Предел комплексной переменной

Пределом комплексной переменной 2 называется такое постоянное комплексное число с, что модуль разности 2 — с, начиная с некоторого значения 2, становится и затем остается меньше любого, наперед заданного, положительного числа Геометри-ческ и это означает, что, начиная с некоторого значения 2, все дальнейшие его значения соответствуют на плоскости комплексного переменного таким точкам, которые находятся внутри окружности с центром в точке с и произвольно малым радиусом г. [c.211]

Предел комплексной переменной 211 Преобразование Жуковского 220 [c.621]

Понятия предела функции комплексного переменного и ее непрерывности (в точке или области) совпадают с аналогичными понятиями, известными из курса математического анализа, приводить их не будем. Подчеркнем только, что для существования предела [c.176]

Предел функции комплексного переменного 176 [c.313]

Здесь и в дальнейшем целесообразно рассматривать функции дифференцируемые. При этом необходимо ввести требование, подобное вводимому в обычной теории функций комплексного переменного для аналитических функций, а именно, чтобы производная, т. е. предел отношения приращения AF (X) функции F (X) к приращению ЛХ комплексной переменной X при ЛХ— 0], если она существует, не зависел от отношения Ах° Ах. [c.20]

Интеграл от функции комплексного переменного /(г) по кривой С определяется как предел суммы [c.185]

Если z = x- -iy — комплексное переменное, а a — a- -ib — такое постоянное число, что I г —> а I — О, то говорят, что комплексное переменное z стремится к пределу а, и пишут lim г = = а или Z- a. [c.194]

Если Z = X iy — комплексное переменное, а а = а ib — такое постоянное число, что г —О, то говорят, что комплексное переменное г стремится к пределу а, и пишут lim 2 = [c.194]

Условие lim (х + iy) = а + ib равносильно тому, что lim X = а, lim у = Ь. Поэтому основные теоремы о пределах, установленные для вещественных переменных, остаются в силе и для комплексных переменных. Если г -> со, то говорят, что 2 оо, или lim г = с . [c.194]

Непрерывность этого интеграла, когда >-0, нетрудно установить, как это сделано в F. 8., главе VI. Исследование бесконечного интеграла от комплексного переменного выходит ва пределы этой книги. [c.193]

Значения /-х и б, определяемые равенствами (5.8) и (5.10), являются приближенными в неконсервативную сторону это следует из более точного решения на основе модели Панасюка — Дагдейл [25, 44], представленной на рис.,3. Под нагрузкой в пластине, имеющей исходную трещину протяженностью 2/, на концах образуются участки пластической деформации протяженностью г , в пределах которых напряжения равны пределу текучести а = Сопоставляя решения, полученные методом функции комплексного переменного для пластины, равномерно растянутой напряжениями ст, с трещиной протяженностью 21- , и для той же пластины с такой же трещиной, нагруженной по своей поверхности на участках г- напряжениями а , можно получить более точные значения [c.232]

Нри вычислении предела ImS 0 нужно считать, что мнимая часть функции отрицательна. Это можно обосновать, например, сославшись на наш анализ из параграфа 5.2 первого тома. Там мы показали, что фурье-образ запаздывающей функции Грина находится как предельное значение функции, аналитической в верхней полуплоскости комплексной переменной 2 . Таким образом, если мы полагаем в формуле (6.3.73) ImS = О, то действительную переменную Е следует заменить на Е + ге, где е +0. [c.53]

Интегральная теорема Коши. Интеграл функции комплексного переменного в пределах 2= а и z=b зависит не толь- [c.141]

Так как в этом случае все уравнения становятся пригодными для больших скоростей при простой замене потенциала на релятивистский потенциал (уравнение (2.89)), всегда легко рассмотреть релятивистский случай, что особенно важно теперь, потому что магнитные линзы в основном используются для фокусировки электронов, для которых релятивистский предел составляет около 10 кэВ (см. разд. 2.2.1). С другой стороны, наличие азимутальной составляющей начальной скорости или ненулевого поля в начальной точке приводит к необходимости использования комплексных переменных для описания траекторий в магнитных линзах. Поэтому общее уравнение траекторий теперь принимает вид (4.21), и траектория обычно должна описываться во вращающейся меридиональной плоскости. [c.475]

Из всех функций комплексного переменного оказывается целесообразным выделить довольно узкий класс функций, называемых аналитическими. Аналитические функции можно определить, если рассмотреть производную функции / (г) в некоторой точке Zf . Производная определяется как предел отношения [c.524]

Коэффициенты г и I представляют собой линейный отклик квантовой ямы на воздействие световой волны. Рассмотрим зависимость этих коэффициентов от частоты ю, аналитически продолжив эту зависимость на всю комплексную плоскость 0) =о) -1-г(о. Из общей теории линейного отклика системы на внешнее периодическое возмущение следует, что характеризующая отклик величина имеет как функция комплексной переменной 0) полюсы в точках, равных комплексным собственным частотам возбужденных состояний системы. Следовательно, в пределах интервала Асо мы можем представить зависимости / (со), Г(со)в виде [c.97]

