Борновский ряд сходимость

Сходимость борновского ряда. Вопрос о сходимости борновского ряда для функции Грина У (Е) при фиксированной энергии Е может быть теперь решен просто в зависимости от того, имеет ли оператор К (Е) какие-либо собственные значения а Е) вне круга единичного радиуса. Если нет, то радиус сходимости ряда (9.3) больше единицы и борновский ряд сходится. Если вне круга единичного радиуса есть собственные значения а, то радиус сходимости [c.227]

Подчеркнем, что нет никаких экспериментальных способов, при помощи которых можно было бы ответить на вопрос о сходимости, т. е. путем простого отыскания связанных состояний и резонансов оператора Я нельзя решить вопрос о сходимости ряда. Даже если Я не имеет ни связанных состояний, ни резонансов, борновский ряд может расходиться. Последнее может происходить либо потому, что точка а при своем движении пересекает единичную окружность слишком далеко от действительной оси, чтобы мог появиться наблюдаемый резонанс, либо потому, что связанные состояния или резонансы имеет экспериментально ненаблюдаемый гамильтониан Яо — Я. [c.228]

Ответ на вопрос о том, сходится ли борновский ряд равномерно для всех значений энергии, можно дать, если установить, выходит или нет траектория какого-либо собственного значения а за пределы единичного круга. Сходимость является равномерной по при энергиях в интервале от Е — оо до = -1- оо тогда и только тогда, когда ни одна из указанных траекторий не выходит за пределы единичного круга. В гл. 10, 3 будет выведено простое достаточное условие равномерной сходимости борновского ряда для локального сферически симметричного потенциала V (г), состоящее в том, что потенциал — V не должен приводить к появлению связанных -состояний (и 5-резонансов с нулевой энергией). Если потенциал во всем пространстве либо всюду положителен, либо всюду отрицателен, то это условие, конечно, является также и необходимым. Пока не ясно, как данное условие связано с условием равномерной сходимости, выраженным через поведение траекторий собственных значений а. Однако можно высказать предположение (до сих пор еще строго не доказанное), что в случае локального сферически симметричного потенциала ни одна из траекторий а ( ), соответствующих угловому моменту больше нуля, не люжет пересекать ведущей х-траектории. [c.228]

Метод обеспечения сходимости борновского ряда. Если теперь все собственные значения оператора К = GH по величине меньше единицы, кроме одного собственного значения а, величина которого превышает единицу, то его собственные векторы можно выбрать для замены оператора Н по формулам (9.38), (9.50) и (9.51). Значение величины р можно контролировать при помош,и числа b (если только а (Е) не окажется точкой пересечения двух траекторий], причем можно сделать так, чтобы величина ар была меньше единицы, ар < 1. При этом борновский ряд для Т или y будет сходиться и формулы (9.43) или (9.46) будут определять Т через Г, а формула (9.47) — У через. Ясно, что в каком-то смысле оптимальный выбор параметра р соответствует значению р = 0. Можно ожидать, что при таком р борновский ряд будет сходиться быстрее всего, поскольку в этом случае величина Н будет наименьшей . При этом для Т нужно использовать выражение (9.46), а не (9.43). [c.239]

Ускорение сходимости. Ту же процедуру можно использовать для ускорения сходимости борновского ряда, если только он вообще сходится. Если вблизи окружности единичного радиуса имеется лишь небольшое число собственных значений а, то можно сместить их к началу координат, причем следует ожидать, что остающийся ряд будет сходиться более быстро. Действительно, мы можем перейти к пределу, когда все собственные значения сдвигаются [c.239]

При сравнении (9.79) с (9.73) следует помнить, что, хотя выражение (9.79) записано в более подробном виде и кажется более полезным, однако ряд в (9.79) сходится при более жестких условиях, чем в (9.73). Действительно, ряд (9.79) расходится, как только у становится по величине больше наименьшего нуля функции А (у), в то время как сходимость ряда (9.73) не зависит от величины у. Если учесть замечания, которые сделаны ниже относительно смысла нулей функции А, то из сказанного выше следует, что ряд (9.79) сходится тогда и только тогда, когда сходится борновский ряд для М. [c.244]

К I, п. 1. Оригинальной работой, в которой были введены борновский ряд и борновское приближение, является статья Борна [91 ]. Последними работами, посвященными исследованию условий их сходимости и аналитичности, являются [462, 463, 496, 497,486, 937, 1, 197, 410, 590, 738, 891, 892, 162, 545, 752, 823]. [c.250]

Перестройке борновского ряда для улучшения его сходимости посвящены работы [738, 897, 894]. [c.250]

