Трансверсально критические точки

Можно ввести понятие трансверсальности критических точек функций как частный случай трансверсальности неподвижных точек отображений. А именно, пусть / М—>К является -функцией. Тогда отображение сдвига за единичное время градиентного потока является С -диффеоморфизмом относительно любой римановой метрики и его неподвижные точки — это в точности критические точки /. Таким образом, мы называем критическую точку р функции / невырожденной, если она является трансверсальной неподвижной точкой отображения сдвига за единичное время градиентного потока /. Чтобы показать, что это определение корректно, мы должны доказать, что оно не зависит от выбора римановой метрики для построения градиентного потока. Для этого выберем ортонормированный базис в пространстве и локальные координаты в окрестности точки р так, [c.297]

А. 1.2. Трансверсально критические точки [c.111]

Рис. 41. Трансверсальность критической точки.

Множество трансверсально критических точек коранга г является подмногообразием 5г размерности р — т — г(п — т + а) ). [c.112]

А. 1.3.1. Замечание. В случае, когда коранг равен 1 (г = 1), пара уравнений (Ехс) идентична паре (Тр) с точностью до того, что дифференцирование по yj заменяется дифференцированием только по Х). Следовательно, если уравнения (Ехс) не удовлетворяются, то и уравнения (Т 5) тем более не удовлетворяются. Это означает, что мы имеем обыкновенную трансверсально критическую точку коранга 1, т. е. особенность типа 51. [c.118]

Приведенное утверждение обобщает теорему об устойчиво сти векторного поля, трансверсального касательной плоскост к дискриминанту критической точки функции [6], [71]. [c.60]

Многообразие Sji состоит из изолированных точек ( исключительные критические точки ), в которых касательная к S) вертикальна и не остается стационарным образом в этом вертикальном положении (трансверсальность отображения Sj по от- [c.114]

Набросок доказательства. Особенность Морса функции характеризуется невырожденностью квадратичной формы — гессиана функции, определенного матрицей вторых частных производных. Аналогично, в случае отображения, имеющего критическую точку коранга 1, на ядре касательного отображения можно определить квадратичную форму, называемую трансверсальным гессианом (определенную с точностью до умножения на ненулевое число), невырожденность которого будет характеризовать тип 51 особенности. Тип 51 с нулевым трансверсальным индексом будет характеризоваться положительной определенностью (или отрицательной определенностью) трансверсального гессиана. Я не имею возможности дать здесь формальное определение трансверсального гессиана, а просто укажу, как он вычисляется в настоящей ситуации это квадратичная форма [c.153]

В подавляющем числе задач о трехмерных пограничных слоях основное значение приобретает разыскание этих вторичных течений. В той частной задаче, которая сейчас будет рассмотрена, вторичные течения также существуют и будут определены. Рассмотрим задачу о пространственном пограничном слое вблизи лобовой критической линии разветвления набегающего на цилиндр потока, вдоль которой С/ = 0. На цилиндре бесконечного размаха критическая линия располагается по образующей цилиндра, а положение ее зависит от контура нормального сечения цилиндра, от угла атаки, циркуляции. Для дальнейшего важно лишь, что, располагая начало координат на критической линии, будем иметь продольную U и трансверсальную W скорости на внешней границе пограничного слоя равными (с > 0 — константа, зависящая от формы носка крыла и угла атаки) [c.495]

В работе [13] показано, что в отличие от трансверсального растяжения, момент, когда сдвиговые напряжения в критических зонах армированного пластика достигают значения прочности связующего, не всегда является началом лавинообразного разрушения всего материала. После достижения напряжениями значения прочности матрицы при сдвиге в точках максимальной концентрации напряжений начинается условное течение полимерной матрицы, и происходит перераспределение поля напряжений. Аналогичный эффект был обнаружен в работе [36]. В результате условного течения полимерной матрицы прочность продольного сдвига однонаправленно-армированного стеклопластика в пределах разброса можно считать равной прочности при сдвиге полимерной матрицы [13]. [c.145]

Определение. Пусть / (С + , 0) (С,0)—росток голоморфной функции с одномерным неособым критическим множеством у. Скажем, что трансверсальный -тип f вдоль в точке О постоянен, если 52-класс ограничения f на росток трансверсали к у в любой достаточно близкой к О точке этой кривой не зависит ни от самой трансверсали, ни от точки ее приложения. [c.71]

Предложение ([63], [ 181]). Пусть f — росток с одно мерным критическим множеством if. Тогда трансверсальны " [А-тип f вдоль каждой из неприводимых компонент y этого мно жества постоянен во всех точках проколотой окрестности точи О в ti- [c.72]

Множества критических значений этих отображений являются гиперповерхностями в пространстве значений F. Предположим, что точка из этого пространства не является критическим значением отображения Fx- В этом случае многообразие Va, , задаваемое уравнением Fx = , в пространстве (ж, ) является гладким. Если не является критическим значением Ff, то Va, трансверсально пересекает гиперплоскость = О вдоль гладкой гиперповерхности С Va . [c.179]

