Пуансо задача

Параллельно с аналитическим методом в механике развивались и геометрические методы, получившие наиболее яркое развитие в работах замечательного французского ученого Пуансо (1777—1859). Он впервые (1803 г.) изложил статику в таком аспекте, в каком ее и теперь излагают во всех высших технических учебных заведениях. Много открытий и геометрических интерпретаций законов механики Пуансо сделал и в кинематике и в динамике. К их числу относится работа Пуансо по изучению геометрическими методами движения тела с одной неподвижной точкой. Эта важная задача механики имеет, как показала С. В. Ковалевская (1850—1891), однозначное решение только в трех случаях 1) движение тела по инерции вокруг центра тяжести (случай Эйлера — Пуансо) 2) движение симметричного тела вокруг точки, лежаш,ей на оси симметрии (случай Лагранжа), и 3) движение не вполне симметричного тела с определенным распределением массы (случай, открытый Ковалевской и названный ее именем). [c.16]

При рассмотрении двух основных задач статики для плоской системы сил вводится лемма Пуансо о переносе силы и доказывается теорема о приведении системы сил к силе и паре. [c.37]

Покажем, что, пользуясь первыми интегралами, положенными в основу геометрической интерпретации Пуансо, можно выразить og, сол, og через со и свести задачу к квадратуре. [c.422]

Одной из классических задач механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта задача имеет первостепенное значение для теории гироскопов, нашедшей широкое применение в различных областях современной техники. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо дал для того же самого случая наглядную геометрическую интерпретацию. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет динамическую ось симметрии, проходящую через неподвижную точку. После Эйлера и Лагранжа многие ученые пытались найти новый случай решения этой задачи, т, е. новый случай интегрируемости дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки, но безуспешно. [c.17]

Известны два непосредственных интеграла этих уравнений, выражающих постоянство кинетической энергии и кинетического момента этого тела. С помощью этих интегралов уравнения (5.36) можно проинтегрировать в эллиптических функциях, однако этот путь не очень интересен, так как можно дать изящное геометрическое описание рассматриваемого движения, не требующее полного решения задачи. Оно известно под названием геометрической интерпретации Пуансо. [c.181]

Геометрическая интерпретация Пуансо дает полное представление о движении тела, не подверженного действию никаких сил. Ориентация неподвижной плоскости Пуансо и ее расстояние от центра эллипсоида инерции определяется значениями Т и L, которые находятся из начальных условий. Задача об определении полодии и герполодии становится тогда чисто геометрической задачей. Направление угловой скорости определяется направлением вектора р, а мгновенная ориентация тела определяется ориентацией эллипсоида инерции, который жестко связан с движущимся телом. Подробное описание рассмотренного движения с позиций картины Пуансо можно найти в ряде различных книг ). [c.183]

Пусть на симметричный волчок не действуют внешние силы. Пользуясь задачами (а) и (Ь), показать, что его движение можно воспроизвести с помощью конуса, связанного с волчком и имеющего ось, совпадающую с осью симметрии волчка, если заставить этот конус катиться по неподвижному конусу, ось которого направлена вдоль вектора кинетического момента. Вектор угловой скорости будет при этом направлен вдоль общей образующей этих конусов. Показать, что такое представление непосредственно следует из интерпретации Пуансо. [c.202]

Хотя мы не рекомендуем эту книгу для систематического изучения динамики твердого тела, тем не менее, в ней содержится много материала, который нелегко найти в других источниках. В частности, в главе VII этой книги содержится полное и подробное описание движения Пуансо, а также движения тяжелого симметричного волчка, причем получены точные решения, выраженные через эллиптические функции. Кроме того, заслуживает внимания глава, посвященная некоторым сложным задачам, связанным с качением твердых тел. [c.205]

Обозначив через и единичный вектор нормали к а в точке опоры О, направленной наружу относительно а (т. е. вниз), введем двенадцать следующих неизвестных функций от t 1) шесть параметров, определяющих положение осей, неподвижных в теле, относительно неподвижных осей и позволяющих выразить абсолютную скорость Vq точки G и угловую скорость ы тела 2) три координаты X, у, 2 точки соприкосновения О, посредством которых можно выразить п 3) проекции Фа , Ф . Фг реакции Ф в точке О. Сила тяжести будет представлена вектором mgn, и задача будет поставлена во всей своей общности, если составить следующие двенадцать уравнений I) шесть основных уравнений 2) три уравнения, характеризующие отсутствие скольжения в точке 0 3) уравнение / = 0 4) два скалярных уравнения, к которым в силу геометрИ" ческого тождества и = 1 сводится векторное уравнение Пуансо [c.233]

