Лагранжа уравнения второго функцию Лагранжа

Уравнения (5.16) называются каноническими уравнениями движения, или уравнениями Гамильтона. В принципе вывод этих уравнений представляется известным прогрессом, так как они являются дифференциальными уравнениями первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа имеют второй порядок. На практике этот выигрыш оказывается в значительной степени иллюзорным. Простейшее условие для удобства интеграции какого-либо из этих уравнений состоит в том, чтобы некоторое или некоторое р явно не входили в функцию Я тогда соответствующее сопряженное переменное сохраняет постоянное значение. Таким образом, решение уравнений приводит к задаче определения системы координат, в которой бы,ло бы достаточное число циклических переменных и р . Это можно провести на основе некоторых правил (изложенных в гл. VII). К сожалению, однако, эти правила включают решение уравнения в частных производных [c.62]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Гидродинамики несжимаемой невязкой жидкости 351 Уравнения несжимаемой невязкой жидкости (351). Интегралы уравнения несжимаемой невязкой жидкости (353). Интеграл Лагранжа (354). Интегралы Громеки (354). Интегралы Бернулли (354). Движение невязких баротропных жидкостей (357). Первая теорема Лагранжа (358). Вторая теорема Лагранжа (358). Теорема об изменении кинетической энергии (359). Безвихревые движения (360). Физический смысл функции потенциала скорости (361). Интеграл уравнения движения (362). Плоские безвихревые потоки (363). Теорема Жуковского (367). [c.9]

Мы видим, что уравнения второго порядка имеют вид уравнений Лагранжа 2-го рода и функция Рауса в этих уравнениях представляет собой функцию Лагранжа с измененным знаком. Вторая система уравнений первого порядка есть система канонических уравнений, в которой функция Рауса исполняет обязанность функции Гамильтона. [c.361]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Уравнения Лагранжа II рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций q,, q ,. .. q . [c.396]

Система уравнений Лагранжа второго рода представляет собой систему s обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат. Интегрирование этих уравнений дает нам обобщенные коорди наты Qu Qi, , как функции времени и 2s произвольных постоянных интегрирования. Далее на основании формул (3.19) можно получить декартовы координаты в зависимости от времени t и 2s произвольных постоянных интегрирования. [c.60]

Метод Рауса заключается в одновременном исключении циклических координат из уравнений Лагранжа второго рода, при этом число уравнений движения в независимых координатах понижается на число исключенных циклических координат. Предположим сначала, что все обобщенные координаты позиционные. Тогда функция Лагранжа будет функцией всех обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени /, т. е. [c.110]

Координата ф, непосредственно в функцию Лагранжа не входящая, является циклической. Поэтому второе из уравнений (36) дает интеграл (35) в виде [c.460]

Следствие 8.4.1. С использованием функции Лагранжа уравнения Лагранжа второго рода принимают вид [c.556]

Тем самым переменные. .., д Ц заданы посредством системы уравнений Лагранжа второго рода, где С служит функцией Лагранжа. Поскольку С от I явно не зависит, координата I будет циклической, и ей соответствует циклический интеграл [c.559]

Замечание 8.11.1. Система уравнений Эйлера в приведенном виде совпадает по форме с системой уравнений Лагранжа второго рода. Однако по смыслу в уравнениях Лагранжа функция Лагранжа должна удовлетворять обязательному условию невырожденности по обобщенным скоростям. Вместе с тем в уравнениях Эйлера, применяемых для решения задач на экстремум функционера, аналогичное условие невырожденности подынтегральной функции относительно первых производных может не выполняться. Кроме того, в уравнениях Эйлера под t следует понимать любую независимую переменную (не только время). [c.601]

Уравнения Лагранжа составляют систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций q-, (1), Но эту систему уравнении можно преобразовать в эквивалентную систему уравнений первого порядка относительно 2п функций — обобщенных координат и обобщенных импульсов p . [c.402]

