Стержневые системы Уравнения

Анализ устойчивости многопролетных стержней упрощается по сравнению с плоскими стержневыми системами. Уравнение устойчивости многопролетных стержней не содержит нормальных сил, а линейные перемещения граничных точек стержней равны либо нулю (для [c.123]

Используя метод Бубнова — Галеркина, получить уравнения устойчивости стержневой системы в форме метода перемещении. Указание. При выводе использовать уравнение устойчивости прямого бруса в форме (3.147) [c.24]

На рнс. 2.38 показаны примеры статически неопределимых систем. Один раз статически неопределима стержневая система, изображенная на рис. 2.38, а. В трех стержнях возникают три неизвестных усилия, а для плоской системы сходящихся сил можно составить только два независимых уравнения равновесия. [c.217]

В заключение следует отметить, что решение даже совсем простых задач устойчивости связано во многих случаях с весьма громоздкими выкладками. Если же представить себе расчет на устойчивость не просто одного стержня, а целой стержневой системы, да еще, как это часто бывает, с переменной жесткостью стержня на изгиб, то расчет приобретает характер серьезного научного исследования. Поэтому особую роль в решении задач устойчивости играют численное интегрирование дифференциальных уравнений, а также приближенные методы, среди которых видное место занимает энергетический метод, о котором мы специально поговорим в следующей лекции. [c.133]

При решении задач с стержневыми системами нельзя раскладывать силу по стержням. Надо применить метод сечений, вырезать узел, показать действующие на него силы, а затем, составив и решив уравнения равновесия, выразить продольные силы через заданную (или искомую) нагрузку. [c.84]

При решении задачи на определение напряжений, возникающих от неточного изготовления элементов, необходимо достаточно крупно изобразить схему перемещений при сборке и на основе этой схемы составлять уравнение перемещений. Вообще необходимо многократно повторять учащимся, что при решении задач на стержневые системы для составления уравнения перемещений надо всегда сначала в достаточно крупном масштабе изобразить схему деформирования системы (действительную или предполагаемую). [c.93]

Какой из методов определения перемещений — обобщенное (или универсальное) уравнение упругой линии, графо-аналитический метод (фиктивных нагрузок) или интеграл Мора и правило Верещагина — наиболее рационален По нашему мнению, ответ однозначен — интеграл Мора и правило Верещагина. Этот метод наиболее универсален, так как применим не только к балкам, но и к любым стержневым системам и криволинейным брусьям. Он наименее формален, так как имеет четкую физическую основу, а его применение всегда требует построения эпюр, что дает дополнительные возможности для развития у учащихся соответствующих навыков. Затрата времени на определение перемещений меньше, чем при применении любого другого метода. Неоднократно проводившийся хронометра) [c.209]

Внеся теперь в уравнение (13.23) выражения для возможной работы внешних сил [первую из формул (13.24)] и внутренних сил [формулу (13.30) или (13.31)1, получим общее выражение начала возможных перемещений для плоской упругой стержневой системы [c.393]

В рассмотренных примерах, относящихся к стержневым системам — фермам, функция F была кусочно линейной, уравнение F(()) = 0 в и-мерном пространстве сил определяло многогранник, ограниченный гиперплоскостями. На ребрах пересечения ЭТИХ гиперплоскостей направление нормали неопределенно, соответственно вектор qi может занимать произвольное положение в плоскости, нормальной к ребру, и внутри угла, образованного пересекающимися граничными гиперплоскостями. Еще большая свобода выбора направления вектора qi имеется в вершинах многогранника, где пересекаются несколько гиперплоскостей. [c.481]

Для стержневой системы, изображенной на рис. 3.21, уравнение равновесия и условие совместности деформации имеют вид (3.37), (3.39). [c.76]

При рассмотрении в гл. 3 простейших задач о напряженно-деформированном состоянии были использованы условия совместности деформирования разных частей стержня или стержневой системы в статически неопределимых задачах. В задачах установлено, что эти условия играют существенную роль при построении полной системы уравнений задачи. В общем случае необходимо располагать условиями совместности деформаций, чтобы при решении задачи о напряженном состоянии система уравнений была полной. Эти уравнения оказываются необходимыми при решении задачи о напряжениях или деформациях в статически неопределимых системах, о чем более подробно сказано в гл. 16—19. [c.106]

Если уравнений статики недостаточно для определения опорных реакций и внутренних усилий в стержневой системе, то такая система называется статически неопределимой. [c.105]

