Напряжения Принцип Кастильяно

Принцип Кастильяно из всех систем статически возможных напряжений выделяет такие, которые обеспечивают не только равновесие, но и совместность деформаций тела и, таким образом, являются искомым единственным решением задачи теории упругости. Для его формулировки рассмотрим два состояния тела первое — [c.62]

Принцип Кастильяно в интегральной форме выражает условия совместности деформаций тела. Если функционал Кастильяно выразить только через напряжения (о), то отвечающие ему уравнения Эйлера дадут для постоянных объемных сил уже знакомые нам уравнения Бельтрами (2.42) — условия совместности деформаций, выраженные через напряжения. [c.64]

Приведем пример использования изложенного метода. На рис. 3.11, а показано поперечное сечение тонкостенного стержня, испытывающего деформацию свободного кручения моментом М. Сечение замкнутое двухконтурное. В этом случае задача определения касательных напряжений г статически неопределима. Решим ее с помощью принципа Кастильяно. [c.66]

Формулировка вариационного принципа зависит от того, какими величинами (функциями) характеризуется состояние деформированного тела. В принципе Лагранжа такими функциями служат перемещения li, а в принципе Кастильяно — напряжения ст. Именно эти принимаемые за основные функции подлежат варьированию (бесконечно малым изменениям) для того, чтобы получить вариационное уравнение. Все прочие функции считаются связанными с основными соответствующими зависимостями, приведенными в гл. 2. [c.67]

Неравенство (1.33) можно истолковать следующим образом (принцип Кастильяно) из всех тензоров напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и краевому условию в напряжениях, наименьшую потенциальную энергию сообщают телу действительные напряжения. [c.627]

Для вывода вариационного принципа Кастильяно, рассмотрим воображаемое напряженное состояние бац такое, что j = О, = О, xi е 5т. Значения, которые принимают величины 8ац на части поверхности 5ц, могут быть произвольны. Поскольку состояние 5ац удовлетворяет условиям равновесия, составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, приняв за виртуальные перемещения истинные перемещения щ ж соответствующие [c.259]

Таким образом, при фиксированных внешних силах истинному состоянию среди статически возможных напряжений соответствуют те, которые сообщают минимальное значение энергии деформации, записанной в форме (9.33). Принцип Кастильяно в форме (9.34) справедлив и для нелинейно-упругого тела. [c.202]

Как формулируется начало виртуальных изменений напряженного состояния (принцип Кастильяно) [c.50]

Вариационный принцип Кастильяно. Если положить, что вариации внешних сил равны нулю, то принцип возможных изменений напряжений принимает вид oi7 =0. Отсюда следует, что из всех возможных изменений напряжений (усилий) совместности деформаций соответствуют те, при которых дополнительная работа принимает стационарное значение. Сформулированный принцип называется вариационным принципом Кастильяно Ч. [c.492]

Наряду с вариационным принципом Кастильяно можно было бы сформулировать и вариационный принцип, полностью симметричный вариационному принципу Лагранжа, если ввести в рассмотрение функционал ТГ, и условию стационарности которого придать вид 6Я =0, Ш — 6Д =0. Варьирование ведется по внешним силам и внутренним усилиям (случай дискретной системы) или внешним силам и напряжениям (случай сплошной среды). [c.492]

В 1944 г. вариант теории пластин, в которой учитываются поперечные сдвиги, был предложен Э. Рейсснером [25]. Задав линейный закон изменения напряжений а, Оу, Хху по толщине пластины, получив затем из уравнений равновесия квадратичный закон изменения напряжений т г и Xyz и кубический закон для напряжений Сг, он выводит соотношения обобщенного закона Гука из вариационного принципа Кастилиано. В 1945 г. Э. Рейсснер [26] получил разрешающие уравнения уравнение для прогиба и для функции t]5, которая входит в формулы для перерезывающих сил. Через год [c.191]

Отметим, что из вариационного принципа Кастилиано не вытекает закон Гука (4.17), если задан какой-то определенный закон изменения напряжений по толщине. Для этого нужно дать полный произвол.в изменении напряжений, чего нет в рассматриваемой, теории. Однако с другой стороны, выполнение уравнений (4.17) нё противоречит уравнению Кастилиано. Оно лишь будет иметь упрощенный вид (4.21). .1 .. [c.193]

В упругом начальном состоянии тела выполняется также и принцип Кастильяно, согласно которому истинное напряженное состояние тела в отличие от множества напряженных состояний, соответствующих тем же приложенным силам, сообщает упругой потенциальной энергии тела минимальное значение 178] [c.449]

