Тензор собственно-ортогональный

В 4.6 мы говорили о диагонализации матрицы и отыскании ее собственных значений. Однако сама по себе эта процедура не является доказательством существования вещественной декартовой системы, в которой матрица тензора I ортогональна. Вспомним, например, что, за исключением тривиальных случаев, любая ортогональная матрица имеет только одно вещественное собственное значение и, значит, для собственных векторов ее имеется только одно вещественное направление (направление оси вращения). В противоположность этому мы сейчас докажем, что все собственные значения матрицы тензора / являются вещественными, а три вещественных направления ее собственных векторов взаимно ортогональны ). [c.173]

Тензор ранга р называется изотропным (гиротропным), если для любого ортогонального (собственно ортогонального) тензора Q выполняется равенство Avq (X) = X, [c.16]

Если (5.4) выполняется только для любых собственно ортогональных тензоров, то функция называется гиротропной. [c.17]

Введем в рассмотрение собственно ортогональный тензор H(t), определяемый единственным образом из следующей задачи Коши [c.35]

Собственно ортогональный Тензор А называется тензором [c.63]

Известно, что любое перемещение абсолютно твердого тела с неподвижной точкой сводится к повороту на некоторый угол вокруг некоторой фиксированной оси. С другой стороны, смещение твердого тела можно задать с помощью собственно ортогонального тензора. Формула (12.53) дает выражение этого тен- [c.65]

Всякий тензор, инвариантный относительно некоторой группы преобразований, являющейся подгруппой полной собственной ортогональной группы, может быть выражен как сумма конечного числа тензоров со скалярными коэффициентами. Это множество тензоров, каждый из которых является инвариантным относительно рассматриваемой группы преобразований, называется тензорным базисом этой группы преобразований. [c.31]

Заметим, что выполнение (4.22J требуется только для собственно ортогональных тензоров. Встречаемое в литературе требование выполнения (4.22) для произвольных ортогональных тензоров (det Q r = 1) слишком сильное. [c.34]

Эти векторы взаимно-ортогональны. Направления, совпадающие с направлением собственных векторов - главные оси тензора. Собственные числа Я ,Я ,Я называются главными значениями тензора. [c.61]

Здесь О —собственно ортогональный тензор, один и тот же для [c.19]

Здесь с ( ) —место, занимаемое К,, при движении К, О ( ) — собственно ортогональный тензор. Если между любыми двумя движениями тела можно установить соответствие (1), то такое тело называется абсолютно твердым. [c.42]

Таким образом, тензоры и и V имеют одинаковые собственные значения, но разные собственные векторы, а тензор Н определяет конечный поворот, переводящий главные оси тензора и в главные оси тензора V. Тензор К ортогональный, но не [c.85]

Эти тензоры соответствуют изотропии относительно полной или собственной ортогональной группы. Изотропные тензоры Н ,. .., Hq ранга г хорошо известны из литературы [c.443]

Решения уравнения (1.93) называются главными (или собственными) значениями тензора i соответствующие главным значениям Xj. главные направления будем обозначать s. . (Длину s будем считать равной единице.) Из алгебры известно, что решения уравнения (1.93) для случая симметрии = действительны, а главные направления, соответствующие различным главным значениям, ортогональны. [c.319]

Главные оси прочности определяются уравнением (87). Так как главные оси, соответствующие различным собственным значениям Яь 12, / 6, ортогональны, можно заключить, что любой композит, поверхность прочности которого описывается квадратным уравнением (83), можно назвать ортотропным в отношении прочностных свойств. Подчеркнем, что главные оси прочности не обязательно совпадают с главными осями тензора напряжений (это схематически изображено на рис. 9). [c.453]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

Для симметричного тензора главные значения вещественны, - а соответствующие им собственные единичные векторы — ортогональны. В ортонормированном базисе собственных векторов симметричный тензор представляется следующим образом [c.14]

Векторы поляризации нормальных мод являются собственными векторами тензора поперечной непроницаемости с собственными значениями 1/л . Поскольку г , — симметричный тензор второго ранга, он имеет два ортогональных собственных вектора. Эти два собственных вектора D, и Dj отвечают двум нормальным модам распространения с показателем преломления л, и 2 соответственно. [c.88]

Уравнения (17.18) являются условием распространения поверхности if д. Из него следует, что амплитуда—собственный вектор, а произведение prU — собственное значение акустического тензора Qik. Поскольку Qik = Qki, то всегда существуют три взаимно ортогональные амплитуды и три соответствующих им действительных квадрата скорости распространения. Если эти собственные значения положительны, то существуют действительные U и поверхность может распространяться. Если собственные значения отрицательны, то Л = О и 6 / не будет поверхностью разрыва. Из того что в (17.17) только одно произведение NaN , следует такое же условие распространения для направления (—jVa), как и для направления Na- Таким образом, если поверхность разрыва может распространяться со скоростью U в направлении Nay то она сможет распространяться с той же скоростью в обратном направлении. [c.115]