В результате получим систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Интегрируя их, найдем решение задачи о движении несвободной системы материальных точек. После этого множители Лагранжа определяются как некоторые функции времени. Зная множители Лагранжа, найдем реакции связей, пользуясь формулами (1.18а) и (I. 18Ь). [c.31]

В уравнения Лагранжа второго рода входят частные производные от функции Лагранжа по обобщенным скоростям. Эти производные называются обобщенными импульсами. Итак, обобщенные импульсы определяются из равенств [c.142]

Подставляя в уравнения (11.200) функцию Лагранжа L и функцию рассеяния Я, получим систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка [c.257]

Здесь Я и L — функции Гамильтона и Лагранжа в переменных Лагранжа. Соотношения (I) —уравнения Лагранжа второго рода. Переходя к каноническим переменным и пользуясь соотношениями (И. 43а)—(II. 43с) между функциями Лагранжа и Гамильтона, найдем [c.358]

Если ввести функцию Лагранжа, то уравнения Лагранжа второго рода в случае потенциального силового поля примут вид [c.333]

В общем случае кинетическая энергия системы является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени и поэтому ее частные производные по qi и qi будут функциями тех же переменных. Так как частные производные кинетической энергии но обобщенным скоростям дифференцируются еще раз по времени, то левые части уравнений Лагранжа будут содержать обобщенные координаты, их первые и вторые производные по времени д , qi, ij,. Следовательно, эти уравнения представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат. [c.303]

Это и есть уравнение движения по Лагранжу. После замены х, у, г их значениями по формуле (3) и ей аналогичными, величина Г станет функцией от д, д и 1, причем второй степени относительно д. [c.401]

Во-вторых, в силу уравнений (41.9), временная зависимость между dq и Sp переносится также на SQ и SP. Поэтому пока нет оснований приравнивать нулю выражения в фигурных скобках, входящие в уравнение (41.7а). Метод, с помощью которого были выведены уравнения Гамильтона из уравнения (41.7) к уравнению (41.7а) непосредственно неприменим, поскольку теперь мы не можем рассматривать как частную производную по от функции Лагранжа , определяемой выражением [c.294]

Приложение этих уравнений к циклическим системам, которое и имел в виду Раус при их выводе, заключается в следующем. Мы принимаем, что координаты второй группы степеней свободы являются циклическими и, следовательно (согласно стр. 262), не входят в функцию Лагранжа в таком случае они не входят также и в функцию Рауса. Вследствие этого, соответствующие pk оказываются постоянными (согласно верхнему уравнению из правой группы уравнений Рауса или так же, как мы уже замечали на стр. 263, согласно уравнениям Лагранжа). Подставляя эти постоянные значении pk и соответствующие им (вообще говоря, не постоянные) значения qk в выражение (42.2), получим функцию Рауса, зависящую только от / — г координат первой группы Qk и от qk. Для этих координат справедлива левая группа приведенных уравнений (42.5), благодаря чему задача сводится к / — г уравнениям типа Лагранжа. [c.298]

Резюме. Если из условия стационарности определенного интеграла, содержащего не одну, а несколько неизвестных функций, требуется найти эти функции, то можно варьировать эти функции независимо друг от друга. Поэтому для каждой функции в отдельности можно написать дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. В результате получается система п дифференциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы уравнений определяет п искомых функций, которые оказываются выраженными через независимую переменную (время t) и 2п констант интегрирования. [c.85]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Все, что в предыдущем пункте было сказано об уравнениях (40), остается, естественно, в силе и для этих уравнений Лагранжа, которые представляют собой не что иное, как те же уравнения (40), только написанные в ином виде. Они дают полную постановку задачи о движении голономной системы, а с аналитической точки зрения образуют систему дифференциальных уравнений второго порядка от п неизвестных функций /,(0. приводимую к нормальному виду. [c.293]

В этих уравнениях функция S, так называемая функция Лагранжа, или кинетический потенциал, определена равенством (49), так что по отношению к аргументам ij она представляет собой целую рациональную функцию второй степени. [c.296]

