Поворот тела вокруг неподвижной точки

Переместившись элементарным поворотом вокруг оси ОР в соседнее положение, тело из этого положения в последующее перемещается поворотом вокруг новой мгновенной оси вращения OPi и т. д. Таким образом, движение твердого тела вокруг неподвижной точки [c.148]

При вращении твердого тела вокруг неподвижной точки вектор 0 бесконечно малого поворота определяется, как следует из 61, следующей формулой [c.203]

Таким образом, в данный момент времени скорости точек тела таковы, какими они были бы, если бы тело вращалось с угловой скоростью (jj вокруг неподвижной оси, на которой в данный момент времени лежит вектор и). Эта ось называется мгновенной осью вращения а вектор а — мгновенной угловой скоростью. Все точки мгновенной оси вращения имеют скорости, равные нулю. Мгновенная ось вращения перемещается и в теле, и в абсолютном пространстве. В связи с этим заметим, что при движении твердого тела вокруг неподвижной точки (и в общем случае движения свободного твердого тела) ио не является производной некоторого угла так как нет такого направления, вокруг которого поворот на угол (р совершается. [c.61]

Ось ОР, элементарным поворотом вокруг которой тело перемещается из данного положения в положение соседнее, бесконечно близкое к данному, называется мгновенной осью вращения, скорости всех точек тела, лежащих на мгновенной оси вращения, равны в данный момент времени нулю. От неподвижной оси мгновенная ось вращения отличается тем, что ее направление и в пространстве и в самом теле все время меняется. Переместившись поворотом вокруг оси ОР в соседнее положение, тело из этого положения в последующее перемещается поворотом вокруг новой мгновенной оси вращения ОР и т. д. Таким образом, движение твердого тела вокруг неподвижной точки слагается из серии последовательных элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту неподвижную точку (рис. 202). Рассмотрим кинематические характеристики этого движения. [c.207]

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в потенциальном поле сил, инвариантном относительно поворотов вокруг некоторой прямой Г, проходящей через точку подвеса. Обозначим, как обычно, через р, ц, г проекции вектора угловой скорости на главные оси эллипсоида инерции тела, а через 71, 72, 73 — косинусы углов между прямой Г и главными осями инерции. Потенциал поля сил "V зависит только от переменных 71, 72, 73. Предположим, что У — аналитическая функция в некоторой окрестности нуля 7 = 72 = = -уз = О, содержащей сферу Пуассона [c.68]

Рассмотрим группу 5p(l) — мультипликативную группу кватернионов q = X + Шс единичной нормой + + = 1. Каждому такому кватерниону соответствует линейное отображение Г, алгебры всех кватернионов К на себя, определенное формулой Тд г) = qrq (г Е К). Легко проверить, что Г, отображает множество чистых кватернионов (у которых х = 0) на себя. Если отождествить это множество с евклидовым пространством то Тд будет ортогональным преобразованием —> —> R . Рассмотрим теперь твердое тело с закрепленной точкой. Зафиксируем некоторое положение этого тела. Тогда его поворот из начального положения в произвольное задается некоторым ортогональным преобразованием, которому, в свою очередь, соответствует некоторый кватернион д Е Sp(l). Таким образом, каждому кватерниону g Е Sp(l) можно поставить в соответствие положение твердого тела с неподвижной точкой, причем кватерниону —д (и только ему) соответствует то же самое положение тела в R . Эти наблюдения восходят к Гауссу. Таким образом, переменные (Xi С) можно считать избыточными координатами в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.35]

В общем случае поворот твердого тела вокруг неподвижной точки осуществляется как последовательность трех поворотов. Так, опре- деляя положение тела с помощью эйлеровых углов ф, 9, ср, мы осуществляем первый поворот вокруг оси на угол ф. При таком повороте оси I, т], С займут положение лгр причем сов- [c.53]

Существуют двенадцать вариантов начального расположения колец карданова подвеса (который обеспечивает вращение твердого тела вокруг неподвижной точки) относительно неподвижной системы координат два из них [а и б) представлены на рисунке. Для этих двух вариантов выразить проекции угловой скорости твердого тела па неподвижные оси О ж2/2 и на оси 0 Г1 , связанные с телом, через углы поворотов колец карданова подвеса /, 0, ф и их производные /, 0, ф. [c.35]

