Сен-Венана теория кручения

Легко убедиться непосредственной проверкой, что число Я, = О является собственным значением краевой задачи, а соответствующее ему решение зависит от четырех неопределенных действительных постоянных (при этом используется теорема существования и единственности в классических теориях плоской деформации, изгиба и кручения). Эти постоянные выражаются через величину суммарной растягивающей силы и три составляющих вектора-момента от нагрузок в поперечном сечении 5. Получается классическое решение Сен-Венана (растяжение, кручение и чистый изгиб стержня). Естественно, сюда не входит решение об изгибе поперечной силой стержня конечной длины. [c.69]

Результат (10) сводит решение задачи Кулона к решению задачи Сен-Венана о кручении в классической теории. Соответствующие, вычисления длинны, но стандартны. Оказывается, что модуль кручения т(у) имеет следующий вид [c.303]

В стационарных задачах мы встречаемся с системами второго порядка как с постоянными, так и с переменными коэффициентами (однородные и неоднородные тела), со скалярными уравнениями второго порядка (например, в задачах Сен-Венана о кручении или в теории мембран), уравнениями четвертого порядка (равновесие тонких пластин), уравнениями восьмого порядка (равновесие оболочек). Для каждого из этих случаев надо рассматривать несколько краевых условий, соответствующих различным возможным физическим ситуациям. Далее, каждой стационарной задаче теории упругости отвечает динамическая задача, связанная с изучением колебаний в рассматриваемой упругой системе. Сверх того, в термодинамике сплошных сред требуется изучать некоторые задачи параболического типа, связанные с диффузией. Кроме всего этого, при исследовании материалов с памятью нужны теоремы существования для определенных [c.7]

После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Сен-Венана. В его классических работах по теории кручения и изгиба на основе общих уравнений теории упругости дано решение задач кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, сформулировал знаменитый принцип Сен-Венана , дающий возможность получить решение задач теории упругости. С тех пор было затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее приложений, доказан ряд общих теорем, предложены общие методы интегрирования дифференциальных уравнений равновесия и движения, решено много частных задач, представляющих принципиальный интерес. Развитие новых областей техники требует более глубокого и широкого изучения теории упругости. Большие скорости вызывают необходимость постановки и решения сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно. [c.5]

Принцип Сен-Венана кроме задач кручения и изгиба используется также при построении теории для плоского напряженного состояния (см. 4), когда для пластинки распределение нагружения по боковой поверхности не учитывается, а сводится к результирующим характеристикам. Другой подход имеет место в задачах изгиба пластинок (и, более того, в теории оболочек). Здесь игнорирование распределения напряжений является следствием гипотез, положенных в основу той или иной теории (как, например, для гипотезы прямых нормалей). В этом случае краевые условия в напряжениях сводятся к изгибающим моментам, крутящему моменту и перерезывающим силам. [c.265]

Заметим, что нагрузка р хз) не обязательно должна лежать в плоскости x-iXi, она может действовать в параллельной плоскости. Величины прогибов и нормальных напряжений при изгибе от этого не меняются, как будет видно из приводимого ниже вывода. Однако касательные напряжения зависят от положения плоскости действия сил, они могут потребовать для своего уравновешивания приложения к торцам балки крутящих моментов. Если ось х-2. есть ось симметрии сечения, то, очевидно, крутящий момент не потребуется, если нагрузка лежит в плоскости Хг, Хз, нагрузка в любой параллельной плоскости будет вызывать кручение. Однако, если ось есть главная центральная ось сечения, по не ось симметрии, и нагрузка лежит в плоскости Хг, Хз, изгиб, как правило, будет сопровождаться кручением чтобы кручения пе было, ось х должна проходить не через центр сечения, а через некоторую точку, называемую центром изгиба. Элементарная теория, позволяющая найти центр изгиба для тонкостенных стержней открытого профиля, была изложена в 3.7, распространение ее на стержни произвольного сечения служит предметом теории изгиба Сен-Венана, которая в этой книге излагаться не будет. [c.387]

Значительный вклад в развитие теории упругости принадлежит Сен-Венану (1797—1886). Им предложен новый подход для решения задач теории упругости (полуобратный метод Сен-Венана). С помощью этого метода им были решены важные задачи об изгибе и кручении бруса некруглого поперечного сечения. Ему принадлежат исследования по колебаниям, удару, теории пластичности. [c.10]

