Частные решения уравнения переноса

Приведенные выражения для Т х, г) представляют собой частные решения уравнения переноса теплоты, относящиеся к теплообмену на основном участке трубы и, следовательно, имеющие силу при х [c.455]

ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ИЗОТРОПНО РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЫ [c.416]

Частные решения уравнения переноса излучения для плоско- [c.418]

Коэффициенты находятся с учетом конечного числа членов этого разложения. Частное решение уравнения переноса излу- [c.506]

Если 0 (т) представить в виде (12.75), то частное решение уравнения переноса излучения (12.72) со свободным членом (1 —со)0 (т) находится с помощью табл. 10.6 в виде м [c.515]

Задача содержит четыре независимых параметра N, Z, р и со. Если их значения заданы, а также принято некоторое приближение для распределения температуры 0(т), то функция 0 (т) представляется в виде конечного ряда (12.75) и находятся коэффициенты Вт. Затем с помощью (12.76) отыскивается частное решение уравнения переноса излучения, а коэффициенты разложения Л(т1о) и Л(т]) определяются по методу, описанному в гл. 10 и 11. Зная Л(т]о), Л (т1) и Вт, можно найти безразмерную плотность потока результирующего излучения Q (t) по формуле (12.78). Рассматривая Q (t) как заданную функцию, можно численно с помощью метода Рунге — Кутта проинтегрировать дифференциальное уравнение (12.69), используя граничное условие (12.70), и получить первое приближение для профиля температуры 0(т). Затем первое приближение используется для получения второго приближения и т. д. Расчеты повторяются до получения сходимости с заданной точностью. [c.516]

Коэффициенты ВпЦ) можно определить, беря конечное число членов в этом разложении. Частное решение уравнения переноса излучения со свободным членом вида т" представлено в табл. 10.6 для = О, 1, 2, 3. ... Тогда частное решение для свободного члена вида (1 — запишется как [c.593]

X-и У-функции 428, 481 Частные решения уравнения переноса излучения 416, 418, 419 Черное тело, излучение 25 [c.612]

До последнего времени для решения уравнений теплопроводности и диффузии обычно использовались метод разделения переменных, метод мгновенных источников, методы, основанные на применении функций Грина, Дирака и др. Эти классические методы предполагают отыскание в первую очередь общего решения и его последующее приспособление к частным условиям конкретной задачи. Детальное освещение классических методов решения уравнений переноса можно найти в фундаментальной работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского (Л. 7]. Получаемые классическими методами решения, однако, не всегда оказываются удобными для практического использования. Так, иногда требуется получить приближенные соотношения, в которых режимные параметры процесса должны быть отделены от физических характеристик тела или системы тел, взаимодействующих с окружающей средой. Эти важные для практики соотношения бывает затруднительно получить из классических решений. Еще большие осложнения возникают при решении систем дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса классическими методами. Под влиянием запросов техники за последние десятилетия инженерами и физиками стали широко применяться операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления получены киевским профессором М. Ващенко-Захарченко [Л. 8]. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике благодаря работам Хевисайда. Этот метод оказался настолько эффективным, ЧТО позволил решить многие проблемы, считавшиеся до его появления почти неразрешимыми, и получить решения некоторых уже рассмотренных задач в форме, значительно более приспособленной для численных расчетов. [c.79]

Для решения радиационной части задачи применим метод разложения по собственным функциям. Обш ее решение уравнения переноса излучения (12.55) равно сумме решений соответствующего однородного уравнения и частного решения 1 5р(т, М-) [c.506]

Плотность радиационного теплового потока q , входящая в уравнение энергии, находится из решения уравнения переноса излучения, как это будет описано ниже. Сосредоточим теперь наше внимание на преобразовании приведенных выше дифференциальных уравнений в частных производных с помощью стандартных методов, используемых при решении подобных задач без учета излучения. [c.564]

Общее решение уравнения переноса излучения (13.154) можно записать в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения 1р (т, I, л) [c.568]

Решение интегродифференциальных уравнений переноса излучения (с учетом или без учета поляризации) представляет собой сложную математическую задачу. Полученные к настоящему времени результаты относятся к простым частным случаям. При этом с самого начала основные результаты теории переноса излучения были получены путем численных расчетов. Этот путь решения уравнений переноса остается, по-видимому, основным и в настоящее время. Тем более, что возможности и вычислительной техники, и методов численного моделирования (прежде всего методов Монте-Карло) существенно возросли. Однако приближенные уравнения переноса по-прежнему используются, так как позволяют легко и наглядно выявить те или иные закономерности. [c.67]