Однако если первого приближения явно недостаточно, то сходимость этого ряда обычно довольно слабая. Добавление члена второго порядка улучшает приближение в довольно ограниченном интервале рассеивающей способности, но иногда оно бывает полезно— для понимания характера необходимых изменений в случае недостаточности первого борновского приближения. Однако с ростом порядка членов быстро растет их сложность, рассчитывать их все труднее и труднее, поэтому от их оценки часто бывает лучше отказаться. [c.26]

Вопрос о том, является ли первый член борновского ряда хорошим приближением или нет, конечно, тесно связан с вопросом о сходимости ряда, но не эквивалентен ему. Может иметь место не только такая ситуация, когда ряд сходится, а первый член далеко не совпадает со всей суммой, но и такая, когда ряд расходится, но тем не менее первый член (или сумма нескольких первых членов) дает хорошее приближение. Вообще говоря, соответствующий критерий, очевидно, должен быть связан со слабостью взаимодействия. В координатном представлении первый борновский член всегда содержит лишь интеграл от взаимодействия. Следовательно, он представляет собой произведение величины, характеризующей некоторую область Н, на некоторое усредненное значение взаимодействия Я. Кроме того, если /С ( ) стремится к нулю при -Н оо (это имеет место во многих важных случаях), то независимо от ееуг чм ы Я борновское приближение будет хорошим при условии, что энергия достаточно высока. В этом смысле оно по своей природе является высокоэнергетическим приближением. [c.232]

К 3, п. 1. Метод использования выражения (10.63) для полярных ядер принадлежит Гарбе [319]. Применениям этого метода посвящена работа Меетца [590]. Метод, изложенный в настоящем параграфе, в некоторой степени основан на этой работе. В частности, Меетцу принадлежит аналитическое продолжение условия полноты. Однако произведенное им обобщение формулы (10.73) и сделанные на основе этого выводы неправильны. Достаточное условие равномерной сходимости борновского ряда, приведенное после формулы (10.73), является незначительным обобщением условия, впервые доказанного несколько другим путем Дэвисом [197]. См. также статьи [398, 399]-, в последней из них показано, что приведенное достаточное условие сходимости борновского ряда для всех значений энергии, вообще говоря, не является необходимым. [c.278]

Как мы только что видели, полюсы S-матрицы играют особую роль. Если на потенциал наложить достаточно сильные требования, чтобы все полюсы функции 5 на физическом листе определялись только нулями функции f, то эти полюсы обозначают связанные состояния. Полюсы на втором листе функции 5, если они расположены достаточно близко к положительной действительной полуоси, могут интерпретироваться как наблюдаемые резонансы. Оставшиеся полюсы функции 5 на втором листе, если они находятся на отрицательной действительной полуоси, иногда называют виртуальными, или же антисвязанными, состояниями. Согласно (12.74), каждому полюсу 5 на втором листе соответствует свой нуль функции S на первом листе. Поэтому, вообще говоря, лшжно ограничиться изучением функции S, заданной только на физическом листе, обращая при этом, конечно, внимание и на ее полюсы, и на нули. Допуская, что константа взаимодействия у может принимать комплексные значения, видим, что нули функции f являются характеристическими значениями ядра радиального уравнения Липпмана — Швингера и, следовательно, они определяют свойства сходимости борновского ряда для S. [c.332]

Траектории собственных значений а. Чтобы установить свойства сходимости борновского ряда для 5, при заданной энергии в функции от I, расслют-рим зависимость от I собственных значений а, ядра (12.149) радиального уравнения Липпмана — Швингера. С изменением I собственные значения а, движутся по некоторым траекториям в комплексной а-плоскости. При значениях I, для которых все собственные значения а находятся внутри единичного круга, борновский ряд для функции 5, сходится. Если при данной энергии ни одна из траекторий а не выходит за пределы единичного круга, то борновский ряд для любого 5 сходится. Предположим, что потенциал аналитичен (с индексом а = /оп) и подчиняется условию (12.118). Тогда, согласно неравенству (12.170), всегда существует конечный угловой момент [c.362]

Мы доказали, что теория рассеяния переходит в теорию воз-муш ений модели ПСЭ для слабых потенциалов, которые подчиняются условию (2.115). Условия сходимости теории возмущений— те же самые, что и борновского ряда (2.113), т. е. ыы доказа.ли справедливость критерия (2.118) и для теории возмущений в методе псевдопотенциалов для всюду притягивающих потенциалов ряд (1.31) расходится, если эти потенциалы имеют связанные состояния. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...