Если параллельна п , то соответствующую волну называют продольной. Если же а ортогональна то соответствующую волну называют поперечной. Поскольку в общем п не является собственным вектором акустического тензора qik, то типичная [c.119]

Собственно справедливость формулы (20) при любых ортогональных преобразованиях репера, определяемого матрицей А, и оправдывает название матрицы У тензором. В частности, из формулы (20) следует, что для любых векторов х, у е скалярная функция - билинейная форма [c.176]

Следует обратить внимание на то, что в каждой точке деформируемого тела имеются такие характерные направления, в которых действуют только нормальные напряжения. Они называются главными направлениями, а ортогональные плоскости, свободные от касательных напряжений, — главными плоскостями. Нормальные напряжения, действующие в этих плоскостях, на- зываются главными напряжениями. Они оказываются собственными значениями тензора напряжений. Координатные оси, соответствующие главным направлениям, называются главными осями. [c.25]

Итак, мы получили два диадных представления тензора Грина (14) и (40), образованные из собственных векторов тензоров О, е -я и я-8 1. Напомним, что тройки е и е в общем случае не ортогональны друг к другу (в отличие от а и 6). Представление (40) используется в 3.4 для определения нормальных волн и функции Грина О (fei), а также при квантовании поля в среде. Поле v-й нормальной волны параллельно вектору е , и если он комплексный, то поле имеет эллиптическую поляризацию (см. [157], с. 142). [c.252]

В нерастяжимом в трех взаимно ортогональных направлениях е,, Сз материале все три собственных значения О равны 1, 0 = Е, деформация отсутствует, материал по (1.4.23) представляет абсолютно твердое тело. Тензор напряжений связи есть [c.257]

Читатель должен вспомнить, что для того, чтобы преобразование, Q сохраняло скалярное произведение, в некотором векторном пространстве, т. е. для того, чтобы Q(и). Q(v) = U-V V U. V, необходимо и достаточно, чтобы Q было тензором, удовлетворяющим условию (4). Из (4) сразу видно, что det Q = 1. Если det Q = -f-1, то Q представляет собой поворот. Произвольный ортогональный тензор представляет собой либо поворот, либо произведение поворота на центральную инверсию —I, г. е. Q = R, где R —поворот, причем (вещественными) собственными числами Q могут быть лишь 4-1 и —1. Если, как мы везде предполагаем, dim F = 3, то 1 является собственным числом для любо.го R и соответствующее характеристическое пространство для него одномерно, за исключением случая, когда R=l, Последнее утверждение — это знаменитая теорема Эйлера любой отличный от тождественного поворот около некоторой точки является в действительности поворотом вокруг некоторой однозначно определенной прямой. [c.35]

Прежде всего, поскольку тензор U симметричен, он имеет по крайней мере одну ортогональную тройку главных осей эти оси называются главными осями деформации ) в точке X в отсчетной конфигурации x(i ). Точно также и V имеет ортогональную тройку главных осей, которые называются главными осями деформации в точке X в актуальной конфигурации х ( > О - В силу (2) и и V имеют общие собственные числа. Действительно, если Bj — собственный вектор тензора U, соответствующий собственному числу Vi, то [c.100]

Из (3.7) получаем detQ= l. Ортогональные тензоры с положительным детерминантом называются собственно ортогональными, а с отрицательным — несобственно ортогональными. Ортогональное преобразование не меняет длин векторов и углов между ними, поэтому собственно ортогональный тензор в трехмерном евклидовом пространстве задает конечный поворот абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки. Несобственно ортогональный тензор осуществляет преобразование, состоящее из жесткого поворота и отражения. [c.12]

Таким образом, изотропный (гиротропный) тензор не меняется при автоморфизмах, порожденных любыми ортогональными (собственно ортогональными) преобразованиями в Эп. Из этого определения и (4.1) непосредственно следует, что изотропи1ый тензор имеет одни и те же компоненты в любом ортонормиро-ва иом базисе. Гиротропный тензор имеет одни и те же компоненты во всех ортонормированных базисах одирнменной ориентации. [c.16]

Отсюда н из (2.51) вытекает, что экспонента антисимметричного тензора есть собственно ортогойальный тензор. Более того,, можно показать, что антисимметричный показатель экспоненты единственным образом определяется по заданному собственно ортогональному тензору. Таким образом, тензор поворота А [c.64]