В соответствии с теорией кручения Сен-Венана в дополнение к условию (14.1) примем, что [c.74]

Теория кручения Сен-Венана [c.158]

В этой главе рассматривается теория кручения Сен-Венана цилиндрического стержня. Поперечное сечение стержня с площадью S предполагается односвязным, если не оговорено обратное. Пусть ось г выбрана по направлению образующей цилиндра, а оси X и у лежат в плоскости его поперечного сечения, как показано на рис. 6.1. Кручение стержня осуществляется приложением крутящих моментов на обоих его концах, в то время как боковая поверхность свободна от нагрузки. Механические граничные условия на концах г = О и г = I задаются соответственно условиями [c.158]

В теории кручения Сен-Венана предполагается, что деформации стержня не зависят отг ). Это означает, что w (х, у, г) и й Ш [c.158]

С учетом этих предварительных соображений принцип виртуальной работы для теории кручения Сен-Венана может быть выражен в виде (см. уравнение (1.32)) [c.159]

В заключение отметим, что в теории кручения Сен-Венана энергия деформации и дополнительная энергия на единицу длины стержня даются соответственно выражениями [c.163]

В этом параграфе мы выведем вариационную формулировку для задачи кручения цилиндрического стержня с отверстием, изображенного на рис. 6.3. Обозначим внешнюю и внутреннюю границы поперечного сечения через Со и j соответственно. Предположения теории кручения Сен-Венана означают, что определяющие уравнения задачи идентичны уравнениям, приведенным [c.164]

До сих пор рассматривались только задачи кручения Сен-Венана, т. е. деформация стержня предполагалась не зависящей от г. Очевидно, что для полной реализации кручения Сен-Венана механические граничные условия на обоих концах, а именно уравнения (6.1) и (6.2), должны находиться в точном соответствии с распределением напряжений, получаемых из решения задачи Сен-Венана. Если стержень конечной длины нагружается крутящими моментами, приложенными произвольным образом на концах стержня, то распределение напряжений в стержне может отличаться от предсказываемых теорией Сен-Венана. Однако, согласно принципу Сен-Венана, упомянутому во введении к этой части, распределение напряжений в таком стержне будет отклоняться от даваемых теорией Сен-Венана лишь локально в окрестности концов стержня. Протяженность области этого отклонения вдоль оси г имеет порядок поперечных размеров стержня, так что теория кручения Сен-Венана может успешно применяться для областей, далеких от концов стержня. Приближенные решения для задачи кручения стержня конечной длины были получены различными авторами с помощью вариационных методов [2, 4]. [c.166]

Итак, уже полтора века мы благодаря Коши располагаем полной системой уравнений пространственной задачи теории упругости ). Но и по сей день получение па их основе точных решений является очень сложной проблемой. Аналитические решения удается построить только для очень простых идеализированных конфигураций, численные же решения для реальных пространственных тел даже с использованием современных ЭВМ получить весьма трудно. К счастью, согласно принципу Сен-Венана пространственные детали картины напряженного состояния существенны только вблизи мест резкого изменения границы или мест приложения сосредоточенных нагрузок, в остальной же части элемента конструкции состояние близко к более простому одномерному или двумерному (растяжению, кручению, изгибу и т. п.). [c.54]

Используя предложенный подход и теорему Клапейрона, удалось доказать классический принцип Сен-Венана в его первоначальной формулировке, т. е. для кручения и изгиба цилиндрических (призматических) тел. [c.52]

Аналогичные исследования для белого зеркального рейнского стекла (удельный вес 2,56, показатель преломления 1,53) дали результаты, также приведенные в табл. 73, для которых среднее значение коэффициента Пуассона составило 0,2085. Между прочим, Фохт сравнивал свои результаты, полученные в опытах по кручению образцов прямоугольного сечения, с соответствующими данными, полученными на основе теорий Сен-Венана и Коши, относительные достоинства которых были предметом спора за 30 лет до того, и нашел, что лишь теория Сен-Венана находится в близком согласии с экспериментом. [c.358]

