Возмущение в виде 8-функции

Вернемся к определению возмущения функции распределения пузырьков газа по размерам (.г, -с), вызванного наличием гравитационной коалесценции. С этой целью найдем явный вид функции 3 (р, т) (4. 8. 21). Подставляя соотношения (4. 7. 52) для и (4. 8. 44) для Кд в (4. 8. 21), получаем [c.177]

Пусть плоскость ЕЕ (рис. 9.8, а) представляет собой поверхность волнового фронта, и амплитуда колебаний в точке х, у определяется функцией ао(х, у ). Согласно постулату Френеля, возмущение в точке наблюдения М(х, у, г) с координатами х, у, z выразится в виде интеграла по волновому фронту (см. 33 и формулу (33.1)) [c.184]

Пользуясь решением (8) невозмущенного уравнения (7), а также имея в виду малость параметра е, будем считать, что и формы колебаний возмущенного уравнения с достаточной точностью определяются функциями sin X x. Поэтому решение уравнений (5) с учетом равенств (9) будем искать в виде [c.129]

Нелинейная задача теплопроводности (8.201)-(8.204) может быть реализована как приведенным выше ступенчатым методом, так и методом теории возмущений (методом малого параметра) [185], на основании которого определяемую температурную функцию представляют в виде ряда этих функций, члены которого содержат малый параметр с возрастающей от члена к члену степенью. Если такой ряд подставить в уравнение тенлонроводности и краевые условия, продифференцировать и приравнять выражения при одинаковых степенях малого параметра, то получим ряд систем линейных дифференциальных уравнений для нахождения нулевого, первого, второго и последующих приближений. Как показывают расчеты, при этом методе достаточно сделать два приближения, чтобы получить практически достоверный результат. [c.320]

Часть наиболее действенных методов основана на теории возмущений выбирается параметр 8, который в некоторых случаях может быть малым, и функция / разлагается в степенной ряд по 8 (или, в более общем виде, в ряд по функциям (8), для [c.79]

Задачу при 8 = 0 будем называть невозмущенной. Гамильтониан невозмущенной задачи зависит только от импульсов Часть 8Я1( , Т)) будем называть возмущающей функцией. Будем предполагать, что т ) - 2т1-периодическая функция компонентов вектора Г1. Как мы знаем, если некоторая невозмущенная задача интегрируема (т.е. имеет т интегралов в инволюции), то, описывая возмущенную задачу в переменных действие - угол , определенных для невозмущенной задачи, мы, вообще говоря, приходим к задаче с гамильтонианом в виде (25). То есть рассматриваемый вид гамильтониана (25) является в определенном смысле типичным для задач, близких (8 - мало) к интегрируемым. [c.470]

Для построения течения в этой области можно опять использовать переменные и асимптотические разложения (8.4), в которых индекс 3 следует поменять на индекс 2 . Подстановка таких разложений в уравнения Навье-Стокса приведет, очевидно, в первом приближении при е О к системе уравнений Эйлера (8.12), решению для возмущения энтальпии (8.13) и к краевой задаче (8.14) для функции тока (всюду с индексами 2 вместо индексов 3 ), решение которой можно представить в виде малых возмущений относительно сдвигового потока — пристеночной части невозмущенного пограничного слоя на пластине [c.384]

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, демпфирование становится исключительно важным в том случае, когда периодические возмущения имеют частоту, близкую к одной из частот собственных колебаний системы со многими степенями свободы. Вопрос об установившихся вынужденных колебаниях систем с двумя степенями свободы исследовался в п. 3.8 с помощью метода передаточных функций. Этот подход может быть легко распространен на системы с п степенями свободы, при этом основные соотношения [см. выражения (3.51) и (3.52) J сохраняют свою форму неизменной. Однако решение в рамках указанного подхода требует обращения матрицы порядка п X п, содержащей комплексные числа. Если собственные значения и собственные векторы системы предварительно были определены тем или иным способом, подходу с использованием передаточных функций лучше предпочесть метод нормальных форм колебаний. Зная частоту изменения возмущений и собственную частоту колебаний системы, можно непосредственным путем определить динамические перемещения по формам колебаний, чьи частоты близки к частоте возмущения. Ниже, будут рассмотрены возмущения, имеющие вид либо одной гармонической функции, либо произвольного вида периодических функций, при этом будет предполагаться, что система имеет либо пропорциональное демпфирование, либо демпфирование по формам колебаний, аналогичное тому, о котором говорилось в предыдущем параграфе. [c.306]

