Метод Маркова

Первая из них, называемая методом интегрирования Маркова [10], имеет обычный вид (5.91). Отличительной чертой метода Маркова является специфический выбор точек интегрирования. Две крайние точки всегда совпадают с концами отрезка, а положение внутренних определяется (наряду с весовыми коэффициентами) так же, как и в методе Гаусса, т. е. из условия, чтобы интегрирование было точным для полинома максимально высокой степени. Заметим, что двухточечная схема Маркова совпадает с правилом трапеции, а трехточечная — с правилом Симпсона. В четырехточечной схеме координаты внутренних точек оказываются равными 1/V5 при этом интегрирование дает точный результат для любого полинома от [c.191]

Метод Маркова может быть обобщен на дву- трехмерный случаи таким образом, чтобы точки интегрирования располагались только в углах и на сторонах квадрата или куба. Например, для двумерного случая имеем [c.191]

В табл. 5.2 даны координаты точек интегрирования и значения весовых коэффициентов в методе Маркова для некоторых наиболее характерных случаев. Через р здесь обозначен порядок интегрирования, т. е. максимальный порядок полинома от [c.191]

В 5.12 описаны два метода, которые могут быть использованы для поузлового интегрирования метод Маркова и метод Эйлера. Первый из них пригоден для тех конечных элементов, у которых в узлах задаются значения функций, но не их производных. Примерами могут служить четырехугольные конечные элементы плоской задачи теории упругости, для которых матрицы г имеют вид (см., например, 5.2) [c.339]

Для вычисления интегралов (9.19) можно применить метод Маркова, что дает = О (для г Ф s), = m rl, т. е. приводит к диагональной матрице т. Чтобы избежать появления отрицательных значений величин m r (имеющих смысл сосредоточенных узловых масс), воспользуемся вместо этого методом выделения диагонали, в соответствии с которым в согласованной матрице масс положим = О для г Ф s и оставим лишь подматрицы 41% = гп%, где [c.342]

Диаграммная трактовка ( 5.10) тесно связывает статистические характеристики случайных блужданий без самопересечений с термодинамическими свойствами соответствуюш ей модели Изинга (см., например, [5.65]) и других магнитных моделей [5.66]. Есть еш е один интересный математический вопрос, напоминающий теорию критических явлений. Он относится к природе перехода от типичного поведения системы при простых блужданиях без ограничений к ее поведению в случае, когда запрещены самопересечения траекторий. Если рассматривать только ограниченное число шагов, то запрет возврата в тот же узел можно ввести по методу Маркова ( 7.6) при зтом асимптотическое поведение системы на больших расстояниях не меняется. Мы можем, однако, ввести нечто вроде потенциальной энергии отталкивания / между всеми сегментами полимерной цепочки. Тогда априорная вероятность любого перекрытия уменьшается на множитель [c.321]

Стохастический метод в сочетании с асимптотическим, основанный на использовании процессов Маркова, состоит в том, что реальное возмущение заменяется абстрактным, эквивалентным б-коррелированным процессом. Недостатки и преимущества этих [c.165]

Для того чтобы применить стохастические методы, следует реальный процесс внешнего возмущения F (t) заменить эквивалентным б-коррелированным процессом. Тогда флюктуации амплитуды Ai и фазы % будут процессами Маркова. Вследствие того, что между воздействием F (t), амплитудой и фазой есть корреляция, среднее значение функции G и Не не равно нулю. Так как мы предполагаем, что среднее возмущение F (i) равно нулю, то [c.183]

Этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от учета членов разложения в ряд Фурье по малому параметру правых частей уравнений (5.5). В дальнейшем ограничимся, как уже отмечалось, первым приближением, что соответствует исследованию основного резонанса и позволит определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмуш,ений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой вывод является вполне оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмуш,ениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений % и г[ значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превосходит (но не превосходит величины /Ро), то возможно применение стохастических методов на основе замены реального процесса возмуш,ений % и if] эквивалентными S-коррелированными и использование аппарата процессов Маркова и уравнения ФПК [81 ]. Стохастические методы, связанные с использованием процессов Маркова, могут быть использованы при любом времени корреляции, если уменьшать интенсивность флюктуаций возмущений, оставляя скорость ее изменения постоянной. В этом случае время релаксации амплитуды и фазы будет увеличиваться и условие < Тр будет выполненным. [c.201]

Если время наблюдения за системой значительно превосходит время корреляции, возможно применить стохастический метод на основе замены реального процесса возмущения % (i) эквивалентным б-коррелированным и использовать аппарат процессов Маркова. [c.211]