Читая лекции в Школе мостов и дорог, Сен-Венан предпринял одновременно практическую работу для Парижского муниципалитета. Некоторые из его предложений не были, однако, приняты, п в знак протеста он вовсе отказался работать для города. Вскоре Ссн-Венан заинтересовался гидравликой и ее применением в сельском хозяйстве. Он выпустил несколько печатных работ по этому вопросу, за что был награжден золотой медалью Французского агротехнического общества. Два года (1850—1852) он читал лекции по механике и Агротехническом институте в Версале. Эти занятия не отвлекли Сен-Венана от излюбленной им работы, и оп продолжал вести одновременно свои исследования по теории упругости. В 1843 г. он представил в Академию мемуар об изгибе кривых брусьев, а в 1847 г. появился его первый мемуар о кручении. Однако в законченной форме его идеи о решении задач кручения и изгиба получили воплощение позднее, в двух знаменитых мемуарах, опубликованных в 1855 и 1856 гг. На них мы остановимся в следующих разделах этой книги. [c.281]

Теория неравенств в частных производных приводит к вопросу об одностороннем приближении. Для стандартных линейных элементов мы уже установили, что при заданной функции ы О оценки теорем 3.1—3.3 остаются справедливыми, если потребовать О и ы. (Интерполянт и = ы/, конечно, бесполезен, так как он не обязательно лежит ниже и.) Заметим, что Дюво и Лионе сумели сформулировать в виде вариационных неравенств несколько важных физических задач (в том числе задач упруго-пластичности), в дифференциальной формулировке приводящих к чрезвычайно неудобным элиптико-гиперболиче-ским системам с неизвестной свободной границей раздела. Мо-ско и Стренг и независимо от них Фальк подтвердили обычную ошибку / 2 в энергии для линейной аппроксимации задачи Сен-Венана о кручении, типичной д ля класса вариационных неравенств, так называемых задач с ограничениями. [c.174]

Разделы, касающиеся метода фотоупругости, двумерных задач в криволинейных координатах и температурных напряжений, расширены и выделены в отдельные новые главы, содержащие многие методы и решения, которых не было в прежнем издании. Добавлено приложение, относящееся к методу конечных разностей, в том числе к методу релаксации. Новые параграфы, включенные в другие главы, относятся к теории розетки датчиков деформаций, гравитационным напряжениям, принципу Сен-Венана, компонентам вращения, теореме взаимности, общим решениям, приближенному характеру решений при плоском напряженном состоянии, центру кручения и центру изгиба, концентрации напряжений при кручении вблизи закруглений, приближенному исследованию тонкостенных сечений (например, авиационных) при кручении и изгибе, а также к круговому цилиндру при действии пояскового давления. [c.14]

Теория чистого кручения Сен-Венана. Наиболее значительный вклад в теорию кручения стержней сделал Б. Сен-Венан. В своих знаменитых Мемуарах [278] он впервые получил точное решение задачи статического кручения стержней произвольного профиля и псследовал гиножество стержней частного вида. Несмотря на то, что работа Б, Сен-Венана относится к так называемому чистому кручению, в этом пункте в сжатом виде приведены основные его результаты, так как все приближенные теории крутильных колебашш, приводимые ниже, так или иначе их используют. [c.155]

Рассмотрим подробнее дисперсионные свойства крутильных волн согласно некоторым приближенным теориям. Кроме уравнения Сен-Венана (7), выведенного с учетом инерции вращения стержня и в предположении о чистом кручении [6], наибольшее практическое значение имеют еще уравнения крутильных колебаний Тимошенко и Аггарвала — Крэнча. Если уравнение (7) имеет второй порядок и описывает одну волну, то два последних являются уравнениями четвертого порядка и описывают, таким образом, две крутильные волны. [c.34]

Из этих соотношений следует, что при кручении поперечное сечение стержня, поворачиваясь вокруг оси стержня, не остается плоским ( депланирует ) — его точки смещаются вдоль оси стержня. Обнаружение этого факта является одним из важнейших достижений теории Сен-Венана. Определяющая депла-нацию гармоническая функция ц> х,у) является решением задачи Неймана (2.1.14) по (2,4.5) функция ([> х, у) однозначна в 5. Заметим, что ее разыскание, равно как и функции напряжений Ф, не связано с задачей об изгибе силами Р или Q. [c.380]