Вариационные принципы. Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно для задач ползучести являются, очевидно, простой перефразировкой соответствующих принципов для нелинейно упругого тела, поскольку исходная гипотеза состоит в допущении зависимости потенциального типа между напряжениями и деформациями или скоростями деформации. Систематическое развитие приближенных методов, основанных на принципе Кастильяно, принадлежит Л. М. Качанову. При степенном законе установившейся ползучести с возрастанием показателя п в ряде случаев распределение напряжений мало отличается от того, которое соответствует предельному состоянию идеального жестко-пластиче-ского тела. Таким образом, вводится понятие о предельном состоянии ползучести напряжения о / для этого состояния находятся по схеме жестко-пластического тела, причем предел текучести зависит от характера нагрузки. Приближенные значения скоростей находятся прямым применением теоремы Кастильяно. Более точные результаты получаются, если представить компоненты напряжения в виде [c.134]

Принцип Кастильяно. В то время как принцип наименьшей потенциальной энергии выражает минимальное свойство упругих перемещений, принцип Кастильяно дает формулировку минимального свойства напряжений. Рассмотрим вместе с действительно имеющим место состоянием напряжения смежное состояние, также удовлетворяющее условиям равновесия. Тогда согласно формуле (24) 17 вариация работы деформации выразится формулой [c.47]

Для использования принципа Кастильяно в этой задаче прежде всего необходимо задаться системой напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия (I) и условиям на поверхности это напряженное состояние легко получить, пользуясь функцией напряжений Прандтля и (х, у) [формула (8.16)] [c.342]

Так как по закону Гука напряжения можно выразить через деформации (а следовательно, через перемещения и, V, а/) и, обратно, деформации можно выразить через напряжения, то в теории упругости одну и ту же задачу можно решать либо в перемещениях, либо в напряжениях, рассматривая соответствующую систему дифференциальных уравнений. Этим двум подходам отвечают и различные вариационные принципы (принцип минимума потенциальной энергии и принцип Кастильяно). Заметим, что можно исходить из смешанной системы уравнений, но это не всегда удобно. [c.26]

Принцип Кастильяно (принцип минимума для напряжений). Из всех систем напряжений, находящихся в равновесии с заданными объемными и поверхностными силами, только действительная система напряжений сообщает минимум дополнительной работе [c.31]

Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308]

В заключение заметим, что интеграл по объему V в формуле (XIV.60) называется дополнительной мощностью, а в (XIV.61) — дополнительной работой. Если напряжения на поверхности и не варьируются, в (XIV.60) и (XIV.61) выпадают поверхностные интегралы. Получаем функционалы принципа минимума дополнительной мощности и дополнительной работы Кастильяно. [c.321]

Всю систему вариационных функционалов для разрывных полей можно построить из исходных функционалов Лагранжа и Кастильяно для непрерывных полей, рассматривая, по аналогии с 6 гл. 3, эти функционалы на пространствах разрывных перемещений (деформаций) и функций напряжений (усилий), но с соответствующими дополнительными условиями, обеспечивающими их непрерывность. Этот прием не меняет существа формулировок принципов Лагранжа и Кастильяно, но позволяет построить ряд полных и частных функционалов, одним из условий стационарности которых является непрерывность некоторых варьируемых полей (или условия контакта). [c.132]

В этом смысле вариационному уравнению Лагранжа соответствует принцип возможных перемещений, уравнению Кастильяно — принцип возможных напряженных состояний, а полным и другим частным— различные общие и частные вариационные принципы (см. гл. 1, 2). [c.143]

В соответствии с принципом А.Кастилиано среди множества СВ-полей напряжений Р-поле сообщает функционалу А.Кастилиано максимальное значение. Применение этого вариационного принципа продемонстрируем на примере задачи о движении изотропной, однородной линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе с граничными условиями, представленными на рис. 52. [c.186]

Величины 6aij и на Зи являются произвольными. В каждой задаче теории упругости таких систем напряжений существует бесконечно много, поскольку эта задача статически неопределима. Действительно, в три уравнения равновесия (4.9) входит шесть неизвестных функций напряжений. Принцип Кастилья-ио из всех статически возможных напряжепий выделяет такие, которые обеспечивают не только равновесие, но и совместность деформаций тела и, таким образом, являются искомым единственным решением задачи теории упругости. [c.75]

Вторую группу методов составляют так называемые прямые методы.. Их характерной особенностью является то, что минуя дифференциальные уравнения на основе вариационных принципов механики упругого тела строятся процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле — перемещений, усилий, напряжений. В гл. 3 при рассмотрении двух основных принципов — Лагранжа (вариации перемещений) и Кастильяно (вариации напряжений) — уже были изложены два таких прямых метода, а именно метод Ритца (см. 3.5) и метод, основанный на принципе Кастильяно (см. 3.7). В дополнение к ним в данной главе излагаются общие основы наиболее эффективного в настоящее время прямого метода — метода конечных элементов (МКЭ). Перечисленные методы либо полностью основаны на вариационных принципах (методы второй группы), либо допускают соответствующую трактовку с использованием этих принципов (методы первой группы). Поэтому часто эти приближенные методы называют вариационными. [c.228]