Стохастические методы, связанные с процессом Маркова, могут быть использованы при любом времени корреляции, если уменьшать интенсивность флюктуаций возмущений, оставляя скорость ее изменения постоянной. В этом случае время релаксации амплитуды и фазы увеличивается и условие <С Тр будет выполненным. Для различных конструкций и реальных внешних воздействий типа сейсмических, ветровых и т. п. время корреляции, как правило, значительно меньше времени переходного процесса Тр. В этом случае амплитуда А (t) и фаза (t) являются процессами Маркова. [c.234]

Многие из представленных в табл. 2.11 методов исследования операций основаны на математико-статистических моделях, полученных вначале опытным путем. Практика управления машиностроительным производством подтверждает справедливость ряда теоретических моделей, гипотез о влиянии технологических, экономических и психологических факторов на конечные результаты производства. Установлено, что распределение многих технологических показателей происходит в соответствии с нормальным законом, экономических — в соответствии с зак-j-нами логарифмически нормальным и Парето, психологических — в соответствии с законами экспоненциальным и Пуассона. Статистическое подтверждение получают модели типа производственных функций, кривых обучения (производственного прогресса), прогностических функций. Для расчета оптимальной стратегии управления производством все большее применение находят методы теории массового обслуживания, модели цепей Маркова, байесовские вероятности. [c.105]

Максвелла—Бетти теорема 77 Малых перемещений теория 49, 117 Маркеров и ячеек метод 436 Маркова принцип 323, 333 Материал жесткопластический 332 [c.533]

Был также реализован другой метод квантования, в котором фотографический шум зернистости рассматривался как непрерывный параметр цепи Маркова [И]. [c.163]

Простой проверкой можно убедиться в том, что оценка (13) не совпадает с оценкой (12) в случае, когда система уравнений является переопределенной. Поэтому оценка (13) не является в общем случае эффективной, так как на основании теоремы Маркова только оценки по методу наименьших квадратов, характеризующиеся минимальными оценками, являются эффективными. Однако метод наименьших квадратов без учета весов измерений будет эффективным только при равноточных измерениях. [c.213]

При решении целого ряда задач иногда предполагают, что значения случайного процесса в последовательные моменты, бесконечно близкие друг к другу, не корре-лированы, т. е. независимы. Ясно, что для любых реальных физических процессов такого положения быть не может, однако к этой математической абстракции прибегают очень часто, так как она оказывается весьма удобной при решении целого ряда задач. Некоррелированные случайные процессы тесно связаны со стохастическими методами решения и процессами Маркова. [c.16]

Стохастический метод, основанный на использовании процессов Маркова, уже применялся нами выще и смысл его состоит в том, что реальное возмущение заменяется абстрактным, эквивалентным б-коррелированным процессом. Недостатком метода статистической линеаризации является то, что он не дает представления о виде функции плотности распределения вероятности на выходе системы. Преимущество этого метода состоит в простоте использования при анализе систем, при этом внещнее возмущение, действующее на систему, берется без всяких упрощений. Стохастический метод дает возможность вычислить функцию распределения искомой величины, но зато при этом реальное внещнее возмущение приходится заменять эквивалентным б-коррелированным процессом. [c.146]

Замена реального процесса на б-коррелированный ( белый шум ) с постоянным значением спектральной плотности приводит к тому, что амплитуда и фаза выхода системы соответствуют процессу Маркова, Это позволяет приближенно исследовать колебания и устойчивость параметрических систем. Решить поставленные задачи без такого ограничения невозможно, так как в настоящее время нам неизвестны методы, позволяющие исследовать параметрические системы любого процесса флюктуаций параметров. [c.190]

Метод Монте-Карло сводится к выбору матрицы (ри), которая должна удовлетворять условиям эргодичности и стационарности, после чего вычислительная машина программируется на реализацию соответствуюш ей цепи Маркова и вычисление среднего (3). Следует отметить, что проблема выполнения условия стационарности (7) представляет собой задачу, обратную обычной задаче теории цепей Маркова, в которой по заданным (ри) ищется (и ). Здесь, наоборот, вероятности стационарных состояний определяются методами статистической механики, а требуется определить матрицу ptj. На самом деле эта задача обычно решается почти тривиальным образом, поскольку условия нормировки и условия микроскопической обратимости [c.278]