Примеры свободное вращение твердого тела и задача трех тел. Рассмотрим сначала задачу Эйлера о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции (см. п. 2.4 гл. 1). Здесь Л1 = Г50(3) =50(3)X/ , группой симметрий О является группа вращений 50(3) ей соответствует пуассонов-ская алгебра первых интегралов, изоморфная алгебре Ли 50(3). Зафиксируем значение кинетического момента и рассмотрим интегральный уровень Мс=Рв<цз) Чс). Нетрудно показать, что при всех значениях с множество Мс является трехмерным многообразием, диффеоморфным пространству группы 50(3). Стационарной группой Ос является одномерная группа поворотов 50(2) твердого тела в неподвижном пространстве вокруг постоянного вектора кинетического момента. Приведенное фазовое пространство Л7е = 50(3)/50(2) диффеоморфно двумерной сфере. [c.110]

Группа 50(3) — конфигурационное пространство задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки все положения тела можно получить из некоторого его фиксированного положения с помощью поворотов. Вращение твердого тела задается функцией t x t), где X — ортогональная матрица из 50(3). Скорость вращения x t) есть касательный вектор к группе в точке x t). Его можно перенести в единицу группы (то есть в алгебру so(3)) двумя естественными способами левым и правым сдвигом. В результате мы получили две кососимметричные матрицы х х и хх . [c.152]

Геометрическое представление движения твердого тела вокруг неподвижной точки основывается на следующей теореме о перемещениях сферической фигуры по поверхности сферы любое перемещение сферической фигуры по поверхности сферы может быть достигнуто поворотом ее вокруг некоторой прямой, проходящей через неподвижную точку С и центр сферы О. [c.48]

Так как тело, движущееся вокруг неподвижной точки, имеет в каждый момент времени мгновенную ось вращения ОР, вокруг которой происходит элементарный поворот с угловой скоростью о> (рис. 176), то вектор скорости какой-нибудь точки М тела будет определяться в этот момент равенством (48) из 51, т. е. [c.150]

Заметим еще, что формула (32) сохранит свой вид и в случае поворота тела вокруг мгновенной оси вращения 01 с угловой скоростью 0), так как при этом поле скоростей точек тела будет в данный момент времени таким же, как при вращении вокруг неподвижной оси. Таким образом, [c.291]

Рассмотрим однородное твердое тело с неподвижной точкой О, имеющее ось симметрии Oz и вращающееся вокруг этой оси с угловой скоростью Q, нд много превышающей ту угловую скорость со, которую может иметь сама ось Ог при ее поворотах вместе с телом [c.334]

В каждый момент времени абсолютная угловая скорость гироскопа (Oje=Q4-неподвижную точку О (см. 60), слагается из серии элементарные поворотов с этой угловой скоростью (о,в вокруг мгновенных осей вращения ОР (рис. 333). Но когда угол р между векторами [c.334]

Кинетическая энергия тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Так как любое элементарное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку О, представляет собой элементарный поворот с угловой скоростью (О вокруг мгновенной оси вращения 01, проходящей через эту точку (см. 60), то кинетическую энергию тела можно определить по формуле [c.341]

Теперь, когда углы ср и г)з фиксированы, у тела остается лишь одна степень свободы не меняя этих углов, можно повернуть тело вокруг линии узлов. Чтобы фиксировать и этот поворот, введем в рассмотрение еще один угол G между осью г и осью Этот угол называется углом нутации. Задание трех углов г ), ф и 6 полностью определяет положение греческой системы относительно латинской, т. е. полностью определяет положение тела. Вместе с тем эти три угла независимы в том смысле, что каждый из них можно менять без изменения двух остальных углов. Поэтому углы г 5, ф, 0 могут служить обобщенными координатами тела с неподвижной точкой О. Углы эти называются эйлеровыми углами. [c.189]

Можно получить первые интегралы дифференциального уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, используя теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек. Это осуществимо в задачах, где главный момент внешних сил постоянен либо зависит от угла поворота твердого тела, а в число данных и неизвестных величин входят момент инерции твердого тела относительно оси вращения, внешние силы, приложенные к твердому телу, угловое перемещение, угловые скорости твердого тела в начале и в конце этого углового перемещения. [c.541]

