Версальная деформация

Топологически версальные деформации. Рассмотрим семейство дифференциальных уравнений х = (х, е). [c.16]

Локальное семейство называется топологически орбитально версальной (короче, просто версальной) деформацией роста поля ио= и ( , ео) в точке Хо, если всякое другое локальное семейство, содержащее тот же росток, строго эквивалентно индуцированному из данного. [c.17]

Слабо версальная деформация ростка определяется так же, только эквивалентность заменяется слабой эквивалентностью . [c.17]

Указание и исследование версальной деформации ростка векторного поля является способом концентрированного представления результатов очень полного исследования бифуркаций фазового портрета. [c.17]

Пара комплексно сопряженных мультипликаторов. Деформации ростков диффеоморфизмов с парой комплексно сопряженных мультипликаторов имеют топологический инвариант, пробегающий единичную окружность (аргумент мультипликатора, по модулю равного-единице), и даже в классе ростков с парой мультипликаторов е (a> фиксировано) конечно параметрические версальные деформации не построены и, видимо, не существуют. [c.46]

Типичные диффеоморфизмы с двумя мультипликаторами — корнями из единицы, вероятно, не имеют конечно параметрических версальных деформаций. [c.55]

Обзор результатов. Интегрируемые конечно гладкие нормальные формы удается получить для деформаций ростков векторных полей в гиперболической неподвижной точке или ростков векторных полей на гиперболическом цикле, в предположении, что линеаризация соответствующих ростков нерезонансна или имеет однократный резонанс. Удается также написать конечно гладкую версальную деформацию ростка векторного поля с одним нулевым собственным значением в особой точке. [c.67]

Замечания. 1. Семейство /4(e) является версальной деформацией оператора Л(0) также деформации найдены в [19]. [c.69]

Следствие. Пусть -произвольное натуральное число. Если собственные значения особой точки гиперболического ростка векторного поля не удовлетворяют резонансному соотношению порядка N k) или ниже, то версальная деформация ростка -гладко эквивалентна версальной деформации его линейной части. Другими словами, любая деформация ростка С -гладкой заменой превращается в семейство линейных векторных полей. [c.71]

Богданов Р. И., Бифуркации предельного цикла одного семейства векторных полей на плоскости. Тр. семинаров им. И. Г. Петровского, 1976, вып. 2, 23—36 Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел, там же, 37—65 [c.211]

Соответствующая каустика изображена на рис. 268. Группа Я4 связана с четырехмерным пространством базы версальной деформации (эта связь уже указывалась в замечании 7 9 статьи Арнольд В. И. Индексы особых точек 1-форм на многообразии с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями, и особые проекции гладких поверхностей//УМН.—1979.— Т. 34, вып. 2.- С. 3-38). [c.464]

Теорема ([ 1б]). Трансверсаль к орбите / (наименьшей размерности) является (мини)версальной деформацией. [c.17]

Версальная деформация критической точки. Перенесем понятие версальной деформации на случай, когда М — функциональное пространство ростков функций, на котором действует бесконечномерная группа замен переменных. [c.17]

Версальная деформация единственна в следующем смысле. [c.19]

Т е о р е м а ([25]). Любая /-параметрическая версальная деформация ростка f, эквивалентна деформации, индуцированной из любой другой версальной деформации с /-параметрами диффеоморфным отображением их баз. [c.19]

Бифуркационная диаграмма нулей. Бифуркационная диаграмма нулей — это росток поверхности в базе версальной деформации F x,X), образованный теми значениями параметра, при которых О является критическим значением функции F , Л,) переменной х. [c.20]

Чтобы придать этому определению точный смысл, рассмотрим ситуацию локально. Пусть f (С", 0)- (С, 0)—росток с изолированной критической точкой в нуле. Зафиксируем его версальную деформацию F x, Л.) и выберем достаточно малые окрестности нуля U= x j p = " и Л= Я Л б с=0 . [c.20]

Определение. Усеченной версальной деформацией ростка / называется версальная деформация в классе деформаций из Шя. [c.22]

Назовем деформацию vF(j , Л) (j , V)+ о с базой,Л= г=Л ХС пополненной версальной деформацией, соответствующей усеченной деформации F x, К ). [c.22]

Пример. Усеченной версальной деформацией для f x) = =х является деформация F(x, V) =x + k2x + kix. Этот многочлен имеет вырожденные критические точки в том случае, когда его производная имеет кратные корни, т. е. 27Я, +8Х =. =0. Можно Проверить также, что совпадающие критические [c.22]

Замечание. Отождествление /->(—0) области значений функции ] с осью Яо в базе версальной деформации Л определяет естественные вложения [c.94]

Теорема ([42]). Функция Д//г" 2 голоморфна в начале координат базы версальной деформации Л. [c.98]

