Функции Выражение через другие

Косинусоиды 73 Косинусы — Выражение через другую тригонометрическую функцию 74 [c.985]

Синусы — Выражение через другую тригонометрическую функцию 72 [c.998]

Таким образом, химический потенциал может быть выражен через другие термодинамические функции. [c.96]

Коэффициента Грюнайзена может быть выражен через другие термодинамические функции системы. Если известны коэффициент теплового расширения ае, изотермический модуль сжатия К и теплоемкость при постоянном объеме с , то [И] [c.31]

Соотношения, связывающие производящие функции, указаны в формулах (2) — (5). В дальнейшем чаще других будет рассматриваться функция Выражение через нее остальных производящих функций имеет вид [c.523]

Критерий равновесия, выраженный через свободную энергию Гельмгольца, применим к системе только при условии постоянства температуры и объема. Однако химический потенциал может быть отнесен к другим термодинамическим функциям при иных ограничивающих условиях. Согласно уравнению (7-56), критерий равновесия может быть выражен через любую из следующих частных производных, определяющих химический потенциал [c.238]

Критерий равновесия, выраженный через свободную энергию Гельмгольца уравнением (8-22), может быть выражен и через другие термодинамические функции при различных ограничительных условиях. Применяя уравнения (7-51) — (7-54) для гомогенных растворов к одной фазе j многокомпонентной многофазной системы, получаем следующие соотношения [c.245]

Подставляя в уравнение (3.7.1) по формулам (1.8.3) вместо компонентов тензора напряжений компоненты тензора деформации, выраженные через перемещения с помощью уравнений Коши (1.7.1), и учитывая независимость друг от друга аппроксимирующих функций , (р , ф , получим три приближенные системы (т + л- -/) уравнений в частных производных по трем переменным относительно (т + п + /) искомых функций /и П, [c.73]

Оператор спина таким путем получить нельзя, потому что он в классической картине не может быть выражен через динамические переменные-декартовы координаты и импульсы. Здесь полезно напомнить, что речь идет именно о выражении в декартовых координатах. Переход к другим координатам можно произвести лишь после записи оператора динамической переменной по этому правилу в декартовых координатах (см. 23). Поскольку спин не может быть представлен как функция координат и импульсов, оператор спина не может быть построен аналогично оператору орбитального момента импульса. Однако ясно, что как оператор момента импульса он должен удовлетворять коммутационным соотношениям (28.17) и (28.18). Для объяснения экспериментальных результатов необходимо считать собственные значения любой декартовой проекции оператора спина равным Л/2 и — Л/2 [см. (33.3)]. Этих данных достаточно, чтобы решать квантовомеханические задачи со спином, не имея в явном виде выражения для оператора спина и волновых функций. Однако для многих расчетов предпочтительнее иметь явный вид оператора спина. [c.211]

Хотя мы не рекомендуем эту книгу для систематического изучения динамики твердого тела, тем не менее, в ней содержится много материала, который нелегко найти в других источниках. В частности, в главе VII этой книги содержится полное и подробное описание движения Пуансо, а также движения тяжелого симметричного волчка, причем получены точные решения, выраженные через эллиптические функции. Кроме того, заслуживает внимания глава, посвященная некоторым сложным задачам, связанным с качением твердых тел. [c.205]

Резюме. Если из условия стационарности определенного интеграла, содержащего не одну, а несколько неизвестных функций, требуется найти эти функции, то можно варьировать эти функции независимо друг от друга. Поэтому для каждой функции в отдельности можно написать дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. В результате получается система п дифференциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы уравнений определяет п искомых функций, которые оказываются выраженными через независимую переменную (время t) и 2п констант интегрирования. [c.85]

Если сначала пренебречь очень малыми величинами второго и высших порядков, то получаются линейные уравнения, пользуясь которыми можно значения некоторых из этих переменных выразить через другие затем с помощью этих первых значений можно найти более точные значения, приняв во внимание вторые, а по желанию и более высокие степени. Этим путем можно получить значения некоторых из переменных а, Р, у, а, . .., выраженных в виде разложенных в ряд функций остальных переменных, а эти оставшиеся переменные будут тогда совершенно независимы друг от друга. [c.440]