Такой подход действительно использовался, и не безуспешно, в расчетах для решеточных газов [79, 16, 17], и, однако, для большинства систем, представляющих интерес при исследовании жидкостей, вычисления, основанные на формуле (26), практически неудобны. Действительно, мощность метода Монте-Карло определяется главным образом тем, что он позволяет эффективно отобрать такие состояния, где величина ехр [—РС/ ] сравнительно велика, но именно в этих состояниях усредняемая функция в правой части (26) относительно мала. Следует также отметить, что в случае твердых сфер, когда в интересующем нас интервале плотностей состояния с II = = ОО занимают большую часть ЗТУ -мерного конфигурационного пространства, но никогда не отбираются, формула (26) неприменима для вычислительных целей. По-видимому, соотношение (26) может быть использовано только в том случае, когда метод независимых случайных выборок окажется удобнее, или по крайней мере не хуже метода цепи Маркова. [c.287]

Здесь уместно отбросить ограничение, в соответствии с которым мы рассматривали лишь системы с твердой сердцевиной. Рассмотрим для начала ту же кубическую систему с N = 4/г , но пусть теперь парное взаимодействие имеет вид потенциала Леннарда-Джонса (6, 12). При этом в (3iV — 3)-мерном конфигурационном пространстве будут области меньшей размерности ( плоскости по терминологии многомерной геометрии), где С/д. = оо, как, например, геометрическое место точек, в которых Тц = Тц, i Ф ]. По отношению к исследуемым (ЗЛ — 3)-мерным объемным интегралам эти состояния обладают мерой нуль, однако нетрудно убедиться в том, что они не могут разделить пространство на замкнутые изолированные гнезда. Поэтому с чисто формальной точки зрения рассматриваемые цепи Маркова для подобных потенциалов являются эргодическими. Однако с точки зрения численных расчетов это пе так, ибо при высоких плотностях точки минимальных значений потенциала Uff (например, для г. ц. к. конфигурации) разделены высокими пиками, хребтами и перевалами поверхности Ujy. Поэтому точка состояния системы будет иметь тенденцию остаться в том же относительном минимуме, в котором было задано начальное состояние, а если начальное состояние находилось в области с высокой энергией, то в первом же минимуме, в который состояние придет в процессе вычислений. Аналогичное замечание справедливо и относительно метода NpT-ансамбля для твердых сфер формально при любом приведенном давлении ф существует отличная от нуля вероятность флуктуации с любым сколь угодно малым значением плотности, при котором возможны произвольные конфигурации, поэтому формально система является эргодической. Однако с вычислительной точки зрения это может быть не так, ибо вероятность требуемой флуктуации может оказаться слишком малой. [c.306]

Расчет среднего значения (/) [см. (3)] путем усреднения по времени цепи Маркова несложен и обычно не требует особых ухищрений при интерпретации результатов, если исключить сдвиги уровня, связанные с близостью границы нарушения эргодичности. Часто имеет смысл не учитывать в полном среднем вклад некоторых исходных конфигураций, особенно если с помощью обычного метода контрольных карт (см., например, [37]) обнаруживается чрезмерно сильное влияние начальной конфигурации, например большое время релаксации от исходной конфигурации правильной решетки. [c.310]

Применения М.-К. м. В нейтронной физике осн. задачами являются моделирование прохождения потока нейтронов в среде, расчёт коэф. размножения нейтронов в ядерном, реакторе, расчёт защиты реактора и др. Используют как прямое, так и косвенное моделирование. В первом случае в объёме реактора моделируют набор нек-рого числа нейтронов с заданными скоростями (первое поколение). Для каждого нейтрона прослеживают его судьбу (поглощение, вылет из реактора, деление). Образовавшиеся в результате деления нейтроны — это второе поколение, судьбу к-рых прослеживают аналогично. После моделирования достаточно большого числа поколений можно оценить критичность режима реактора. Метод удобен тем, что позволяет учитывать любую геом. форму реактора, наличие неоднородных примесей и пр. Однако время расчётов может быть существенно больше, чем при косвенном моделировании, когда движение нейтронов описывают интегральным ур-нием переноса. Для решения ур-ния составляют цепь Маркова. Характеристики поведения системы (в т. ч. и коэф. размножения) являются функционалами от состояний этой цепи и могут быть оценены стандартными методами. [c.212]

Насколько известно автору, первые попытки использования теории пограничного слоя для расчета обтекания решеток принадлежат А. С. Зильберману, а также Н. М. Маркову [53] Л. Г. Лойцяп-ский в уже упоминавшихся работах [49], [50] обобщил на случай решетки известный метод Сквайра и Юнга расчета профильного [c.394]

