Осциллирующие интегралы

Точка S = называется точкой поворота. При s s[c.280]

Решение интегральных уравнений. Ранее уже отмечалось, что прямой счет по формулам (5.100)-(5.106) практически неосуществим, так как приходится считать плохо сходящиеся осциллирующие интегралы. Далее мы проинтегрируем плохо сходящуюся часть. Предварительно получим решение интегрального уравнения (5.109) в удобной форме, аналогичной представлению используемому в методе ортогональных многочленов [252, 260], [c.216]

В уравнении (10.79) приближенное равенство возникает, если пренебречь значениями быстро осциллирующих интегралов при р ф п, ц ф т [c.625]

Современная теория лагранжевых особенностей и осциллирующих интегралов приводит к интересным соотношениям между дифференциальной геометрией и теорией чисел. [c.39]

Связь между задачей подсчёта точек решетки и теорией осциллирующих интегралов основана на теории квадратурных формул. [c.40]

Более подробная информация о методах численного интегрирования, включающая вычисление интегралов с особенностями, интегрирование быстро осциллирующих функций, методы вычисления кратных интегралов (включая метод Монте-Карло) содержится в [8, 32, 33]. [c.139]

Описанный выше способ трактовки интегралов в выражениях для смещений (2.10) позволяет, в принципе, вычислить их во всем полупространстве. Однако прямое вычисление интегралов при больших значениях / = ]/л + может быть затруднено наличием быстро осциллирующих функций в подынтегральных выражениях. При таких значениях R У > а целесообразно получить асимптотические формулы, удобные для анализа дальнего поля. [c.95]

Из формул (47.26), (47.28) и (47.29) видно, что с увеличением т все коэффициенты убывают, так как под интегралом стоят быстро осциллирующие функции. Мы рассмотрим зависимость С от т при следующих условиях. Во-первых, будем считать, что ширина волноводов велика по сравнению с длиной волны [c.247]

Функция P зрачка оказывает влияние на дифракционную картину Если зрачок не очень мал, то Р = 1 для всех х, у, потому что вне зрачка экспоненциальные функции, зависящие ч "(хо,уо) от этих переменных, сильно осциллируют и вклад в интеграл от области вне зрачка становится пренебрежимо малым. При этом условии интегрирование по dx и d в (36 4) можег быть выполнено с помощью известной из таблиц интегралов формулы [c.240]

Так как интегралы Френеля никогда не обращаются в нуль, то потенциал не обращается в нуль ни в одной из точек, лежащих на оси г, хотя и имеет осциллирующий характер. В этом заключается существенное отличие структуры фокальной области цилиндрических систем по сравнению со сферическими. [c.172]

Вычисление интегралов (3.34) и (3.35) при больших тип требует специального рассмотрения, так как подынтегральные выражения быстро осциллируют. Эффективный численный алгоритм можно построить на основе [133], представляя подынтегральные функции в форме произведения медленно и быстро меняющихся функций, причем для последних должны существовать явные выражения первообразных. Такой алгоритм позволяет также по известному поведению L u)u при г/ -> О и г 00 [8,79] легко определить то конечное значение верхнего предела, которое удовлетворяет заданной точности вычисления коэффициентов. Все необходимые вьфажения для первообразных при исследовании (3.34) и (3.35) можно найти в [178]. [c.87]

Этот случай соответствует освещению апертуры гауссовым полем при наличии сферических аберраций. При этом поле на оси не является более осциллирующей функцией расстояния Ь и может быть вычислено непосредственной подстановкой комплексного аргумента в интегралы Френеля. [c.383]

Для резонансов с большим п уже нельзя считать 2я/(йт)< 1 и лучше пользоваться приближением ехр(—Тогда осциллирующая часть тензора a соответствует интегралу [c.124]

Множитель ехр(2ш Агп) в интеграле по ((р является быстро осциллирующей функцией. Предположим, что п достигает экстре- [c.161]