Из этих соотношений на основании (2.50), (2.52) получим такое представленйе собственно ортогонального тензора [c.65]

Аналогично (4.23) это соотношение выполняется для каждого собственно ортогонального тензора Q m- Постоянная интегрирования в (4.29) пропуш,ена, что следует из возможности подстановки ts= = 6 s. Подставляя (1.17) и подбирая как в (4.24), находим o = o(Ua ) (4.30) [c.36]

При с1е10=1 тензор называется собственно-ортогональным, им осуществляется поворот системы векторов ниже приводится представление тензора О через угол осуществляемого им поворота и единичный вектор оси поворота. При с1е10 = —1 поворот сопровождается зеркальным отображением оси. Далее речь будет преимущественно идти о собственно-ортогональных тензорах, п, если не оговорено противное, наименование ортогональный тензор (тензор поворота) применяется к собственно-ортогональному тензору. [c.433]

II. Спектральное разложение симметричных тензоров. Каждый симметричный тензор 8 имеет по крайней мере одно собственное число. Фактически наименьшее и наибольшее собственные числа 5тщ и 5та4 являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции и 8и, рассматриваемой лишь на множестве всех единичных векторов. Каждый характеристический корень симметричного тензора есть действительное число и потому яв- ляется собственным числом. Собственные подпространства симметричного тензора попарно ортогональны. Любой вектор можно представить как линейную комбинацию векторов, каждый из которых принадлежит одному (и, разумеется, только одному, если это не 0) собственному подпространству тензора 8. [c.509]

Число q равно числу различных линейно независщлых изомеров тензора с учетом симметрии компонент тензора g K Если число г нечетное, то для полной ортогональной группы д = 0. Все тензоры нечетного ранга, инвариантные относительно полной ортогональной группы, обращаются в нуль. Тензоры нечетного ранга, инвариантные относительно собственной ортогональной группы вращения с Д = I а = 1, могут отличаться от нуля только для г > 3. [c.443]

Для иллюстрации применения новых математических методов в книге широко применяется теория матриц, в частности, к исследованию вращения твердого тела. При таком изложении известная теорема Эйлера о повороте твердого тела превращается в теорему о собственных значениях ортогональной матрицы. При матричном изложении такие различные темы, как тензор инерции, преобразование Лоренца в пространстве Мин-ковского и собственные частоты малых колебаний оказываются в математическом отношении тождественными. Кроме того, матричные методы позволяют уже в начале курса познакомиться с такими сложными понятиями, как понятия отражения и псевдотензора, которые так важны в современной квантовой механике. Наконец, в связи с изучением параметров Кэйли — Клейна матричные методы позволяют ввести понятие спинора . [c.8]

В нуль ТОЛЬКО тогда, когда RrRj — 0, т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает вторую половину теоремы ). Если собственные значения матрицы тензора I не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора / с тем же собственным значением. Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами, также являются собственными векторами. Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому в рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, им перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства будут направлениями собственных векторов. Но это значит, что матрица тензора I является диагональной и ее не требуется диагонализировать. [c.175]

Направление, вдоль которого векторы dn/dl и s коллинеарны, называется главным направлением поверхности. В каждой неомбилической точке [72] поверхности Q существуют ровно два взаимно ортогональных главных направления, которые определяются из задачи на собственные значения тензора кривизны [c.19]

Замечание. Собственные векторы е , определены с точностью до знака, если собственные значения итензора и некратные. Поэтому формула (5) определяет восемь различных ортогональных тензоров, когда все различны, и континуум ортогональных тензоров при наличии кратных собственных значений тензора и. В соотношении (5) предположено, что вы- [c.23]

Из этого раг.енства видно, что главные оси О одновременно являются главными осями О. а коэффициенты являются собственными числами О и, следовательно, е1о инвариантами. По доказанному выше они представляют собой и инварианты тензора О. Отметим теперь следующее важное свойство собственных чисел / . Если два каких-либо собственных числа тензора О совпадают, то совпадают и соответствующие собственные числа тензора О. Действительно, пусть собственные числа О, скажем, дх и < 2> совпадают. Тогда к группе симметрии принадлежит, например, ортогональный тензор [c.461]

Тензор О как ортогональный тензор над трехмерным векторным пространством имеет одно и только одно (вещественное) собственное число, равное либо -Ь1, либо —1, причем если 0=7 1, то соответствующее собственное подпространство одномерно. Это одномерное собственное подпространство тензора 0(/) называется осью вращения в момент времени t при рассматриваемой замене системы отсчета. Либо О, либо — О являются поворотом, т. е. ортогональным тензором К с с1е1Я =) [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...