений можно пользоваться дифференциальным уравнением упругой линии (10.143). [c.303]

Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии. Поэтому воспользоваться этой формулой можно лишь в том случае, если справедлив закон Гука, т. е. пока критическое напряжение (напряжение сжатия, соответствующее критической силе) не превышает предела пропорциональности [c.509]

Формулой Эйлера не всегда можно пользоваться. При ее выводе мы пользовались дифференциальным уравнением упругой линии, вывод которого основан на законе Гука. Закон же Гука, как известно, справедлив до тех пор, пока напряжения не превосходят предела пропорциональности. [c.269]

Это определяющее уравнение называется законом Гука. Заметим, что соотношение (1.181), определяющее поведение линейно-упругого тела, может быть получено формальной линеаризацией (около нуля) более общей зависимости (1.179) по переменной ё, в декартовой системе [c.39]

Итак, рассмотрим изолированную систему материальных точек, обладающих массами т,, т. , rn-j, между которыми действуют только силы тяготения, упругости или электрического поля, созданного электрическими зарядами. При v < с можно массы считать постоянными и для этих точек уравнения второго закона Ньютона записать так [c.141]

Если удар можно считать абсолютно упругим, то для скоростей до удара и после удара должны быть справедливы уравнения, выражающие закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Предполагая напишем оба эти закона в форме, применимой [c.153]

Формула Эйлера. Программами вывод формулы Эйлера не предусмотрен. Все же считаем необходимым указать, что вывод базируется на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии, а значит, и на использовании основного уравнения изгиба (зависимости между кривизной и изгибающим моментом), которое получено на основе закона Гука. Это указание даст возможность в дальнейшем не рецептурно, а физически обоснованно установить обл асть применимости формулы Эйлера. [c.192]

Расчет балки на упругом основании является статически неопределимой задачей, так как одних уравнений равновесия (2Х = 0 и т. д.) недостаточно для определения закона изменения интенсивности реакции основания по длине балки. Интенсивность реакции основания связана с деформацией балки, поэтому для решения задачи сначала найдем уравнение упругой линии балки. [c.341]

Как показывают расчеты по уравнениям теории упругости, закон распределения касательных напряжений в поперечном сечении соответствует эпюрам, приведенным на рис. 13.19. Здесь h — высота, Ь — ширина сечения. Наибольшее касательное напряжение в средней точке длинной стороны се- [c.306]

Обозначая константу для данного металла [Ахт т— —через модуль упругости Е, получим, что связь между напряжениями и деформациями для идеальных кристаллов нелинейная (см. табл. 2) и отклонение от упругого закона Гука а=Ег [первый член уравнения (8)] незначительно только для малых деформаций. [c.19]

В простейшем случае для изотропного линейно-упругого тела эти уравнения (обобщенный закон Гука) записываются в форме [c.51]

Формулы, выведенные в 13.2, справедливы только тогда, когда напряжения в материале, вызванные критической силой, не превышают предела пропорциональности, т. е. когда о,.р а ц. Это следует из того, что в основу вывода формул положено дифференциальное уравнение упругой линии, которым можно пользоваться лишь в пределах применимости закона Гука. [c.489]

Выразим постоянную С, входящую в уравнения обобщенного закона Гука (1.7), через упругие постоянные Е и р изотропного материала. Для этого рассмотрим деформацию элемента, испытывающего чистый сдвиг (рис. 111.2). Для упрощения вывода его ребра в направлениях осей х и у приняты равными. В результате деформации верхняя грань переместится параллельно нижней на Д5 (сдвинется), отсюда и название напряженного состояния, при котором эта деформация возникает. Перемещение Д5 называется абсолютным сдвигом. [c.85]

Уравнения обобщенного закона Гука (2.8) разрешены относительно деформаций е, е , Вг. Если эти уравнения разрешить относительно нормальных напряя ений щ, Яу, щ, введя упругие постоянные Лямэ О и Я, то молено получить иную форму обобщенного закона Гука [c.41]

Уравнения (10.36), (10.37) в теории малых упруго-пластических деформаций играют такую же роль, как и уравнения обобщенного закона Гука в теории упругости. [c.286]

