Дифференциальное уравнение упругой линии и его интегрирование

Предоставим читателю возможность самостоятельно решить этот пример. Укажем лишь, что на каждом из участков балки при интегрировании дифференциальных уравнений упругой линии будут получены по две произвольные постоянные i,D[ и Си, Оц. Для их определения к двум опорным условиям балки [c.277]

Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии в случае балок с большим количеством участков сопряжено со значительными трудностями. Эти затруднения заключаются не в интегрировании дифференциальных уравнений, а в технике определения произвольных постоянных интегрирования — составлении и решении систем линейных алгебраических уравнений. Так, если балка по условиям нагружения разбивается на п участков, то интегрирование дифференциальных уравнений для всех участков балки дает 2п произвольных постоянных. Добавив к двум основным оперным условиям балки 2 п — 1) условий непрерывного и плавного сопряжения всех участков упругой линии, можно составить 2п уравнений для определения этих постоянных. [c.281]

Уравнение квадратной параболы получено при интегрировании приближенного дифференциального уравнения упругой линии балки у" = - М / Е1, полученного из точного уравнения [c.166]

Расчет ма прочность в этом случае связан с необходимостью опре-деления прогиба. При продольно-поперечном изгибе принцип сложения действия сил неприменим, поэтому прогибы нельзя определять с помощью интеграла Мора и способом Верещагина. Перемещения при продольно-поперечном изгибе определяют интегрированием дифференциального уравнения упругой линии. [c.254]

Следует проиллюстрировать интегрирование дифференциального уравнения упругой линии на двух простых примерах, скажем, определить прогибы и углы поворота свободного конца простой консоли при ее нагружении сосредоточенной силой на свободном конце и равномерно распределенной нагрузкой по всей длине. [c.135]

Формула Эйлера. Программами вывод формулы Эйлера не предусмотрен. Все же считаем необходимым указать, что вывод базируется на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии, а значит, и на использовании основного уравнения изгиба (зависимости между кривизной и изгибающим моментом), которое получено на основе закона Гука. Это указание даст возможность в дальнейшем не рецептурно, а физически обоснованно установить обл асть применимости формулы Эйлера. [c.192]

Интегрирование дифференциального уравнения упругой линии. Мы уже говорили о том, что для простейших случаев балок с одним участком нагружения всегда в порядке изучения обязательного программного материала следует показывать учащимся, как интегрируется дифференциальное уравнение и как определяются постоянные интегрирования. Определение перемещений в более сложных случаях отнесено к специальным (дополнительным) вопросам программы. [c.210]

При интегрировании дифференциального уравнения упругой линии применяются следующие три приема [c.128]

Метод определения перемещений, основанный на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии, иногда называют аналитическим методом. Примеры его применения даны в следующем параграфе. [c.129]

ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПУТЕМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ УПРУГОЙ ЛИНИИ [c.129]

Имея уравнения (а), (б), (в) и (г), можно доказать, что при соблюдении правил составления дифференциальных уравнений упругой линии и их интегрирования постоянные интегрирования С и О для всех участков будут одинаковыми. [c.197]

Задачи 386—387. В задаче 386 определить прогибы / и углы поворота 0 сечений балок методом интегрирования дифференциальных уравнений упругой линии [c.146]

Чтобы резко сократить число неизвестных произвольных постоянных, сведя решение к определению только двух постоянных интегрирования, необходимо обеспечить равенство соответствующих постоянных на всех участках балки. Это равенство может быть только тогда, когда в уравнениях- моментов, углов поворота и прогибов при переходе от участка к участку повторяются все члены предыдущего участка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на левых границах своих участков. Для обеспечения этих условий при составлении дифференциальных уравнений упругой линии и их интегрирования должны соблюдаться следующие правила [c.302]

Тот же прогиб получается путем интегрирования дифференциального уравнения упругой линии в виде [c.367]

Интегрирование дифференциального уравнения (У.47) даже в простейших случаях нагружения связано с большими математическими трудностями, и для балок большой жесткости его упрощают, пренебрегая квадратом у (квадратом угла поворота сечения) в знаменателе уравнения, как величиной малой, по сравнению с единицей. В результате получают дифференциальное уравнение упругой линии балки (участка) большой жесткости [c.187]

На рис. XII.2 приведены графики зависимостей Р = Р(у) для тре.х значений ф, построенные на основании решения задачи о продольном изгибе достаточно длинного упругого консольного стержня. Это решение получено путем интегрирования точного дифференциального уравнения упругой линии стержня (У.47) [c.352]

Недостатки метода Эйлера объясняются тем, что он основывается на приближенном дифференциальном уравнении упругой линии (XII.4), справедливом для малых прогибов. После потери устойчивости незначительному увеличению Р по сравнению с Р соответствует настолько значительное увеличение наибольшего прогиба стержня, что уравнение (XII.4) оказывается непригодным для получения на основании его интегрирования у = у (х). [c.359]

