Принцип А.Кастилиано

В соответствии с принципом А.Кастилиано среди множества СВ-полей напряжений Р-поле сообщает функционалу А.Кастилиано максимальное значение. Применение этого вариационного принципа продемонстрируем на примере задачи о движении изотропной, однородной линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе с граничными условиями, представленными на рис. 52. [c.186]

Каковы требования к механическим граничным условиям при использовании вариационного принципа А.Кастилиано [c.195]

Какой математической постановке задач МСС эквивалентен вариационный принцип А.Кастилиано [c.195]

В чем преимущество изопериметрической постановки вариационных задач МСС по сравнению с постановками, использующими вариационные принципы Ж.Лагранжа или А.Кастилиано [c.195]

Приведем пример использования изложенного метода. На рис. 3.11, а показано поперечное сечение тонкостенного стержня, испытывающего деформацию свободного кручения моментом М. Сечение замкнутое двухконтурное. В этом случае задача определения касательных напряжений г статически неопределима. Решим ее с помощью принципа Кастильяно. [c.66]

Формулировка вариационного принципа зависит от того, какими величинами (функциями) характеризуется состояние деформированного тела. В принципе Лагранжа такими функциями служат перемещения li, а в принципе Кастильяно — напряжения ст. Именно эти принимаемые за основные функции подлежат варьированию (бесконечно малым изменениям) для того, чтобы получить вариационное уравнение. Все прочие функции считаются связанными с основными соответствующими зависимостями, приведенными в гл. 2. [c.67]

Для стержневых систем вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно были уже установлены выше, а именно в 5.2. Там же упоминалось о возможности построения смешанных вариационных принципов, в формулировке которых участвуют как силы, так и перемещения. Способ доказательства был подобен тому, который изложен в 8.8. [c.260]

Вторая теорема Кастильяно. Приложение теоремы Кастильяно к статически неопределимым системам позволяет найти усилия в липших связях и в результате соответствующего обобщения сформулировать принцип наименьшей работы. Подробный вывод содержится во многих руководствах, а здесь приведены только необходимые результаты. Энергия деформации при осевом нагружении г-го элемента Если отбросить в ферме [c.116]

Развитие вариационных принципов механики во второй половине XIX в. и начале XX в. произошло прежде всего путем обобщения их на различные виды механических систем и выяснения характера варьированных движений (см. выше), а затем путем распространения их на механику сплошных сред и путем разработки смежных вопросов аналитической механики. Упомянем прежде всего о вариационном принципе Кастилиано—начале наименьшей работы деформации ). [c.842]

Вариационный принцип Кастильяно. Пусть и и е относятся к одному состоянию тела, т. е. известно решение (15.19) уравнений совместности деформаций Сен-Венана или, иначе, удовлетворены уравнения Коши, а вместо х, о и pv рассматриваются их вариации бх, бо и 6pv, которые считаем возможными, т. е. удовлетворяющими дифференциальными уравнениями равновесия в области и уравнениям равновесия элементарного тетраэдра на границе тела [c.520]

В заключение заметим, что интеграл по объему V в формуле (XIV.60) называется дополнительной мощностью, а в (XIV.61) — дополнительной работой. Если напряжения на поверхности и не варьируются, в (XIV.60) и (XIV.61) выпадают поверхностные интегралы. Получаем функционалы принципа минимума дополнительной мощности и дополнительной работы Кастильяно. [c.321]

Эта теория создана уже около половины века тому назад, но в литературе известны лишь немногие примеры применения ее к задачам механики деформируемых тел. Первые работы принадлежат Р. Куранту [0.9] и Э. Рейсснеру [0.13]. Р. Курант впервые применил преобразование Фридрихса для установления связи между принципами Лагранжа и Кастильяно. Э. Рейсснер [0.13], оценивая результаты своих четырех работ, посвященных вариационным принципам теории упругости, характеризует новизну использования теории [0.9] и полученную в итоге полную формулировку вариационной теоремы как вклад в теорию упругости. В отечественной литературе теория [0.9] впервые применена в работах [0.4], а впоследствии в (0.15, 0.6, 0.1] и др. Однако все эти исследования, как правило, не имеют общего характера и относятся к вариационным формулировкам в терминах стационарности функционалов. К анализу экстремальных свойств функционалов эта теория не применялась. [c.8]

В этом смысле вариационному уравнению Лагранжа соответствует принцип возможных перемещений, уравнению Кастильяно — принцип возможных напряженных состояний, а полным и другим частным— различные общие и частные вариационные принципы (см. гл. 1, 2). [c.143]

