Уравнения в вариациях приведенные

Эти трансцендентные уравнения могут решаться, например, графическим методом. Построим графики усредненной статической характеристики двигателя (4.43) и среднего приведенного момента сил сопротивления (3.33), взятого с обратным знаком (рис. 31). Точки пересечения этих графиков (Л и на рис. 31) соответствуют решениям системы (4.48). Составим уравнения в вариациях для одного из этих решений. Полагая [c.79]

Для вывода уравнений устойчивости следует составить уравнения в вариациях нелинейных уравнений, приведенных в гл. 1 (например, уравнений (1.2.6), или (1.5.3), или [c.42]

Пусть Г — интеграл уравнений (5.1), голоморфный в окрестности комплексной кривой Г. Разложим эту функцию в ряд по степеням переменных 1,..., -1 его коэффициенты — голоморфные функции от I е X. Ясно, что первая нетривиальная однородная форма этого ряда является интегралом приведенной линейной системы уравнений в вариациях. Следовательно, найдется однородная форма от 71 — 1 переменных, инвариантная относительно действия приведенной группы монодромии. [c.361]

Внесем еще эти значения в члены, не стоящие под знаком интеграла в общем уравнении, или, еще лучше, в формулу, приведенную л пункте 37, в которой приняты во внимание и силы А", У, Z, . . . затем приравняем нулю отдельно величины, в состав которых входит каждая из четырех оставшихся вариаций Ьх, Ьу, 8х", Ьу тогда мы получим четыре следующих новых определенных уравнения [c.194]

Воспользуемся уравнением (1), чтобы показать возможность приведения дифференциальных уравнений движения к одному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Как показал Гамильтон, вариацию (1) можно разложить с помощью интегрирования по частям на две части так, что одна из них стоит вне, а другая под знаком интеграла и каждая сама по себе должна исчезать. Таким образом, выражение, стоящее под знаком интеграла, будучи приравнено нулю, дает дифференциальные уравнения задачи, а выражение вне знака интеграла дает их интегральные уравнения. [c.308]

Вывод уравнений ошибок можно осуществить путем формального варьирования основного уравнения инерциальной навигации. Такой путь не является единственным. Известны другие подходы к составлению уравнений ошибок. Например вариацию можно проводить, используя скалярную форму записи алгоритмов работы БИНС [3.10]. В этом случае получаюш,иеся уравнения ошибок привязаны к конкретной реализации системы, и, следовательно, могут быть применены только для данного типа систем. Ниже предлагается более обш,ий подход, развитый, например в работе [3.9] и основанный, как уже сказано выше, на формальном варьировании исходного векторного основного уравнения инерциальной навигации в форме (3.62). Получаюш,иеся при этом уравнения обладают большей обш,ностью и могут быть с минимальными изменениями применены практически к любому типу систем. Следует упомянуть, что описываемый ниже подход, основанный на формальном варьировании векторного основного уравнения инерциальной навигации, не является единственно возможной формой такого варьирования. В фундаментальном труде [3.8] также предлагается получать уравнения ошибок ИНС методом формального варьирования основного уравнения инерциальной навигации. Однако используемые при этом представления переменных отличаются от вводимых в работе [3.9. Большой практический опыт авторов по использованию уравнений в форме, предложенной в работе [3.9], показал их суш,ественные преимущества и простоту адаптации к конкретным условиям применения. Далее мы следуем методике вывода, приведенной в уже упоминавшейся работе [3.9. [c.93]

В главе 3 рассматриваются дифференциальные уравнения возмущенного движения одного тела, получающиеся методом вариации произвольных постоянных. Приводятся различные формы уравнений для различных систем оскулирующих элементов. Рассмотрены случаи потенциальных и непотенциальных возмущающих сил. Приведены канонические формы уравнений возмущенного движения. Приведенные формы уравнений движения используются как в классической небесной механике, так и в астродинамике. Различные способы выводов этих уравнений даются в [1] — [7]. [c.332]

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

Это уравнение только по форме совпадает с вариационным принципом Гамильтона. Содержание его иное, поскольку в нем предполагается другой способ варьирования. В частности вариации Sq и Sp теперь могут рассматриваться как независимые. Поэтому из уравнения (41.5а) без привлечения каких-либо добавочных соотношений непосредственно вытекают уравнения Гамильтона (41.4). Теперь ясно, что приведенное выше доказательство формул (41.12) может быть сохранено, если исходить из уравнения (41.5а), ибо из требования Sq = Sp = О следует, что SQ = SP = 0. Прим. ред.) [c.295]

Однако приведенная теорема не только содержит в себе интересное свойство движения тел, но может также послужить для определения этого движения. В самом деле, так как выражение Зт и йз должно быть максимумом или минимумом, остается только, пользуясь методом вариаций, выяснить условия, при которых она может принять указанные выше значения если применить общее уравнение сохранения живых сил, то мы всегда найдем все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела. Действительно, для существования максимума или минимума необходимо, чтобы вариация была равна нулю следовательно, мы имеем [c.162]