Теорема Эйлера — Даламбера. Рассмотрим теперь движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Докажем, что в этом случае имеет место теорема Эйлера — Даламбера Всякое перемещение твердого тела около неподвижной точки можно полечить одним только поворотом тела вокруг определенной оси, проходящей через эту точку и называемой осью конечного вращения. Доказывается эта теорема аналогично теореме и на стр. 102. Как известно, положение твердого тела в пространстве определяется положением любых трех его точек, не лежащих на одной прямой ( 7, п. 1). Если точка О тела неподвижна, то его положение определится положением любых двух других точек, не лежащих на одной прямой с точкой О. Опишем из неподвижной точки О тела, как из центра, сферу произвольного радиуса и на этой сфере возьмем две точки А Vi В (рис. 132) тогда положение тела можно определить положением дуги АВ большого круга рассматриваемой сферы. [c.132]

Полученные результаты позволяют представить картину движения свободного твердого тела как непрерывную последовательность элементарных перемещений одним из следующих двух способов. Из первой формулировки теоремы Шаля вытекает, что движение свободного твердого тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, определяемого движением произвольно выбранного полюса, и из вращательного движения вокруг этого полюса, как вокруг неподвижной точки. В свою очередь движение вокруг неподвижной точки представляет собой непрерывную последовательность бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку. [c.154]

Теорема 4.7.3. Пусть связи, наложенные на систему материальных точек, допускают в некоторой ее конфигурации виртуальные перемещения, соответствующие повороту всей системы как твердого тела вокруг неподвижной оси е. Тогда для равновесия системы в этой конфигурации необходимо, чтобы сумма моментов всех активных сил относительно этой оси равнялась нулю [c.350]

Это уравнение позволяет найти положение тела в любой момент времени и является уравнением вращения тела вокруг неподвижной оси. Так как положение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется одной величиной — углом поворота, то это тело по определению имеет одну степень свободы. [c.121]

Прямая, поворотом вокруг которой тело, имеющее неподвижную точку, перемещается из данного положения в положение, бесконечно близкое данному. [c.40]

Прямая, поворотом вокруг которой тело, имеющее неподвижную точку, можно переместить из одного положения в другое. [c.56]

Сначала рассмотрим вопрос об аналитическом определении закона вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Для этого нам придется ввести понятие об угле поворота. Пусть ось Ог (рис. 33) является неподвижной осью, вокруг которой вращается тело. Проведем через ось Ог в начальный момент времени плоскость Ро и фиксируем ее положение в неподвижном пространстве и в теле. Точки тела, лежащие в начальный момент времени в плоскости Ро, останутся в плоскости Р, движущейся вместе с телом и образующей со своим начальным положением Ро некоторый двугранный угол. Ребром этого двугранного угла является ось вращения тела Ог. Упомянутый двугранный угол называется углом поворота тела или его угловой координатой. Он измеряется своим линейным углом ф (рис. 33). [c.102]

Рассмотрим распределение линейных скоростей при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси. Здесь целесообразно воспользоваться естественным способом определения движения точки. Рассмотрим траекторию движения точки М (рис. 33). Выбирая на траектории начальную точку Мо, соответствующую началу отсчета угла поворота ср, найдем, принимая во внимание формулу (11.92), [c.105]

Неподвижное закрепление точки тела можно осуществить, например, при помощи сферического шарнира, т. е. приспособления, обеспечивающего неподвижность точки закрепления тела и допускающего возможность поворота тела вокруг любой оси, проходящей через эту точку. Реакция неподвижно закрепленной точки не известна ни по величине, ни по направлению в уравнения статики войдут при этом три неизвестные проекции сил. [c.52]

Предположим, что рассматриваемое твердое тело имеет неподвижную точку (центр) О (рис. 179) и может как угодно вращаться вокруг этой точки. Выясним прежде всего число величин, которое надо задать для определения положения твердого тела в пространстве. Для этого проведем через центр О ось OL, жестко связанную с телом положение этой оси в пространстве определится двумя величинами углами аир этой оси с осями Ох и Оу неподвижной систе.мы координат. Но этих двух величин еще недостаточно для определения положения твердого тела, так как тело может вращаться около взятой оси. Задавая еще одну величину — угол ф поворота тела вокруг оси, — полностью фиксируем положение тела в пространстве. [c.262]