В последнее время разработаны экономичные и соверщенные методы определения МКК нержавеющих сталей 42—44], а также электрохимический способ количественного определения склонности нержавеющих сталей к МКК. Полученные результаты убедительно свидетельствуют о том, что межкристал-литная коррозия нержавеющих сталей протекает в ограниченной области потенциалов. Поэтому нет оснований опасаться возможного проявления МКК в области устойчивой пассивности, т. е. в условиях анодной защиты. Более того, сталь, склонная к МКК, может успешно эксплуатироваться в условиях анодной защиты. Об этом изложено в работе Н. Д. Томашова, Г. П. Черновой и О. Н. Марковой [39]. Ими исследована возможность защиты стали 2Х18Н9 от межкристаллитной коррозии смещением потенциала, достигаемым анодной поляризацией. [c.18]

В математической статистике принято пользоваться несмещенными, состоятельными эффективными оценками. а основании теоремы Маркова значения Чь П2> —. Л", полученные по методу наименьших квадратов, характеризуются минимальными оценками, т. е. являются эффективными. Используя метод наименьших квадратов, можно перейти от переопределенной системы линейных уравнений вида (38) с размерностями матриц [О] (тХя), Р (гаХ1) и а (тХ1), где т — число датчиков, в которых замеряются напряжения, в л — число неизвестных внутренних силовых факторов, к определенной системе [c.211]

Кроме основных понятий и определений, относящихся к случайным процессам, будут изложены две основные теории исследований динамических систем корреляционная теория и стохастическая теория, связанная с теорией процессов Маркова и уравнениями Фоккера — Планка — Колмогорова. Корреляционная теория обычно используется при исследовании линейных систем с постоянными и переменными параметрами и нeлинeйньfx после предварительной их линеаризации (любым методом), а стохастическая теория весьма удобна для исследования нелинейных и параметрических (линейных и нелинейных) систем. [c.5]

Методы исследования динамических систем, основанные на замене реального процесса внещних возмущений эквивалентным б-коррелнрованным, с использованием уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова, называются стохастическими. Эти методы тесно связаны с процессами Маркова. Широкое распространение стохастических методов в физике, астрономии, радиотехнике, автоматическом регулировании, а также в теории колебаний механических упругих систем объясняется тем, что сравнительно простыми средствами удается получить приближенные рещения сложных задач. [c.32]

Для решения поставленной задачи можно использовать стохастический метод исследования [86]. Тогда амплитуда Ai t) к фаза г1 ,-(/) квазигармонических колебаний обобш,енной координаты являются процессом Маркова [c.141]

Проанализировать до конца наиболее полно удается два вида флюктуирующей функции % t). Это, во-первых, когда функция x t) имеет узкополосный спектр, отличный от нуля вблизи определенной частоты, в частности, вблизи частоты основного параметрического резонанса. В этом случае быстроизменяю-щийся узкополосный процесс % t) можно заменить двумя медленно меняющимися процессами и использовать квазистатиче-ский метод. Во-вторых, это случай быстрых флюктуаций функции /(/), который позволяет воспользоваться стохастическими методами и теорией процессов Маркова на основе замены реального процесса % t) эквивалентным б-коррелированным. [c.196]

В этом случае, если время наблюдения за системой значительно превосходит время корреляции, становится возможным применение стохастических методов на основе замены реального процесса возмущения х(0 эквивалентным б-коррелированнык н использование аппарата процессов Маркова. [c.201]

Более точно, но и трудоемко можно оценить Vp аналитическими методами. Вычислительный процесс представляется в виде графа, в вершинах которого располагают алгоритмические действия У/ ребра графа характеризуют связи между ними. Граф удобен также и для оценки времени выполнения алгоритма, что необходимо при определении возможности реализации алгоритма в реальном времени в конкретной АИИС с данной ЭВМ или при выборе ЭВМ. При этом может быть оценено как максимальное, так и среднее время, что позволяет более эффективно загрузить ЭВМ. Оценка среднего времени выполнения алгоритма проводится с помощью микс-характеристик ЭВМ. Вычислительный процесс представляется в виде цепи Маркова, это позволяет рассчитать среднее число t,j нахождения его в каждой вершине графа при одноразовом прохождении алгоритма и просуммировав V с использованием в качестве весовых коэффициентов, получить Уср [49]. [c.59]