Мы будем изучать условия равновесия стержневых систем. Что касается отыскания достаточных условий, то, очевидно, здесь нельзя ограничиться основными уравнениями, так как, вообще говоря, речь идет не о неизменяемых системах, а о системах деформируемых, состоящих из связанных между собой неизменяемых частей (стержней и шарниров). Но подобно тому, как равновесие какой угодно материальной системы обязательно будет иметь место, если всякая ее отдельная материальная то<1ка (или элемент) находится в равновесии под действием всех сил (внешних и внутренних), которые на нее действуют, так и в случае стержневой системы мы обязательно будем иметь равновесие, если каждая отдельная ее [c.149]

Уравнения равновесия. Оставим теперь общие рассуждения и займемся сначала односвязными системами. Конфигурация равновесия, "принимаемая каждой такой стержневой системой под действием данной системы сил и представляющая собой ломаную линию, называется веревочным многоугольником (вследствие интересной интерпретации, которую мы укажем далее). [c.153]

Эта эквивалентность является, таким образом, следствием векторных уравнений (5) и (6) однако, поскольку эти уравнения не только необходимы, но также и достаточны для равновесия стержневой системы, они в общем случае неявно содержат дальнейшие условия. [c.155]

Стержневая система (с чисто узловыми внешними силами) представляет собой простой замкнутый многоугольник, в котором Р совпадает с Р . Для того чтобы иметь условия равновесия, достаточно отбросить условия на концах (6) и, наоборот, присоединить одно уравнение к уравнениям (5) (приписывая, например, индексу i также значение 1 и замечая что индекс О должен быть отождествлен с п). [c.237]

Свободный член уравнения (7) не зависит от силы Р. Это означает, что не суш ествует такой нагрузки, при которой к обращалось бы в нуль, поэтому из выражений (6) вытекает, что фх и фз не могут быть постоянными. Система не имеет форм равновесия, кроме исходной, при которой и фз равны нулю. Рассматриваемая стержневая система обладает тем же свойством, что и защемленный стержень, нагруженный следящей силой. [c.129]

Наконец, уже в самом начале курса важно понять, что заменяют собой геометрические гипотезы, принимаемые при выводе формул для напряжений. Сделать это можно, лишь уяснив природу уравнений совместности деформаций. Лучшей иллюстрацией могут явиться такие уравнения, составленные для простейшей статически неопределимой стержневой системы. После этого в главе VI читатель легко освоится с геометрическим смыслом уравнений совместности деформаций для сплошной среды, [c.168]

Стержневая система называется статически определимой, если в ней при любом загружении усилия во всех элементах могут быть определены из одних уравнений статики. Системы, в которых все или часть усилий не могут быть найдены из одних уравнений статики, называются статически неопределимыми. На рис. 3.4 изображено несколько статически неопределимых ферм и шарнирно-дисковых систем. Будем полагать в этих системах все диски, кроме [c.171]

Статическая неопределимость. Стержневая система называется статически неопределимой, если внутренние усилия и моменты в поперечных сечениях, пусть даже некоторых стержней, входящих в ее состав, не могут быть найдены из одних уравнений равновесия, хотя бы при каком-то одном воздействии на систему ). [c.541]

При таком подходе можно дать следующее определение. Стержневая система статически неопределима, если число неизвестных усилий и моментов в сечениях, разбивающих систему на отдельные стержни, превышает число уравнений статики. Степень статической неопределимости равна разности между отмеченными выше числами. [c.547]

На рис. 1.20, б в координатах f i, изображена гипербола, описываемая уравнением (1.35). Ближайшая к началу координат ветвь гиперболы, показанная сплошной линией, является границей области устойчивости в данной задаче. Следуя намеченному в предыдущем параграфе пути, можно доказать, что все точки плоскости, лежащие слева от этой ветви, соответствуют устойчивому вертикальному положению стержневой системы, а точки, лежащие справа, — неустойчивому вертикальному положению. В данной задаче (как и в предыдущей) граница принадлежит области устойчивости. [c.32]

Рассмотрим модель стержневой системы (рис. 66, б) с дополнительной упругой связью [57]. При достижении колебаниями системы (6.2) определенного уровня амплитуды связь может разорваться. В этом случае параметр уц меняется скачкообразно в зависимости от движения системы и является необратимым. Дополнительную упругую связь в уравнении (6.2) можно определить по методике работы [10] и учитывать коэффициентами уо, /а и /3. Определение функции распределения в этом случае представляет особый интерес при оценке надежности подобных систем. [c.293]