Широко известно, что одним из первых математиков, принимавших участие в становлении МКЭ, был Курант. Он представил приближенный метод решения задачи кручения Сен-Венана с помощью принципа минимума дополнительной энергии, используя линейную аппроксимацию функции напряжений внутри каждого из совокупности треугольных элементов [1]. С другой стороны, наиболее важными и исторически первыми среди пионерских работ по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются статьи Тёрнера, Клафа, Мартина и Топпа [2] и Аргириса и Келси [3]. После появления этих статей вариационный метод стал интенсивно использоваться в математических формулировках МКЭ. И обратно, быстрое развитие МКЭ сообщило мощный стимул к разработке вариационных методов за последнее десятилетие появились новые вариационные принципы, такие, как вариационные принципы со смягченными условиями непрерывности [4—8], принцип Геррмана для несжимаемых или почти несжимаемых материалов [9, 10] и для задач изгиба пластин [11, 12] и т. д. Цель части В состоит в том, чтобы дать краткий обзор достижений в области вариационных принципов, которые служат основой МКЭ в теории упругости и теории пластичности. С практическим использованием этих принципов при формулировке МКЭ читатель может ознакомиться по работам [5—7]. [c.340]

Теорема 3.1 доказывается в следующих параграфах для наиболее типичных канонических задач. В число однородных решений, естественно, входят решения Сен-Венана, которыми мы будем в общем случае называть однородные решения, дающие конечные главный вектор и главный момент. Эти решения получаются из обычной теории изгиба, растяжения и кручения стержней, а также отвечают решениям задач о сосредоточенной силе и сосредоточенном моменте в вершине клина и в вершине конуса (в случае слоя рехиение Сен-Венана соответствует чистому изгибу и однородному растяжению). Однородные реще-ния, не являющиеся решениями Сен-Венана, по определению дают главный вектор и главный момент, равные или нулю, или бесконечности. [c.55]

Эксперименты Вертгейма по кручению в свете сегодняшнего дня можно считать превосходящими по важности эпохальную теорию Сен-Венана. Вертгейм обнаружил, что при малых квазистатиче-ских деформациях сплошных и полых латунных, железных и стальных цилиндров кругового и некругового поперечного сечения функция отклика при кручении была нелинейной. Поэтому он отказался от представления результатов опытов с использованием модуля сдвига. Он совсем не был удивлен, когда нашел, что изменение объема пропорционально квадрату закручивания и что изменение осевых размеров не пропорционально углу закручивания. Такие аномалии в контексте линейной функции отклика были объяснимы, поскольку он установил, что исследуемая проблема нелинейна. [c.132]

Эксперименты Баушинге-ра (Baus hinger [1881, 2]), в которых он также изучал кручение призматических стержней круглого, эллиптического, квадратного и прямоугольного поперечных сечений, имели преимущество быть выполненными четверть века спустя после создания теории Сен-Венана. Тем не менее и Баушингер нашел, что измерения при кручении достаточно чувствительны для того, чтобы легко обнаружить существенную нелинейность, однако он не был настроен против представления результатов своих опытов в видетаблицы значений касательного модуля при сдвиге. На рис. 2.37 приведены значения касательного модуля при сдвиге, найденные Баушингером при различных формах поперечного сечения чугунных призматических образцов. [c.135]

Первое исследование Фохта, связанное с каменной солью (Voigt [1876,1]), дало для трех постоянных упругости монокристалла, имеющего кубическую анизотропию, следующие значения Сц = =8300 кг /мм 44=5300 кгс/мм и ia=1292 кгс/мм Эта была первая полная определенная таким образом система значений постоянных упругости. Значения были совершенно неверными, потому что данные по квазистатическому кручению были определены в рамках теории, предложенной его учителем — профессором Францем Нейманом, которая была неприменима к анизотропным материалам. Восемью годами позднее (Voigt [1884,1]), в 1884 г., пересчет результатов тех же самых опытов по теории кручения Сен-Венана дал для анизотропных тел Сц=4600 кгс/mmS = 1190 кгс/мм и i2= = 1260 кгс/мм . Эти числа особенно важны потому, что атомистическая теория Пуассона — Коши, основанная на концепции центральных сил, предсказывает, что 12= 44 условие, несомненно не выполнявшееся для ранних ошибочных результатов, найденных по теории Неймана, но грубо приближенно выполняющееся при расчете по тем же самым данным, но на основе правильной теории Сен-Венана. [c.519]