При решении задач теории упругости можно использовать различные эквивалентные системы уравнений, которые рассматриваются подробно ниже. Отметим, однако, сразу, что эти различные системы представляют собой записанные в разных формах уравнения импульсов, закон Гука и уравнения совместности (к этим уравнениям, в случае необходимости, добавляются уравнение неразрывности и уравнение притока тепла). [c.342]

При плоском напряженном состоянии уравнения теории упругости имеют тот же вид, что и при плоской деформации, лишь в уравнения обобщенного закона Гука входят другие коэффициенты. Вследствие этого уравнения равновесия в перемещениях (в декартовой системе координат) будут иметь вид (1.6.9) при следующих значениях коэффициентов [c.72]

При п = 1 и Оо/ео = Е уравнение (5.38) выражает соотношение между напряжением и деформацией в области линейной упругости (закон Гука), В этом случае уравнения (5.39) и (5.43) совпадают с уравнениями, определяющими напряжение и деформацию вблизи вершины трещины в упругом теле. Следовательно, соотношения между J и коэффициентом интенсивности упругих на- [c.187]

В третьей группе шести уравнений формулируется закон состояния линейно-упругого тела. Для изотропного тела и в изотермическом или адиабатическом процессах этот закон —обобщенный закон Гука — записывается в форме [c.124]

В заключение обратим внимание на одно важное обстоятельство. Приняв кинематическую гипотезу (2,11) в качестве независимой, мы нарушили уравнения обобщенного закона Гука для поперечных касательных напряжений. Однако, как уже отмечалось в гл, 1, это не вносит неустранимых противоречий в уточненную теорию оболочек ниже будет показано, что соответствующие соотношения упругости выполняются интегрально по толщине пакета и дополнительно по толщине к о слоя. [c.36]

Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии в предположении, что материал следует закону Гука. Следовательно, формула Эйлера применима лишь в том случае, когда критические напряжения не превышают предела пропорциональности, т.е. [c.280]

Эти состояния совпадают соответственно с состоянием линейной упругости (закон Гука), состоянием текучести и состоянием упрочнения, рассмотренными выше на основе экспериментальных данных. Термодинамический анализ не только избавляет от этих дополнительных предположений и приводит к условиям текучести и упрочнения, но, что важнее, выясняет природу уравнений теории упруго-пластических деформаций и возможности использования в теории пластичности уравнений нелинейно-упругого тела ). Наконец, развиваемая концепция делает понятным существование потенциала работы деформации. [c.48]

Уравнение Максвелла. Уравнение упруго-вязкого тела было получено путем сложения напряжений, соответствующих простым средам — упругой и вязкой. Будем теперь складывать не усилия, а скорости деформации, отвечающие одному и тому же напряжению. Очевидно, что этой среде соответствует модель, состоящая из пружины (упругий элемент), последовательно соединенной с вязким элементом (фиг. 203). Закон деформации подобной среды, впервые полученный Максвеллом имеет вид [c.302]

Из полученных выражений, a также из (2.45) усматривается, что для энергетических пар упругие законы линейны относительно компонент тензора деформации. К сожалению, выявленные пары (3.45) не содержат входящие в уравнения движения тензоры S и F ./S). Это в значительной мере обесценивает стандартные материалы. [c.45]

Вследствие сферической симметрии имеет место только радиальное смещение, поэтому уравнение упругого движения и закон Гука в сферических координатах г, 6, ф, центр которых совпадает с центром полости радиуса а, запишутся в виде [c.283]

Здесь второе уравнение, реализующее упругий закон, центрировано относительно координаты 0.+ 1/2 и момента времени поэтому для вычисления геометрических параметров ис- [c.113]

Цилиндрическое тело может состоять из слоев различных мате-риалов, тогда при вычислении напряжений для каждого дискретного элемента используются свои определяющие уравнения. Для упругопластического материала и при использовании явной схемы решения уравнений (5,5.6) по времени напряжения определяются через приращения = о" + Ао по упругому закону [c.121]

