Предел функции комплексного переменного

Понятия предела функции комплексного переменного и ее непрерывности (в точке или области) совпадают с аналогичными понятиями, известными из курса математического анализа, приводить их не будем. Подчеркнем только, что для существования предела [c.176]

Предел функции комплексного переменного 176 [c.313]

Здесь и в дальнейшем целесообразно рассматривать функции дифференцируемые. При этом необходимо ввести требование, подобное вводимому в обычной теории функций комплексного переменного для аналитических функций, а именно, чтобы производная, т. е. предел отношения приращения AF (X) функции F (X) к приращению ЛХ комплексной переменной X при ЛХ— 0], если она существует, не зависел от отношения Ах° Ах. [c.20]

Интеграл от функции комплексного переменного /(г) по кривой С определяется как предел суммы [c.185]

Значения /-х и б, определяемые равенствами (5.8) и (5.10), являются приближенными в неконсервативную сторону это следует из более точного решения на основе модели Панасюка — Дагдейл [25, 44], представленной на рис.,3. Под нагрузкой в пластине, имеющей исходную трещину протяженностью 2/, на концах образуются участки пластической деформации протяженностью г , в пределах которых напряжения равны пределу текучести а = Сопоставляя решения, полученные методом функции комплексного переменного для пластины, равномерно растянутой напряжениями ст, с трещиной протяженностью 21- , и для той же пластины с такой же трещиной, нагруженной по своей поверхности на участках г- напряжениями а , можно получить более точные значения [c.232]

Интегральная теорема Коши. Интеграл функции комплексного переменного в пределах 2= а и z=b зависит не толь- [c.141]

Из всех функций комплексного переменного оказывается целесообразным выделить довольно узкий класс функций, называемых аналитическими. Аналитические функции можно определить, если рассмотреть производную функции / (г) в некоторой точке Zf . Производная определяется как предел отношения [c.524]

Коэффициенты г и I представляют собой линейный отклик квантовой ямы на воздействие световой волны. Рассмотрим зависимость этих коэффициентов от частоты ю, аналитически продолжив эту зависимость на всю комплексную плоскость 0) =о) -1-г(о. Из общей теории линейного отклика системы на внешнее периодическое возмущение следует, что характеризующая отклик величина имеет как функция комплексной переменной 0) полюсы в точках, равных комплексным собственным частотам возбужденных состояний системы. Следовательно, в пределах интервала Асо мы можем представить зависимости / (со), Г(со)в виде [c.97]

Было показано, что уравнение состояния системы с классическим или квантовым гамильтонианом (15.1) не обнаруживает никаких особенностей поведения при любом конечном объеме системы. С математической точки зрения это связано с отсутствием действительных положительных корней уравнения 6(z, VO = 0 при любом конечном значении V. Если рассматривать 6(z, V) как функцию комплексной переменной г, то это означает, что нули функции 6 (г, V) распределены в комплексной плоскости z, но никогда не попадают на действительную положительную ось. При увеличении V число нулей возрастает [ибо степень полинома (15.8) есть функция от I/], а их размещение на плоскости z изменяется. В пределе V -> оо некоторые из корней могут сместиться к положительной действительной оси. [c.346]

Точно так же каждой линии одной плоскости соответствует одна или несколько линий на другой плоскости. Таким образом, линиям тока и эквипотенциалям, т. е. сетке течения одной плоскости, будет соответствовать вполне определенная сетка течения на другой плоскости. При этом, сами значения потенциала скорости Ф и функции тока будут одинаковыми на соответствующих друг другу линиях обеих плоскостей. Производная (1г/(1д,- есть также некоторая функция комплексного переменного, вполне определенная в соответствующих друг другу точках обеих плоскостей гид. Это означает по самому определению производной, что предел отношения [c.123]

Пусть f(t)—вообще комплексная функция действительного переменного t, удовлетворяющая условию Н при всех конечных значениях t и стремящаяся к определенному пределу /(оо) при t-y oo. Кроме того, функция f t) для больших значений t удовлетворяет условию [c.140]

Нри вычислении предела ImS 0 нужно считать, что мнимая часть функции отрицательна. Это можно обосновать, например, сославшись на наш анализ из параграфа 5.2 первого тома. Там мы показали, что фурье-образ запаздывающей функции Грина находится как предельное значение функции, аналитической в верхней полуплоскости комплексной переменной 2 . Таким образом, если мы полагаем в формуле (6.3.73) ImS = О, то действительную переменную Е следует заменить на Е + ге, где е +0. [c.53]