Если приравнять нулю величину, стоящую под знаком , мы получим неопределенное уравнение, аналогичное уравнению, приведенному в предыдущем пункте, которое, однако, вместо вариаций бх, бу, Ьz будет содержать вариации дд, дуз, дур отсюда можно вывести уравнения, необходимые для решения поставленной задачи, если сначала все вариации свести к возможно [c.165]

Поскольку варьируется первоначальная форма оси стержня, вариация поперечных перемещений совпадает с полной их величиной, вследствие чего в каждом из приведенных выше уравнений вместо бц можно иметь в виду V. В частности, для призматического равномерно вдоль оси сжатого стержня получаем [c.330]

Полагая все внешние силы (поверхностные и объемные) приведенными к узлам дискретной модели, используя дискретный принцип виртуальных скоростей (4.2.11) и выделяя независимые вариации, для каждого незакрепленного узла получим два уравнения движения в проекциях на оси у, z [c.149]

Приведенные выше соотношения, записанные для вариаций термодинамических величин, справедливы даже в случае, когда П(г) — функционал от Т(г ) и /х(г ). Это имеет место в непосредственной окрестности критической точки жидкости. Вдали от критической точки можно считать, что Щг) является функцией температуры и химического потенциала, взятых в той же точке пространства, т. е. П(г) = П(Т(г),/х(г)). Все остальные уравнения состояния также имеют локальный вид, поэтому соотношение (8А.7) можно записать для полных (субстанциальных) производных [c.208]

Далее положим, что X зависят только от хх,. .., и обладают непрерывными частными производными включительно до порядка //> О, причем частные производные порядка р, удовлетворяют условию Липшица. Приведенное выше доказательство второй теоремы о непрерывности показывает, что данная система (1) дифференциальных уравнений может быть заменена подобной же системой порядка 2п с зависимыми переменными хх,. .., . х- и //1,. .., у ,, где, например, V/, = дxi/дxЧ эта система порядка 2п состоит, разумеется, из данных п уравнений и из п уравнений вариации. Если мы теперь применим вторую теорему о непрерывности к этой дополненной системе, то получим непосредственно, что вторые частные производные д хг/дх дх и подобным же образом существуют и непрерывны. В допол- [c.24]

Действительное доказательство существования равных нулю множителей содержится в непосредственно следующем тексте, где устанавливается существование нетривиального периодического решения уравнений вариации. Из факта существования такого решения существование одного, равного пулю множителя непосредственно следует согласно теореме, приведенной в примечании 1 к главе 1П. Второй, равный нулю множитель существует в силу общей теоремы о разбиении множителей на пары (Л, —Л) (см. примечание 24 к главе 1И). [c.367]

Взяв бх-вариацию от уравнения (6.6.19) с учетом правил коммутативности, приведенных в 2.15, получим [c.378]

В данном случае входными независимыми переменными являются амплитуды вариаций давлений на входе и выходе четырехполюсника, выходными — амплитуды вариации расхода. Приведенные примеры формирования сигнальных графов одного и того же четырехполюсника, но разрешенных относительно разных переменных, показывают, что при преобразовании уравнений системы изменяется и соответствующий ей сигнальный граф. [c.130]

Жидкость из бака по тракту подается в насос 2 с байпасным трактом 5, имеющим местное сопротивление 7, а затем через тракт 4 к потребителю 5. В тракте 4 установлена емкость 6 для демпфирования колебаний. Составим уравнения, описывающие динамику системы в линейном приближении, считая жидкость несжимаемой. Примем, что внешнее возмущение может создаваться не только при вариации давления в баке Ър , но и при изменении частоты вращения вала насоса 2 Ьп из-за изменения условий работы его привода. Для каждого участка тракта запишем в размерных амплитудах вариаций уравнения динамики, связывающие амплитуды вариаций расхода с амплитудами вариаций перепада давлений на концах участка. Особенности динамических характеристик столба жидкости учтем путем введения для каждого участка проводимостей у1, соотношения для определения которых можно найти по формулам, приведенным в подразд. 2, для трех узлов ПГС (см. рис. 2.27, [c.131]

Для неизотермического движения идеального газа, описываемого уравнениями (3.6.2) — (3.6.4), уравнения движения в неразрывности (3.6.2) и (16.3) не связаны с уравнением энергии (3.6.4) и их можно интегрировать независимо. По аналогии с решениями для гидравлических трактов, приведенными в подразд. 2.3, можно записать для амплитуд вариаций скорости и давления [c.198]

