Дифференцирование пространственное

Дифференцирование пространственных тензоров по координатам осуществляется с учетом переменности базисных векторов, что приводит к понятию ко-вариантной пространственной производной. Для пространственных ковариантных производных тензоров первого и второго рангов справедливы представления [c.23]

В этом разделе мы рассмотрим определения и свойства пространственных дифференциальных операций над полями. Все величины будут рассматриваться в заданный момент времени. Дифференцирование по времени будет введено в следующей главе. [c.30]

Для облегчения определения метрических соотношений на изображении такие модели было предложено делать на основе одного кубического модуля. Из непроизводного модуля производные элементы выполняются путем последовательной склейки , их друг с другом. Единая модульная система объектов выбрана с учетом простоты реализации их изображения на ЭВМ в интерактивном режиме. Удобство модульного комплекса заключается прежде всего в, возможности моделирования большого количества задач, значительно дифференцированных по своей трудности. Уже на этапе анализа можно реализовать несколько уровней сложности объекта. Наиболее простые детали соответствуют плоской структуре, сложные — трехмерной пространственной структуре первого и второго порядка (рис. 4.6.3). [c.172]

Аналогично дифференцированию но времени даже для непрерывной функции при осреднении по фазам, а не по всей смеси, средняя производная по пространственной координате не равна производной от среднего значения соответствующей функции [c.70]

Скорости и ускорения точек звеньев пространственных механизмов обычно не определяют векторным методом, так как решение векторных пространственных многоугольников требует сложных пространственных построений и способ теряет свою наглядность. Скорости и ускорения точек для этих механизмов проще определять дифференцированием функций положения или законов перемещений. При численном решении задачи дифференцируются матрицы векторных соотношений. [c.214]

Пользуясь символическим вектором-оператором V и соединяя его скалярным и векторным произведениями с вектор-функцией координат а х, Х2, Хз), получим еще две следующие операции пространственного дифференцирования [c.334]

Рассмотрим еще систему двух точек Mi и М2 (рис. 355), соединенных жестким стержнем длины Одна из точек, например Ми может иметь совершенно произвольное бесконечно малое перемещение, направленное как угодно в пространстве. Вторая может при этом иметь только такое перемещение, проекция которого на направление стержня равна проекции перемещения первой точки на то же направление ( 55). Аналитически в общем случае пространственного движения это условие может быть получено дифференцированием уравнения стационарной связи [c.311]

Используя символическую запись пространственного дифференцирования [c.60]

Электромагнитные поля описываются уравнениями Максвелла, связывающими одни параметры поля с другими с помощью операторов пространственного и временного дифференцирования. Эти уравнения представляют [c.127]

Угловые скорости и ускорения звеньев пространственных механизмов. Дифференцирование по времени уравнений для определения положений звеньев дает систему линейных уравнений, в которые входят производные от углов Эйлера. Чтобы перейти к проекциям угловой скорости звена / в движении относительно звена I, используются известные соотношения [c.50]

Рассмотрим, например, dU jdx. Так как V зависит от х через посредство р, е, у, а пределы интегрирования (как пространственные, так и относящиеся к переменной т) постоянны, то достаточно выполнить дифференцирование под знаком интеграла. [c.95]

Дифференцирование тензора по скалярному аргументу. Тен зоры, определяющие параметры движения звеньев пространствен ных механизмов, содержат элементы, являющиеся функциями скалярного аргумента, а именно, параметра времени t. [c.61]

Определение скоростей и ускорений движения звеньев пространственных механизмов рассматриваемым методом осуществляется решением систем линейных уравнений, содержащих в качестве неизвестных величины скоростей и ускорений, которые получаются в результате дифференцирования по параметру времени t исходных уравнений для нахождения положений или перемещений механизмов. [c.83]

Исследование величин скорости и ускорения движения различных звеньев является более легкой задачей, чем определение перемещений пространственных механизмов. Эта задача может быть решена составлением систем уравнений, полученных дифференцированием приведенных выше уравнений. В последнем случае получаются системы уравнений, линейных относительно величин скорости и ускорения движения. [c.111]

Индекс, обозначенный малой буквой латинского алфавита с запятой после него, о значает дифференцирование в частных производных по пространственной координате х, а точка обозначает материальную производную. Если из суммы необходимо выделить одно слагаемое, в котором не должно происходить суммирование, то один из повторяющихся индексов заключается в скобки. [c.8]

Из большой совокупности изменений, вызываемых в зерне гидротермическим воздействием, в докладе затрагиваются пространственно дифференцированное набухание тканей зерна, явления термоградиентного массопереноса и некоторые связанные с этим физико-химические изменения. [c.75]