В рассматриваемой здесь задаче остается лишь применить те преобразования, которые были изложены в предыдущем параграфе. Стало быть, сначала следует подставить х у +"4, г -ЬС вместо х, у, г, затем а + 61"-И с ", ат) -]-бт]"- -ст) ", а сЦ" вместо 7), С (п. 1) наконец, подставив вместо. . . их выражения через ср, ф, о), указанные в пункте 7, мы получим величины Т, V, выраженные в функции шести независимых переменных -х, у , г, <р, <]), ш, вместо которых, если это будет признано целесообразным, можно ввести другие равнозначащие переменные каждая из этих переменных даст для определения движения тела одно уравнение следующего вида [c.251]

Для того чтобы получить ясное представление о природе этих уравнений, следует принять во внимание, что переменные х, у, ъ, определяющие положение частицы в какое-либо мгновение, должны одновременно относиться ко всем частицам, образующим массу жидкости следовательно, они должны быть функциями времени I и тех значений, которые эти переменные имели в начале движения или в какой-либо другой заданный момент времени. Стало быть, если через а, Ь, с обозначить значения х, у, г при равном нулю, то х, у, % должны быть функциями а, Ь, с, I. Поэтому дифференциалы, отмеченные знаком В, будут относиться только к изменению а, Ь, с, а дифференциалы, отмеченные знаком в., будут относиться просто к изменению I. Но так как в найденных уравнениях имеются дифференциалы, относящиеся к самим переменным х, у, г, то их следует свести к дифференциалам по а, Ь, с, что всегда возможно в самом деле, для этого следует лишь представить себе, что до дифференцирования мы подставили в функциях выражения х, у, 2 через а, Ь, с. [c.313]

Исследуем сначала возмущение движения планеты, вызываемое наличием другой планеты. В 18.7 мы нашли выражение для возмущающей функции R через координаты обеих планет относительно Солнца, и, чтобы использовать его в уравнениях (25.3.6), следует перейти к эллиптическим элементам планет. Всего получается двенадцать уравнений, поскольку элементы а, е, i, i, u, ф второй планеты также немного изменяются со временем. Исследование этой системы уравнений составляет одну из важнейших задач небесной механики не имея возможности привести его здесь во всей полноте, ограничимся несколькими замечаниями. [c.512]

Если заменить эти координаты их выражениями через q, то уравнения (1) примут другую форму. Потенциальная энергия U сделается функцией q что же касается кинетической энергии Т, то она будет зависеть не только от параметров q, но и от их производных q, причем она будет однородной функцией второй степени относительно этих производных. Законы движения будут тогда выражены уравнениями Лагранжа [c.775]

Я. Выражение одной тригонометрической функции через другую функцию [c.74]

Выражение одной функции через другую 74 [c.1003]

Стойки, нагруженные продольными силами, распределенными по их длине. В этом случае дифференциальное уравнение упругой линии представляет собой уравнение с переменными коэффициентами. При продольных силах, равномерно распределенных по длине, и для целого ряда других случаев его обш,ий интеграл может быть выражен через функции Бесселя дробных порядков. [c.326]

При изготовлении звеньев механизма ошибки ограничиваются полем допуска, связанным с выражением для дисперсии известным соотношением [2, 4, 13]. С другой стороны, корреляционная функция случайной функции при равных значениях ее аргумента равна ее дисперсии. Поэтому правые части корреляционных функций (5.5.6) и (5.5.7), выраженные через параметры, характеризующие поля допусков на скалярные ошибки и на модули плоских векторных ошибок, могут быть преобразованы следующим образом [c.473]

Это уравнение в принципе позволяет выразить один из аргументов химического потенциала через другой, т. е. найти зависимость Р - Р(Т) или Т = Т(Р) (например, найти давление насыщенного пара как функцию температуры или температуру плавления как функцию давления и т. д.), и, следовательно, определяет на плоскости РТ кривую равновесия фаз. Но для того чтобы найти уравнение кривой Р = Р(Т) в конкретном случае, надо иметь аналитическое выражение для химических потенциалов обеих фаз. [c.132]

