Преобразования декартовых систем координат

Преобразования декартовых систем координат [c.164]

Выберем в пространстве правую декартову систему координат, при которой поворот от Xi к Х2 будет поворотом по часовой стрелке, если смотреть вдоль оси Хз из начала координат. Пусть координаты какой-либо точки фигуры до преобразования будут обозначаться через Xi, а после х/, тогда [c.128]

Если мы временно введем ортогональную декартову систему координат которая получается из системы координат Xi параллельным переносом (на ftj) и поворотом, и если направляющие косинусы поворота обозначить ( 12 = os(t/i, и т. д.), то имеет место закон преобразования [c.463]

Обычное трехмерное пространство образует трехмерное точечное многообразие. Введем декартову систему координат. Каждой точке Р соответствует набор координат х = (ж, /, г). Если мы положим х = (р Р), х = (р2 Р), ТО получается связь между х и х, которую называют преобразованием координат. Например, преобразование от декартовых координат XI = X, Х2 = У, х = г К цилиндрическим координатам х = р, Х2 = 2Гз = 2 определяется соотношением [c.9]

Набор чисел (п [ тУ аналогичен направляющим косинусам для двух декартовых систем координат. Этот набор можно расположить в виде матрицы, которую мы обозначим буквой Ж. Обратному преобразованию соответствует матрица с компонентами <тга I пу. Из (17) следует [c.53]

Закон сохранения кинетического момента для замкнутой системы. Вновь рассмотрим замкнутую систему, движущуюся в потенциальном поле, которое получается в результате взаимодействия точек системы. Как и ранее, в качестве обобщенных координат примем декартовы координаты точек и рассмотрим преобразование поворота системы координат вокруг, например, оси г [c.292]

Предположим, что декартовы системы координат Охуг и инерциальны. Тогда, на основании предыдущих выводов, можно утверждать, что общие формулы преобразования системы координат Охуг в систему имеют следующий вид [c.445]

Предположим, что сопротивление среды деформированию не зависит от направления деформирования, т. е. среда изотропна. Это означает, что если в теле создать определенное состояние деформации, описываемое тензором деформации е,у, а затем систему координат подвергнуть произвольному преобразованию (для простоты речь идет о декартовых системах) и после этого в теле создать состояние деформации, по отношению к новой системе описываемое теми же компонентами тензора деформации, что и в первом случае, то компоненты тензора напряжений в обоих случаях совпадут. [c.47]

Взаимное преобразование прямоугольной декартовой и цилиндрической систем координат [c.22]

Задача 1.1. Взаимное преобразование прямоугольной декартовой и цилиндрической систем координат................................22 [c.351]

Теперь мы можем применить изложенные выше идеи к преобразованиям ортогональной декартовой системы координат X в косоугольную декартову систему Z, что позволит нам определить базисные функции для целого класса элементов, вдоль границ которых изучаемые параметры изменяются линейно (так называемых линейных элементов). [c.211]

Осуществляя аналогичные преобразования можно получить такую же систему уравнений в декартовой системе координат (3.7). [c.88]

С этой точки зрения, а также с точки зрения более точного описания течений с резко меняющимися параметрами консервативную форму записи исходных уравнений важно сохранить и при применении других систем координат. Как известно, это можно осуществить несколькими способами. Один из них состоит в переходе к подвижному координатному базису другой способ состоит в преобразовании каждого из уравнений импульсов как скалярного закона сохранения, при котором компоненты скоростей остаются декартовыми [8]. В дальнейшем везде будет использоваться второй способ. Соответствующие уравнения в криволинейных координатам = (х х ,х ), а = 1,2,3, имеют вид [c.127]

Для численного моделирования течений в плоских и осесимметричных каналах удобно использовать единую форму записи уравнений в цилиндрической и декартовой системах координат. Кроме того, для преобразования области в прямоугольную целесообразно вместо декартовых (или цилиндрических) координат хну (ось х направлена вдоль оси канала) ввести новые координаты = х и т = у У к > где у / (л ) — расстояние от плоскости или оси симметрии до твердой поверхности. Сохраняя декартовы составляющие скоростей и и и вдоль осей хну, исходную систему можно представить в виде [c.169]