Задача, которой намерен далее заняться автор, разрешена впервые Эйлером за 100 лет до Пуансо, и потому рассматриваемый в ней случай движения твердого тела около неподвижной точки обычно называют случаем Эйлера. Аналитическое исследование этого случая можно найти в книге Суслов Г. К., Теоретическая механика, 1946. [c.540]

Теорема Пуансо. В предыдущих пунктах были рассмотрены задачи о приведении системы сил, приложенных к твердому телу, в частных случаях системы сходящихся сил, параллельных сил и пар. Теперь рассмотрим задачу о приведении сил в самом общем случае. [c.135]

В действительности тела соприкасаются не в одной точке, а по очень малой площадке. Тогда воздействие S на Si уже нельзя считать приводящимся к одной силе (являющейся геометрической суммой нормальной реакции и силы трения). Согласно теореме Пуансо (п. 71), совокупность сил, действующих на 5 в каждой точке площадки касания, в общем случае будет приводиться к силе и паре. Упомянутая сила снова может быть разложена на сумму нормальной реакции и силы трения, и пару удобно представить также в виде совокупности двух пар. Одна из них имеет момент, коллинеарный а другая — коллинеарный ojk-Первая пара является парой трения верчения, а вторая — парой трения качения. Трение верчения и трение качения обычно малы по сравнению с трением скольжения, и в прикладных задачах часто учитывается только трение скольжения. [c.223]

Задача 38. Если тело движется под действием пары сил с постоянным (в неподвижной системе координат) моментом Go и при этом начальное состояние есть состояние покоя, то описание движения по Пуансо по-прежнему сохраняет силу. Доказать. [c.211]

Рис. 47. Качественная иллюстрация ко многим интегрируемым задачам динамики, в частности 1) типичные траектории в центральном поле сил (аналогичные, но внешне несколько иные варианты см. на рис. 52 и 62) 2) траектория сферического маятника в проекции на горизонтальную плоскость, если вся траектория лежит ниже экватора 3) герполодии в представлении Пуансо (полодии см. на рис. 74)

Пользуясь геометрическими построениями, Пуансо находит все основные свойства рассматриваемых механических движений. Особенно удачным было применение геометрического метода к задаче о движении твердого тела около неподвижной точки в том случае, когда момент внешних сил относительно этой точки равен нулю. Эта задача была решена аналитическим методом еще Эйлером, но геометрическая интерпретация, данная Пуансо, позволила представить это сложное движение так ясно, что исследование решения в эллиптических функциях стало почти излишним. [c.69]

Эти уравнения по виду тождественны с уравнениями движения твердого тела около неподвижной точки, так что можно применить хорошо известное решение этой задачи, данное Пуансо. Вращательное движение тела мы получим, если заставим эллипсоид (7), неподвижно связанный с телом, катиться по неподвижной в пространстве плоскости [c.214]

Развитие техники предъявляло к теоретической механике требование создания более простых и наглядных методов решения различного рода технических задач, так как аналитические методы нередко оказывались весьма сложными и мало пригодными в инженерной практике. Этим объясняется успешное развитие в XIX в., главным образом в Германии, графостатики, основные положения которой и их применение к решению статических задач были указаны еще Вариньоном, а также дальнейшее развитие геометрических методов в механике. Из работ этого направления прежде всего нужно отметить работу французского ученого Пуансо (1777—1859) Элементы статики (1804), которая явилась основанием современной геометрической статики твердого тела. В этой работе Пуансо устанавливает понятие пары сил, разрабатывает теорию пар и затем применяет эту теорию к решению в общем случае задачи о приведении к простейшему виду системы сил, приложенных к твердому телу, и к выводу условий равновесия твердого тела. [c.21]

