Сферические треугольники

Пусть тело переместилось так, что дуга АВ заняла положение А В , тогда, соединив точки А и Л,, В к В дугами большого круга и восставив из середины этих дуг С к D сферические перпендикуляры (т. е. проведя через точки С к D дуги больших кругов, пересекающих ортогонально дуги АА- и ВВ ), получим в пересечении их на сфере точку Oi, которая будет равноудалена от точек Л и Л,, В v. В . При этом сферические треугольники АВО- и А В О будут равны. Повернув тело вокруг ОСИ 00, на АО А / ВО В , мы совместим дугу АВ с дугой А- Ву Следовательно, перемещение тела из положения, определяемого дугой АВ, в положение, определяемое дугой А В действительно получается одним только поворотом вокруг оси 00,, [c.133]

Аналогично доказывается, что точки А и А тоже одинаково удалены от точки Р. Если повернуть заштрихованный сферический треугольник АВР вокруг оси, проходящей через точку Р и неподвижную точку О, то этот треугольник, перемещаясь по сфере, совпадает всеми своими точками с равным ему по трем сторона.м сферическим треугольником А В Р, так как сферический угол на сфере, на который надо повернуть вокруг ОР дугу АР до совпадения с дугой А Р, равен сферическому углу на той же сфере, на который надо повернуть дугу ВР до совпадения с дугой В Р. [c.167]

СВ и МВ равны. Рассматривая сферические треугольники СВО и ВМО (О1 — точка пересечения оси основного конуса со сферой), можно записать [c.129]

Определим параметры сферической эвольвенты в точке М. Из сферического треугольника ВМО- имеем [c.129]

При заданном передаточном отношении и произвольно выбранном угле основного конуса одного звена угол основного конуса второго звена определяется однозначно из соотношения (12.4) и из подобия сферических треугольников и WB O [c.136]

Аналогично из сферического треугольника KPz получим [c.206]

На рис. 127 для ясности показан вектор — к ), имеющий направление, противоположное вектору k ,. Поэтому из сферического треугольника KNP имеем [c.206]

Для установления зависимостей между косинусами углов, образованных осями подвижной системы (связанной с твердым телом) с осями неподвижной системы, и эйлеровыми углами можно воспользоваться также формулами сферической тригонометрии. Опишем вокруг точки О сферу единичного радиуса и отметим на поверхности сферы точки пересечения ее с осями координат и линией узлов (рис. 182). Соединяя эти точки дугами больших кругов, получаем сферические треугольники, решая которые находим искомые соотношения между косинусами углов, образуемых координатными осями, и тригонометрическими функциями эйлеровых углов. [c.266]

Аналогично из сферического треугольника ADE найдем [c.266]

Сферический треугольник AE дает [c.266]

Приведем формулы зависимости косинусов от эйлеровы.х углов, отмечая в скобках, из каких сферических треугольников, они получены [c.268]

Для определения этого косинуса воспользуемся основной формулой сферической тригонометрии ( 59). Применяя эту формулу к сферическому треугольнику (х уг ), находим [c.491]

Интеграл в правой части этого уравнения можно вычислить следующим образом. Опишем вокруг точки О единичную сферу и из центра О направим ОА, ОС и ОВ параллельно линии центров s, направлениям скорости v и оси Ох соответственно. Пересечением этих лучей со сферой определяется сферический треугольник АВС. Тогда в обозначениях на рис. 17 по фор.муле сферической тригонометрии [c.153]

Вырежем на сфере единичного радиуса с центром в точке О (рис. 28) сферический треугольник АВС и соединим вершины А, В и С с центром О. Углы при точке О, стягиваемые дугами АС, [c.219]

СВ, ВА — сторонами сферического треугольника, обозначим соответственно через Ь, а, с, т. е. той же буквой, что и противоположная вершина. Опустим из вершины С перпендикуляр СО на плоскость ОВА и из точки о в этой плоскости проведем перпендикуляры ОЕ и ОЕ к сторонам ОА и ОВ. Линии СЕ и СЕ будут также перпендикулярны к ребрам ОА и ОВ, и, следовательно, углы ОЕС и СЕО представляют собой меру двугранных углов, имеющих ребрами ОА и ОВ, а также и углов А и В сферического треугольника. Проведем еще перпендикуляр ЕО и линию ОН, параллельную СО. Из чертежа видно, что 0Е=00+0Е, откуда [c.219]

Угол атаки а можно найти по формуле сферической тригонометрии, в соответствии с которой для прямоугольного сферического треугольника (рис. 1.21, б) ко- [c.23]

Для определения угловой скорости поворота внутренней рамки карданова подвеса воспользуемся сферическим треугольником (см. рис. VI.9) z z/j, для которого [c.177]

Угол X определяем из сферического треугольника — х, —х, XI (см. рис. VII.9) [c.185]

Рассмотрим, например, сферу. Возьмем на ее поверхности какие-нибудь три близкие точки, не лежащие на одном большом круге. Каждые две точки можно соединить дугой большого круга и таким образом построить сферический треугольник. [c.327]