Было показано, что уравнение состояния системы с классическим или квантовым гамильтонианом (15.1) не обнаруживает никаких особенностей поведения при любом конечном объеме системы. С математической точки зрения это связано с отсутствием действительных положительных корней уравнения 6(z, VO = 0 при любом конечном значении V. Если рассматривать 6(z, V) как функцию комплексной переменной г, то это означает, что нули функции 6 (г, V) распределены в комплексной плоскости z, но никогда не попадают на действительную положительную ось. При увеличении V число нулей возрастает [ибо степень полинома (15.8) есть функция от I/], а их размещение на плоскости z изменяется. В пределе V -> оо некоторые из корней могут сместиться к положительной действительной оси. [c.346]

Если точно известна функция Р(х) для некоторой области значений вещественного аргумента х, часто оказывается возможным продолжить эту функцию в комплексную область. Это означает, что можно однозначно определить функцию Р(г) комплексной переменной 2 (в пределах некоторой области комплексной плоскости), обладающую тем свойством, что она регулярна в этой области и равна заданной функции на действительной оси. Этот переход от области действительных переменных в область комплексных переменных называется аналитическим продолжением. Функция Р(г) будет, вообще говоря, комплексной, хотя в некоторых участках она может быть вещественной. [c.342]

В выражениях такого типа удобно рассматривать S как комплексную переменную, вещественность которой в дальнейшем легко-будет обеспечить с помощью тривиальных дополнительных условий.) Как видно из выражения (3.3), функция Г (R) нормирована на единицу при R = О, а из формулы (3.1) следует, что Г R стремится к нулю, когда R неограниченно возрастает. Вообще говоря, можно ожидать, что Г (R) будет монотонно уменьшаться при увеличении R, изменяясь в следующих пределах [c.137]

Рассмотрим затем значения большие по своему модулю и обла-даюш ие аргументом в пределах от —V2л до — 8, где 8 — произвольное положительное число. Иными словами, рассмотрим область О плоскости комплексного переменного ограниченную правой стороной разреза (О, —001) и какой-нибудь прямой, наклоненной к левой стороне разреза под произвольно малым углом 8. Тогда для всех точек этой области будет иметь место следуюш ая асимптотическая формула [c.196]

Перейдем в этом равенстве к пределу, устремляя мнимые части комплексных переменных 2 и I к нулю. Чтобы осуществить этот переход, соединим точки 0), (/, 0) плоскости переменного а какой-нибудь кривой С, лежащей в верхней полуплоскости. Так как 2 будет стремиться к х, то можно считать, что точка I находится внутри замкнутого контура, составленного из действительной оси и кривой С. В силу этого будем иметь [c.220]

Прямой переход к пределу в этой формуле недопустим, так как интеграл, получаюш ийся после замены z нулем, расходится. Чтобы перейти к пределу надлежаш им образом и найти вместе с тем асимптотические формулы для при больших значениях параметра со, изучим на плоскости комплексного переменного и функцию [c.437]

Точно так же каждой линии одной плоскости соответствует одна или несколько линий на другой плоскости. Таким образом, линиям тока и эквипотенциалям, т. е. сетке течения одной плоскости, будет соответствовать вполне определенная сетка течения на другой плоскости. При этом, сами значения потенциала скорости Ф и функции тока будут одинаковыми на соответствующих друг другу линиях обеих плоскостей. Производная (1г/(1д,- есть также некоторая функция комплексного переменного, вполне определенная в соответствующих друг другу точках обеих плоскостей гид. Это означает по самому определению производной, что предел отношения [c.123]

Огюстен Луи де Коши (1789—1857) — французский математик. Инженер по образованию, он был автором многих фундаментальных исследований по разным разделам математики и механики (теория пределов, функции комплексного переменного, движение жидкостей и др.). [c.42]

Можно показать, что для определения величин Р и La не обязательно знать полное выражение комплексного потенциала, а достаточно иметь коэффициенты первых трех членов разложения функции й dWidz в ряд Лорана. Действительно, в теории функций комплексного переменного доказывается, что всякую функцию, аналитическую вне окружности некоторого радиуса с центром в начале координат, стремящуюся к конечному пределу в бесконечности, можно представить равномерно сходящимся рядом Лорана вида [c.233]

На базе уравнений задачи в напряжениях, сведенных к уравнению совместности в виде (19.11), развиты мощные аналитические методы решения плоских задач теории упругости с использованием функций комплексного переменного. Однако эти методы выходят за пределы данного круга и здесь не излагаются. Получение аналитических решений в замкнутом виде для более или менее сложных областей и видов нагрузок представляет большие трудности. Для сравнительно простых случаев решение может быть построено путем подбора функций Ф, заведомо удовлетворяющих уравнению совместности (19.11). Последующая р омбинация этих частных решений может дать с заданным уровнем приближения решение поставленной задачи. Такая задача рассмотрена в 19.4. Эффективные методы решения плоских задач теории упругости дают метод конечных разностей и метод конечных элементов, которые рассмотрены в последующих параграфах. [c.444]