Если к системе приложено возмущение, которое является синусоидальной функцией времени с частотой со, близкой к частоте соо = = ( а— ь) где Еа и —энергетические уровни двух состояний а) и ), то в хорошем приближении можно не учитывать других уровней системы. Тогда мы имеем систему с двумя степенями свободы, где все относящиеся к ней наблюдаемые физические величины могут быть представлены 2x2 матрицами. Каждый оператор Q может быть в этом случае записан как = /4 0 + где до = 8р — шпур, взятый по двумерному многообразию состояний, а 8 = а/2, где — обычные матрицы Паули. Таким образом, полный гамильтониан системы, включая радиочастотное возмущение, может быть записан в виде [c.39]

Общих методов решения уравнения (4. 8. 15) пока не существует. Будем решать это уравнение приближенными методами в соответствии с [58]. С этой целью напомним, что в предыдущем разделе была сделана оценка влияния непостоянности константы коалесценции на вид функции распределения пузырьков по размерам, В частности, было показано, что при / сю (т - 0) отличие в распределениях (4. 7. 17) и (4. 7. 30) составляет примерно 20 %. Следовательно, оценку возмущения, вызванного полем [c.172]

Из физических соображений представляется очевидным, что при возмущающем воздействии на границу раздела, определяемом соотношением (3.1а), давление и скорость возмущенного движения должны выражаться некоторыми периодическими функциями. Сопоставляя уравнения (3.1а) и (3.8), можно заключить, что возмущенное давление в каждой из фаз выражается уравнением вида [c.134]

Отсюда следует важный вывод о возможности независимого исследования каждого из возмущений с последующим построением результирующих характеристик по зависимости типа (2.20) и (2.22). Найдем в соответствии с (2.20) и (2.8) соотношения, дающие возможность оценить статистические характеристики напряжений. Для пульсаций температуры Т/ (7 J передаточная функция имеет вид [c.15]

Часть наиболее действенных методов решения основана на теории возмущений выбирается параметр е, который в некотором классе задач может быть малым, и функция распределения / раскладывается в ряд по степеням 8 (нлп, в более общем виде, [c.181]

В зависимости от вида внешних возбуждающих воздействий и передаточных функций главных элементов и элементов связи главные регуляторы могут действовать, усиливая или ослабляя друг друга [ 8.7]. При ступенчатом изменении возмущение v воздействует на оба контура (рис. 19.0.1), где Gvi и Оу2 имеют одинаковые знаки, а все главные элементы и элементы связи имеют низкочастотный характер и Р-структуру. В табл. 18.1.1 показаны четыре соответствующие группы комбинаций знаков, полученных на основании анализа по блок-схеме изменения сигналов исходных переходных процессов, где в общем случае проявляются наибольшие изменения. Разделение на группы зависит от знаков отношений [c.318]

Если Яц — функция Гамильтона, соответствующая эллиптической орбите, в силу чего а и р будут соответствующими каноническими постоянными, то уравиеиия возмущенного движения выведутся так же. как и в 8.15, и примут вид [c.212]

Исследование слагаемого вида (10.18) выполняется точно так же, как и выше, и приводит к тому же заключению, а именно первые сигналы распространяются со скоростью с , но затухают основное возмущение распространяется со скоростью а и диффундирует под действием эффектов высшего порядка. Основное возмущение опять хорошо описывается уравнением (10.8), и единственный новый вопрос связан с выбором подходящего граничного условия. Функция Р (р), фигурирующая в соответствующем решении (10.26), находится из уравнений (10.30) [c.337]