Пусть дана функция и 5 К. Критическая точка — это точка, в которой градиент д1/д1 обращается в нуль (через мы обозначили локальную систему координат на 5) очевидно, что всякая критическая точка имеет коранг 1. Если эта точка трансверсально критическая, то она является изолированной критической точкой, и мы имеем ситуацию типа 51. Условие трансверсальности в этом случае выражается необращеннем в нуль гессиана (определителя из вторых производных) функции В этом случае всегда можно выбрать координаты таким образом, чтобы < записывалась в следующем виде [c.114]

Следуя Р. Деванею [191], рассмотрим автономную аналитическую гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Пусть р — критическая точка гамильтониана Я с собственными значениями (а г/3) (а,/3 G R). Если а О, то р — гиперболическое положение равновесия, обладающее устойчивой асимптотической поверхностью и неустойчивой Л . Пусть 7 — гомоклинная траектория она стремится к точке р при t — оо. Ясно, что 7 С (Л П ПЛ ), Предположим, что во всех точках траектории 7 двумерные поверхности Л и Л пересекаются трансверсально. [c.297]

Действительно, если уравнение (2) не имеет критических точек, то соответствующее поле направлений аналитически продолжается на произведение СхСР, гбС, дабСР, и трансверсально каждому слою г X СР , кроме, может быть, конечного множества слоев. Поднимем поле д/дг до векторного поля V, порождающего наше поле направлений проектируя V на слои гХСР вдоль оси 2, получим семейство голоморфных векторных полей на проективной прямой. Но такие поля задаются полиномами второй степени. > [c.120]

Как отмечалось в начале главы, функция общего положения может иметь только невырожденные критические точки. В семействе функций, зависящем от параметров, могут появляться. критические точки с большей кратностью, не устранимые при малых шевелениях этого семейства. Указанные утверждения вытекают из теоремы трансверсальности Тома, приведенной в. гл. 3. Простейшим примером такого семейства для критической точки кратности х является ее усеченная миниверсальная Деформация (п. 1.11). [c.15]

Теорема ((72]). Бифуркационная диаграмма нулей 2с критической точки типа /г(р). Р 4, или Яз аналитически тривиальна вдоль страта (x= onsi. Пересечение 2 с гиперплоскостью в базе версальной деформации, трансверсальной страту х= onst, биголоморфно эквивалентно многообразию нерегулярных орбит соответствующей группы, порожденной отражениями [112], действующей на комплексификации евклидова пространства С". [c.22]

Замечание. Для поверхностей с неизолированными особенностями имеется понятие улучшения (improvement [210] [216], [217]), аналогичное разрещению изолированных критических точек. Коллар построил улучшения для особенностей трансверсального типа Ai произвольной размерности. [c.73]

Для всех особенностей коранга. 2, упоминаемых в таблиг цах п. 2.2, локальные лакуны либо описаны в п. 2.1, либо конструируются следующим образом. Вначале строится подходящее шевеление ф( функции q>(Xl,X2), которое имеет ровно х(/) вещественных морсовских критических точек (где (X (/) = (X (ф) — число Милнора функций ф), причем все седла имеют критическое значение О (то есть соответствуют трансверсальным самопересечениям кривой Ф=0), минимумы имеют отрицательные критические значения, максимумы — положительные. (Такие шевеления играют ключевую роль в вычислении диаграммы Дынкина особенностей коранга 2, см. 56], [103].) Эти шевеления изображены на рисунках 126—134, при этом отмечены знаки функции ф в различных компонентах дополнения к множеству нулёвого уровня. Конечно, такое шевеление лежит на дискриминанте, однако его можно дополнительно сколь угодно мало пошевелить так, чтобы критические значения в минимумах и максимумах сохранили свой знак, а значения в седлах сдвинулись с нуля в сторону, предписанную заранее для каждого седла. На рисунках 12 —134 те седла, критические значения в которых надо сдвинуть вверх (вниз), изображены белым (соответственно, черным) кружком. [c.229]

Выберем типичную точку Л (вблизи начала координат) и рассмотрим типичную комплексную прямую, проходящую через некритическую точку Прообраз этой прямой (при отображении Fд) есть гладкое многообразие, размерность которого равна размерности плюс 1. Это многообразие содержит гиперповерхность = О (являющуюся прообразом той же самой прямой при отображении Fд). Предположим, что наша прямая трансверсально пересекает множество критических значений отображения Рх в а точках и множество критических значений отображения в а° точках (все пересечения — типичны). Переместим точку в эти критические точки вдоль непересекающих-ся путей (так делается всегда при определении отмеченных базисов, см. [44] и рис. 89). [c.180]

Неизолированная критическая точка функции называется линейной, если множество критических точек образует гладкую кривую, и если особенность ограничения функции на типичную гиперплоскость, трансверсальную зтой кривой, не вырождена (морсовского типа). [c.193]

Поставим первый вопрос удовлетворяется ли условие трансверсальности из приложения I Согласно формулам этого прилолсения, нетрансверсальность для критической точки коранга 1 эквивалентна существованию четырехмерных векторов Vu, не всех равных нулю, и скаляров р,, таких, что [c.52]