В главе I мы, как первую задачу, теоретически рассмотренную в сопротивлении материалов, отметили задачу о балке, один конец которой заделан, а другой нагружен силой. Это была задача о баяке, подверженной действию постоянной перерезывающей силы. До Сен-Венана упомянутая задача привлекала внимание многих математикоз. В частности, ею занимались Кулон и Коши. В то же вреяя были предложены также решения задачи кручения, но все они были получены с помощью методов, основанных на сомнительных предположениях. Полученные решения, в свете современных знаний справедливы при некоторых ограничениях, но последние тогда не были ясно сформулированы ). Сен-Венан ) первым ввел задачи об изгибе и кручении в область общей теории (которая приобрела свой законченный вид после того, как Навье вывел общие уравнения теории упругости )). [c.417]

Нужно, наконец, упомянуть и о весьма обширном мемуаре Вертгейма о кручении ). Он подвергнул испытаниям цилиндры круглого и эллиптического сечений и призмы прямоугольного сечения, а в некоторых случаях также и трубчатые образцы. Материалами были сталь, железо, стекло, древесина. Из этих испытаний Вертгейм вновь пришел к заключению, что коэффициент поперечного укорочения (коэффициент Пуассона) равен не 1/4, а ближе к 1/3. Измеряя внутренний объем труб, подвергнутых кручению, Вертгейм нашел, что он ухменьшается с увеличением угла кручения (как это и должно быть, если учесть, что лродольные волокна принимают форму винтовых линий). Обсуждая результаты опытов по кручению брусьев эллиптического и прямоугольного профилей, Вертгейм, не зная о теории Сен-Венана, приходит, однако, в своих выводах к хорошему совпадению с этой теорией. Вместо теории Сен-Венана он применяет неудовлетворительную формулу Коши (см. стр. 135), вводя в нее поправочный коэффициент. Исследуя крутильные колебания, Вертгейм обратил внимание на то, что при малых амплитудах частота колебаний получается выше и что при весьма малых напряжениях величина модуля упругости может оказаться более пысокой, чем при больших напряжениях. [c.267]

Легко себе представить тот толчок, который был дан дальнейшему развитию науки о прочности материалов мемуарами Сен-Венана, содержавшими строгие решения для ряда практически важных случаев кручения и изгиба. С их появлением возникло стремление вводить в инженерные руководства по сопротивлению материалов основные уравнения теории упругости. Сам Сен-Венан в многочисленных примечаниях к своему изданию книги Навье действовал в том же направлении. Рэнкин уделяет теории упругости большое место в своем руководстве по прикладной механике. Грасхоф и Винклер, оба, пытались вывести формулы сопротивления материалов, не пользуясь гипотезой плоских сечений, а основывая свои выводы на уравнениях точной теории. Впоследствии такой метод изложения сопротивления материалов вышел из употребления ), и ныне принято вести преподавание этой науки на более элементарном уровне. Углубленная же постановка курса преподавания, основанная на теории упругости, сохраняется в настоящее время, как общее правило, лишь для инженеров, специализирующихся в этой области. [c.288]

В связи с экспериментальными работами Фойхта по изучению кристаллов находятся и крупные достижения его в области теории упругости. Занимаясь кручением и изгибом призм, вырезанных из кристаллов, он обобщил теорию Сен-Венана, распространив [c.413]

Э. Хвалла ) исследовал поперечное выпучивание балок несимметричного профиля и дал общий вид уравнений, из которых уравнения для двутавровой балки получаются как частный случай. Автор настоящей книги изложил общую теорию изгиба, кручения и устойчивости тонкостенных элементов открытого профиля ). В. 3. Власов развил в своей книге ) иной метод подхода к теории устойчивости, указав, что для тонкостенных стержней принцип Сен-Вена на теряет силу и что, например, в элементе зетового профиля можно вызвать кручение, приложив по торцам к его полкам изгибающие моменты. [c.495]

Теорию кручения старались построить еще задолго до Сен-Венана и в этом направлении достигли некоторых успехов. Повидикоку, впервые этой задачей серьезно занялся Кулон ( oulomb) он нашел правильную формулу для угла кручения стержня круглого сечения. Затем позже На.вье (Navier), пользуясь своей теорией изгиба, развил полную теорию кручения призматических стержней произвольного сечения, которая была очень проста и претендовала на полное и правильное решение всей задачи. Эта теория пользовалась всеобщим признанием до середины прошлого столетия и она даже до настоящего столетия имела еще отдельных последователей, хотя и была в очевидном противоречии с некоторыми очень простыми и общеизвестными опытными фактами. [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...