Независимо от закона модуляции каждой точке в области ниже MNL (фиг. 1) на плоскости (г, I/O.) соответствует нейтральная кривая, выше которой возмущения растут, а ниже убывают. На самой нейтральной кривой движение периодично. Имеются нейтральные кривые "целого" типа, которым соответствуют "целые" решения, "полуцелого" типа, которым соответствуют "полуцелые" решения и "смешанного" типа, которые состоят из чередующихся участков "полуцелого" и "целого" типа, разделенных максимумами кривой. Область ниже MNL разбита на подобласти, которым соответствуют нейтральные кривые одинакового типа. Границы между указанными подобластями зависят от закона модуляции. В случае малых частот эти границы для ступенчатой модуляции можно найти аналитически из уравнения (2.8). При Q.< 1 уравнение (2.8) имеет решения двух видов 1) когда pj, Р2 в пределе чисто мнимые и их сумма стремится к ia 2) когда одно из значений р , (З2 мнимое и стремится к ia, а второе в пределе вещественное. В первом случае левая часть (2.8) при D 1 является монотонной функцией 1/I2, а во втором осциллирующей. Из условий существования этих решений находим искомые границы, которые были проверены с помощью численных расчетов. В случае ступенчатой модуляции имеют место следующие результаты область между лучом BL и осью R (область I фиг. 1) соответствует нейтральным кривым "целого" типа (фиг. 2, кривая /). Области II на фиг. 1. соответствуют нейтральные кривые "полуцелого" типа (фиг. 2, кривая 2), а областям III, [c.122]

На рис. 8.7, а изображено крыло симметричного профиля в воздушном потоке при нулевом угле атаки. Дадим крылу малое начальное возмущение в виде угла крутки, равного углу атаки Да. Тогда, очевидно, возникнет аэродинамическая сила ДУ, которая создаст крутящий момент относительно ц. ж. АУ(1. Этот момент зависит от скорости полета. Упругий момент крыла будет стремиться уменьшить заданное возмущение (угол Да). Если момент ДУ / будет равен упругому восстанавливающему моменту, то соответствующая скорость полета и будет критической. При уменьшении скорости угол Да будет -стремиться к нулю, а при увеличении к бесконечности. На рис. 8.7, б изображена зависимость угла Да от скорости полета. Как следует из рассмотрения верхней кривой, при скорости, меньшей углы атаки отсутствуют. Прн скорости V Удив весьма малая деформация крыла приводит к большому углу закручивания. В реальных условиях полета возмущающим фактором является начальный угол атаки ао аналогично тому, как для стержия — начальный прогиб. В этом случае зависимость а по V получается из расчета аэродинамических сил с учетом деформации конструкции, как это изложено на стр. 84. График У в функции а приведен на рис 8.7, б в виде кривой, асимптотически приближаю- [c.280]

Работа Клогстона и сотр. [49], посвященная вопросу о происхождении локализованных магнитных моментов, в некоторой степени подтверждает идею о том, что обменная энергия обусловлена электронами зоны проводимости. Модель свободных электронов, использованная в разд. 8.3 для описания виртуальных состояний, оказывается уже непригодной для описания примесных уровней в переходных металлах. Однако такой расчет можно. провести, применяя волновые функции, более подходящие для этих состояний (волновые функции Слэтера — Костера) при этом для фазового сдвига получается та же кривая, что и раньше. На фиг. 51 изображена функция I Е), характеризующая степень возмущения волновой функции ). Когда I (Е) = 1/F, где V — потенциал возмущения, в данном случае создаваемый положительно заряженным примесным центром, то, как можно показать, фазовый сдвиг равен у (Е) = п/2 ж, как и в случае модели свободных электронов, можно ожидать образования виртуальных состояний, энергии которых лежат вокруг значения, определяемого условием / (Е) = 1/F. Однако в отличие от случая свободных электронов на фиг. 51 мы видим две такие точки Ео и Ei. Выясним, как влияет спин на вырождение в этих точках. [c.128]

Действительно, если пренебречь поверхностным натяжением то функция 8 к) будет неограничена для обоих видов неустой чивости — и по Гельмгольцу и по Тэйлору. Отсюда следует З ) что проблема возмущений поставлена математически некор ректно в классическом смысле (Адамара), т. е. что дифферен циальные уравнения возмущения просто не имеют решения при начальном возмущении общего вида. [c.324]

