ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Осциллирующие интегралы из "Особенности каустик и волновых фронтов " Вещественноэначная функция Р переменных х и параметров д называется фазой, функция а называется амплитудой интеграла. Зависимость интеграла от амплитуды линейна. В большинстве случаев амплитуда предполагается бесконечно гладкой и равной нулю вне некоторого компакта. Обсуждая асимптотики интегралов, мы имеем в виду поведение соответствующего линейного функционала от функции амплитуды. Таким образом, под асимптотикой интеграла мы понимаем его поведение для самой плохой амплитуды (т. е. для гладкой амплитуды, дающей наиболее медленное убывание интеграла при к оо), и, следовательно, для любой типичной амплитуды. [c.31] Простейшим примером осциллирующего интеграла является интеграл Френеля / os(г // ) ё.х. Наибольший вклад в этот интеграл вносит малая окрестность критической точки фазы Р = (рис. 16). Диаметр центрального горба функции сов[х /К) имеет порядок у/К. Следовательно, сам интеграл убывает подобно (следующие положительные и отрицательные горбы компенсируют друг друга). [c.31] Замечательный факт, открытый Ньютоном, состоит в том, что, по крайней мере для типичных значений коэффициентов, большинство топологических или дискретных инвариантов критической точки не зависит от значений коэффициентов ряда и не зависит от членов, находящихся вне многогранника Ньютона (являющегося многомерным обобщением порядка нуля функции одной переменной). [c.33] Вернёмся к асимптотикам осциллирующих интегралов. Справедлива следующая формула для показателя / старшего члена (предложенная автором в качестве гипотезы и доказанная А.Н.Варченко). [c.33] Рассмотрим точку (t. t) пересечения многогранника Ньютона с диагональю положительного октанта. Индексом 3 многогранника Ньютона называется величина 1Д. [c.33] Пример 1. Индекс /3 многогранника Ньютона функции Морса +... + равен п/2. [c.34] Индекс 7 многогранника Ньютона есть, по определению, размерность множества опорных гиперплоскостей к этому многограннику в точке (4. 4). [c.34] Теорема (А.Н.Варченко [33]). 1) Для типичной фазы, с данным многогранником Ньютона показатели 3 и у главного члена асимптотики равны индексам Р и у многогранника Ньютона при условии, что многогранник далёк (от нуля). [c.34] Другими словами, если многогранник далёк от нуля, то осциллирующий интеграл никогда не убывает быстрее, чем это предписано его многогранником Ньютона, и его старшая часть почти всегда в точности такая, как это предписано многогранником. [c.34] Если многогранник не далёк, то типичный интеграл убывает не медленнее, чем это предписано многогранником Ньютона. В этом случае теорема оставляет возможность более быстрого убывания. Это значит, что в этом случае интеграл ведёт себя как в ситуации менее вырожденной особенности. Объяснение состоит в том, что вырожденная особенность, предписанная многогранником, может иметь чисто комплексную природу, не проявляющуюся в вещественной области. Теорема Варченко говорит о том, что такое чисто комплексное явление невозможно, если многогранник далёк. [c.34] Эта ситуация (отсутствие полунепрерывности) неизбежна в семействах, зависящих от i 73 параметров. Если число параметров мало, то оценка выполняется в случае общего положения (например, В.Н.Кар-пушкин доказал это для I 7). Точное значение I, для которого равномерная оценка впервые не выполняется, не известно. [c.36] Фам в [40] выдвинул гипотезу о том, что равномерная оценка имеет место для семейств с произвольным числом параметров, если только изменить определение так, чтобы принимать во внимание комплексные цепи (рассматривая интегралы, для которых применим метод перевала, а не осциллирующие интегралы). Иерархия экспоненциальных интегралов с многими сливающимися седловыми точками была изучена В.А.Васильевым [41]. Гипотеза Фама следует из коротко описанной ниже более общей теории, развитой А.Н.Варченко. [c.36] Смешанная структура Ходжа особенности неявно содержит обширную геометрическую информацию эта информация, однако, хорошо спрятана. [c.36] Замечание 1. Спектр (возможно по-другому отмасштабированный) можно рассматривать как множество собственных частот осциллятора, ассоциированного с особенностью (или квазиклассической асимптотики части спектра квантовой системы зта часть отделена от бесконечной части спектральной дырой, как в уравнении Фоккера-Планка на замкнутом многообразии). [c.37] Таким образом, мы можем рассматривать полунепрерывность как проявление некоторой спрятанной осциллирующей системы, образованной исчезающими циклами особенности. [c.37] Тем не менее, даже в простейших частных случаях, помимо прямых обобщений хорошо известных результатов, в вещественной алгебраической геометрии [51]-[53], известно очень немногое. Рассмотрим, на пример, вещественный многочлен степени й от двух переменных. Легко видеть, что количество точек максимума и минимума, Мо -Ь М2, не превосходит (1 /2 + 0 (1), но не известно как велика может быть их разность Мо — М2. Для произведения й линейных функций асимптотика была найдена Ю.Чекановым в [54], при этом использовалась арифметика эллиптических кривых по модулю р ответ таков М0/М2 2 и для некоторых конфигураций прямых, М0/М2 2 — 0(1/й) (см. также [55]-[57]). [c.38] Вернуться к основной статье