Те, кто знаком только с численными методами для обыкновенных дифференциальных уравнений, постоянно удивляется низкому порядку аппроксимации в схемах, применявшихся в прошлом для дифференциальных уравнений в частных производных. Причина этого просто заключается в том, что для нетривиальных задач гидродинамики трудно добиться фактического получения результатов равномерно высокого порядка точности. В полной задаче точность решения уравнения переноса вихря будет ограничена точностью решения уравнения Пуассона (см. разд. 3.2) и постановкой граничных условий "(см. разд. 3.3.1). Последняя особенно увеличивает трудность достижения равномерно высокого порядка точности для задачи в целом при использовании стандартных многоточечных уравнений высокого порядка точности, таких, которые рассматриваются в разд. 3.2.10. (Например, вблизи прямолинейной границы, обычно параллельной одной из осей координат, для схемы с ошибкой порядка О Ах ) требуется знать значения на границе и в пяти ближайших внутренних точках см. Саусвелл [1946].) Исследовать устойчивость таких схем очень трудно, хотя здесь на помощь может прийти понятие расщепления по времени (разд. 3.1.13). [c.170]

Коэффициенты диффузии D, теплопроводности X и термоградиентный коэффициент 6 зависят от влажности и температуры. Учитывая это, можно получить систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, решение которой представляет большие трудности. Если эти коэффициенты считать постоянными и воспользоваться выражением закона переноса жидкости и преобразованием Остроградского — Гаусса, то дифференциальное уравнение переноса жидкости можно написать так [c.507]

Как было показано в п. 18, частное решение системы однородных уравнений, отвечающее форме колебаний г, целесообразно искать в виде qj = В -р (t) os (/), причем для каждой формы может быть реализовано одно дополнительное условие вида (4.82). При этом в случае медленно изменяющихся параметров оказывается, что <7 —р (/) q -. Отсюда следует, что матрица переноса для инерционного элемента может быть представлена как (см. п. 12) [c.193]

Составление, анализ и решение уравнений, учитывающих все виды переноса теплоты и все указанные выше факторы, встречает очень большие трудности. Поэтому все полученные к настоящему времени расчетные соотношения выведены на основе некоторых принципиальных и частных допущений, на основе упрощения физической картины рассматриваемого процесса и идеализированного представления о структуре материала. [c.345]

Приведенные уравнения справедливы для твердых тел. Для жидкостей и газов они также справедливы при условии, что отсутствуют другие способы переноса тепла (конвекцией, излучением и др.). Эти уравнения не имеют общего решения. Но получены частные решения применительно к телам определенной геометрической формы при конкретно заданных условиях однозначности. Такие частные решения и используются при постановке различных экспериментов. Решения дифференциальных уравнений (1-8) и (1-9) применительно к одномерным температурным полям для тел простой геометрической формы позволяют найти коэффициент теплопроводности из соотношения [c.19]

В последние годы большое применение получила обобщенная теория теплопроводности и диффузии. Вначале эта теория переноса тепла и массы была разработана для капиллярно-пористых влажных тел применительно к процессам сушки, а затем была распространена на процессы переноса влаги и тепла в грунтах, на явления фильтрации многофазных жидкостей, на перенос тепла и нейтронов в поглощающих средах и на перенос тепла и массы при горении твердых пористых тел. В связи с этим были разработаны методы математического решения системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений переноса тепла и массы при разных граничных условиях. Из решений этой системы уравнений как частный случай получаются решения задач нестационарной теплопроводности (Л. 10—12]. [c.10]

При т->оо решение стремится к частному решению /р(т, [л) уравнения переноса излучения. [c.413]

Решение в виде (12.74) содержит два неизвестных коэффициента разложения Л(т]о) и Л(т]). Предполагая, что частное решение 1 р(т, ц) уравнения переноса излучения известно, можно найти эти коэффициенты, как это описано в гл. 10 и 11, т. е. потребовать, чтобы решение (12.74) удовлетворяло граничному условию при т = О, и использовать свойство ортогональности собственных функций, а также различные интегралы нормировки. Однако частное решение не может быть найдено, пока неизвестна функция 0 (т), входящая в уравнение (12.72). Чтобы обойти эту трудность, предположим, что распределение температуры 0(т) известно в некотором приближении и что функция e (t) может быть представлена в виде ряда, содержащего конечное число членов м [c.515]

Частное решение /р(т, , (г) уравнения переноса излучения (13.155) со свободным членом в виде (13.161) легко получить, воспользовавшись табл. 10.6. Оно имеет вид [c.569]