Введение обобщенных импульсов полностью изменяет точку зрения. Как было установлено выше, метод Лагранжа рассматривает координаты системы как независимые величины, определяющие положение системы. Зависимость каждой из этих переменных от времени находится из решения системы дифференциальных уравнений второго порядка, известных под названием уравнений Лагранжа. Другой подход состоит в том, что в качестве независимых величин рассматриваются как. координаты, так и импульсы. Тогда конечной целью любой задачи является нахождение всех этих величин в виде явных функций времени. [c.58]

В любой теории поля тип переменных поля всегда определяется значениями спина соответствующих частиц. В любом частном случае это снова сужает область возможных форм плотности функции Лагранжа. Некоторое внимание было уделено полям с частицами, имеющими спины, отличные от О, /2 и 1, но наиболее важными являются поля, рассмотренные выше. При построении плотности функции Лагранжа обычно ограничиваются рассмотрением функций, которые содержат различные переменные поля не выше чем во второй степени. Это согласуется с тем, что в обычной практике уравнения поля являются дифференциальными уравнениями самое большее второго порядка. [c.157]

Уравнения (11) называются уравнениями Лагранжа второго рода . Они образуют систему п уравнений второго порядка относительно п функций qi t). Порядок этой системы равен 2п. Заметим, что это наименьший возможный порядок дифференциальных уравнений движения рассматриваемой системы, так как начальные значения величин qi (г = 1, 2,. .., п) могут быть произвольными. [c.269]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Раус выводил эти уравнения для приложений к циклическим системам. Для этого надо принять, что координаты второй группы степеней свободы являются циклическими и, следовательно, не входят в функцию Лагранжа, а также согласно первому уравнению из второй группы р оказываются постоянными. Подставляя эти постоянные р, в (В), получим функцию Рауса, зависящую только от / — г координат первой группы д,, и от д . Для этих координат справедлива первая группа уравнений Рауса, в силу чего задача сводится к / — г уравнений типа Лагранжа. [c.844]

Приведение уравнений Лагранжа второго рода к системе уравнений первого порядка. Система S совместных уравнений второго порядка (32.42) относительно s неизвестных функций времени может быть заменена системой 2.S совместных уравнений первого порядка, содержащих 2s неизвестных функций времени. С этой целью мы обратимся к уравнениям (32.40) и выразим множители и входящие в величины через q , и t, так, как это было указано выше затем решим полученные таким образом уравнения относительно ускорений тогда мы придём к уравнениям вида [c.334]

Уравнения движения динамической системы (г—р—q—/), используя выражение (4.17) для функции Лагранжа, представим в форме дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода [c.131]

Второй путь. Неинерциальный наблюдатель мог бы с самого начала добавить к исходным (приложенным) силам переносные и кориолисоры силы инерции. Относительные скорости, входящие в Еыражения для кориолисовых сил, рассматривались бы при этом как неизвестные функции. Далее такой наблюдатель мог бы рассуждать так Теперь, после добавления сил инерции, в моей системе отсчета верен второй закон Ньютона значит, в этой системе верны и уравнения Лагранжа, если в них входит кинетическая энергия видимого мной (т. е. относительного ) движения и если обобщенные силы подсчитываются, исходя из виртуальных перемещений в относительном движении . Поэтому такой наблюдатель мог бы сразу выписать уравнение Лагранжа в своей системе отсчета, подсчитывая кинетическую энергию через свои , т. е. относительные скорости. Но при подсчете обобщенных сил ему пришлось бы принять во внимание и работу сил инерции на виртуальных перемещениях в относительном движении. [c.164]

Уравнения Лагранжа представляют, таким образом, систему дифференциальных уравнений второго порядка, определяющих переменные д в функции от t. Эту систему можно было бы сразу же привести к другой системе 2к уравнений первого порядка, принимая д за вспомогательные неизвестные функции. Но к тому же результату, только в гораздо более удобной для приложений форме, можно прийти, принимая за вспомогательные неиз- [c.231]