Значения Гт и й, определяемые выражениями (2.13) и (2.16), являются приближенными, заниженными, что следует из более точного решения на основе модели В. В. Панасюка —Д. Даг-дейла, представленной на рис. 2.4. При напряжениях а в вершине трещины протяженностью 2/ образуются участки длиной Гт пластической деформации, в пределах которых местные напряжения будут а=стт- Упругопластическое решение задачи для рассматриваемой пластины получается на основе решения двух упругих задач для двух пластин с длиной трещины 2/т. Упругие решения методом функции комплексного переменного для первой пластины с трещиной 2/т, равномерно растянутой напряжениями сг, и для второй пластины с трещиной протяженностью 2/т, нагруженной на участках Гт напряжениями сгт, при наложении позволяют получить более точное значение для г [c.31]

Автор решился радикально отклониться от традиций и полностью основать изложение на применении векторного анализа и его естественной модификации для случая двух измерений — теории функций комплексного переменного. Применение этих методов в гидродинамике не является само по себе новостью, но, насколько известно автору, попыток такого исключительно широкого их применения в гидродинамике до сих пор не было. Предварительные математические знания, требуемые от читателя, не выходят за пределы обычного курса математич4 ского анализа. Необходимый дополнительный математический аппарат вводится в книге по мере надобности, и тем самым предпринята попытка сдглап. книгу в том отношении разумно независимой. Так как мы имеем дело с описанием реальной действительности (хотя и в идеализированной форме). то в кнн1е широко применяются рисунки, число которых превышает 360. [c.9]

Возьмем точь у па плоскости комплексного переменного 2 и соответствующую ей точку на плоскости ю (фиг. 89). Дадим г некоторое цриращение Аг тогда ги получит соответствующее приращение Аго. Если при Д2—>0 (т. е. когда точка 2-(-Д2 произвольным образом стремится к точке г) существует предел [c.211]

Дифференциальное уравнение относительно функции f (t) действительной переменной t умножается на экспоненциальную функцию где р — комплексная переменная, и полученное выражение интегрируется по t в пределах отО до со. При интегрировании по частям используются начальные условия задачи для определения внеинтегральных слагаемых. При этом вводится преобразованная функция [c.69]

Этот предел долмсен быть независимым от того способа, каким мы даем приращение переменному а. Мения только вещественную часть комплексного переменного, т. е. полагая йа = йх, получим, на основании выражения [с] [c.186]

Устремляя число профилей N к бесконечности, убедимся, что только что написанная сумма представит в пределе известное разложение гиперболического котангенса на простейшие дроби. Последнее слагаемое в правой части (149), по известной теореме теории функций комплексного переменного о предельном значении интеграла Коши от ограниченной функции по раздвигающемуся на бесконечность контуру, сведется в пределе при (Vоо к некоторой постоянной величине. Таким образом, будем иметь следующую обоби1енную формулу Коши [c.266]

Описанный в 2, 3 метод интегральных наложений возможность для случая тел вращения представить ком4 поненты напряжения и перемещения через аналитические-функции комплексного переменного. Связанные с этим, вопросы были подробно рассмотрены выше в гл. III. 1 Полученные представления будут справедливы и для пеосесимметричных тел, если неосесимметричное тело рассматривать как часть некоторого объемлющего тела" вращения. Однако такой подход налагает серьезные огра- ничения на характер условий на поверхности неосесий-- метричного тела, так как не всякое поле перемещений мож-i но продолжить за пределы тела, удовлетворяя при этом дифференциальным уравнениям теории упругости. [c.202]

То же самое общее заключение имеет место для затухающих или растущих возмущений, если комплексная переменная стремится к конечному пределу при aR —> со. Следует подчеркнуть, что в предельном случае бесконечного числа Рейнольдса возму1цение стремится к состоянию уста-повивщегося отклонения, у которого с==0. В пределе не существует различия между растущими, затухающими или нейтральными колебаниями. [c.170]

Пусть (z) и p(z) - дифференцируемые функции, стремящиеся к значениям i, 2 и Pi, Р2 соответственно при z + o°hz -°°, причем рФО при всех Z. Тогда, как показано в работе [44], звуковое давление р ( , z) в слоистой среде, возникающее при падении плоской волны, является аналитической функцией (О свойствах аналитических функций см. [116, 232] или любой другой курс теории функций комплексного переменного.) Коэффициенты отражения V Q) и прозрачности W( ) плоской волны, падающей из однородной среды на слоистое полупространство, являются аналитическими функциями и не имеют существенно особых точек в конечной части комплексной плоскости Рассматривая скачки с и ркак пределы быстрых изменений гладких функций, сформулированные результаты можно перенести на среды с кусочно-гладкими зависимостями плотности и скорости звука от координаты z. В этом случае давление р как функция Z в ряде точек не имеет даже первых производных, но остается аналитической функцией [c.132]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...