В теорию течения вязкой жидкости через решетки входит расчет пограничного слоя на профиле, учет толщины выходных кромок и выравнивания потока за решеткой. Первые расчеты и измерения пограничного слоя на профилях решеток относятся к 1946 г. и принадлежат А. С. Зильберману и Н. М. Маркову. Л. Г, Лойцянский обобщил известный метод приближенного расчета профильного сопротивления крыла на случай решетки и выразил коэффициент потерь через толщины бк потери импульса в пограничном слое на выходных. кромках (в 1947 г. для несжимаемой жидкости и в 1949 г. для газа) Н. М. Марков в 1947 г. предложил выражение коэффициента через толщины бк потери энергии. В случае решетки, однако, в отличие от одиночного профиля, оказалось возможным с помощью только уравнений сохранения более строго решить эту задачу и выразить через известные параметры пограничного слоя в плоскости выходных кромок (ниже индекс к ) все параметры выравнившегося потока за решеткой (Г. Ю. Степанов, 1949, 1962) [c.132]

Пользуясь, методом цепей Маркова, можно получить соответству ющие зависимости для многоучастковых автоматических линий Например, линия, состоящая из трех участков, жестко связанны> [c.350]

В этом выражении, как и ранее, А (х) является функцией единичного скачка, а v = v . Величина в угловых скобках равна удвоенному числу неупорядоченных пар молекул, причем в каждой такой паре хотя бы одна молекула находится в ячейке v = О, а расстояние между молекулами пары меньше или равно Л. При этом, конечно, не учитываются пары типа (И) в ячейке v = 0. При любом фиксированном значении Л эта величина вполне может быть непосредственно вычислена для любой заданной конфигурации, и поэтому она годится для оценки функции О(Л) методом Монте-Карло с использованием цепи Маркова. Второй член в угловых скобках является артефактом, обусловленным периодичностью системы, и в дальнейшем мы не будем его згчитывать, полагая, что R < L. Покажем теперь, что величина [c.290]

Известно, что в современных вычислительных устройствах не предусматривается применение физических источников (например, соответствуюш его генератора шума) более или менее истинных случайных чисел [т. е. статистически независимых чисел, однородно распределенных па интервале (О, 1)]. Вместо этого используются различные алгоритмы, дающие псевдослучайные числа с помощью чисто детерминированного метода, при котором п-е число последовательности (х1, Хч,. . . ) определяется одним или несколькими предыдущими числами с помощью функциональной зависимости. Зависимость выбирается достаточно сложной, чтобы обеспечить в той или иной мере кажущуюся случайность чисел. Указанному вопросу посвящено большое количество литературы. Обширная библиография содержится в статьях Халла и Добелла [48] и Алларда и др. [8]. По нашему мнению, в различных отношениях представляют интерес работы [33,34, 85, 55, 112, 115, 118, 119]. В настоящем обзоре неуместно заниматься детальным исследованием этого вопроса. Достаточно сказать, что в своей собственной работе мы решили использовать несколько программ для эмпирической проверки генераторов псевдослучайных чисел, а для реализации цепи Маркова применяли различные порождающие алгоритмы и проводили перекрестную проверку, надеясь таким путем обнаружить наиболее неудачные из них. [c.310]

В настоящее время, по-видимому, нет общепринятого статистического метода оценки статистической ошибки вычисления среднего (3) за конечное число п шагов. Фосдик [31] указал способ оценки параметра 01 в (8) с помощью выражения (9), основанный на предположении о величине интервала времени, на котором последовательные состояния цепи Маркова существенно коррелируют. В нашей более поздней работе [90], а также и во многих других исследованиях используется совершенно иной подход. Вычисленная реализация цени Маркова, состоящая из п шагов, разбивается па Мр последовательностей из р шагов каждая. При этом [c.311]

Методов измерения РВЭ известно достаточно много, но наиболее удобен метод динамического конденсатора (выполняемый на установке A.A. Маркова), так как он позволяет проводить измерения реальных поверхностей металлов. Метод дает возможность работать в атмосфере любого газа при наличии на поверхности смазочных и адсорбированных пленок. Сущность метода состоит в том, что если привести два разнородных металла с работами выхода ф] и ф2 в контакт, то они начнут обмениваться электронами. Пока у этих металлов не произойдет выравнивание уровней Ферми, между ними будет протекать ток. После установления равновесия металлы приобретут заряды противоположных знаков. Между их внешними неконтактирующими поверхностями появится контактная разность потенциалов [c.330]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...