Введем объем элементарной ячейки кристалла О о и разобьем интегралы по объему в (3.8) на сумму интегралов по элементарным ячейкам, положение которых будем задавать векторами а /, где / — номер ячейки, пробегающий значения от 1 до N. В пределах одной элементарной ячейки плавные огибающие /,(г) и //(г) меняются слабо и их можно вынести из-под знака интеграла. Используя периодичность быстро осциллирующих блоховских сомножителей м(г), получим [c.41]

В распределении амплитуд по нормали к вееру лучей появляется интересная особенность, задаваемая интегралом в (350). Мы уже знаем, что ограничение области интегрирования до (О, оо) превращает генерируемую осциллирующим источником стоячую волну в нечто подобное бегущим волнам (рис. 92 п 93). Новый коэффициент вводит дополнительно операцию, известную как взятие производной порядка 1/2. Мы встречались с этим фактом в связи с асимптотическим поведением звуковых волн в случае двумерного их распространения (разд. 1.4), и, возможно, нам и не следовало бы удивляться появлению его снова в асимптотической форме решений уравнения в частных производных (345), которое при замене 2 на величину, кратную времени, стало бы двумерным волновым уравнением. Однако решение уравнения (345), удовлетворяющее условию излучения, включает не только производную порядка 1/2, [c.463]

Проверить результаты предыдущей задачи при помощи прямого динамического расчета, используя следующий метод. Считая, что осциллирующее электрическое поле Е = ехр (гсо ) приложено в направлении х, определить обобщенную силу, действующую на каждую нормальную координату. Вводя малый декремент затухания к (не зависящий от г) каждой моды, определить результирующую зависимость от времени каждого а отсюда и Рх после затухания переходных процессов. Заменить сумму по модам в результирующем выражении интегралом, используя функцию а (со). Наконец, определить действительную и мнимую части результирующей функции реакции в пределе X 0. [c.565]

Интегралы такого вида характерны для различных задач дифракции. Рассмотрим один из часто используемых методов их приближенного вычисления — метод стационарной фазы. Сущность его состоит в том, что в мнимый показатель экспоненты, стоящей под интегралом, входит безразмерный большой параметр рг > I. Поэтому с изменением переменной г подынтегральная функция быстро осциллирует, так что существенный вклад в интеграл вносит лишь малый учя юк оси г. включающий точку, где производная от подынтегральной функции по г обращается в нуль (отсюда название метода). [c.175]

Здесь интегрирование производится по движущейся поверхности 51(0, а изменение давления р дается обобщенным интегралом Бернулли. Стенка пузырька испытывает как радиальное, так и осциллирующее движение со скоростью г она связана с потенциалом ф выражением г =Тф- Сжимаемость жидкости учтена в квадратичном приближении по амплитуде падающего поля здесь р — плотность, с — скорость звука в жидкости. [c.126]

Другие применения формулы настоящего раздела находят в теории лежандровых особенностей, то есть особенностей волновых фронтов, преобразований Лежандра, огибающих и выпуклых оболочек (см. добавление 4, стр. 333). Теории лагранжевых и лежандровых особенностей имеют очевидные приложения не только в геометрической оптике и теории асимптотик осциллирующих интегралов, го и в вариационном исчислении, в теории раз- [c.421]

Е. Тангенциальные особенности. Первые приложения, ради которых и была развита (около 1966 г.) теория лагранжевых и лежандровых особенностей, относились к коротковолновым асимптотикам, в том числе — асимптотикам осциллирующих интегралов. Обзор этих приложений (вплоть до нахождения равномерных оценок интегралов при слиянии точек перевала, вычисления асимптотик через многогранники Ньютона, построения смешанных структур Ходжа, применений в теории чисел и теории выпуклых многогранников, оценок индекса особой точки векторного поля и числа особых точек алгебраической поверхности) можно найти в книге Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2 Монодромия и асимптотики интегралов.— М. Наука, 1984, и в докладе АрнольдВ.И. Особенности систем лучей. Международный конгресс математиков в Варшаве, 1983. [c.456]