Перейдем теперь ко второму предельному случаю +оо, отвечающему условиям очень устойчивой стратификации. Поскольку при устойчивой стратификации энергия притекает лишь к компоненте и а пульсации у и хю вынуждены заимствовать энергию у а, то здесь всегда имеет место энергообмен между компонентами скорости и поэтому анизотропный анализ размерности применен быть не может. Исследование асимптотического поведения функций ( ), ф( ) и /( ) при больших положительных требует рассмотрения профиля й(г) при больших г в случае устойчивой стратификации (фиксированное I > 0) или же рассмотрение при фиксированном г случая весьма малых положительных L (т. е. очень резких инверсий температуры). При этом, однако, надо иметь в виду, что в предельном случае резкой инверсии при слабом ветре (малое и ) турбулентность вырождается становится невозможным существование крупных турбулентных возмущений (так как эти возмущения должны были бы затрачивать слишком много энергии на работу против архимедовых сил) и турбулентность может существовать лишь в виде мелких вихрей. При еще большей устойчивости даже мелкомасштабная турбулентность, по-видимому, будет практически невозможной, и флуктуирующие движения среды в основном будут реализовываться в виде случайных внутренних гравитационных волн (при потере же ими устойчивости возникают турбулентные пятна, расплывающиеся затем в тонкие слои — формируется тонкослойная вертикальная микроструктура, наблюдаемая, например, почти всюду в океане, см. п. 8.6 ниже). [c.391]

Разложение возмущающей функции в общем виде и общие выражения для возмущений элементов, учитывающие любое число гармоник, были получены В. Каулой [8]. Важной для практики является работа А. Шаля и И. Лаклавери [2], в которой были найдены рекуррентные соотношения для функций наклона и функций эксцентриситета. Возмущения, вызываемые любой гармоникой, в случае малых эксцентриситетов в удобном для практических расчетов виде были найдены также С. Н. Яшкиным [9]. [c.211]

При выводе уравнений (IX.1.6)—(IX.1.8) предполагается, что поперечная компонента скорости Ру имеет порядок так как она связана с расходимостью пучка. Уравнения (IX. 1.6) и (IX. 1.7), как нетрудно видеть, содержат малые члены первого порядка малости, стоящие слева, и малые члены второго порядка малости. Ограничиваясь малыми членами только первого порядка, можно получить известные линейные соотношения, выражающие возмущения скорости и плотнасти в виде функций друг от друга р = Рог х/со, = Сор /ро- [c.226]

Как и раньше, мы рассчитаем рассеяние, расслютрев псевдопотенциал как возмущение и использовав псевдоволновые функции нулевого порядка (плоские волны.) Теперь мы не можем, как это делали в случае рассеяния на примесях, выделить в матричных элементах члены, ответственные за зонную структуру, и члены, отвечающие наличию дефектов. Такого четкого разделения больше нет, и мы вынуждены писать полный матричный элемент. Это можно сделать таким же образом, как и при вычислении энергии жидких металлов, представляя матричный элемент в виде произведения структурного фактора и формфактора. Результат вполне аналогичен полученному в п. 6 8 во втором порядке теории возмущений [c.253]

Следовательно, главный недостаток адиабатического приближения проявляется в том, что не учитывается медлительность предшественников запаздывающих нейтронов при расчете изменения форм-функции г ). Улучшенное приближение, нazы.ъatuot квазистатическим приближением [13], состоит в том, что рассчитывается из уравнения (9.19) и используется в уравнении (9.18) в предположении, что член д ( 1д()1ь равен нулю. Величину [дР ) д( 1Р ) можно взять из решения уравнения (9.8) для последнего из серии временных интервалов (см. ниже). В этом приближении нетрудно получить форм-функции с хорошей точностью даже для больших пространственно-распределенных возмущений свойств системы [14]. Можно также учесть член представляя его в виде [c.377]

Кристаллическое распределение электронной плотности р(г) состоит из двух вкладов атомного р"(г) (распределение электронов в изолированном атоме) и экранирующего Ар(г), собранного из хвостов плотностей соседних атомов. Обычно для построения кристаллической плотности используются самосогласованные атомные волновые функции. Это значит, что атомный вклад в плотность, р (г), рассчитан с использованием всех порядков теории возмущений (ср. 6, 8), а не только первого, как в теорип диэлектрического экранирования. Мы имеем в виду не остовные электроны, а ту часть плотности валентных электронов, которая находится внутри сферы Вигнера — Зейтца. [c.126]