Для получения второго уравнения используем закон сохранения энергии. Поскольку столкновение является абсолютно упругим, то в точке столкновения энергия не расходуется. Реакция же опоры работы не производит, поскольку опора неподвижна. Следовательно, [c.615]

Замечательным является то, что все найденные нами величины и законы полностью сохраняют свою силу для рассмотрения движений любых других тел, не относящихся к твердым. Законы Ньютона, уравнение моментов, законы сохранения количества движения и энергии с полным правом могут применяться к решению задач о движении жидких и газообразных тел, для расчета механических процессов в упругих средах. Во всех таких случаях к этим законам необходимо только добавлять уравнения, выражающие особые механические свойства этих сред, и учитывать особенности тех новых вопросов, которые могут возникнуть относительно движений в этих средах. [c.283]

При этом оно формально совпадает с (1.2.4) для механических колебаний. Что касается существа процессов, то эти два уравнения описывают законы совершенно различных явлений. Механическое уравнение дает законы смещения тела, на которое действует сила упругости. Уравнение колебательного контура выражает закон изменения электрического заряда конденсатора, когда его обкладки замкнуты на катушку самоиндукции. [c.10]

В основу теории распространения упругих волн в жидкостях и газах положены уравнения состояния жидкости, уравнения движения Эйлера, уравнение непрерывности для плотности жидкости и уравнение, выражающее закон сохранения энергии, — всего шесть уравнений относительно давления р, плотности р, скорости v и температуры Т. Все перечисленные величины характеризуют свойства и состояние движения жидкости в том смысле, что они являются численными выражениями свойств элемента объема А У вещества, настолько малого по своим линейным размерам, что в пределах этого объема они не зависят от изменения координат точек пространства, ограниченного этим объемом. [c.154]

Если через каждую точку тела проходят три ортогональные плоскости упругой симметрии и оси координат перпендикулярны к этим плоскостям, то получаем следующее уравнение обобщенного закона Гука [c.10]

Монотонное нагружение обычно реализуется при простом нагружении, когда все внешние силовые факторы изменяются пропорционально одному возрастающему параметру. При простом нагружении соотношение между внешними нагрузками в процессе нагружения остается неизменным. Если наступает процесс разгрузки, когда во всех точках тела иитеисивность напряжений убывает (например, при снятии В1гешних усилий), то приращение (уменьшение) напряжений и деформаций ка этапе разгрузки определяется на основе уравнений упругости (закон разгрузки см. рис. 5.15). Основные ограничения рассматриваемой модели пластичности связаны с тем, что уравнения пластич- [c.129]

Здесь формулируется энергетическое вариационное условие, сгфеде- яю нее совместно с уравнениями теории упругости закон движения кромки трещин при быстром неустойчивом ее распространении или при действии динамической нагрузки на тело стрешиной. [c.323]

Строгая математическая модель деформаций дЛя всей конструкции ЭМУ, состоящей из п тел, в соответствии с теорией упругости представляет совокупность п систем известных уравнений физических (закон Гука) для составляющих напряжений в точке, геометрических (условия совместности) для деформаций в точке от перемещений и статических (уравнения равновесия) для связи напряжений с проекциями объемных сил совместно со взаимосвязанными геометрическими и граничными условиями [3]. При этом предполагается, что нагрузки на элементы конструкции заданы. Это существенно, например, при рассмотрении температурных полей и деформаций и их взаимовлияршя. [c.120]

Уравнения упругого равновесия в перемещениях получим путем исключения компонент тензора напряжений Tij (лг ) из уравнений равновесия (4.3), используя формулу закона Гука (4.4). [c.73]

Балка, сжатая силой Af, подвергается действию поперечной нагрузки. Жесткость балки EJ, длина пролета / концы оперты шарнирно. Найти уравнение упругой линиии закон изменения изгибающего момента для нескольких вариантов поперечной нагрузки, показанных на рисунке. Для случаев нагрузки по вариантам б), в), г) определить также стрелу прогиба и максимальный изгибающий момент. [c.213]

Как показывают теоретические исследования, с которыми можно познакомиться, например, по книге П. Ф. Попковича Теория упругости , для изотропного материала уравнения обобщенного закона Гука запищутся в виде [c.19]