Р) 1.2.3. Правило, применимое к произвольному стягиванию. Если 0 Уг е / и если всякий цикл графа О содержит по крайней мере одну линию, для которой а > О, то условие трансверсальности удовлетворяется. Более того, если критическая точка обыкновенная , то транееерсальньсй индекс равен нулю. [c.54]

Определение (Р. Том). Критическая точка у коранга г называется трансверсально критической, если отображение 8 трансверсально в точке у над Рг, т. е. если график отображения 5 пересекает 8ХРг трансверсально в точке 5 (у) (рис. 41). [c.112]

Если условие трансверсальности выполнено, то множеством критических точек является кривая Si ), а многообразие Si — это множество точек, в которых касательная к этой кривой не является вертикальной (т. е. перпендикулярной к плоскости проекции). Пересекая S вертикальной гиперплоскостью, траис-версальной к этой кривой, мы приходим к предыдущему случаю. Значит, ситуация Si для q = 2 описывается следующей локальной моделью [c.114]

Предполагается, что однонаправленные ленточные композиции должны обладать высокой трансверсальной прочностью. Теоретические расчеты, выполненные с использованием ЭВМ, подтверждают это предположение [96]. Однако на практике часто наблюдается низкая прочность таких композиций [97]. Если адгезионная прочность сцепления ленты с матрицей мала, то прочность композиций резко падает с увеличением концентрации лент [96]. Кроме того, даже при хорошей адгезии экспериментальные значения прочности могут быть низкими из-за того, что матрица не удовлетворяет предъявляемым к ней требованиям. Для достижения высокой прочности ленточных композиций необходимо выполнение следующих условий [98] повышенная адгезия полимера к ленте пластичность и высокие значения удлинения при разрыве матрицы для сведения к минимуму влияния концентрации напряжений из-за термических напряжений, возникающих в процессе получения образцов и изделий высокие значения wit (выше определенного критического уровня) и перекрывание лент для обеспечения полной передачи напряжений от матрицы к лентам регулярное распределение лент, с тем, чтобы обеспечить размер перекрываемых участков выше критического, а также полное отсутствие пор, пустот, отслоений матрицы от лент (это условие может быть выполнено только при высокой точности технологических процессов получения композиций) прочность матрицы при растяжении и сдвиге должна быть выше ее предела текучести композиция должна разрушаться трансверсальным разрывом лент, а не разрушением при сдвиге матрицы. [c.285]

Основной особенностью задач разбираемого сейчас типа является образующееся из-за нелинейности уравнений несоответствие между направлениями линий тока внутри пограничного слоя и во впещнем потоке. В то время как во внешнем безвихревом потоке имеет место простое сложение векторов скорости продольного и трансверсального потоков, внутри пограничгюго слоя, где движуще управляется нелинейными уравнениями (конвекция ), такой простой суперпозиции потоков уже пет. Разница между направлениями течений вне и внутри пограничного слоя позволяет говорить о наличии в этом случае в пограничном слое некоторых вторичных течений. В подавляющем числе задач о трехмерных пограничных слоях основное значение приобретает разыскание этих вторичных течений. В той простейшей задаче, которая сейчас будет рассмотрена, вторичные течения также существуют и будут определены. Рассмотрим задачу о пространственном пограничном слое вблизи лобовой критической линии разветвления набегающего на цилиндр потока, вдоль которой 7 = 0. На цнлиндре бесконечного размаха критическая линия располагается по образующей цилиндра, а положение ее зависит от контура нормального сечения цилиндра, от угла атаки, циркуляции. Для дальнейшего важно лишь, что, располагая начало координат на критической линии, будем иметь продольную U и трансверсаль[1ую W скорости tia вненшей границе пограничного слоя равными (с >0 — константа, зависящая от формы носка крыла и угла атаки) [c.601]

Замечание. В (177] указан гомотопический тип неособо--) слоя функции с гладким одномерным критическим множе-гвом, имеющей трансверсальный тип Лг, Лз, 04, Ев, ЕтИлиЕв. ак, в случае Лг ответ следующий. При общей деформации, ункции трансверсального типа Лг в классе таких же функ-ай возникают изолированные морсовские особенности, а так-е неизолированные особенности, стабильно право-эквивалент-ае росткам /о(- о,(в общей точке критической кри-)Й), /1(дсо, 0 и 2 хо,Хх,Х2)=Х1 +ХоХ2 (в отдельных [c.79]

Пример 2. Проектирование ласточкина хвоста вдоль направления, трансверсального касательной плоскости в вершине, на плоскость не имеет критических значений на гладкой части ласточкина хвоста. Множество особых точек ласточкина хвоста состоит из двух компонент ребра возврата и линии самопересечения. Их обргиз образует бифуркационную диаграмму проектирования Аз (совпадающую с бифуркационной диаграммой функции Аз). Здесь / = и + х , Р = f- --I-Ага . [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...