Входящие в это выражение дискретные собственные функции ф( т)о, И-) и непрерывные собственные функции ф( т), ц) были определены ранее [см. (10.18) и (11.89)]. Частное решение фр(т, I, ц) уравнения переноса излучения может быть найдено, если известна функция 0 (т, ), которая входит в свободный член уравнения. Однако распределение температуры 0(t, ) [c.592]

Неустойчивость наиболее часто проявляется при движении вязкой и теплопроводящей жидкости типичным примером является переход ламинарного движения в турбулентное. Именно поэтому теория устойчивости была более всего разработана применительно к задачам гидродинамики. Существующая теория основывается на исследовании поведения возмущений разного рода во времени, накладываемых на основное движение, т. е. имеет динамический характер. В случае малых возмущений уравнения движения (а также переноса тепла) приводят к системе частных решений, характеризующих так называемые возмущения (или моды) вида А ехр Если декремент X (в общем случае комплексный) имеет поло- [c.5]

Аналогичные процессы. Уравнение теплопроводности является прямым следствием закона сохранения, представленного первым законом термодинамики, и пропорциональности плотности потока градиенту температуры [см. (3.1)]. Существует множество других физических процессов, при которых соответствующая плотность потока некоторой величины пропорциональна градиенту этой величины и для которых существует закон сохранения. Отсюда следует, что эти процессы будут описываться дифференциальными уравнениями, аналогичными (3.2). К подобным процессам можно отнести диффузию химических компонент, движение заряженных частиц в электромагнитном поле, течение в пористых материалах, потенциальные течения, перенос тепла и влаги в почве, а также полностью развитые течение и теплообмен в каналах. Построив вычислительную процедуру для решения уравнения (3.2), мы сможем применить ее и для любого аналогичного процесса, просто придавая новый смысл величинам Т, к, Sfj и др. Например, можно интерпретировать Т как концентрацию, к как коэффициент диффузии, как скорость химической реакции и т.п. Удобнее работать с таким обобщенным дифференциальным уравнением, так как уравнение теплопроводности и другие аналогичные уравнения станут его частными случаями. В дальнейшем будем основываться на подобном обобщенном дифференциальном уравнении. [c.66]

Если предположить, что через усилитель проходит излучение в виде плоской волны д1/дг = dS/dr — 0 S = 0) и самофокусировка в среде отсутствует (fij = Ю), то система уравнений (4.15)— (4.17) переходит в систему уравнений переноса [71, достаточно хорошо изученную и допускающую во многих частных случаях аналитическое решение. Эту систему целесообразно выбрать в качестве первого варианта, с которым можно сопоставить все последующие. Поскольку результаты решения в общем случае зависят от формы импульсов, то рассмотрим распространение в среде импульсов гауссовой формы, как представляющих особый интерес. Для простоты можно предположить, что к моменту появления импульса на входе усиливающей среды там уже создана опреде- [c.186]

Эту производную следует подставить в левую часть уравнения переноса (6). Формальное решение находится путем составления формулы для решения линейного уравнения в частных производных, причем первым интегралом его служит Vq [c.17]

Наибольшее число этих методов разработано для одномерного случая. Здесь часто удается вывести соответствующие точные выражения, включающие интегральные операторы от температурного поля, и получить интегральное или интегродифференциальное уравнение для температурного поля. К такому же результату иногда приводит применение различных приближенных методов решения уравнения переноса (приближений Шустера — Шварцшильда, Эддингтона и т.д. [81). Как правило, получающиеся интегральные или интегродифференциальные уравнения решаются численными методами, которые мы в данной книге не рассматриваем. Только в некоторых частных случаях, например при использовании приближений оптически тонкого слоя — прозрачного газа, излучающей или ХОЛОДНО сред и др., удается получить аналитические решения. [c.202]

Для решения одномерной задачи переноса излучения может быть использован метод разложения по собственным функциям (нормальным модам), Предложенный Кейсом [1] в 1960 г. для строгого решения одномерного уравнения переноса нейтронов. В этом методе решение уравнения переноса излучения записывается в виде линейной суммы собственных функций для однородной части уравнения переноса излучения и частного решения неоднородного уравнения. Неизвестные коэффициенты разло жения, фигурирующие в решении однородного уравнения, опрег деляются таким образом, чтобы полное решение удовлетворяло граничным- условиям задачи при этом используются свойство ор.тогональности собственных функций и различные интегралы нормировки. Данный метод аналогичен классическому методу разложения по ортогональным функциям. [c.378]