П.8. Выражение постоянных А и В, входшцих в уравнения обобщенного закона Гука, через упругие консганты материала и ц [c.46]

Различие между этими разделами механики состоит, во-первых, в рассматриваемых объектах (так, например, в курсе сопротивления материалов рассматривается главным образом брус, в теории упругости помимо бруса изучаются нанряжеиное и деформированное состояния пластин, оболочек, массива, а в строительной механике объектами изучения являются системы, состоящие из стержней (фермы), балок (рамы), пластин и оболочек) во-вторых, в принимаемых допущениях (теории упругости, пластичности и ползучести отличаются друг от друга тем, что в них принимаются различные физические законы, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями, но не вводится каких-либо деформационных гипотез, а в сопротивлении материалов физический закон тот же, что и в теории упругости (закон Гука), но, кроме того, принимается дополнительно ряд допущений — гипотеза плоских сечений, ненадавлпвания волокон и т. д.) в-третьих, в методах, используемых для решения задач (в теории упругости приходится решать существенно более слопшые уравнения, чем в сопротивлении материалов, и для их решения приходится прибегать к более сложным математическим методам). [c.7]

Другим примером может служить тождественность дифференциальных уравнений, вырал<ающих закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению скручиваемого стержня, дифференциальным уравнениям упругой поверхности мембраны, натянутой на конкретный контур и подвергнутой равномерно раюпределенному давлению. Эта тождественность лежит в основе получившего распространение метода мембранной аналогии, при использовании которого в пластинке выреза- [c.7]

Система уравнений (7.71) — (7.78) содержит восемь уравнений (три закона сохранения, уравнение линии тока, уравнения для Энергии дисторсии и упругой дисторсии 1Ру и два уравнения, связывающих компоненты девиатора напряжений с компонентами девиато-ров деформаций и скоростей деформаций) и девять функций Р, V, , г, и, Зг, 82, у. Девятым уравнением, делающим систему [c.225]

Преобразованиями, аналогичными нроведенньш в предыдущем параграфе, получаем условия перехода при малых деформациях уравнений упругости сжимаемого материала (3.3) в закон Гука (2.6.3) [c.68]

Конечно, Герц не имел, как имели мы здесь, уже готового предположения о распределении давления по поверхности плитки, при знании которого ему оставалось бы только доказать правильность решения. Он по этому вопросу не делал никаких предварительных предположений и нашел закон распределения давлений лишь в результате своих исследований. Герц пришел к своему результату, опираясь на то, что решение основных уравнений упругого равновесия может быть получено при помощи теории потенциала притягивающих или отталкивающих масс. Если представить себе, что между обоими телами помещен трехосный эллипсоид равномерной плотности, у которого ось, идущая в направлении нормали касательной плоскости, в сравнении с осями, расположенными в площадке сжатия, бесконечно мала, то для сил притяжения масс этого эллипсоида, подчиняющихся закону тяготения Ньютона, можно вычислить потенциал в виде функции от координат ауфпункта ) и для такого потенциала уже давно была выведена готовая формула. Как можно показать, не только сами составляющие сил притяжения, вычисляемые по соответствующим формулам, но и функции, получаемые из них путем диференцирования или интегрирования по координатам, будут представлять решения основных уравнений теории упругости, и вся задача заключается лишь в том, чтобы составить из них такое решение, которое удовлетворяло бы одновременно всем граничным условиям, относящимся к напряжениям и деформациям. Это и удалось сделать Герцу. Кто захотел бы ознакомиться с теорией сжатия упругих тел по оригинальным работам Герца, тот должен иметь соответствующие предварительные сведения из теории потенциала. [c.230]

Закон дефорхмирования (1.4) упрощается, если через каждую точку тела можно провести плоскость, обладающую тем свойством, что любые два направления, симметричные относительно этой плоскости, эквивалентны в отношении упругих свойств. Принимая, что плоскость упругой симметрии в каждой точке тела параллельна координатной плоскости 1—2, уравнение обобщенного закона Гука можно записать в виде [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...