Указания к решению задач. Задачи, относящиеся к вращательному движению твердого тела вокруг неподвижной оси, можно разделить на три основные типа 1) определение угла поворота, угловой скорости и углового ускорения тела 2) определение линейных скоростей и ускорений точек вращающегося тела 3) задачи, относящиеся к передаче вращательного движения от одного тела к другому (зубчатые и ременные передачи). [c.302]

Из кинематики известно, что для определения положения твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение, достаточно задать положение какой-нибудь его точки, принятой за полюс, и угол поворота тела вокруг оси, проходящей через этот полюс и перпендикулярной к неподвижной плоскости, параллельно которой происходит движение всех точек тела. Задачи динамики решаются проще всего, если за полюс взять центр масс С тела и определять положение тела координатами (х , у ) центра масс С и углом поворота(9)тела вокруг оси г, проходящей через центр масс С и перпендикулярной к плоскости движения хОу (рис. 382 или рис. 383). [c.689]

Твердое тело, совершающее плоскопараллельное движение, имеет три степени свободы, так как его положение вполне определяется тремя обобщенными координатами двумя координатами центра тяжести хс и Ус любого сечения, проведенного параллельно неподвижной плоскости, и углом поворота вокруг оси, которая перпендикулярна к сечению и проходит через его центр тяжести. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, имеет три степени свободы, так как его положение определяется тремя обобщенными координатами тремя углами Эйлера ср, ф и б. [c.752]

Так как движение тела, имеющего одну неподвижную точку, в каждый момент времени можно считать вращением вокруг мгновенной осп, то в качестве величин, характеризующих это движение, можно ввести Х гиовеииую угловую скорость и мгновенное угловое ускорение враще-JH H твердого тела вокруг неподвижной точки. Очевидно, вводимая угловая скорость является векторной величиной, направленной в каждый момент времени по соответствующей мгновенной оси, и при использовании правой системы координат вектор угловой скорости w направлен по мгновенной оси так, что с направления этого вектора видно вращение тела вокруг мгновенной оси, проис.ходящим против движения часовой стрелки. Величину вектора угловой скорости можно вырази гь через элементарный угол поворота Аф вокруг мгновенной оси за время ДЕ [c.168]

Последовательность конечных поворотов тела с неподвижной точкой на угол вокруг оси и на угол ф вокруг оси Сз эквивалентна единому повороту на угол ф вокруг оси е (е , е , е — единичные векторы осей), причем в сферическом треугольнике С С С, образованном концами векторов, = Ф1/2, Z. 1 2 = фг/2, /L i = ф/2. Указанные углы будут равны углам между векторами Ид, з, Н12, перпендикулярными к плоскостям ( 1, е), (е , е), (e-i, е ) [c.192]

К. — К. п. применяют при решении ряда кипематич. задач о движении тела с неподвижной точкой, в частности задачи о с,г10жении последовательных конечных поворотов, для записи ур-ний, определяющих закон движения тела вокруг неподвижной точки, в более компактном виде и др. [c.537]

Из (3.7) получаем detQ= l. Ортогональные тензоры с положительным детерминантом называются собственно ортогональными, а с отрицательным — несобственно ортогональными. Ортогональное преобразование не меняет длин векторов и углов между ними, поэтому собственно ортогональный тензор в трехмерном евклидовом пространстве задает конечный поворот абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки. Несобственно ортогональный тензор осуществляет преобразование, состоящее из жесткого поворота и отражения. [c.12]

Тело с двумянеподвин -ными точками. Рассмотрим твердое тело, две точки которого О и О закреплены неподвижно (рис. 131). Ясно, что прямая, проходящая через эти две точки, остается неподвижной. Примем эту прямую за ось г начало координат возьмем в точке О. Расстояние между О ж (У обозначим через а. Единственное движение, возможное для такого тела, — это вращение вокруг оси 2, и положение тела определяется единственным параметром — углом поворота тела вокруг неподвижной оси поэтому мы имеем в данном случае твердое тело с одной степенью свободы. [c.198]