Дуги а, р, f на сфере с центром в С образуют прямоугольный сферический треугольник с катетами а, р и гипотенузой> у. Для такого треугольника имеет место формула os 7 = os а os р. Справедливость формулы следует из элементарных геометрических соображений. [c.213]

Из последнего уравнения видно, что ср — /гиф являются двумя сторонами прямоугольного сферического треугольника, в котором i представляет собою угол, противолежащий стороне ф. Так как мы допустили, что дуга ср — h лежит в плоскости ху, а дуга ф всегда перпендикулярна к этой же плоскости, то отсюда следует, что дуга, соединяющая эти две дуги и являющаяся гипотенузой треугольника, образует с основанием ср —/г постоянный угол г следовательно, эта дуга будет проходить через концы всех дуг ф, и все радиусы г будут находиться в плоскости той же дуги, которая, таким образом, будет плоскостью орбиты тела, наклон которой к плоскости ху будет постоянным углом I и пересечение которой с той же плоскостью образует с осью х угол h. [c.16]

Легко доказать, что величина G представляет собою не что иное, как ушестеренный объем треугольной пирамиды, вершина которой лежит в центре сферы, радиус которой принят равным единице и которая опирается на сферический треугольник СС С, т. е. которая имеет своим основанием прямолинейный треугольник, образованный хордами трех дуг СС, СС", С С" в самом деле, если мы рассмотрим одну из граней этой пирамиды, например ту, которая имеет своим основанием хорду дуги СС, то для площади этого равнобедренного треугольника мы по- [c.72]

Обозначим вообще символом [СС С") функцию торон и углов каждого сферического треугольника СС С", с помощью которой мы выразили величину G. [c.73]

Таким образом, отметив на сфере три видимых места кометы С, С, С", полученных из трех наблюдений и образующих сферический треугольник СС С", мы тотчас же получим [c.73]

Если затем на той же сфере нанести три места Солнца S, S, S" при трех наблюдениях и соединить эти места с местами кометы с помощью дуг больших кругов, то образуются различные сферические треугольники S ", S ",... на основании сказанного нами в пункте 40 о величинах Г, Г, Г", 1, Г, Г", Га, Г , Г" легко видеть, что первые три будут представлены аналогичными функциями треугольников S ", S ", S" С С" что три другие будут представлены аналогичными функциями треугольников S ", S С", S"С" и что три последние будут представлены аналогичными функциями треугольников S, S, S". Таким образом, на основе того же обозначения мы будем иметь [c.73]

Следует отметить, что угол сферического треугольника определяется углом между касательными, ироведен 1Ыми в вершине угла к дугам, образующим этот угол (рис. 363). [c.276]

Эти перпендикуляры, лежащие на сфере, пересекутся в точке Р. Из равенства прямоугольных сферических треугольников ВВР и ОВ Р, ммеющп.х общий кагет ОР и равные катеты ВО и ОВ , следует, что гипотенузы этих сферических треугольников тоже равны, т. е. точки В и Вх равноудалены от точки Р. [c.167]

Эти перпендикуляры, лежащие на сфере, пересекутся в точке Р. Пз равенства прямоугольных сферических треугольников ВОР и ОВуР, шмеющих общий катет ОЯ и равные ктеты ВО и ОВу, следует, что гипотенузЕЧ этих сферических треугольников тоже равны, т. е. точки В и Ву равноудалены от точки Р. [c.170]

Теорему Эйлера — Даламбера можно также доказать, рассматривая вместо трехгранных углов соответствующие им сферические треугольники ААСВ и АА СВ А- [c.115]

О свойствах трехгранных углов и соответствующих им. сферических треугольников см. Ж- А д а м а р. Элементарная геометрия, ч. II, Стереометрия, М., Учпедгиз, 1958. [c.115]

В качестве упражнения определите длину сторон сферического треугольника ОлОвОс, если при параллельной переносе вектора В сначала вдоль линии ОвОс, а затем вдоль линии ОсОа этот вектор В оказался перпендикулярным к вектору А. Примите длину окружности большого круга за единицу. [c.69]

В сферических треугольниках за одну из верщни всегда будем принимать точку N пересечения линии узлов со сферой единичного радиуса (рис. 184). Чтобы не затемнять чертежа, на рисунке показаны не все сферические треугольники. [c.268]

Соединим точку С дугами больших кругов с точками А и В, а также с точками А1 и Вх, т. е. образуем два сферических треугольника АВС и АхВхС с общей вершиной С. Легко видеть, что полученные треугольники АВС и А ВхС, лежащие на сфере, равны в силу равенства соответственных сторон. В самом деле, АВ=А Вх в силу неизменяемости сферической фигуры (5), АС=А С, а также ВС= = В С по построению точки С, лежащей на высотах, восставленных [c.380]

Равенство этих углов вытекает из равенства (по трем соответственным сторонам) двух заштрихованных на рис. 39 сферических треугольников AiflBi и А2 1В2. Поэтому равны между собой также и два угла, обозначенные на рис. 39 через 7. Вычитая из полного угла А1ПБ2 поочередно эти углы 7, получим правую и левую части равенства (22.1). Это равенство показывает, что с помощью одного и того же поворота П не только точка Ai приводится в положение А2, но и точка Bi — в положение Б2. [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...