Помимо проблемы устойчивости движения, одной из классических задач теоретической механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, т. е. тела, закрепленного при помощи сферического шарнира. Этой задачей занимались самые выдающиеся ученые-механики Эйлер, Лагранж, Пуансо. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо для этого же случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки дал наглядную геометрическую картину этого движения. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет ось динамической симметрии, проходящую через неподвижную точку. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки имеет первостепенное значение для теории гироскопов, которая находит широкое применение в различных областях современной техники. После Эйлера и Лагранжа многие ученые безуспешно пытались найти новые случаи решения этой задачи. В 1888 г. Парижская академия наук объявила конкурс на лучшее теоретическое исследование движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Премию в этом конкурсе получила первая русская женщина-математик Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891). В своей работе Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки она дала полное решение этой задачи в новом случае, значительно более сложном по сравнению со случаями Эйлера и Лагранжа. Эта работа доставила С. В. Ковалевской мировую известность и, по выражению Н. Е. Жуковского, немало способствовала прославлению русского имени . [c.26]

При отсутствии динамической симметрии решение задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции описывается эллиптическими функциями. Мы проведем лишь качественный анализ, данный Пуансо. В соответствии с формулой (12.20) уравнение эллипсоида инерции, построенного для точки О в подвижных Осях Охуг (точка О — неподвижная точка тела), жестко связанных с телом, имеет вид [c.326]

Вопрос о движении тяжелого твердого тела в случае, когда центр его тяжести находится в точке опоры, аналитически исследован Эйлером, который написал обширный трактат па эту тему но полное решение его было дано с помощью изящного геометрического метода Пуансо, показавшим, что интеграла живых сил и площадей вполне достаточно, чтобы дать полную картину движений. Второй случай, который поддался решению, соответствовал таким обстоятельствам, при которых эллипсоид инерции относительно точки опоры есть эллипсоид вращения и па оси вращения этого эллипсоида лежит центр тяжести тела. Задача [c.64]

Движение по инерции тела, имеющего неподвижную точку. Эта задача представляла сначала необычайные трудности, так как Эйлер представил решение ее в виде очень сложных формул. Французскому геометру Пуансо удалось правильной постановкой задачи внести в ее решение значительное упрощение, В своем прекрасном сочинении Новая теория вращения тел он представил чисто геометрическое, изящное ее решение. Это решение мы и предпошлем решению аналитическому. [c.580]

Для геометрического исследования задачи, данного Пуансо, достаточно пользоваться этими двумя интегралами (122) и (123). Покажем их механический смысл. [c.581]

К трем теоремам Пуансо можем присоединить теперь еще одну теорему, четвертую, окончательно решающую нашу задачу. [c.585]

Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как возмущение случая Эйлера-Пуансо [c.37]

Будем считать параметр ц малым. Тогда рассматриваемая задача является возмущением интегрируемой задачи Эйлера-Пуансо. Отметим, что исследование канонической системы уравнений с гамильтонианом 3 + при малых значениях параметра /х математически эквивалентно исследованию быстрых вращений тела в умеренном поле тяготения. [c.37]

Как и во всякой интегрируемой задаче с компактными уровнями энергии, в задаче Эйлера-Пуансо существуют канонические переменные действие-угол 7, (р, в которых функция Гамильтона 3 зависит только от действия 1. Геометрический анализ переменных действие-угол дает возможность установить новые свойства представления Пуансо. [c.37]

Кинетическая энергия тела (гамильтониан задачи Эйлера-Пуансо) равна [c.39]

В задаче Эйлера-Пуансо обычным способом введем переменные действие [18] /з = Н, 12 = С, [c.39]

Наиболее крупными зарубежными учеными XVIU и XIX вв. в области механики являются Иван Бернулли (1667—1748), Даниил Бернулли (1700—1782), Даламбер (1717—1783), Лагранж (1736—1813), Шаль (1793—1880). В работах французских ученых Вариньона (1654—1722) и Пуансо (1777—1859) наряду с динамикой дальнейшее развитие получила и статика. Вариньон решил задачи сложения сил, приложенных к одной точке, и параллельных сил он установил условия равновесия этих сил и доказал теорему о моменте равнодействующей. Вариньону принадлежит создание осрюв графостатики (построение силового и веревочного многоугольников). [c.5]

Применение теоремы Пуансо может раеематриваться как одно из средств изучения синтеза механизмов. Задача синтеза механизмов СОСТОИТЕ построении механизма, выполняющего заданное движение. [c.120]

Рассмотрим применение теоремы Пуансо к решению простейших задач кинематики плоскопараллелыюго движения. Теорема Пуансо позволяет иногда непосредственно находить положение мгновенного центра скоростей, а затем распределение линейных скоростей. [c.204]