Если точно известна функция Р(х) для некоторой области значений вещественного аргумента х, часто оказывается возможным продолжить эту функцию в комплексную область. Это означает, что можно однозначно определить функцию Р(г) комплексной переменной 2 (в пределах некоторой области комплексной плоскости), обладающую тем свойством, что она регулярна в этой области и равна заданной функции на действительной оси. Этот переход от области действительных переменных в область комплексных переменных называется аналитическим продолжением. Функция Р(г) будет, вообще говоря, комплексной, хотя в некоторых участках она может быть вещественной. [c.342]

В выражениях такого типа удобно рассматривать S как комплексную переменную, вещественность которой в дальнейшем легко-будет обеспечить с помощью тривиальных дополнительных условий.) Как видно из выражения (3.3), функция Г (R) нормирована на единицу при R = О, а из формулы (3.1) следует, что Г R стремится к нулю, когда R неограниченно возрастает. Вообще говоря, можно ожидать, что Г (R) будет монотонно уменьшаться при увеличении R, изменяясь в следующих пределах [c.137]

Прямой переход к пределу в этой формуле недопустим, так как интеграл, получаюш ийся после замены z нулем, расходится. Чтобы перейти к пределу надлежаш им образом и найти вместе с тем асимптотические формулы для при больших значениях параметра со, изучим на плоскости комплексного переменного и функцию [c.437]

Преобразуем сингулярный интеграл, содержащийся в правой части равенства (2.2), с помощью приема [1]. Проинтегрируем функцию ( - а) exp[(a - /г) )] комплексной переменной = X, ч- /т) по замкнутому контуру, состоящему из отрезка [О, а - р] вещественной оси, полуокружности радиуса р, с центром в точке а, лежащей при х > О в верхней полуплоскости, а при j < О - в нижней, отрезка [а р, / ] вещественной оси, четверти окружности радиуса R, с центром в начале координат, лежащей при х > О в верхней полуплоскости, при х < О - в нижней, и замыкающего контур отрезка мнимой оси. При таком выборе контура рассматриваемый интеграл будет равен нулю. Переходя к пределам р +0, R +°< п воспользовавшись леммой Жордана, найдем выражение для интеграла от рассматриваемой функции по вещественной полуоси Л, > О, понимаемого в смысле главного значения, не содержащее особенностей в подынтегральном выражении. Поскольку действительная часть этого интеграла совпадает с интегралом в правой части равенства (2.2), получим [c.80]

Для дальнейших вычислений будет удобно преобразовать эту формулу к виду, в котором интеграл берётся в пределах от —оо до - -°°> выразив подинтегральное выражение через функцию Ганкеля Я (и). Последняя имеет, как известно, логарифмическую особенность в точке и = 0 если условиться переходить от положительных к отрицательным действительным значениям и, обходя (в плоскости комплексного переменного и) точку и = О сверху, то будет справедливо соотношение [c.340]

Применение метода конформных отображений значительно расширяет возможности теоретического построения плоских потенциальных течений. Напомним кратко его математическую основу. Пусть = / (z) — аналитическая функция, определенная в области плоскости переменного г (рис. 7.15). Будем интерпретировать переменную С как комплексную координату точек плоскости С- Если 2 принимает все возможные значения в пределах области )j, то соответствующие значения С = / (z) образуют в плоскости S некоторую область Dj, которая является отображением области Di. Если, в частности, переменная z пробегает вдоль линии 1 , то соответствующие значения образуют линию /j. Областями Dz и Dj могут быть целые плоскости z и включающие бесконечно удаленную точку. [c.236]

Напомним вкратце математическую основу этого метода. Пусть = / (а) аналитическая функция, определенная в области плоскости переменного г (рис. 127). Будем интерпретировать переменную С как комплексную координату точек плоскости Если 2 принимает все возможные значения в пределах области то соответствующие значения = / (г) образуют в плоскости 4 [c.252]

Пока я с достоверностью не могу судить о том, получится ли подобным образом аналитическое объяснение и более сложных случаев. Я могу это только предполагать. Большинству исследователей, конечно, кажется, что при описанном выше делящемся на этапы методе первый этап дает решение более сложной проблемы, чем это собственно требуется для получения окончательного результата получения выражения для энергии, имеющего обычно вид очень простой рациональной функции от квантовых чисел. Уже применение метода Гамильтона—Якоби приводит, как известно, к большим упрощениям р ], причем отпадает необходимость в фактическом решении механических уравнений. Вместо того чтобы брать интегралы, представляющие импульсы с переменным верхним пределом, достаточно их интегрировать по замкнутому в комплексной плоскости пути, что представляет значительно меньше труда. Кроме того, если действительно известен полный [c.693]