Это положение можно проиллюстрировать на примере уравнения Лапласа = О для стационарных течений Эйлера в пространстве и на примере уравнения Гельмгольца V i/ -Ь = 0. Было показано 2), что в обоих случаях системы координат, в которых имеет место разделение переменных, принадлежат к нескольким известным классам, большая часть которых при преобразованиях над группой, порождаемой инверсиями относительно сфер, переходит в семейство параллельных плоскостей, в пучок плоскостей, проходящих через одну прямую, и в семейство концентрических сфер, т. е. в одну из систем координатных поверхностей для декартовых, цилиндрических или сферических координат. Это наводит на мысль, что к данной задаче можно непосредственно применить метод конформных преобразований, рассматривая инвариантность относительно конформной группы. [c.188]

Рассмотрим три инерциальные системы 5, 5 и 5". Пусть 5 движется относительно 5 со скоростью у, а 5" движется относительно 5 со скоростью и. Связь между координатами (х, t) системы 5 и (х, t ) системы 5 дается преобразованиями Лоренца (в общем случае неоднородными). То же справедливо для координат (х, ) и (х", Г ) системы 5". Исключая переменные (х, t ), получаем соотношения между (х, /) и (х", t ), которые, как это ясно из физических соображений, также являются преобразованиями Лоренца. Отсюда следует, что преобразования Лоренца образуют группу. Если при t = I = О начальные точки в 5 и 5 совпадают и если при i = 1"= О начальные точки в 5 и в 5" также совпадают, то при = 1" = О совпадают и начальные точки инерциальных систем 5 и 8". Это значит, что однородные преобразования Лоренца образуют подгруппу группы Лоренца. Очевидно, что и пространственные вращения декартовых осей без изменения системы отсчета также образуют подгруппу группы преобразований Лоренца. [c.44]

Метод обобщенных координат состоит в следующем. Выбирают, исходя из условий конкретной задачи, систему независимых параметров ди д2,. ... Яъ — обобщенных координат для данной задачи и, приведя формулы преобразования от декартовых координат к обобщенным (19.3) (время в них входить не будет), производят преобразование уравнения к обобщенным координатам. [c.172]

Если имеют дело с любым преобразованием одной произвольной системы криволинейных координат в другую, то тензоры называют Ьбычными тензорами если же ограничиваются преобразованиями однородных систем координат, то тензоры называют декартовьши. Так как большая часть механики сплошной среды может быть изучена при помощи декартовых тензоров, в этой книге термин тензор будет означать декартов тензор , если особо не оговаривается, что рассматривается более общий случай. [c.9]

Система координат, для которой квадрат бесконечно малого элемента длины всюду имеет вид (1.83), называется системой однородных координат. Преобразования, переводящие одну систему однородных координат в другую, являются ортогональными, и если ограничиться только ортогональными преобразованиями, то тензоры, определенные таким образом, называются декартовьши тензорами. В частности, это верно для законов преобразования ортогональных декартовых систем координат с общим началом. Для декартовых тензоров нет различия между контравариантными и ковариантньши компонентами, и поэтому в выражениях, представляющих декартовы тензоры, принято пользоваться исключительно нижними индексами. Как будет показано далее, в законах преобразования, определяющих декартовы тензоры, частные производные в общих тензорных определениях (1.80) и (1.81) заменяются константами. [c.26]

Следствие. Рассмотрим случай декартовой прямоугольной системы координат Oxyz. Допустим, что в результате преобразования эта система координат переходит в новую систему Ouvw. На основании формул преобразования компонент тензора имеем [c.78]

Преобразование декартовых координат точки из прямоугольной в косоугольную систему. Пусть в некоторой декартовой прямоугольной системе координат S XYZ дана точка XiYiZ ). Преобразуем ее координаты в декартову косоугольную систему Sxyz, в которой [c.43]

Инерциальной декартовой подвижной системой координат (ДПС) в точке х=соп51 (точка х пространства наблюдателя) в момент t назовем декартову систему, которая поступательно движется с местной скоростью у( с, 1)=У(х, 1) в течение малого интервала времени и—+ окрестность точки х в этот период с точностью до малых высшего порядка (и поворотов) остается неподвижной в ДПС. Местную систему координат, неподвижную в пространстве наблюдателя и совпадающую в момент с ДПС, назовем ДЭС (декартова эйлерова система). ДПС иногда называют сопутствующей системой (относительно ДЭС она движется со скоростью у(л , /)). Преобразование векторов электромагнитного поля от ДПС к ДЭС и называется преобразованием этих векторов от лагранжевой системы к системе пространства наблюдателя, от их значения в покое к значениям в системе наблюдателя. [c.263]