Подынтегральное выражение в (87.21) может быть далее преобразовано следующим образом. Величины У представляют собой предельные значения при - — оо скоростей частиц, имеющих при / = 0 скорости г,- и взаимное расстояние Г12 и образующих замкнутую систему. Вследствие этого величины К,- не зависят от времени, и функции Г1(У1, /) зависят от времени только посредством аргумента /. Это значит, что полная производная по времени от функции 1( ), /) совпадает с частной производной. С другой стороны, У и У2, вследствие динамических уравнений движения, являются однозначными функциями начальных условий, т. е. величин V], и2 и Г12. Поэтому, считая аргументы У[ и У2 выраженными через Нь Н2, Г12, имеем для разности полной и частной производной по времени от произведения Г](У1, )Х Х 1(К2, /) выражение [c.489]

Деформациями можно назвать величины г , другие функции первых производных от перемещений, которые можно выразить через s , s , os 6. Примерами таких функций являются так называемые компоненты тензора конечной деформации, которые в случае плоской деформации имеют следующие выражения через перемещения и и v [c.197]

Благодаря наличию различных связей между термодинамическими величинами (см. 12, 13), для приложений достаточно найти одну-две термодинамические функции системы. Через эти функции с помощью общих методов термодинамики могут быть рассчитаны все другие характеристики. Помимо выражений для внутренней энергии запишем еще формулу для вычисления энтропии. [c.100]

Если мы приравняем друг другу отдельно действительную и мнимую части, то на основании формулы (14) получим для у (0, (0 выражения через eos С и sin С коэфициентами в этих выражениях будут рациональные функции от [c.631]

Выражение одной функции через другую (того же угла) --tg а 1 У S а — 1 1 [c.84]

Выражение одной функции через другую (того же угла) [c.531]

Такой фазовый переход от упорядоченного к неупорядоченному состоянию, как и сами эти состояния, удобно описывать на языке простой феноменологической модели. Рассмотрим свободную энергию Т(Ф), как функцию параметра порядка Ф, которая имеет минимум по Ф в состоянии равновесия при Т = О нужно говорить об энергии системы. Интересуясь спонтанным нарушением симметрии относительно некоторого преобразования, следует считать динамическую характеристику системы — величину Т(Ф) — не меняющейся при таком преобразовании, т. е. зависящей только от его инвариантов, выраженных через параметр порядка. Зададимся целью построить простейшее выражение для Т(Ф), которое вело бы при одних условиях к неупорядоченному состоянию Ф = О, а при других — к упорядоченному состоянию с нарушением рассматриваемой симметрии. Это же выражение будет, очевидно, описывать и сам фазовый переход от одного из таких состояний к другому. [c.178]

Наконец, если тело изотропное, то упругий потенциал должен быть постоянным при произвольном повороте осей координат. С другой стороны, тензор напряжений или тензор деформаций имеет три независимых инварианта первой, второй и третьей степени относительно компонентов тензоров напряжений и деформаций. Поэтому упругий потенциал должен быть выражен через инвариан- ты тензора напряжений, если упругий потенциал представлен компонентами тензора напряжений, или через инварианты тензора де-. формаций, если упругий потенциал представлен компонентами тензора деформаций (4.28). В силу того, что упругий потенциал является однородной функцией второй степени, он может содержать только первый инвариант во второй степени и второй инвариант в первой степени, т. е. [c.68]

Другое приложение общего решения задачи, выраженное через бесселевы функции, было дано Надаи при исследовании изгиба круглых иластинок силон, приложенной в центре ) (рис. 217). Метод, основанный на использовании преобразования Ханкеля и применимый к толстым плитам, иолубеско-нечному телу, контактным задачам и задачам о круговой трещине, ширеко использовал Снеддон ). [c.426]

Ламбдакалориметр без оболочки. Из формулы (4.18), которая совпадает по смыслу с (1.47), получим выражение для yoi через другие параметры если здесь рассматривать как функцию р, то получим [c.292]

Не всегда выражения для W имеют вид полинома. Известны зависимости Харт-Смига, Александера и ряд других, представляемых через другие функции огг инвариантов деформаций. [c.184]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