В приведенных выше примерах исследовалась устойчивость тривиального решения дифференциального уравнения типа (5.1), содержащего параметр в виде случайной функции времени. Перейдем к задачам об устойчивости стационарных случайных режимов, возникающ,их на выходе некоторых нелинейных систем. Уравнение устойчивости в таких задачах имеет смысл уравнения в вариациях, составленного для исходной нелинейной системы. [c.152]

Зафиксируем значение интеграла энергии, отвечающее частному решению zo(-), и ограничим уравнения Гамильтона (5.15) на (2п — 1)-мерную энергетическую поверхность H z) = H zo -)) = = onst, в результате получим автономную систему дифференциальных уравнений с тем же частным решением. Этому решению отвечают приведенные уравнения в вариациях (порядка 2п — 2) и приведенная группа монодромии. Из теоремы Уиттекера о понижении с помощью интеграла энергии порядка уравнений Гамильтона вытекает гамильтоновость приведенной системы уравнений в вариациях. Следовательно, матрицы из приведенной группы монодромии также являются симплектическими. [c.364]

Среди собственных значений Г имеется число Х = А — 1. Соответствующее уравнение системы (5,25) имеет частное решение = = Ф, однозначное на римановой поверхности (5,24), Поэтому первые п-1 уравнений (5,25) составляют приведенную систему уравнений в вариациях. Матрицы из приведенной группы монодромии имеют вид Т = с11ад[Т(А1),,,,, Т(А 1)], где Т(А,) — (2х2)-матрицы с единичным определителем. Уравнения (5.25) преобразуются в гипергеометрическое уравнение Гаусса, которое позволяет вычислить матрицы Т(А,), [c.369]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Известно, что вариация А, которая зависит от времени, от каких-либо функций времени и их производных, распадается на две части. Первая часть является полным дифференциалом, каковы бы ни были функции времени, входящие в А, и вариации этих функций. Другая часть, напротив, неинтегри-руема, если только что названные функции и их вариации остаются произвольными. Однако, подчиняя эти функции и их вариации определенным условиям, мы можем не только сделать эту часть интегрируемой, но даже, если бы это было признано необходимым, привести ее к нулю. Среди бесконечного множества способов этого приведения один представляется наиболее замечательным. Он состоит в исключении неинтегрируемой части единственно за счет функций, содержащихся в А, не затрагивая их вариаций. Этим способом исключения пользуются в проблеме изопериметров. Применяя его, можно получить те дифференциальные уравнения, которые имеют место в этой проблеме. [c.315]

Суммирование по i относится ко всем объемным интегралам в правой части уравнений (5.83) или (5.88), а суммирование по к — ко всем поверхностным интегралам. Символом bYiUkir) обозначена вариация того или иного параметра электрогенерирующей системы, символом fi, (r)—функция эффективности этого параметра. Каждая из функций эффективности представляет собой со ответствующую функциональную производную, характеризующую вклад единичного изменения данного параметра в единице объема (или на единицу площади) в изменение функционала. Конкретный вид вариаций параметров и функций эффективности электротехнических параметров приведен в табл. 5.1, где приняты следующие обозначения [c.157]

Из условия стационарности полной потенциальной энергии (65 — 0) можно найти равновесные состояния изогнутого стержня и, исследуя знак второй вариации установить, какие из равновесных состояний устойчивы. Пока на значения перемещений и углов поворота не наложено никаких ограничений, приведенные зависимости, описывающие изгиб стержней с нерастяжимой осью, являются точными (в рамках теории гибких упругих стержней). Для ряда частных случаев нелинейное дифференциальное уравнение, к которому сводится задача изгиба стержня при конечных перемещениях, допускает аналитическое решение. В общем случае это нелинейное уравнение можно с любой степенью точности решить численно. Сейчас мы с помощью метода Рэлея—Ритца найдем приближенное аналитическое решение, позволяющее наглядно описать закритическое поведение любого произвольно нагруженного стержня при конечных, но не слишком больших прогибах. [c.208]

В связи с вводом приведенных удельных момштов перейдем к выводу уравнений равновесия и граничных условий. Старые уравнения (2.28) использовать нельзя, их надо пересмотреть и записать с учетом новых обозначений. Для этого внесем в выражшие для вариации функционала (2.23) обобщенные деформации / [c.55]

Вторая причина некоторой неполноценности приведенной шше формулировки принципа Лагранжа состоит в том, что при юказательстве вариационного уравнения (5.6) в качестве глав- ых (устойчивых) краевых условий были использованы кинема-ические условия,, то есть ограничения на вариации вектора пе-емещения. Пока неясно, эквивалентны ли эти условия некото-ым геометрическим условиям, то есть ограничениям, наложен-ым на сам вектор перемещений и его производные. Речь идет, [c.107]