Одно из основных таких приложений — теория осциллирующих интегралов, рассмотренная в [22, 2.3] она связана с сходным вариантом теории монодромии, развитым собствен-[о Пикаром и Лефшецем. В 1,2 настоящей главы мы рас- мотрнм еще два приложения задачу Ньютона о неинтегрируе-юсти областей и теорию гиперболических операторов. [c.163]

Вернёмся к асимптотикам осциллирующих интегралов. Справедлива следующая формула для показателя / старшего члена (предложенная автором в качестве гипотезы и доказанная А.Н.Варченко). [c.33]

Вернёмся к осциллирующим интегралам с фазой Р х,д), зависящей от параметра д. Для некаустических значений д интеграл убывает подобно при Л — О, где п — это размерность х . В типичных неособых точках каустики интеграл убывает медленнее, подобно [c.35]

Ф.Фам в [40] выдвинул гипотезу о том, что равномерная оценка имеет место для семейств с произвольным числом параметров, если только изменить определение так, чтобы принимать во внимание комплексные цепи (рассматривая интегралы, для которых применим метод перевала, а не осциллирующие интегралы). Иерархия экспоненциальных интегралов с многими сливающимися седловыми точками была изучена В.А.Васильевым [41]. Гипотеза Фама следует из коротко описанной ниже более общей теории, развитой А.Н.Варченко. [c.36]

Карпушкин В. Н. Теорема о равномерных оценках осциллирующих интегралов с фазой, зависящей от двух переменных. Тр. Семинара им. Петровского 1984, 10, 150-169. [c.319]

Вычисление интегралов, необходимых для построения трансформант и оригиналов, можно проводить обычным численным интегрированием, исходя из тех или иных квадратурных формул. Неограниченность контура интегрирования не является серьезным затруднением, поскольку из существования интегралов следует, что можно брать достаточно большой, но конечный участок. Однако такой подход может быть весьма трудно реализуемым, в частности, из-за того, что ядра ряда интегральных преобразований (например, преобразований Лапласа и Фурье) являются осциллирующими функциями. Поэтому разработаны специальные квадратурные формулы, учитывающие структуру ядер [132]. [c.74]

Чтобы более корректно описать размытие пиков поглощения. Цини исходит непосредственно из правила сумм, предполагая, что с электромагнитным полем заданной частоты взаимодействуют не все N электронов частицы, распределенных по дискретным энергетическим уровням, но только некоторые из них в количестве Мдф (со), занимающие высокие уровни. Учитывая очевидное условие Л"эф (со)- ЛГ при со- оо, Цини находит мнимую компоненту 82(0)) диэлектрической проницаемости из правила сумм и, подставляя 82 (со) в дисперсионное соотношение, определяет реальную компоненту 8j (со). Расчеты выполнялись для куба с обычной заменой суммирований на интегралы. Частоты СО поверхностных плазмонов находили ориентировочно по формуле 8i( o )=—2, действующей для сферической частацы в вакууме. Расчетами выявлено 1) при уменьшении размера частиц значения со возрастают, но немонотонно, а осциллирующим образом [c.297]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Все асимптотические методы, которые мы обсудим, можно считать модификащ131ми методов Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ) и стационарной фазы (СФ). Первый из них (ВКБ) более применим к дифференциальным уравнениям, а во втором (СФ) рассматриваются интегралы, содержащие быстро осциллирующие функции. В некоторых случаях метод стационарной фазы удобнее заменить методом наибыстрейшего спуска (НС), который позволяет точно учесть локализацию на комплексной плоскости стационарных точек фазового множителя. [c.340]