Если размеры поперечного сечения бруса плавно изменяются вдоль его оси, то перемещения определяют либо интегрированием дифференциального уравнения упругой линии, либо с помощью интеграла Мора, учитывая при этом, что жесткость является функцией координаты произвольного сечения. [c.333]

Перемещения при продольно-поперечном изгибе определяются интегрированием дифференциального уравнения упругой линии (см. табл. 29). [c.377]

Применяя принцип сложения действия сил, для нахождения полного перемещения центра тяжести какого-либо сечения стержня можно использовать дифференциальные уравнения упругой линии, получаемые из (23.12) и (23.13). После интегрирования их с последующим нахождением постоянных интегрирования из граничных условий и определения в данном сечении двух составляющих перемещения fy и /г в направлении главных осей инерции г/ и 2 величину полного перемещения найдем как их геометрическую сумму [c.390]

Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки [c.131]

Для определения перемещений в ступенчатом стержне можно пользоваться методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки или энергетическими методами, которые будут рассмотрены ниже, или применять видоизмененный метод начальных параметров. Суть последнего заключается в замене ступенчатого стержня эквивалентным ему по деформациям стержнем постоянной жесткости. [c.152]

При двух уравнениях—три неизвестных. Применим при раскрытии статической неопределимости метод интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки с использованием приема уравнивания произвольных постоянных интегрирования (см. решения задач в 22). Начало координат примем в точке В, в защемлении балки, чтобы произвольные постоянные С и D оказались равными нулю. Составляем дифференциальное уравнение упругой линии и интегрируем его дважды [c.228]

Метод интегрирования дифференциального уравнения упругой линии. [c.221]

На основании выполненных примеров можно установить следующий ПОРЯДОК определения перемещений (при изгибе балок) методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения Упругой линии. [c.333]

В каком порядке производится определение углов поворота и прогибов сечений балки методом непосредственного интегрирования основного дифференциального уравнения упругой линии [c.399]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ И ЕГО ИНТЕГРИРОВАНИЕ [c.276]

Для того чтобы обеспечить получение лишь двух постоянных интегрирования независимо от числа участков, при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии нужно применять следующие три приема (на обоснованиях и доказательствах не останавливаемся). [c.282]

Одним из способов определения углов поворота и прогибов сечений балок является интегрирование приближенного дифференциального уравнения упругой линии EJ,y"= M,. [c.181]

Прогибы 1/ +1 и углы поворота 0l+ i в конце /с-го участка вала постоянного сечения (рис. П 3.1), можно определить интегрированием дифференциального уравнения упругой линии [c.385]

Стержень постоянного сечения, интегрирование по методу начальных параметров. Дифференциальное уравнение упругой линии [c.214]

Последние отличаются от обычных дифференциальных уравнений упругой линии лишь тем, что здесь рассматривается ось, проходящая через центр изгиба, а не через центр тяжести сечения. Интегрирование уравнений (1.70) и (1.71) производится обычным порядком. [c.50]

При выводе формулы Эйлера вопрос о величине прогибов стержня при силе, большей критической, остался нерешенным (неопределенной осталась величина постоянной интегрирования А). В рамках использования приближенного дифференциального уравнения упругой линии его решение вообще невозможно. Если выводить формулу Эйлера, пользуясь точным выр 1ке [c.278]

В более сложных случаях изгиба статически неопределимых балок перемещения сечений, освобожденных от лишних связей, выражаются через внешние нагрузки и лишние реакции отброшенных закреплений путем интегрирования дифференциального уравнения упругой линии основной статически определимой балки или с использованием для перемещений формул Максвелла—Мора. Рассмотрим в качестве примера дважды статически неопределимую балку, схема загружения и закрепления которой [c.288]

Некоторые вопросы теории. Обязательная часть программы не предусматривает изучения какого-либо из методов определения перемещений. Поэтому вопросы об интегрировании дифференциального уравнения упругой линии или об интеграле Мора и правиле Верещагина могут рассматриваться лишь за счет времени, отводимого на допо1лнительные вопросы программы. [c.135]

Процедура исследования прогибов стержня при тепловом воздействии практически повторяет в своих принципиальных аспектах рассмотренный ранее метод интегрирования дифференциального уравнения упругой линии при силовом воздействии (см. гл. И). В обоих случаях в качестве исходной (задаваемой) деформации выступает наводимая в стержне кривизна ифают роль лишь численные значения кривизны вне зависимости от характера причинных факторов (сила или температура). Т. е. при равенстве силовых и тепловых кривйзн в одинаковых стержнях прогибы тоже одинаковы. Высказанное утверждение справедливо и при сопоставлении осевых (продольных) пфемещений и. [c.454]

Постоянные С и С , а также 0% и равны друг другу в результате применения приема Клебша при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии. [c.332]

При иных видах закрепления концов, а также при ином за-гружении стержня продольными силами задача по определению критической нагрузки решается путем интегрирования соответ-ствуюшего дифференциального уравнения упругой линии. Однако всегда критическая сила может быть выражена в форме [c.408]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...