Аналогия в преобразованиях графических фигур на плоскости и в пространстве позволила разработать стандартную систему ( ORE SYSTEM) преобразований для двухмерной и трехмерной (двухмерные рассматриваются как частный случай) декартовой системы координат XYZ. Согласно схеме получения графического изображения (рис. 9.8) геометрические преобразования применяются к представлению объекта в нормализованном координатном пространстве, т. е. уже после того, как к описанию объекта в координатах XYZ были применены видовые преобразования. [c.240]

Событие в другой инерциальной системе также можно охарактеризовать четырьмя координатами х, у, г, 1 ), определяющими систему координат 5. Эти координаты находятся тем же способом, что и для системы 5. Наша основная задача — найти соответствие между координатами х, у, 2, /) системы 5 и координатами (х, у, ) системы 5 данного события, т. е. найти закон преобразования координат, соответствующий преобразованиям Галилея (1.1) в нерелятивистской кинематике. Поскольку любое равномерное прямо- 3 линейное движение относительно системы 5 остается таковым и для системы 5, то переменные (х, г/, г, Г) должны быть линейными функциями от переменных х, у, г, (). Для удобства предположим, что декартовы оси в 5 и 5 параллельны, а система 5 движется относительно 5 со скоростьЕо V в положительном направлении оси X. Кроме того, начала координат О в 5 и О в 8 совпадают в момент времени = Г = 0. [c.33]

Если обе системы координат (х ) и (Х° ) — ортогональные декартовы, то (6) сразу следует из (5) и (II. 5-3). Чтобы получить (6) для систем координат общего вида, достаточно заметить, что (6) и (6)8 —тензорные равенства, которые при преобразовании к декартовым координатам сводятся к равенствам, для этих координат уже доказа]1ным. [c.101]

При исследовании различных физических систем часто удается представить обнаруженные свойства и закономерности в форме законов симметрии. Эти законы выражаются в инвариантности (независимости вида) уравнений движения рассматриваемой физической системы относительно некоторых определенных преобразований. Если, например, уравнения движения инваркантны относительно ортогональных преобразований декартовых координат в трехмерном пространстве, то можно сказать, что в данном случае симметрия проявляется в эквивалентности определенным образом ориентированных Друг относительно друга систем отсчета при описании движения соответствующей физической системы. Эквивалентными системами отсчета принято называть такие системы, в которых тождественные 5шления протекают одинаковым образом, если для них созданы одинаковые начальные условия. Наоборот, если в физической теории постулируется эквивалентность некоторых систем отсчета, то уравнения движения должны бьпъ инвариантны относительно преобразований, связывающих координаты в этих системах. Так, например, постулат теории относительности об эквивалентности систем отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, выражается в инвариантности уравнений движения относительно преобразований Лоренца. Класс эквивалентных систем отсчета для данной задачи часто определяется из наглядных геометрических соображений, относящихся к модели рассматриваемой физической системы, как это имеет место для симметричных молекул, кристаллов и т. д. [c.8]

Исследуем течения в пограничном слое на телах сложной пространственной конфигурации, обтекаемых потоком сжимаемого газа под углом атаки. Форма рассматриваемого семейства тел приводится на рис. 6.27 и задается в цилиндрической системе координат г, г, ф уравнением поверхности Ф(/, ф, г). В неявном виде уравнение поверхности представляется как г=Го(г, ф), где Го — расстояние от точки поверхности до оси г. Функция Го (г, ф) имеет непрерывные первые производные и кусочнонепрерывные вторые производные. Для пересчета компонент вектора скорости внешнего невязкого течения из цилиндрической системы координат в систему координат, нормально связанную с поверхностью обтекаемого тела , т], , вводится декартова система координат л , у, г). Уравнения преобразования координат имеют вид [c.354]