Уравнения Лагранжа (14) образуют систему из я обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с п неизвестными функциями qi от независимого переменного t. Порядок этой системы равен 2я. Заметим, что система дифференциальных уравнений, определяющая движение голоном-ной системы с я степенями свободы, не может иметь порядок, меньший 2я, так как в силу произвольности начальных значений величин qi и 9 (г=1, я) решение системы должно содержать, по крайней мере, 2я произвольных постоянных. Таким образом, система уравнений Лагранжа в независимых координатах имеет наименьший возможный порядок. [c.50]

Это не что иное, как канонические уравнения (6.3.5), пред-ставляюш,ие собой единую систему из 2п дифференциальных уравнений, полученных из интеграла действия (6.4.3). Мы больше не нуждаемся ни в первоначальной функции Лагранжа, ни в преобразовании Лежандра, при помощи которого была получена функция Н. У нас есть теперь новый вариационный принцип, эквивалентный первоначальному, но имеющий перед ним некоторое преимущество вследствие более простой структуры получающихся дифференциальных уравнений — они уже не второго, а первого порядка. В уравнениях все производные выделены, а не скрыты какими-либо алгебраическими операциями. [c.198]

Приведенное утверждение очевидно. Во-первых, из уравнений (8) следует, что скорость системы тем больше, чем больше grad W, т. е. больше там, где W-nonepxiio TH сближаются, или, что то же салюе, где мало значение и. Во-вторых, величина IV представляет собой, по определению, интеграл по времени от функции Лагранжа, вследствие чего эта величина изменяется во время движения (за время dt на (Т — V) dt), так что мы не можем все время сопоставлять точке, изображающей систему, одни и те же W-поверх-пости. [c.683]

На протяжении последних глав мы убедились в том, что уравнения Лагранжа во многих случаях являются весьма подходящим способом описания поведения механических систем. Уравнения Лагранжа представляют собой систему S обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Однако нередко оказывается удобныд перейти к системе 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В функции Лагранжа L(qk, Ц ,) величины qi, и qi, не являются HesaBH nMbLNm переменными, поскольку (/ —это производные по времени от qu- Простейший путь перехода к независимым переменным состоит в том, чтобы ввести s новых переменных, г, согласно соотношениям [c.123]

Система (17) содержит т + я уравнений второю порядка относительно т + я неизвестных функций (t),. .., (t), q (t),. .., o (t). Bee уравнения (17) имеют структуру уравнений механики, т. е. если принять формально gy,. .., g i, q ,. .., q за обобщенные координаты системы с кинетическим потенциалом = Т + W — (11+ + I/), то (17) можно записать как уравнения Лагранжа второго рода этой системы. При этом первым т координатам соответствуют обобщенные силы —d VIdi , а остальным — силы Q . Токи iV = gr имеют смысл обобщенных скоростей, W формально можно Отнести к кинетической, а V — к потенциальной энергиям. Величины [c.336]

Эти к уравнений представляют собой дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, они впервые были получены Лагранжем в его Аналитической механике и потому называются уравнениями Лагранжа. Важно обратить внимание на то, что, во-первых, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат данной системы, т. е. равно числу ее степеней свободы, и, во-вторых, что неизвестные реакции совершенных связей, наложенных на систему, в эти уравнения не входят. Уравнения Лагранжа представляют собой систему к дифференциальных уравнений второго порядка с к неизвестными функциями д ,. .., Если проинтегрируем эти уравнения, то найдем координаты механической системы 911 > 9йКак функции времени I, а потому будем знать положение этой системы в любой момент времени, и, следовательно, движение системы будет полностью определено. Таким образом, когда уравнения Лагранжа для данной механической системы составлены, то решение второй основной задачи динамики, т. е. определение движения системы под действием заданных сил, сводится к математической задаче интегрирования этих уравнений. [c.555]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...