Другой метод решения задачи о тонкой оболочке был показан на примерах уравнения (4.1 3) для плоской пластины и уравнения Сб.17) для круговой цилиндрической оболочки. Согласно этому методу решение для мембранных напряжений (или сил) выражается через, функцию напряжений ф(а, которая удовлетворяет первым двум уравнениям (6.24) и после подстановки в третье уравнение (жодит число неизвестных функций к двум Ф и U . Подобное удовлетворение уравнений равновесия должно быть дополнено удовлетворением условия непрерывности в направлениях а и которое может быть сведено к приравниванию выражений для трех мембранных деформаций, выраженных через функцию ф, их выражениям че]рез непрерывные функции перемещений и, v, w. Получающиеся в результате три зфавнения сводятся к одному путем исключения и я V, таким путем получается второе из двух уравнений, содержащих только две неизвестные функции ф и W, которые находятся из решения этих уравнений. Подобно уравнениям (4.13) и (4.18) для плоских пластин эти два зфавнения будут иметь четвертый порядок и теоретически будут содержать такое же число функций для удовлетворения краевых условий, как и обсуждавшиеся выше три уравнения относительно функций и, v и w. [c.443]

Вернемся к нашему опыту, результаты которого представлены в виде диаграммы на рис. VI. 1. Если мы после того, как будет достигнута точка / на кривой, разгрузим образец, то произойдет некоторая упругая деформация, соответствуюш,ая разности абсцисс в точках / и g, а деформация og будет пластической или остаточной. Затем снова произведем нагружение до величины, соответст-вуюш,ей точке /, при этом мы приблизительно достигнем той же точки (обозначенной на рисунке h) за счет упругой деформации образца с тем же самым модулем упругости, что и при нагружении. Это видно на рисунке, где наклон линии gh совпадает с наклоном линии оа. Таким образом, кривая а — с — Ь — е является геометрическим местом точек всех пределов текучести, соответствующих последовательно возрастающей деформа ц и и Тем не менее, как уже ясно по причинам, с которыми мы уже сталкивались раньше в двух других случаях предел текучести не могкет непосредственно зависеть от деформации. Мы упоминали в параграфе 10 о повышении предела текучести материала при кручении стержня. Совершенно ясно, что это явление не может зависеть от того, закручиваем мы стержень в нанравлении часовой стрелки или против часовой стрелки. Поэтому предел текучести Тт должен быть четной функцией деформации сдвига у, т. е. функцией Y Вспомним (см. главу IV, параграф 5), что величина тт сама вычисляется, как корень квадратный от другой величины предельной упругой потенциальной энергии, которая сама есть четная функция напряжения. Полезно вспомнить и тот факт, что нри повышении предела текучести затрачивается р а б о т а на пластическую, по не полную деформацию. Представим себе, что существует такой гигант, который обладает достаточной силой для того, чтобы месить мягкое железо, так как мы месим мучпое тесто. Дадим ему стальной шар, которому он будет придавать любую форму, а в конце восстановит сферическую форму. Когда он вернет нам шар, деформация его будет нулевой все искажения формы — ноложительные и отрицательные — уничтожат друг друга. Однако, работа деформации будет все время возрастать до определенной величины. Если мы предположим, для того чтобы сделать наши рассуждения более определенными, что деформация представляет собой простые сдвиги, в положительном или отрицательном нанравлении, то работа, выраженная через деформацию, в соответствии [c.338]

Поэтому нетрудно найти об- у щее рёшение этого уравнения, выраженное через две произвольные функции. Последние должны находиться из граничных условий на разрезе. При этом граничные данные на любом отрезке границы единственным образом определяют решение внутри криволинейного треугольника, основанием -20 которого является данный отрезок, а сторонами — характеристики разных семейств, исходящие из коН цов отрезка (рис. 92). Одна-ко в связи с рассматриваемыми далее особенностями этой задачи изберем другой путь. Решение уравнения (5.115) с однородными граничными условиями автомодельно оно имеет вид [c.265]

В ряде работ [74,75] используется другая форма линеаризованных уравнений движения упругой среды в актуальной конфигурации, выраженная через конвективную ироизводную тензора напряжений Коши. При этом потенциал предполагается скалярной функцией инвариантов меры деформации Коши-Грина (Фингера, что одно и тоже) (1.5.1). [c.40]

Как известно из математики, условием того, чтобы выражение типа (28) было полным дифференциалом некоторой функции, является равенство друг другу крест-накрест взятых частных производных от коэффициентов при дифференциалах независимых переменных. Это условие, очевидно, полностью совпадает с равенствами (27). Таким образом, можно сказать, что если движение жидкости происходит без вращения частиц, то выраукение (28) является полным дифференциалом некоторой функции координат. Обозначим эту функцию через < х, у, г I) ), тогда мы сможем записать наш вывод в виде равенства [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...