Если задана действительная или комплексная функция f(x) действительного переменного х, меняющегося в пределах от —оо до +00, такая, что существует интеграл [c.194]

До сих пор мы использовали квантовое описание микроскопической динамики. Однако все свойства симметрии обобщенных восприимчивостей и кинетических коэффициентов остаются справедливыми и для классических систем. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что в классическом пределе квантовая корреляционная функция (5.2.8) переходит в классическую (AA t) AB t )) а динамические переменные в этом пределе рассматриваются как фазовые функции. Единственное обстоятельство, которые необходимо иметь в виду, это то, что для классических систем динамическая переменная заменяется на комплексно сопряженную переменную А. [c.366]

Коэффициент корреляции есть прямая мера подобия флуктуаций переменных и и V. Покажем, что модуль величины р всегда лежит в пределах от нуля до единицы. Для этого воспользуемся неравенством Шварца, которое выполняется для любых двух (действительных или комплексных) функций Т(ы, ) и д(ы,и) ) [c.27]

В некоторых приложениях, встречающихся в последних главах, нам понадобится разложить выборочные функции и 1) комплексного случайного процесса 11 (() по системе функций, ортогональных на интервале (—Т/2,Т/2). Ценность такого представления будет больше, если в пределах ансамбля коэффициенты разложения будут представлять собой некоррелированные случайные переменные. Попытаемся найти такое разложение. [c.111]

Гауссова функция распределения ехр [— а /( )] зависит только от квантовомеханических переменных. При переходе к классическому полю I а р и среднее квантовое число (п) стремятся к бесконечности как но так, что их отношение, которое является аргументом гауссовой функции, остается строго определенным. В классическом пределе вид распределения общеизвестен. Исторически одной из причин постановки задачи о хаотическом движении явилось рассмотрение поведения классического гармонического осциллятора, подверженного хаотическому возбуждению [14, 15]. Такие осцилляторы обладают комплексными амплитудами, которые при самых общих условиях описываются гауссовым распределением. Если бы мы не знали квантовомеханического анализа, то вполне могли бы предположить, что гауссово распределение, полученное таким способом из классической теории, может описывать распределение фотонов. Чтобы показать ошибочность такого заключения, необходимо более тщательно изучить природу параметра (п), который в конечном счете является единственным физическим параметром, содержащимся в распределении. В качестве простого примера можно рассмотреть тепловое возбуждение при температуре Т. Тогда среднее число фотонов равно (п)= [ехр (йсо/ Г)—1] к — постоянная Больцмана), а распределение Р (а) в этом случае принимает вид [c.98]

Так как решение свелось к вычислению эллиптического интеграла (2.69). применим метод качественного исследования (см, 3). График функции F (w) есть кубическая парабола (рис. 2.6), точки пересечения которой с осью w определяют корни уравнения F( y) = 0, причем гюз есть обязательный веш,ественный корень кубического уравнения. Корни и могут быть вещественные различные, или совпадающие, либо комплексные сопряженные. Можно показать, что действительному движению отвечают лишь вещественные корни. Заметим, что график на рис. 2.6 построен формально, без учета неравенства йу 1. Через Wq обозначено начальное значение переменной w> Если йУ2< о< 1, то w t) есть периодическая функция времени, меняющаяся в пределах йУг, Wi с периодом [c.95]

Огюстен Луи де Коши (1789—1857) — французский математик. Инженер по образованию, он был автором многих фундаментальных исследований по разным разделам математики и механики (теория пределов, функции комплексного переменного, движение жидкостей и др.). [c.42]

Можно показать, что для определения величин Р и La не обязательно знать полное выражение комплексного потенциала, а достаточно иметь коэффициенты первых трех членов разложения функции й dWidz в ряд Лорана. Действительно, в теории функций комплексного переменного доказывается, что всякую функцию, аналитическую вне окружности некоторого радиуса с центром в начале координат, стремящуюся к конечному пределу в бесконечности, можно представить равномерно сходящимся рядом Лорана вида [c.233]

На базе уравнений задачи в напряжениях, сведенных к уравнению совместности в виде (19.11), развиты мощные аналитические методы решения плоских задач теории упругости с использованием функций комплексного переменного. Однако эти методы выходят за пределы данного круга и здесь не излагаются. Получение аналитических решений в замкнутом виде для более или менее сложных областей и видов нагрузок представляет большие трудности. Для сравнительно простых случаев решение может быть построено путем подбора функций Ф, заведомо удовлетворяющих уравнению совместности (19.11). Последующая р омбинация этих частных решений может дать с заданным уровнем приближения решение поставленной задачи. Такая задача рассмотрена в 19.4. Эффективные методы решения плоских задач теории упругости дают метод конечных разностей и метод конечных элементов, которые рассмотрены в последующих параграфах. [c.444]