Все эти выводы хорошо иллюстрируются серией приведенных на рис. 35, а кривых, вычисленных на ЭВМ по уравнению (VI.24) для конкретного начального радиуса пузырька == 10 см [47]. Расчеты выполнены с учетом адиабатических пульсаций п = у = 4/3) для воды при гидростатическом давлении Ро — зтм для частоты ультразвука V 500 кГц и различных амплитуд давлений Ртак, указанных на кривых в атмосферах. На рис. 35, б показано изменение во врегу-.ени давления р в ультразвуковой волне. Заштрихованные области на рис. 35, а соответствуют структурной неустойчивости уравнения (VI.24). Видно, что в этих областях небольшие вариации Ртах приводят к качественному изменению зависимости от (о/. [c.137]

В случае полной устойчивости решения нормализированных уравнений вариации (глава III, 5) будут пределами тригонометрических сумм указанного типа и, следовательно, будут сами тригонометрическими на основании леммы о тригонометрических суммах, приведенной ниже (в 5 и 6 этой главы). Следовательно, множители будут чисто мнимыми количествами. [c.116]

В. Paul и С. С. Fu [1.273] (1967) интегрировали классическое уравнение изгиба балки при нулевых начальных условиях и заданном на свободном конце перемещении, линейно зависящем от времени. Применением синус-преобразования Фурье и метода вариации произвольных постоянных построе но решение для изгибающего момента в функциях Френеля На основе предположения, что в начальной стадии дефор мированная часть балки не искривляется, а только повора чивается относительно еще недеформированной части (де формированная ось имеет вид ломаной), получена без реше ния дифференциальных уравнений простая формула для по перечной силы. Сравнение с решением уравнения Тимошен ко обнаруживает хорошее соответствие. Отмечается, что для максимального значения нагибающего момента, которое наступает через большое время после прохождения волновых фронтов, классическая теория изгиба и теория типа Тимошенко должны давать близкие результаты. В дискуссии по этой статье [1.295] (1967) было отмечено, что максимум поперечной силы в балке Тимошенко имеет место в начальный момент времени и поэтому его выражение можно получить применением предельной теоремы преобразования Лапласа к изображению, приведенному в обсуждаемой статье. Сомнительно, что при определении максимального изгибающего момента в заданном сечении и в любой достаточно малый момент времени решение авторов, основанное на классической модели изгиба, будет давать реальную оценку. В ответе авторов отмечается, что эксперименты все же подтверждают применимость классической теории изгиба, хотя теоретически это не доказано. [c.64]

Остановимся на матричном способе формирования математической модели газового тракта в частотной области [6]. В результате расчетов получим акустические характеристики для одномерного неизотермического течения вязкого газа. В приведенных формулах в качестве переменной использовались вариации температуры. При адиабатическом течении удобнее использовать в качестве переменной вариацию энтропии. В гл. 3 акустические характеристики газового тракта с неизотермическим течением (т. е. с энтропийными волнами) описаны с помощью уравнений шестиполюсников (3.6.15) и (3.6.16), в качестве переменных в которые входят амплитуды вариации температуры, связанные с амплитудами вариаций энтропии, преобразованной зависимостью [c.235]

Для расчета АФЧХ или отдельно АЧХ и ФЧХ используем формулы (6.5.2) и (6.5.3). Предварительно для уравнений математической модели находим частные периодические решения путем подстановки в них соотношений вида 5х, = = 5х i ехр (гсо г), где 5х,-, 5х,- — вариация и амплитуда вариаций г-го параметра. При анализе динамики ЖРД с регулятором к приведенным уравнениям элементов ЖРД добавляется уравнение регулятора, которое запишем в следующей форме [c.248]

Для номинальных условий полета все приведенные варианты программ задают одно н то же движение ракеты и в этом смысле они взаимно тождественны. В условиях возмущенного движения взаимная тождественность программ (3.4), (3.5) и (3.6) сохраняется, однако они не тождественны программам (3.2) и (3.3), которые, в свою очередь, не тождественны друг другу. Рассматривая приведенные программы управления как управляющие связи, можно констатировать, что связи (3.2), наложенные на вращательные движения ракеты, влияют в силу уравнений движения (3.1) на параметры ее поступательного движения, однако не полностью стесняют свободу поступательного движения БР. Действительно, уравнения (3.1) показывают, что вследствие действия возмущеннй (таких, как отклонення от номинальных значений массы ракеты и ее аэродинамических характернстик, тяги ДУ, вариации параметров атмосферы, ветер) реальное ускорение ракеты будет отличаться от программного ускорения даже при условии точной реализации программных значений углов тангажа и рыскания. Это вызывает соответствующие отклонения скорости и координат ракеты от их номинальных программных значений. Вследствие этого в реальных условиях движение ракеты будет происходить в так называемой трубке возмущенных траекторий, размеры которой определяются уровнем действующих возмущений. [c.264]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...