Метод Чепмена—Энскога позволяет найти решение уравнения переноса Больцмана (3.36) с помощью последовательных приближений. Этот метод не дает наиболее общего решения уравнения Больцмана. Он определяет частный вид решения, а именно решение, которое зависит от времени неявно через локальные плотность, скорость и температуру. Б гл. 5 мы рассмотрели этот тип решения при упрощающем предположении, что ( // Остолк —(/ — / )А- Здесь мы не будем делать этого предположения. [c.144]

Р В (12.586)—мнемонический символ, обозначающий, что берется значение соответствующего интеграла в смысле главного значения Коши, а б(х)—б-функция Дирака. Частное решение фр(т, ц.) уравнения переноса излучения (12.55) можно найти, если известна функция 0 (т) однако распределение температуры 0(т) неизвестно, пока не решено уравнение энергии (12.52). Поэтому для отыскания частного решения делается предположение, что им.еется нулевое приближение для распределения температуры 0°(т) и что функция [0 (т)] заданная в интервале значений О т То, может быть представлена в виде полинома по степеням т [c.506]

Однако решение (13.157) содержит частное решение, которое не может быть найдено до тех пор, пока не известен член 0 (т, S ), входящий в уравнение переноса излучения. Предположим теперь, что известно некоторое начальное приближение для распределения температуры 0(т, ) и что функцию 0 (т, g ) можнр представить в виде [c.569]

Дается вывод приближенных уравнений переноса лучистой энергии в случае любой индикатрисы рассеяния, представимой при помощи разложения в конечный или бесконечный ряд по полиномам Лежандра. Как частный случай выведены приближенные уравнения переноса, аналогичные приближенным уравнениям Шварцшильда, и приведены в полном виде уравнения для простейших случаев индикатрисы рассеяния рассматриваемого типа. В качестве примера дай расчет яркости пеба в случае закона рассеяния вида 7 = 1 + (7i os(r, г ), причем произведено сравнение полу-чеппого ириближеппого решения этой задачи с точным решением. [c.604]

При расчете распределения скоростей, температур, концентраций, давлений, напряжений в элементах конструкций аппаратов ограничиваются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений, если требуется определить их изменение только по одной из координат — пространственной или временной. Для расчета дву- и трехмерных полей используют системы дифференциальных уравнений переноса (движения, энергии, теплопроводности, диффузии и др.) в частных про-изводных(см. 1.5,3.18,пп. 3.2.2,3.5.2книги2настоящей серии). В зависимости от специфики про- [c.286]

Аналитическое решение отдельных задач переноса энергии, массы и импульса может быть выполнено для конкретных заданных условий. Дифференциальные, интегральные или интегро-дифференциальные уравнения, описывающие те или иные частные случаи явлений переноса, в пределах этого частного сл чая никак не ограничивают самых разнообразных возможностей протеканпя явления. Это обстоятельство находит свое формальное выражение в том, что то или иное дифференциальное, интегральное или иптегро-дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество отдельных решений, определяющих рассматриваемое частное явление с точностью до произвольных функций. [c.126]

Нри Рг<Рг необходимости в такой компенсации практически нет, поэтому следует ожидать резкого увеличения полного теплового потока на бесконечности при переходе Рг со стороны малых Рг. Таким образом, область Рг>Рг можно охарактеризовать как область преимущественно конвективного, а Рг < Рг с — кондуктив-пого переноса тепла. С другой стороны, в случае нулевого теплового потока, Т1О, при Рг>-Ргф главным членом при Д°о (со2>2) является частное решение неоднородного уравнения (4) т. е. поведение температуры на бесконечности определяется объемным диссипативным нагревом, а не краевыми условиями на сфере В = Но. Если же РгСРг, то главным нри Д становится дипольный член, и влияние граничного условия простирается на бесконечность, что характерно для кондуктивной теплопроводности. [c.274]

Аналитические решения задач о совместном влиянии лучистого теплообмена твплопровоян ости или конвекции базируются на совмещенных соответствующих уравнениях переноса энергии [Л. 243, 271]. Однако такие решения получены применительно к отдельным частным случаям, например совместно/му действию излучения и вынужденной конвекции в цилиндрической трубе и др. [Л. 81, 95, 183, 184]. Практически расчет теплообмена при совместном действии теплового излучения и теплопроводности или конвекции часто производится соответственно по методам эффективной теплопроводности и эффективной теплоотдачи. Эти методы состоят в замене коэффициентов теплопроводности и теплоотдачи некоторыми эффективными величинами, учитывающими лучистый перенос тепла [c.387]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...