В соответствии с принципом Кастильяно работа вариаций напряжений ба , Ьгху,. .. и внешних поверхностных нагрузок. . ., образующих уравновешенную систему, на любом возможном для тела перемещении должна обратиться в нуль. Если в качестве перемещений принять действительные перемещения и, у, ш, то [c.308]

Стационарность этого функционала рассматривается в вариационном принципе Кастильяно, который формулируется так. Если деформированное состояние тела подчинено условиям совместности деформаций, то истинному состоянию тела соответствует стационарность функционала I у), которая имеет место на множестве вектор-функций сравнения %, порождающих статически возможные напряжения а, т. е. при вариациях бх, соответствующих статически возможным вариациям бо. Последние к тому же обладают самоуравновешенностью вследствие равенства нулю вариаций внешних сил. [c.521]

Э. Рейсснер [27] дает несколько иной вывод уравнений, вводя углы поворота, а также дает способ, преобразования системы уравнении. В 1949 г. А. Грин [23] вывел уравнения Рейсснера энергетическим путем без применения теоремы Кастилиано. Прием А. Грина обсуждает также С. П. Тимошенко [30]. Обобщение варианта Э, Рейсснера на произвольный закон изменения изгибных напряжений по толщине пластины, но одинаковый для всех трех компонентов, дано А. Л. Гольденвейзером [13] (1958 г.). Л. Я. Айнола [1] (1962 г.) показал, что функция распределения напряжений по толщине пластины, введенная А. Л. Гольденвейзером, может быть определена из вариационного принципа Кастилиано. [c.191]

В самом деле, из вариационного принципа Кастильяно следует, что из всех статически допустимых систем действительная отличается тем, что для нее кастильяниан в положении равновесия имеет максимум. Из (1.27) следует, что потенциал Шо, соответствующий задаче Б с граничными условиями (1.13), имеет в положении равновесия минимум. Но граничным условиям (1.13) удовлетворяет и однородное напряжение (3.6), которое в силу эквивалентности задач Б и В является статически допустимой системой, откуда и следует (3.10). [c.76]

Вместо того чтобы рассматривать возможные перемещения от положения равновесия, можно, как предположил Кастилья-но, варьировать напряжения. В отличие от принципа Лагранжа, в котором состояние тела характеризуется функциями перемещений, в принципе Кастильяно определяющими являются [c.39]

Па основании этого припципа можпо также заключить, что в случае устойчивого равновесия экстремальное значение П соответствует минимуму принцип Кастильяно), т. е. среди всех напряженных состояний, которые удовлетворяют уравнениям равновесия, действительным является такое, для которого до-полпительная энергия достигает минимума. [c.77]

Принцип Кастильяно. Действительное напряженное состояние отличается от статически возлюжных тещ что для него дополнительная работа принимает наименьгиее значение. [c.308]

При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве случаев является начало возможных перемеш ений, приводяш ее к вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обоснования процедуры метода Бубнова — Галеркина). Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ, 1950 К. 3. Галимов, 1951, 1958). [c.235]

Так как 6 Л (a ) = Л (бсц) > О, приходим к -следующему выводу, называемому принципом минимума дополнительной работы нли вариацион н-ы м принципом Кастильяно ш всех статически возможных напряженных состояний тела при заданных внешних силах в действительности рсали-вуется то напряженное состояние, для которого функционал Р над тензором напряжений (О( ), называемый дополнительной работой, имеет минимум. [c.102]

Здесь варьируются независимо напряжения о и перемещепи>1 щ. Функционал Лагранжа, записываемый через и деформации ij, выраженные через Ut по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что беу выражается через Ьщ по тем же формулам, по которым б ,- выражаются через Uu Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя. [c.392]

Полученный функционал называется функционалом А.Каспишшно, а вариационный принцип, связанный с поиском напряженного состояния, обеспечивающего максимальное значение функционала (2.1.31), варшционным пршщшюм А.Кастилиано. [c.186]

Здесь П — дополнительная работа. В уравнениях (2.6) не обязательно предполагать упругую деформацию, линейно зависяш ую от напряжений. Более того, можно считать, что мгновенная деформация является упругопластической, подчиняюш ейся уравнениям теории деформационного типа. Можно показать (Л. М. Качанов, 1960), что для тела, находяш егося. в состоянии ползучести, из (2.6) следует вариационный принцип типа Кастильяно, заключающийся в том, что функционал [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...