После подстановки ряда (8.4) в уравнение (8.3) и исключения коэффициентов при os 2п0 и sin2n0, автор приходит к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций ij) с переменными коэффициентами. Структура этой бесконечной системы такова, что п-е уравнение представляет собой восьмичленное дифференциальное выражение, содержащее три смежные функции, и Решение бесконечной системы разыскивается методом возмущений, причем за параметр возмущения берется искусственно введенный в (8.3) параметр ё. Этот параметр введен в (8.3) как множитель перед квадратной скобкой. Если е = О, то полученная система распадается и каждая из функций определяется отдельно. Если е = 1, то система совпадает с исходной. Функция представляется в виде [c.313]

Мы получили решение, отвечающее требованию максимальности 50 га). Если с/ Ап, то это решение все еще не единственное, но содержит неопределенность, связанную с выбором функции Га при О 1 — 4п — с/. Это эквивалентно возможности добавить к ответу произвольное однородное решение вида (4.3) с 0 —(1 — Ап. Такие однородные члены имеют 5-степень — О — Ап й, поэтому их добавление не уменьшает 5-степени функции г . Получаемая неопределенность не специфична для развиваемого здесь формализма. Она проявляется и в каноническом формализме в виде неопределенности в коэффициентах контрчленов, необходимых для уничтожения бесконечностей. В гл. 8 мы покажем, что на самом деле для так называемых перенормируемых теорий никаких иных неопределенностей, кроме известных из канонического формализма, в аксиоматической теории возмущений не возникает. [c.73]

Как видно из (4. 8. 48), возмущение функции распределения v х, х), обусловленное влиянием силы тяжести на коалесценцию, пропорционально Следовательно, учет влияния, поля силы тяжести на коалесценцию приводит к увеличению скорости коа-лесценции малых газовых пузырьков (V < К р) из-за их слияния с всплывающими в жидкости большими пузырьками газа. Максимум распределения при этом сдвигается в сторону больших пузырьков. Явный вид х) может быть найден при помощи [c.178]

Таким образом, операторы Rju, j=i, D2, р, t k = j, q, Dr, связывающие входные и выходные координаты теплообменника, выражаются в явном виде через трансцендентные функции Яп и комплексы, составленные из коэффициентов уравнений динамики, комплексного параметра преобразования Лапласа по времени s и передаточных функций разделяющей стенки. Выще были приведены выражения и показан способ их определения для наиболее общего случая конвективно-радиационного теплообменника со сжимаемой рабочей средой, распределенными по длине температурой газа и энтальпией рабочей среды. Вид Rjh не зависит от модели разделяющей стенки. Выбор модели стенки влияет только на выражения передаточных функций Операторы Rjh для трубопроводов, радиационных теплообменников и прямоточных конвективных теплообменников совпадают с соответствующими передаточными функциями Wjk. В случае противоточного конвективного теплообменника возмущения по температуре газа задаются в точке. =1. Операторы Rju получены в результате решения задачи Коши, когда возмущения считались заданными в точке Х=0. Поэтому для лротивоточного теплообменника передаточные функции Wjh не совпадают с Rjh, а определяются комбинацией последних в соответствии с табл. 8-2. [c.123]

Таким образом, оператор усреднения вдшь порождающего решения при строгом его применении дает, вообще говоря, худший результат даже по сравнению с оператором (11). Ведь трудно ожидать, чтобы решение первоначального уравнения (1) общего вида представлялось линейной функцией времени. Отсюда вытекает, что решения z( , л) и z(i, i) могут сильно различаться. Чтобы в некоторой степени устранить этот недостаток, был предложен другой оператор усреднения [8, 24], который может быть назван оператором усреднения при постоянных возмущениях. [c.25]