Заменим Е (г, f) в этом выражении на сумму двух операторов (г, О и (г, I). Оператор рождения (г, /) содержит только отрицательные частоты, т. е. зависимость его от времени выражается экспонентой е для со > 0. Интегралы по времени от членов с такой временной зависимостью быстро осциллируют при изменении t и весьма малы по амплитуде по сравнению с членами, получающимися за счет оператора уничтожения + (г, t). Фактически будут иметь место лишь те переходы, для которых выполняется закон сохранения энергии. Чтобы убедиться в том, что при атомных переходах энергия квантов поля сохраняется с точностью до Л = iA o, необходимо оставить наш затвор открытым в течение времени t— Г/Лсо. Практически затвор всегда открыт в течение многих периодов колебаний (Асо < oag) и, следовательно, вклад радиационного члена (г, t) пренебрежимо мал. (Так же как и в предыдущей лекции предполагается, что детектор находится при относительно низкой температуре.) [c.25]

В этой главе рассмотрены численные методы решения динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами. Изложены основы проекционных методов решения задач математической физики. Используя Эти методы, построены дискретные аналоги граничных интегральных уравнений системы линейных алгебраических уравнений метода граничных элементов. Приведены основные сведения о конечных элементах и интерполяционных полиномах, определенных на них. Рассмотрены вопросы численного интегрирования регулярных интегралов с особенностями сингулярных и гиперсингулярных, а также интегралов от быстро осциллирующих функций, изложены методы численного преобразования Лапласа и его обращения. [c.136]

Связанные соотояния рассматриваемой системы определяются как стационарные состояния с целочисленным угловым моментом I, описываемые квадратично интегрируемыми решениями уравнения Шредингера (1.2). Эти решения должны удовлетворять определенным граничным условиям как при х=0, так и при л = схз. Если > О или к вещественно, связанные состояния невозможны, поскольку все решения при больших X осциллируют и, следовательно, все интегралы вида [см. (1.3)] [c.87]

Под интегралом в (1.11) стоит произведение быстро осциллирующей функции sinvi на медленно меняющуюся хдУ дх. Учитывая это, получаем [85] ) [c.90]

При выполнении условия (29) можно пользоваться первым членом равложения (28) не только в области р < х — х ), но и при всех р, так как вклад в интеграл (18) от той области, где условие (29) нарушается, мал (он имеет порядок Ре). В действительности интеграл по области р>Яо Я (х — х ) с ядром, замененным по формуле (28), не совпадает с интегралом по этой же области, вычисленным с точным ядром. Однако, так как оба ядра имеют в этой области одинаковый быстро осциллирующий характер, то оценка (27) имеет место для обоих ядер. [c.287]

Рассматривается задача о плоскопараллельном движении пары цилиндров в бесконечном объеме идеальной несжимаемой жидкости. Предполагается, что жидкость покоится на бесконечности и совершает безвихревое движение. Бьеркнесом, в начале прошлого столетия, в книге [9] описана экспериментальная установка, позволяющая определять силы, действующие на осциллирующие тела в жидкости. Движение жидкости было обусловлено лишь колебательным движением тел. Полученным результатам дано качественное объяснение, проведена интересная аналогия с задачами электродинамики. Жуковский [4] рассмотрел более общую задачу, предположив, что движение жидкости, в которой находится осциллирующая сфера, происходит по некоторому определенному заранее закону. В более строгой постановке задача о взаимодействии двух сфер в идеальной жидкости рассматривалась в [5, 6]. Уравнения движения были там получены лишь в приближенном виде для случая, когда центры сфер постоянно находятся на некоторой фиксированной прямой. Целью настоящей работы является вывод общих уравнений движения двух круговых цилиндров в идеальной жидкости, нахождение интегралов движения и редукция к относительным переменным. [c.327]

Смотреть страницы где упоминается термин Осциллирующие интегралы : [c.245] [c.280] [c.246] [c.31] [c.33] [c.37] [c.502] [c.201] [c.384] [c.663] [c.32] [c.241] [c.319]

Смотреть главы в:

Особенности каустик и волновых фронтов -> Осциллирующие интегралы

ПОИСК

Излучение звука тонким осциллирующим телом. Решение на основе интеграла Гельмгольца

Интеграл быстро осциллирующий

Осциллирующий шар

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...