В 1944 г. вариант теории пластин, в которой учитываются поперечные сдвиги, был предложен Э. Рейсснером [25]. Задав линейный закон изменения напряжений а, Оу, Хху по толщине пластины, получив затем из уравнений равновесия квадратичный закон изменения напряжений т г и Xyz и кубический закон для напряжений Сг, он выводит соотношения обобщенного закона Гука из вариационного принципа Кастилиано. В 1945 г. Э. Рейсснер [26] получил разрешающие уравнения уравнение для прогиба и для функции t]5, которая входит в формулы для перерезывающих сил. Через год [c.191]

Естественно, что каждый из полученных таким образом вариационных принципов позволяет удовлетворить вариационным методом тем уравнениям теории оболочек, которые не были присоединены к (У.5) и (У.б) в качестве предварительных. Для принципа Лагранжа такими уравнениями являются условия равновесия и статические граничные условия, а для принципа Кастилиано — соотношения неразрывности деформаций (1.35). При использовании этих принципов перечисленные уравнения выполняются как бы автоматически и нет надобности удовлетворять им заранее. [c.91]

Как указывалось выше (см. стр. 248), Максвелл дал другой метод определения перемещений узлов фермы (раньше, чем Кастильяно). Но он представил его в столь абстрактной форме, что инженеры не обратили на него внимания, и его метод нашел надлежащее применение лишь после того, как Мор открыл его вторично ). Но, зная о печатной работе Максвелла, Мор разработал метод, основанный на использовании принципа виртуальной работы, и на примерах показал его практическую ценность. Для пояснения этого метода покажем его применение к ранее разобранной нами задаче (рис. 119, а, стр. 248), а именно к вычис- [c.372]

Пример 9.8. Теорему Кастилиано можно использовать для вывода интеграла Мора. Чтобы избежать громоздких выкладок, покажем, как это можно сделать, на примере изгиба балки. В примере 9.7 было определено перемещение точки приложения силы. В общем случае, когда нужно найти прогиб произвольной точки, например прогиб 8а точки А на рис. 9.44, введем фиктивную силу Ф, приложенную в этой точке. Идея состоит в том, чтобы найти 6а как функцию Р и Ф. Тогда искомый прогиб будет равен значению этой функции при Ф = 0. По принципу суперпозиции, М Р -Ь Ф) — М Р) -Ь М (Ф). [c.285]

Так как по закону Гука напряжения можно выразить через деформации (а следовательно, через перемещения и, V, а/) и, обратно, деформации можно выразить через напряжения, то в теории упругости одну и ту же задачу можно решать либо в перемещениях, либо в напряжениях, рассматривая соответствующую систему дифференциальных уравнений. Этим двум подходам отвечают и различные вариационные принципы (принцип минимума потенциальной энергии и принцип Кастильяно). Заметим, что можно исходить из смешанной системы уравнений, но это не всегда удобно. [c.26]

Таким образом, при малости деформаций и углов поворота начало стационарности дополнительной работы второго рода превращается в начало стационарности дополнительной работы первого рода. Этот последний принцип часто называют началом Кастильяно. Его можно сформулировать следующим образом из всех систем статически возможных напряжений истинными (т. е. удовлетворяющими требованиям совместности деформаций внутри тела и на его опорах) будут такие напряжения, которым соответствует стационарное значение функционала П. Заметим, что, помимо требования малости деформаций и поворотов, никаких других ограничений на применение начала Кастильяно не налагается. Вид функции Ф (а ), характеризующий упругие свойства материала тела, может быть каким угодно. [c.137]

Особенности граничных условий, оговоршные в начале этся о пункта, приводят к тому, что при использовании вариационного принципа А.Кастилиано допускается вариация кинематических парамегров на таких участках Sj границы S, где соответственно ст" = О, р" = О, х" = О, но вследствие равенства нулю произведашй о"-8Ь,р"-8Ь, х"-8Ь на этих участках в функционале А.Кастилиано такая вариация не рассматривается. [c.190]

Полученный функционал называется функционалом А.Каспишшно, а вариационный принцип, связанный с поиском напряженного состояния, обеспечивающего максимальное значение функционала (2.1.31), варшционным пршщшюм А.Кастилиано. [c.186]

В данной главе прежде всего позпакомимся с двумя основными принципами — Лагранжа и Кастильяно, а также с некоторыми другими принципами. Укажем на связь этих принципов и вариационной формулировки задачи теории упругости с дифференциальной формой этой задачи. [c.49]

Вторую группу методов составляют так называемые прямые методы.. Их характерной особенностью является то, что минуя дифференциальные уравнения на основе вариационных принципов механики упругого тела строятся процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле — перемещений, усилий, напряжений. В гл. 3 при рассмотрении двух основных принципов — Лагранжа (вариации перемещений) и Кастильяно (вариации напряжений) — уже были изложены два таких прямых метода, а именно метод Ритца (см. 3.5) и метод, основанный на принципе Кастильяно (см. 3.7). В дополнение к ним в данной главе излагаются общие основы наиболее эффективного в настоящее время прямого метода — метода конечных элементов (МКЭ). Перечисленные методы либо полностью основаны на вариационных принципах (методы второй группы), либо допускают соответствующую трактовку с использованием этих принципов (методы первой группы). Поэтому часто эти приближенные методы называют вариационными. [c.228]