Значения Гт и й, определяемые выражениями (2.13) и (2.16), являются приближенными, заниженными, что следует из более точного решения на основе модели В. В. Панасюка —Д. Даг-дейла, представленной на рис. 2.4. При напряжениях а в вершине трещины протяженностью 2/ образуются участки длиной Гт пластической деформации, в пределах которых местные напряжения будут а=стт- Упругопластическое решение задачи для рассматриваемой пластины получается на основе решения двух упругих задач для двух пластин с длиной трещины 2/т. Упругие решения методом функции комплексного переменного для первой пластины с трещиной 2/т, равномерно растянутой напряжениями сг, и для второй пластины с трещиной протяженностью 2/т, нагруженной на участках Гт напряжениями сгт, при наложении позволяют получить более точное значение для г [c.31]

Автор решился радикально отклониться от традиций и полностью основать изложение на применении векторного анализа и его естественной модификации для случая двух измерений — теории функций комплексного переменного. Применение этих методов в гидродинамике не является само по себе новостью, но, насколько известно автору, попыток такого исключительно широкого их применения в гидродинамике до сих пор не было. Предварительные математические знания, требуемые от читателя, не выходят за пределы обычного курса математич4 ского анализа. Необходимый дополнительный математический аппарат вводится в книге по мере надобности, и тем самым предпринята попытка сдглап. книгу в том отношении разумно независимой. Так как мы имеем дело с описанием реальной действительности (хотя и в идеализированной форме). то в кнн1е широко применяются рисунки, число которых превышает 360. [c.9]

Устремляя число профилей N к бесконечности, убедимся, что только что написанная сумма представит в пределе известное разложение гиперболического котангенса на простейшие дроби. Последнее слагаемое в правой части (149), по известной теореме теории функций комплексного переменного о предельном значении интеграла Коши от ограниченной функции по раздвигающемуся на бесконечность контуру, сведется в пределе при (Vоо к некоторой постоянной величине. Таким образом, будем иметь следующую обоби1енную формулу Коши [c.266]

Описанный в 2, 3 метод интегральных наложений возможность для случая тел вращения представить ком4 поненты напряжения и перемещения через аналитические-функции комплексного переменного. Связанные с этим, вопросы были подробно рассмотрены выше в гл. III. 1 Полученные представления будут справедливы и для пеосесимметричных тел, если неосесимметричное тело рассматривать как часть некоторого объемлющего тела" вращения. Однако такой подход налагает серьезные огра- ничения на характер условий на поверхности неосесий-- метричного тела, так как не всякое поле перемещений мож-i но продолжить за пределы тела, удовлетворяя при этом дифференциальным уравнениям теории упругости. [c.202]

Пусть (z) и p(z) - дифференцируемые функции, стремящиеся к значениям i, 2 и Pi, Р2 соответственно при z + o°hz -°°, причем рФО при всех Z. Тогда, как показано в работе [44], звуковое давление р ( , z) в слоистой среде, возникающее при падении плоской волны, является аналитической функцией (О свойствах аналитических функций см. [116, 232] или любой другой курс теории функций комплексного переменного.) Коэффициенты отражения V Q) и прозрачности W( ) плоской волны, падающей из однородной среды на слоистое полупространство, являются аналитическими функциями и не имеют существенно особых точек в конечной части комплексной плоскости Рассматривая скачки с и ркак пределы быстрых изменений гладких функций, сформулированные результаты можно перенести на среды с кусочно-гладкими зависимостями плотности и скорости звука от координаты z. В этом случае давление р как функция Z в ряде точек не имеет даже первых производных, но остается аналитической функцией [c.132]

Дифференциальное уравнение относительно функции f (t) действительной переменной t умножается на экспоненциальную функцию где р — комплексная переменная, и полученное выражение интегрируется по t в пределах отО до со. При интегрировании по частям используются начальные условия задачи для определения внеинтегральных слагаемых. При этом вводится преобразованная функция [c.69]

Переписывая (6.5.11)-(6.5.13) в переменной -У = , убеждаемся, что имеет место срапщвание в пределе О, точнее, (У . У )с —>0, сингулярных членов выражений (6.5.1) с асимптотиками при > °о функций V,, Рс, регулярных во всех конечных точках комплексной плоскости Член порядка 1п Р, возникающий после перехода к в (6.5.13), может, очевидно, быть включен в неизвестную константу /)], выбор которой диктуется условиями сращивания линейных по членов. [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...