Теорема сведения ([117], [20]). Локальное семействовекторных полей (и О, 0), г (О, 0)=0 топологически эквивалентно надстройке седла над ограничением семейства на его центральное многообразие. Это ограничение (обозначим его-(ш О, 0) представляет собой локальное семейство с с-мерным фазовым пространством, где с — размерность центрального многообразия ростка v -, 0)). Если локальное семейство (ш О, 0) является версальной деформацией ростка w -, 0), тО исходное семейство (и О, 0) является версальной деформацией, ростка г ( , 0). А [c.18]

В типичных однопараметрических семействах векторных полей встречаются негиперболические особые точки двух типов одно собственное значение особой точки равно нулю или два чисто мнимых, отличных от нуля, а остальные не лежат на мни-1КрЙ оси. В этом параграфе описаны версальные деформации ТД1СИХ ростков и обсуждается явление мягкой и жесткой потери устрйчивости положения равновесия. [c.20]

Классы и встречаются неустранимьш малый шевелением образом в семействах, зависящих от не мейее чём ц параметров. Типичное семейство, содержащее росток класса Л , стабильно (с точностью до надстройки седла) локально топологически эквивалентно (указанному в таблице 1) главному семейству и является, как и оно, версальной деформацией сво- его самого вырожденного поля. Аналогичное утверждение справедливо для семейств, содержащих росток Кл зсса только эквивалентность следует заменить слабой эквивалент-ностью .А [c.23]

Определение 2. Деформация ростка векторного поля в особой точке называется конечногладко (орбитально) версальной, если для любого k у нее существует представитель, являющийся -гладко (орбитально) версальной деформацией этого ростка. [c.67]

Замечание. Конечногладкая версальная деформация является сколь угодно гладкой , но не бесконечногладкой . Дело в том, что чем выше гладкость диффеоморфизма, сопрягающего произвольную деформацию и индуцированную из версальной, тем меньше, вообще говоря, область изменения параметров. Аналогично обстоит дело с гладкостью центрального многообразия для гладкого векторного поля оно сколь угодно гладко, но не бесконечногладко чем выше требования гладкости, тем меньшая окрестность особой точки на центральном многообразии этой гладкостью обладает. [c.67]

Теорема (Н. Н. Брушлинская [47]). Версальная деформация ростка диффеоморфизма типа Пуанкаре в неподвижной точке эквивалентна полиномиальному семейству диффеоморфиз- [c.71]

MOB, зависящему от d + m параметров. Здесь d — число параметров версальной деформации линейиой части исходного ростка, am — число резонансных соотношений, которым удовлетворяет набор его мультипликаторов. Если деформация гладкая (аналитическая), то нормализующие замены также гладки (аналитичны). [c.72]

Костов В. П., Версальные деформации дифференциальных форм степени а на прямой. Функц. анализ и его прил., 1984, 18, вып. 4, 81—82 [c.213]

Можно предполагать, что и другие пуассоновы (в частности, симплектические) структуры на базах версальных деформаций особенностей, индуцированные из формы пересечений инфинитези-мально устойчивыми отображениями периодов, определяются естественными условиями на ранги ограничения пуассоновой структуры на страты дискриминанта (с точностью до сохраняющих бифуркационное множество диффеоморфизмов). Естественное условие в разобранном выше трехмерном примере состоит в том, что линия самопересечения ласточкина хвоста лежит в симплектическом слое. В четырехмерном пространстве аналогичную роль, видимо, играет условие лагранжевости многообразия многочленов с двумя критическими точками с критическим значением нуль в симплектическом пространстве многочленов ж 4- -Ь -Ь + ЯдЖ -Ь Я4. [c.434]

Версальная деформация с минимально возможным значением размерности базы называется миниверсальной. [c.16]

Инфинитезимальная версальность. Допускает перенесение в бесконечномерную ситуацию и теорема п. 1.6, утверждающая, что трансверсаль к орбите таляется версальной деформацией. ........ [c.18]

Усеченная версальная деформация и бифуркационная диаграмма функций. Пусть f (С , 0)- (С, 0) —росток функции. В п. 1.7 мы определили версальную деформацию ростка f x), используя в качестве функционального пространства М пространство ростков функций на С". Ограничимся теперь деформациями в классе ростков функций 1 з ш,. Определения эквивалентности н версальности деформаций без изменений переносятся на этот случай. [c.22]

Как показывает следующее рассуждение, это определение группы монодромии эквивалентно приведенному в п. 1.4. Версальная деформация Р г, X) имеет вид Р (г, X ) +А,о, где Х= = (Х, Аю) Х еО ". Морсификация функции f при малом в эквивалентна фушздии / ( , Л, (в))- Яю(в), т. к. однопараметри-чеокая деформация функции f эквивалентна индуцированной из версальной деформации Р. [c.72]

Бифуркационная диаграмма нулей Зс Л является неприводимым р,-листным разветвленным накрытием над гиперплоскостью Х,о=0 в базе версальной деформации Л. Пусть Л(Я) — голоморфная функция, являющаяся полиномом степени р, переменной Яю, равная нулю на 2. [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...