Параметры с , Су равны друг другу в невозмущенной системе и близки по величине в возмущенной системе. Невозмущенную систему можно рассматривать как два несвязанных между собой нелинейных осциллятора, фазовые портреты которых представлены на рис. 8. Введем переменные действие-угол ( и Ч и-> Iv,4 v) посредством канонического преобразования с производящей функцией S — S Iu, Iv u,v, Pt,r), которая содержит г, Pj в качестве параметров. В новых переменных невозмущенный гамильтониан трансформируется в Tio = = У-oiIu, Iv,Pt,T) = Uuilu, Pt,r) + Hy Iy, Pt,r). Функция S имеет вид [c.179]

Оценка (8.68) показывает, что характерная площадь продольного сечения неровности аЬ определяет вид взаимодействия неровности с внешним набегающим потоком. Поэтому линии СН [а /Ь) и НК (Ь разделяют режимы течений, при которых возмущения функций течения создаются за счет взаимодействия неровностей только с пристеночной дозвуковой частью невомущенного пограничного слоя на пластине (слева, в области СС N К Ь) или только с равномерным набегающим потоком (справа, в области СЗКН). На границе этих областей возмущения функций течения создаются за счет взаимодействия неровностей со всем пограничным слоем на пластине. [c.397]

В заключение подчеркнем еще раз, что возможность разложения произвольного решения системы (2.7) в ряд по специальным решениям вида (2.8) будет иметь место часто/но все же не всегда—это обстоятельство часто забывается при рассмотрении задач гидродинамической теории устойчивости. В частности, более сложная ситуация возникает, если система (2.7) оказывается сингулярной (т. е., например, если какой-тО коэффициент при старшей производной у этой системы где-то обращается в нуль). В таком случае полнота системы собственных функций не может быть просто доказана, и даже само понятие собственной функции должно определяться с осторожностью. Дело в том, что здесь часто и при фиксированном масштабе возмущения возникает непрерывный спектр собственных значений, которому отвечают собственные функции, удовлетворяющие более сложным, чем обычно, граничным условиям или имеющие более сложную структуру (например, не убывающие на бесконечйости или имеющие разрывы производных в особой точке). В приложениях такие более сложные собственные функции часто просто упускаются из виду, в результате чего система элементарных решений вида (2.8) оказывается заведомо неполной (ср. Кэйз (1962), Линь (1961), Линь и Бенни [c.102]

Такой ПОДХОД удобен математически, так как он оправдывает адиабатическое приближение, в рамках которого волновые функции считаются непрерывно изменяющимися вслед за деформацией решетки. При этом беспорядок приводит лишь к сравнительно малым изменениям, которые можно исследовать с помощью теории возмущений. К сожалению, эта модель физически не реалистична, ибо ни одна реальная конденсированная среда не ведет себя подобным образом. Пластическая деформация кристалла легче всего происходит путем возникновения локализованных топологических дефектов типа дислокаций или границ зерен — так, чтобы в пространстве между ними возможно большая часть решетки оставалась в ненапряженном состоянии, без напряжений. Как мы видим, дефекты такого типа представляют собой центры сильного рассеяния влияние их нельзя описать с помощью малых поправок к адиабатическому приближению. С другой стороны, стекла и жидкости столь сильно разупорядочены за пределами одного или двух межатомных расстояний, что для них представление о деформированной регулярной решетке вообще неприменимо (см. 2.8—2.11). [c.75]

Найт и Мак-Интер [И] теоретически, а Вейгеман и Гуе-вара [16] экспериментально показали, что в круглой пористой трубе в случае Rer>l давление пара в зоне вдува по ходу потока уменьшается по параболическому закону как функция осевой координаты. Профиль скорости аксиального потока в пористой трубе при больших значениях числа Rer не параболический, а пропорционален соз(я/8) (r/i ) . В зоне отсоса давление растет вследствие торможения потока. При R r l осевая скорость практически постоянна по всему сечению трубы и уменьшается до нуля в тонком слое у стенки, т. е. течение имеет вид пограничного слоя. Решение уравнений Навье—Стокса для ламинарного течения несжимаемой жидкости в пористой трубе получено методом возмущений путем разложения в ряд по числам 1/Rer в области значений 1/Rer- O, т. е. при Rer>l-Для градиента давления в работе [И] получена формула [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...