Проверка расчета. Проверка расчета всякой статически неопределимой стержневой системы может быть произведена на основании равенства А , 2,3,-- -, р) = О- Это равенство представляет собою одно из уравнений метода сил, записанное в компактном виде и выражающее равенство нулю относительного смещения концов какой-либо рассеченной лишней связи от сил, равных действительным усилиям во всех лишних связях, и от внешней нагрузки. [c.11]

Значения ji, соответствующие различным i ll и и определенные решениями уравнения (69), сведены в табл. 92, Эта таблица позволяет быстро устанавливать критическую силу или систему сил для всякой стержневой системы с неподвижными узлами. Пример 1, Определить критическую силу для системы (фит. 81, а). Погонные жесткости стержней одинаковы. [c.231]

В главе I кратко изложены основы строительной механики стержневых систем, слабо отражаемые в учебных планах машиностроительных вузов. Причем дается общая система уравнений строительной механики, методы решения которых взаимосвязаны с известными методами строительной механики. Анализ такой взаимосвязи позволяет автоматизировать процесс решения конкретных задач. [c.3]

Все стержневые системы делят на статически определимые и статически неопределимые. Статически определимыми называют системы, в которых можно определять все внутренние силы только с использованием уравнений равновесия. Для расчета статически неопределимых систем к уравнениям равновесия необходимо добавлять уравнения деформаций. Расчет по недеформируемой схеме для статически определимых систем эквивалентен основному положению теоретической механики, в которой предполагается, что тела являются абсолютно жесткими. Поэтому при определении усилий в статически определимых системах могут быть использованы приемы, известные из теоретической механики. [c.7]

Покажем, что стержневые системы являются системами с конечным числом степеней свободы. Под степенями свободы понимается число независимых параметров, определяющих положение всех точек системы. В качестве степеней свободы обычно принимают перемещения узлов системы. Если известны перемещения узлов (линейные и угловые), то можно определить перемещения всех точек стержневой системы. Рассмотрим случай плоского изгиба стержня. Дифференциальное уравнение изгиба имеет вид [c.8]

Допустим, что столбы АВ и АС растянуты. Конечно, при этом их реакции (столба АВ) и S (подкоса АС) будут наиравлены от узловой точки А вдоль столба и откоса (но не к точке 711) (рис. 127). Возникает вопрос, не отразится ли это, возможно, ошибочное допущение на правильности решения задачи. Ясно, что ири изменении направлений сил S и Sj на противоположные изменятся на обратные и знаки, с которыми эти силы входят в уравнения равновесия. Следовательно, если наше предварительное иредположенне о направлениях сил S и Sj ошибочно, то в результате решения уравнений равновесия мы получим эти силы с отрицательными знаками. Таким образом приходим к общему заключению при предварительном предположении о том, что стержни в стержневой системе растянуты, положительный знак при величине искомой силы, найденной из условий равновесия, показывает, что эта сила — действительно реакция [c.261]

При составлении уравнений перемещений в стержневых системах настоятельно рекомендуем выражать изменения длин стержней через коэффициенты поОатливости. [c.88]

Стержни, работающие на растяжение и сжатие, часто соединяются в стержневые системы более или менее сложного строения. Соответствующий пример был приведен на рис. 2.1.2. Для того чтобы обеспечить воэникновение только растягивающих и сжимающих напряжений, необходимо, как уже было оговорено, чтобы соединения стержней в узле допускали свободный взаимный поворот стержней и чтобы силы прикладывались только в узлах. Заклепочное соединение узлов или сварка их, строго говоря, не дает возможности свободного поворота, поэтому в стержнях, кроме напряжений растяжения — сжатия, возникают напряжения изгиба, о которых будет идти речь в следующей главе. Однако эти напряжения невелики и при расчетах ими обычно пренебрегают. Если ферма статически определима, а это значит, что уравнения статики, составленные для каждого из [c.48]

Как уже известно, внутренние усилия в некоторых стержневых системах невозможно определить из одних лишь уравнений статики, а необходимо составлять дополните1п>ные уравнения — уравнения деформаций (перемещений). Такие системы называются статически неопределимыми. [c.453]

Начало возможных перемещений Лагранжа. Применительно к твердым телам начало возможных перемещений сформулировано Лаграюкем в его Аналитической механике (1788 г.). К упругим телам (стержневой системе) этот принцип впервые был применен Пуассоном в 1833 г. Подобно тому, как для твердых тел начало возможных перемещений позволяет получить уравнения равновесия твердого тела, так и для упругих тел начало возмояшых перемещений MOJiieT заменить уравнения равновесия тела. [c.45]