Это свойство изоморфизма обусловлено формальным сходством уравнений, определяющих изоморфизм с уравнениями, связывающими компоненты одного и того же тензорного поля в двух координатных системах. Значит, изоморфизм отражает и воспроизводит инвариантные соотношения всех типов независимо от того, включают ли они сложение, вычитание, свертку, ковариантное дифференцирование или внешнее умножение тензорных полей. Именно в этом заключается свойство воспроизводимости, оправдывающее применение термина изоморфизма для взаимно однозначного соответствия —между телесными и пространственными полями. [c.394]

Здесь, согласно общепринятым обозначениям, запятая, стоящая перед нижним буквенным индексом, означает ковариантное дифференцирование относительно пространственного метрического тензора Доказательство получается непосредственно уравнения (12.52) и (12.54) сформулированы для произвольной пространственной координатной системы и, следовательно, справедливы в частном случае декартовой прямоугольной системы отсчета. Однако в такой системе ковариантное дифференцирование (, k) сводится к частному дифференцированию относительно х и уравнения (12.55), [c.405]

Здесь U — плотность источников тепла ац — тензор напряжений Sij — тензор малых деформаций — коэффициенты податливости изотермического состояния ац — тензор теплового расширения тела щ — вектор перемещений. Дифференцирование по пространственной координате обозначено запятой на уровне индексов с одновременным обозначением соответствующей координаты. [c.15]

Устройства оптической обработки выполняют все необходимые вычислительные операции (свертка функций, дифференцирование, интегрирование и т. д.) на основе двух базовых — комплексного умножения и преобразования Фурье. В основе комплексного умножения лежит модуляция световой волны, проходящей через объект в виде транспаранта с заданным амплитудным коэффициентом пропускания. (Напомним, что именно на основе представления об амплитудном коэффициенте пропускания в гл. 1 был развит волновой подход в теории ДОЭ.) Операцию преобразования Фурье выполняет оптический фурье-анализатор, состоящий в простейшем случае из транспаранта с входным изображением и линзы (объектива) с положительной оптической силой [24]. Если транспарант освещает плоская монохроматическая волна, то его фурье-об-раз (спектр пространственных частот) формируется в дальней зоне в результате дифракции света на структуре транспаранта. Линза переносит спектр из бесконечности в свою фокальную плоскость, где он представляется в виде комплексной амплитуды волнового поля. [c.150]

Для того чтобы численно решить уравнения (18,52) и (18.55), в расчетах пространственных полей используется МКЭ, а для определения временных зависимостей — МКР. Для начала вся граница С условно разбивается на отрезки конечной длины — конечные элементы (рис. 18.5). В каждом элементе функции ф, т , В и D приближаются комбинацией значений этих величин в узловых точках и интерполяцией. Базисная функция линейна по S, причем S измеряется вдоль элемента. Далее, для выбора значений в контрольных точках, которыми считаются узловые точки, к уравнению (18.52) применяется метод коллокации. Таким образом, при дискретизации уравнение (18.52) заменяется системой алгебраических уравнений относительно Ф , т] и Л , причем индекс i означает, что величина относится к узловой точке i, а точка означает дифференцирование по времени. С другой стороны, при дискретизации уравнения (18.55), принимая во внимание произвольность величин получаем другую систему уравнений относительно фг, ф , T)i, т и bi ). Поскольку эти системы уравнений нелинейны относительно неизвестных величин, для численного решения используется метод возмущений. Пусть [c.437]

В середине 50-х годов широкое применение для измерения параметров ударных волн в конденсированных средах нашли методы, основанные на измерении интервалов времени, за которые дарная волна или поверхность ударника либо преграды проходили расстояние между двумя заданными пространственными точками. При этом обычно в опытах получались табличные зависимости путь — время вида, дифференцирование которых давало за- [c.270]

Так же как и (1.2.14), якобиан (1.2.20) должен быть конечным и отличным от нуля. Материальный (1.2.13) и пространственный (1.2.19) градиенты деформации связаны правилом частного дифференцирования [c.24]

Формулы (9) и (10) дают решение прямой задачи кинематики абсолютно твердого тела определения скоростей его точек по заданным скорости полюса Fo и угловой скорости вращения тела о), что в случае этой простейшей модели движения является вполне достаточным. Однако для общего случая движения деформируемой среды представляет интерес и решение обратной задачи — определения по заданному полю скоростей (9) или (10) вектора угловой скорости со. Чтобы решить эту, играющую сейчас вспомогательную роль задачу, применим к обеим частям линейных относительно х, у, z соотношений (10) операцию пространственного дифференцирования rot [см. (III.5) и (III.10)]. Тогда, замечая, что в данный момент времени Fq, и со представляют постоянные, не зависящие от выбора положения точки М х, у, z) величины, получим аналитическим путем [c.36]