Для нас основным примером будет группа 80(3) — группа поворотов трехмерного евклидова пространства. Она состоит из ортогональных матриц третьего порядка с определителем, равным единице. Произвольная 3 х 3-матрица задается девятью произвольными параметрами. Шесть независимых условий ортогональности выделяют в девятимерном пространстве гладкую регулярную трехмерную поверхность — многообразие 50(3). С топологической точки зрения — это трехмерная сфера, у которой отождествлены антиподальные точки. Легко проверить, что операция умножения матриц будет гладким преобразованием этой поверхности. Как уже отмечалось ( 5 главы I), группа 50(3) — конфигурационное пространство в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.149]

Сферический шарнир без трения—закрепление тела, обеспечивающее свободу поворота его вокруг центра шарнира (рис. 8.7). Воз мож ное двнл<ение тела в этом случае предста вляет собой вращение его вокруг неподвижной точки. Сила реакции проходит через центр шарнира, однако направление ее может быть различным в зависимости от действия активных сил. [c.124]

Для характеристики вращательной части плоского движения твердого тела вокруг подвижной оси, проходящей через выбранный полюс, аналогично случаю вращения твердого тела вокруг неподвижна оси можно ввести понятия угловой скорости со и углового укорения е. Если угол поворота вокруг подвижной оси, проходящей через полюс, обозначить ф, то [c.141]

Связь осуществляется посредством неподвижного цилиндрического шарнира или подшипника (рис. 16). При наложении такой связи рассматриваемое тело неизменно скрепляется с втулкой, которая надевается на болт, неподвижно прикрепленный к соответствующей опоре . Трением между поверхностями втулки и болта во многих случаях можно пренебречь. Связь, осуществляемая посредством такого идеального шарнира, не препятствует ни повороту тела вокруг оси болта, ни его перемещению вдоль этой оси . Эта связь препятствует лишь перемещению тела в направлении нормали к поверхности втулки и болта, и, следовательно, ее реакция может быть направлена только по этой нормали. Нотаккак втулка в зависимости от ее расположения и активных сил, приложенных к неизменно скрепленному с ней телу, может прижиматься к любой точке болта, то указать заранее направление реакции даже такого идеального шарнира нельзя. Можно только утверждать, что сила реакции идеального неподвижного [c.33]

Уравнения Эйлера. Многие исследования о вращении твердого тела около неподвижной точки под действием внешних сил или при их отсутствии основываются на замечательной системе уравнений, установленных Эйлером (1758) и известных под его именем. Было уже замечено ( 38), что употребление неподвижной системы координат неудобно для уравнений движения, так как коэфициенты инерции непрерывно изменяются. Поэтому Эйлер наметил план введения осей координат, неизменно связанных с телом и движущихся вместе с ним. Для большего упрощения в качестве таких осей принимают главные оси инерции ОА, ОВ, ОС, относящиеся к неподвижной точке О. Пусть Ох, Оу, Oz — система осей, неподвлжных в пространстве, но ориентированных так, что они в данный момент t времени совпадают соответственно с осями ОА, ОВ и ОС. Через промежуток времени Ы положение главных осей инерции определится, как результат трех поворотов рЫ, qbt, rbt, соответственно, вокруг осей ОХ, 0Y, 02. Если мы пренебрежем квадратами и произведениями малых количеств, то для нас будет несущественно, в каком порядке происходят эти повороты. Поворот вокруг Оу не изменит положения ОВ, но поворот вокруг Ог повернет ОБ в сторону от оси Ох на угол гЫ. Поворот же вокруг Ох не изменит угла между ОВ и Ох. Таким образом косинус угла между ОВ и Ох станет равен теперь — rZt. Далее поворот около Oz не изменит положения ОС, а поворот вокруг Оу приблизит ОС к Ох на угол дЫ. Косинус угла между ОС и Ох станет теперь равен -[-Наконец, угол между О Л и Ох бесконечно мал. Таким образом косинусы углов, образованных осями ОА, ОВ и ОС с осью Ох, будут соответственно равны [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...