Внутренний характер скорости. Чтобы определить движение точки Р, мы должны были установить, как систему координации, определенный координатный триэдр Охуе. Если вместо этого мы выберем другой триэдр неподвиокный относительно первого, то (декартовы) уравнения (2) движущейся точки Ризме-нятся (именно, подвергнутся соответствующему преобразованию координат), но векторная скорость от этого не изменится, подобно тому как не изменятся ни форма траектории, ни закон движения по ней (путевое уравнение). [c.100]

Чтобы пояснить это утверждение, заметим, что (4.1) определяет систему прямоугольных декартовых координат только в пределах ортогональных преобразований (ср. 9). Приведенная выше аксиома требует инвариантности уравнений движения относительно таких ортогональных преобразований, при условии, что это — собственные преобразования (т. е. группа преобразований не включает отражений). Инвариантность относительно переноса начала координат означает однородность пространства, а инвариантность относительно вращения — его мзотротгкость. Инвариантность по отношению к отражению относительно плоскости (несобственное преобразование) означала бы эквивалентность винтов с правой и левой резьбой. [c.27]

Совокупность четырех чисел t, х, у, z представляет собой однородные координаты точки. Нетрудно видеть, что однородные координаты определяют положение точки относительно некоторой четырехмерной системы координат. Для дальнейших приложений однородных координат (см. гл. 19 и 21) необходимо установить уравнения их преобразования, которые могут быть получены на основе преобразования систем декартовых координат в трехмерном пространстве. При условии, что положение начала первой системы определяется во второй системе координатами а, Ь, с и относительное положение осей — направляющими косинусами т 1 (k, I = 1у 2, 3), преобразование координат какой-либо точки из первой системы XiViZ во вторую систему XVZ определяется уравнениями вида [c.46]

Указанное интегральное преобразование, во-первых, должно приводить исходное двумерное дифференциальное уравнение (систему таковых) к обыкновенному дифференциальному уравнению (система таковых), для которого (которой) можно указать ф -ндаментальные функции. Во-вторых, в ходе его применения должны быть выполнимыми краевые условия по граням % — а и х=Ь. Прп этом х и у, вообще говоря, не декартовы координаты, и указанные грани представляют собой соответствующие координатные поверхности. Если эти условия выполнены, записывается общее решение упомянутого обыкновенного дифференциального уравнения (системы таковых). При этом все произвольные коэффициенты указанного решения выражаются через один в результате удовлетворения всем не смешанным условиям по координатным поверхностям y=Ui и у=Ь,. И, наконец, предварительно воспользовавшись формулой обращения (5.6), реализуется смешанное краевое условие. Оно может быть только одно либо на грани у=аи либо на грани г/=Ь,. Пусть для определенности линией раздела смешанных условий будет х = с (а<с<6). Тогда парные уравнения для определения упомянутого коэффициента будут [c.58]

Наряду с декартовой ортогональной системой координат х = (ж1, Х2, жз), которая использовалась выше, и в которой можно не различать ковариант-ные и контравариантные составляющие векторов, введем систему криволинейных координат = (С , С > С )> где такое различие обязательно. Переход от одних координат к другим будем рассматривать как взаимнооднозначное непрерывное преобразование [c.193]

Из примера видно, что значат в конкретном случае формулы (7.13), каково отличие метрического тензора для иеинерциальных систем цт инерциальных. Если (7.19) переходом к декартовой системе приведется к (7.16), то (7.22) никакими преобразованиями, сохраняющими указанное вращение К в К, к виду (7.16) не привести. Зависимость координат от времени при вращении системы непременно даст отличные от единиц множители при дифференциалах в интервале (7.21), а вместе с тем и новые элементы тензора. [c.294]

Мы будем рассматривать кристалл как систему материальных частиц, совершающих малые колебания относительно своих положений равновесия. Будем предполагать, что положения равновесия частщ образуют конфигурацию, обладающую симметрией пространственной группы С. Тогда, как известно (см. главу VI, п. 3), декартовы составляющие смещений частиц из положений равновесия преобразуются по некоторому приводимому представлению этой группы. Перейдем от декартовых смещений ж,- к нормальным координатам Если под переменной понимать смещение, умноженное на корень из массы соответствующего ядра, то, как мы знаем, декартовы смещения ж, и нормальные координаты qj связаны унитарным преобразованием [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...