Рещение задачи, как мы видели, сводится к системе канонических уравнений. Несмотря на то что эти уравнения линейны и их решение не представляет принципиальных трудностей, при большом числе неизвестных решение становится достаточно трудоемким. Именно поэтому целесообразно использовать любую возможность для упрощения уравнений метода сил. Конечно, степень статической неопределимости системы мы изменить не можем. Она предопределена наложенными связями. Но с помощью надлежащего выбора основной системы можно обратить в нуль ряд коэффициентов 6 , И соответствснпо разбить систему п связанных уравнений на несколько независимых систем более низкого порядка. В частности, в стержневых системах, обладающих определенной регулярностью геометрических и жесткостных свойств, всегда можно упростить структуру канонических уравнений и снизить трудоемкость расчета. И среди таких систем в [c.116]

Для того чтобы равновесие стержневой системы было возможно и в этом случае, как и во всяком другом, должны удовлетворяться основные уравнения, т. е. система приложенных векторов, пред-ставляюш их собой внешние силы должна быть эквивалентна нулю. Отсюда можно заранее заключить, что это последнее условие должно неявно содержаться в векторных уравнениях (5) и (6) это легко проверить и на самих этих уравнениях. [c.155]

Конечно, можно было бы попытаться упростить его, по крайней мере в некоторых случаях, следующим искусственным путем, подобным тому, которому мы следовали в случае стержневых систем (предыдущая глава). Так как мы уже вывели ранее условия равновесия для различных частных видов материальных систем (твердые тела, стержневые системы, нити,...), то можно представить себе, что данная система /S разлонсена на отдельные системы, каждая из которых принадлежит к одному из этих видов, и введя, кроме активных сил, реакции, соответствующие взаимным связям различных частей системы 8, написать уравнения равновесия для каждой из этих частей в отдельности. Но при этом в уравнения равновесия всегда будут входить реакции, подлежащие исключению важно отметить, что при прочих равных условиях число подлежащих исключению реакций будет тем больше (и, следовательно, тем более трудным будет процесс их исключения), чем больше будет число связей, т, е. (пользуясь выражением, которое вполне точно в случае голо-помных систем), чем меньше будет число степеней свободы системы. [c.242]

В общем случае в пространственной или плоской стержневой системе можно отметить подсистемы двух типов —/сонсолп и замкнутые контуры. На рис. 16.8 приведен соответствующий пример. Консоль всегда статически определима ), в ней усилия могут быть найдены из одних уравнений равновесия независимо от рассмотрения остальной части конструкции. Поэтому, желая установить степень статической неопределимости стержневой системы, можно мысленно отбросить все консоли и рассматривать лищь оставшуюся после этого часть. [c.544]

Стержневые системы с подвижными узлами целесообразно рассчитывать способом, представляющим комбинацию метода перемещений с методом распределения неуравновешенных моментов. Сущность этого способа заключается в следующем. Всякую систему с подвижными узлами наложением связей превращаем в систему с неподвижными узлами. Эту систему рассчитываем методом распределения неуравновешенных моментов, описанным в предыдущей главе. Чтобы учесть затем влияние смещений узлов системы, которые возникнут при удалении удерживающих связей, необходимо решить систему канонических уравнений метода перемещений. Если система обладает п степенями подвин<ности узлов, то система канонических уравнений запишется так [c.20]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Сопоставляя формулы (1.52) и (1.66), можно прийти к выводу, что метод сил является менее алгоритмичным, чем метод перемеш,е-ний. При использовании метода перемеш,ений решают систему линейных уравнений с размерами 6р X 6р. Матрица системы уравнений при этом симметрична и положительно определенна. При использовании метода сил сначала следует рассчитать основную систему, для чего надо решить систему уравнений с матрицей [Aq, имеюш,ую размеры 6р X 6р. Матрица А(,] несимметрична. Далее решаем систему канонических уравнений, число которых равно степени статической неопределимости (6s—6р). При ручном счете метод перемещ,ений с учетом продольных деформаций стержней практически не используют из-за большого числа неизвестных и требований, предъявляемых к точности вычислений. В то же время метод сил находит широкое распространение при расчете стержневых систем, вследствие того, что при ручном счете легко определить усилия в основной статически определимой системе. [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...