С этими выводами можно уже под1Шматься на третий этаж нашего здания С плакат 8с ), где находятся генеральный директор, ответственный за логику дисциплины "Статика" - ТЕОРЕМА ПУАНСО или иначе ТЕОРЕМА О ПРИВЕДЕНШ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ И отдел, устанавливающий возможность решения тех или иных задач на равновесие отдельных тел или конструкций из тел методаш статики. [c.19]

К проекциям движения на три координатные плоскости. Если через центр тяжести системы и касательные к траекториям каждой точки провести плоскости, то обе эти плоскости пересекутся по прямой, лежащей в неизменяемой плоскости (т. е. перпендикулярной к Ga, п. 350) (Пуансо). Якоби использовал это свойство в задаче трех тел (Journal de Grelle, т. 26, стр. 115) (Журнал Крелля). [c.79]

Определение ориентации твердого тела в абсолютном пространстве для движения Эйлера-Пуансо. После того как в п. 102 величины р, г были определены как функции времени, можно из кинематических уравнений Эйлера (5) найти углы определяющие ориентацию твердого тела относительно неподвижной системы координат OXYZ. Задача сильно упрощается, если, как и в п. 100, ось 0Z направить вдоль неизменного кинетического момента Ко (рис. 96). При таком выборе неподвижной системы координат проекции Ар, Bq Сг вектора Ко на оси связанной с телом системы главных осей инерции Ож, Оу Oz вычисляются, согласно рис. 96, по формулам [c.202]

Как известно, еще в 1758 г. Л. Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела вокруг неподвижно точки (полюса), когда центр тяжести совпадает с полюсом, а вое силы сводятся к равнодействующей, проходящей через эту неподвижную точку. В 1834 г. Л. Пуансо дал геометрическую интерпретацию этого случая. В 1788 г. Лагранж (и независимо от него в 1815 г. С. Пуассон) рассмотрел случай, когда тело имеет ось сиАГметрии, проходящую через неподвижную точку, и движется под действием только силы тяжести, точка приложения которой лежит на оси симметрии и не совпадает с полюсом (симметрический тяжелый гироскоп — волчок). Обе задачи сводятся в общем случае к квадратурам, и их решения выражаются через эллиптические функции. [c.246]

Наибольший интерес и наибольшие трудности в решении представляет задача о движении твердого тела около неподвижной точки. Задача эта, несмотря на замечательные результаты Л. Эйлера (1707—1783), Ж. Лагранжа (1736—1813), С. Пуассона (1781 — 1840), Л. Пуансо (1777—1859) и в более позднее время С. В. Ковалевской (1850—1891), А. Пуанкаре (1854—1912), С. А. Чаплыгина (1869—1942) и многих крупных современных ученых, еще далека от своего полного завершеиня. [c.369]

Задача о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки издавна привлекала внимание всех крупных механиков и математиков. Эйлер в 1758 г. впервые рассмотрел решение этой задачи для случая, когда центр масс совпадает с неподвижной точкой. В 1788 г. Лагранжем был исследован другой случай движения тяжелого твердого тела, когда эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки, является эллипсоидом вращения, а центр масс твердого тела находится на оси симметрии этого эллипсоида. После открытия Лагранжа в течение целого столетия, несмотря на усилия многочисленных ученых, в том числе таких крупных математиков, как Пуассон, Якоби, Пуансо, не было получено новых существенных результатов. В 1886 г. Парижская академия наук объявила конкурс на соискание премии Бордена за лучшее сочинение на тему о движении твердого тела около неподвижной точки. Эту премию получила С. В. Ковалевская, пред- [c.399]

Итак, соединяя все сказанное о движении свободного твердого тела, заключаем, что движение свободного тела слагается аз двух движенай поступательного со скоростью центра тяжести и вращательного, Поступательное движение определится как дваженае материальной тонка, помещенной в центре тяжести, в которой сосредоточена вся масса тела а на которую действует равнодействующая всех сил, перенесенных в центр тяжести. Что касается вращательного движения, то оно будет совершаться так как будто центр тяжести неподвижен, а тело находится под действием пары, полученной при упомянутом перенесении сил. Если пары нет, то задача о вращательном движении решается приемом, указанным Пуансо. [c.592]

Положим u)i I) = OS Idli (г = 1, 2). Величины u)i, u)2 являются частотами квазипериодических движений на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...