Формула (29) выражает допустимость замены порядка индивидуального (в пространстве и времени) и чисто пространственного дифференцирования вектор-радиуса г жидкой частицы. Если ввести в рассмотрение вектор скорости V = йг (11, то равенству (29) можно придать вид, аналогичный (28), [c.47]

Из (2.13) легко получаются уравнения для пространственного стационарного случая, когда функции дк, /з, /, 9, Р зависят лишь от xi, Х2. Для этого следует в уравнениях (2.13) убрать слагаемые, содержащие дифференцирование по t, и положить [c.179]

Для обеспечения требований 2, 3, вообще говоря, желательно, чтобы коэффициенты рядов находились не путем последовательного дифференцирования (как в рядах Тэйлора), а с помощью интегрирования некоторых простых рекуррентных систем обыкновенных уравнений. Желательно, чтобы в случае нелинейной задачи начальная часть такой цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений была нелинейной, — тогда есть надежда передать коротким отрезком ряда основные особенности нелинейной краевой задачи, — а остальные коэффициенты определялись бы из систем линейных дифференциальных уравнений достаточно простой структуры. Описанные ниже конструкции рядов отвечают в некоторой степени перечисленным требованиям, особенно характеристические ряды п. 2 для квазилинейных гиперболических уравнений, нашедшие довольно широкую сферу приложений, в частности, при решении ряда сложных пространственных задач газовой динамики. [c.226]

Будем предполагать далее, что в окрестности поверхности Rt непрерывны все четвертые производные функции Ф(г, (p t), содержащие дифференцирование дважды по каждой из независимых переменных. Такое предположение о гладкости течения в окрестности Rt реализуется в ряде конкретных течений, например в одномерных те чениях, если движение поршня происходит достаточно гладко [1], в классе плоских и пространственных двойных волн [2, 3]. В частности, из сделанного предположения следует, что возмущения в течении типа разрывов первых производных функций щ, U2, С не догоняют слабый разрыв г = 0. [c.290]

Дифференцирование выражений (2.1) по материальным координатам приводит к связи между дифференциалами пространственных (текущих) и материальных координат [c.19]

Изложение проведено в основном в векторной форме. При необходимости обращения к координатной форме для простоты изложения будем использовать прямоугольную декартовую систему координат х, Х2, дсз). Как при векторной форме записи, так и при координатной использованы обозначения, принятые в специальной литературе. В первой главе по повторяющимся два и более раз индексам, если особо не оговорено, производится суммирование от 1 до 3 дифференцирование по пространственным координатам обозначается индексами после запятой, дифференцирование по времени — точкой. [c.9]

Заметим, что операция умножения на интегральные операторы (операция интегрирования по времени) и операция дифференцирования или интегрирования по пространственным координатам пере-ставимы между собой. Отсюда следует простое правило построения решения задачи теории вязкоупругости, которое носит название принципа Волътерры. Принцип заключается в том, что решение задачи для вязкоупругого тела может быть получено так же, как решение аналогичной задачи для упругого тела, если в процессе решения с интегральными операторами обращаться как с упругими постоянными. В итоге решение будет представлено как произведение функции от упругих постоянных и от пространственных координат на известную функцию времени. Последняя определяется по заданным силовым или кинематическим воздействиям. Далее следует заменить упругие постоянные интегральными операторами и произвести необходимые операции над ними. [c.351]

Второй характерной особенностью метода является общность законов для плоских и пространственных сил. В последнем случае пространственная система сил (векторов) редуцируется к плоскости, облегчая изучение пространственных объектов в геометрии, статике и кинематике. Последнее следует из того, что законы сложения сил указывают на те соотношения, которые существуют между сторонами и углами образованных ими фигур равновесия, а следовательно, и на геометрические свойства плоскости и пространства. В первой части мы рассматриваем основные операции с параллельными и пересекающимися векторами указываем на приложение метода для определения центров тяжести различных конструкций и механизмов к бесполюсному интегрированию и дифференцированию и т. п. Метод весовой линии применим также к расчету стержневых конструкций, многоопорных осей и валов и т. д. [c.6]

Каждая из этих групп может быть детализирована на более узкие виды, имеющие какие-либо особенности (рис. 62). Некоторые авторы предлагают более детальную и дифференцированную классификацию. Мы будем придерживаться приведенной выше классификации как более распространенной и общей. Поскольку композиционный материал состоит, как минимум, из двух компонентов, то свойства этого композита будут в большей степени зависеть от объемно-пространственного распределения этих компонентов (за исключением слоистых композиционных материалов). Если один из компонентов существенно превосходит по объему другой и является непрерывным, то такой компонент называют матричным, а компонент, расположение которого прерывистое, принято называть упрочняющим. Профилирующее свойство обычно определяется по матричному компоненту. Однако композициониые материалы могут быть и более сложного состава — полиматричными и полиармирован-ными. Полиармированные имеют -чередующиеся две или [c.238]