Сформулированное положение представляет собой теорему Лагранжа, а 15.66) —формулу Лагранжа (первую формулу Коттерилла — Кастильяно), которая, как и сам принцип возможных перемещений, справедлива для любой (линейной и нелинейной) деформируемой системы. [c.488]

Стационарность этого функционала рассматривается в вариационном принципе Кастильяно, который формулируется так. Если деформированное состояние тела подчинено условиям совместности деформаций, то истинному состоянию тела соответствует стационарность функционала I у), которая имеет место на множестве вектор-функций сравнения %, порождающих статически возможные напряжения а, т. е. при вариациях бх, соответствующих статически возможным вариациям бо. Последние к тому же обладают самоуравновешенностью вследствие равенства нулю вариаций внешних сил. [c.521]

Э. Рейсснер [27] дает несколько иной вывод уравнений, вводя углы поворота, а также дает способ, преобразования системы уравнении. В 1949 г. А. Грин [23] вывел уравнения Рейсснера энергетическим путем без применения теоремы Кастилиано. Прием А. Грина обсуждает также С. П. Тимошенко [30]. Обобщение варианта Э, Рейсснера на произвольный закон изменения изгибных напряжений по толщине пластины, но одинаковый для всех трех компонентов, дано А. Л. Гольденвейзером [13] (1958 г.). Л. Я. Айнола [1] (1962 г.) показал, что функция распределения напряжений по толщине пластины, введенная А. Л. Гольденвейзером, может быть определена из вариационного принципа Кастилиано. [c.191]

При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве случаев является начало возможных перемеш ений, приводяш ее к вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обоснования процедуры метода Бубнова — Галеркина). Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ, 1950 К. 3. Галимов, 1951, 1958). [c.235]

Обращ ение в нуль первой вариации функционала означает лишь, что функционал принимает стационарное значение, которое может быть максимальным или минимальным или ни тем ни другим. Однако принципы Лагранжа и Кастильяно экстремальны функционал Лагранжа при 5J = О принимает максимальное значение, а функционал Кастильяно — минимальное. Действительно, вычисляя вторую вариацию от Jполучаем [c.449]

При расчете неоднородного сжатия цилиндрического амортизатора с заш емленными торцами (без скольжения по сжимаюш им плош,адкам) и использовании (3.1.22) Лавенделом [297] применен метод Ритца [13], а С. И. Дымниковым — вариационный принцип Кастильяно, причем получено одинаковое соотношение между общей степенью сжатия (осадкой) АА и сжимающей нагрузкой Р вида [c.114]

Что касается другого вариационного принципа — начала стационарности дополнительной работы, то он может быть в классической теории использован в форме Кастильяно [111 (12.10)]. Последнее вытекает из того, что в классической теории предполагается возможной линеаризация формул для деформаций и уравнешй равновесия. Кроме того, для тел, подчиняющихся закону Гука, Ф (а ) = Ф (оу), т. е. удельная дополнительная работа деформации первого рода в этом [c.210]

На основ.а йи подробно изученного примера кручения тел видим, что прн аппроксимирующих функциях, заранее удовлетворяющих условию минимума потенциальной энергии тела или граничным условиям на поверхности его, можно получить не только уточненные решения, но даже точные в строгом смысле или в смысле Сен-Венана. Таким образом, подчиняя заранее аппроксимирующие функции условию равновесия внутри выбранного элемента, например на основании вариационного принципа Кастилиано, или граничным условиям на части поверхности тела согласно уравнениям равновесия на поверхности, мы можем резко уменьшить число аппроксимирующих функций, достигая при этом результатов с высокой степенью точности. Выбор аппроксимирующих функций из условия равновесия на поверхности, т. е. по способу Галеркина, можно рекомендовать для тел простой формы, особенно с постоянным поперечным сечением, что достигается с помощью криволинейных координат. Нахождение аппроксимирующих функций из условия минимума потенциальной энергии (В сечении тела, т. е. по способу Треффца, эффективно как для простых, так и для сложных по конфигурации тел. [c.58]

Вернемся к решению краевой задачи развитого пластического деформирования и разрушения, сформулированной соотношениями (1-5) во втором разделе данной статьи. Метод решения основывается на применении вариационного и экстремального принципа виртуальных скоростей и напряжений, который является обобщением хорошо известных в механике твердого деформируемого тела принципов Лагранжа, Журдена и Кастильяно. Более подробно с упомянутым принципом виртуальных скоростей и напряжений можно познакомиться по книгам [5-7], а в изложении на английском - по статьям [8-10]. [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...