Далее можно показать, что интеграл (3) сходится равномерно по пространственной переменной в заданной области при фиксированном t он сходится также равномерно по t для t O при фиксированной пространственной переменной Дифференцирование под знаком интеграла является закон ным и, таким образом, легко показать, что данное дифферен циальное уравнение удовлетворяется. Аналогичным путем на ходят, что удовлетворяются начальные и граничные условия Преимущество пути L перед путем по прямой (7 — гоо 7- -гсо) заключается в том, что в первом случае мы полу чаем множитель типа [c.468]

Тогда, замечая, что вследствие независимости операций частного или локального дифференцирования по времени didt и пространственного дифференцирования, выражаемого операцией grad, можно менять порядок дифференцирования [c.163]

Введем в рассмотрение две системы координат 1) абсолютную, неподвижную систему Oxyz и 2) относительную, подвижную, связанную с твердым телом систему 0 х у %. Если по ходу вывода отсутствует дифференцирование по времени, то время теряет свое значение как независимое переменное, а становится просто параметром, отмечающим следующие одну за другой пространственные картины явления. При этом, нисколько не нарушая общности, можно в любой фиксированный момент времени считать обе системы координат совпадаюпщми и пользоваться для описания явления либо координатами X, у, 2, либо X, у, г. [c.312]

Если условие (1.7) соблюдено для всех точек среды и для любого момента времени, то деформации считаются малыми. В этом случае пространственные координаты х частицы отличаются от материальных координат X на бесконечно малые величины. Не оговаривая особо, мы будем обычно подразумевать, что система координат Xi является прямоугольной декартовой, а запятая перед индексом означает частное дифференцирование по соответствующей координате. Разумеется, нетрудно дать обобщение на произвольную криволинейную систему координат. Мы будем широко пользоваться и безындексной инвариантной формой записи. Так как система координат считается всюду фиксированной, то мы будем иногда называть тензором а и систему его компонент Oij. [c.9]

Наконец, чтобы закончить с методами первой части, упомянем интенсивно развивае мые сейчас методы построения точных решений солитонного типа для отдельных клас сов нелинейных уравнений и систем уравнений, встречающихся в механике и физике сплошной среды при описании распространения некоторых типов волн с учетом их дис Персии [10]. Речь прежде всего идет об известном уравнении Кортевега де Фриза (КДФ) для функции и х, t) (ж — пространственная переменная, t — время, нижние индексы обозначают дифференцирование по соответствующим переменным) [c.17]

Здесь V — оператор ковариантного дифференцирования в трехмерном пространстве а ", — компоненты пространственного тензора докритических напря- [c.151]

Отметим некоторые присущие призу недостатки. Как уже указывалось, его применение ограничивается случаями реализации в оптической схеме пространстветшого или временного дифференцирования изображений. Как и пром . он имеет в практических схемах довольно низкую эффективность по свету (порядка ] %) в канале считывания при достаточно высоком (порядка I кВ) напряжении питания, а также узкий спектральный диапазон чувствительности. Наконец, наличие пространственно неоднородного поля в полупроводниковом Кристалле, который является хорошим пьезоэлекгриком, не может не вызвать сложную деформацию кристалла и, как следствие, искажение фазового фронта считывающей волны, особенно заметное при работе с отражением света. [c.141]

Аналоговое оптическое вычислительное устройство выполняет требуемую математическую операцию над сформированным когерентным оптическим сигналом. Обычно оно содержит одну или несколько оптически связанных между собой линз (объективов) и оптические фильтры в виде амплитудных или фазовых масок либо голограмм, установленных в определенных плоскостях оптической системы. С помощью масок и голограмм требуемым образом осуществляют пространственную модуляцию обрабатываемого когерентного оптического сигнала или его спектра. Методы когерентной оптики и голографии позволяют относительно просто выполнять целый ряд математических операций и интегральных преобразований над двумерными комплекснозначными функциями (изображениями). Это прежде всего операции двумерного преобразования Фурье, взаимной корреляции и свертки, а также операции умножения и деления, сложения и вычитания, интегрирования и дифференцирования, преобразования Гильберта, Френеля и др. Легко реализуются также различные алгоритмы пространственной фильтрации изображений, в том числе согласованной, инверсной и оптимальной по среднеквадратичному критерию и критерию максимума отношения сигйал/шум. Следует отметить, что часто одну и ту же операцию можно реализовать с помощью разных оптических схем и различными способами. Запоминающее устройство (оптическое или голографическое) служит Для хранения набора эталонных масок или голограмм, [c.201]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...