Многогранник Ньютона

Определение. Многогранником Ньютона степенного ряда называется выпуклая оболочка объединения положительных квадрантов R" с вершинами в показателях мономов, входящих в ряд с ненулевыми коэффициентами. Диаграммой Ньютона этого ряда называется объединение компактных гра ней этого многогранника. [c.37]

Пример. Диаграмма и многогранник Ньютона функции f(x, t/) у изображены на рис. 8. [c.37]

Вычисление дзета-функции монодромии через многогранник Ньютона. [c.110]

Для функций, невырожденных относительно своего многогранника Ньютона, имеются формулы, выражающие спектр через распределение целых точек в конусах, связанных с гранями многогранника [342], (2], [83]. Числа Ходжа hP i также выражаются через геометрию многогранника Ньютона [84]. [c.118]

Рассмотрим носитель функции = Ъс х — конечное подмножество точек а. решетки 2 , дл я которых а =0. Выпуклая оболочка носителя называется многогранником Ньютона многочлена fi. [c.171]

Теорема ([36]). Для почти всех наборов х,..., fp многочленов Лорана с данными многогранниками Ньютона Гь. .. [c.172]

Показатели /3(д) и у(д) во многих случаях могут быть найдены с помощью многогранника Ньютона фазовой функции (рис. 17). Рассмотрим ряд Тейлора фазовой функции в критической точке. Перенося критическую точку в нуль, получим ряд Р (значение па [c.32]

Рис. 17. Многогранник Ньютона и его индекс 13 = 1/1

Замечательный факт, открытый Ньютоном, состоит в том, что, по крайней мере для типичных значений коэффициентов, большинство топологических или дискретных инвариантов критической точки не зависит от значений коэффициентов ряда и не зависит от членов, находящихся вне многогранника Ньютона (являющегося многомерным обобщением порядка нуля функции одной переменной). [c.33]

Этот общий принцип ведёт ко многим интересным формулам, давая значения топологических и других дискретных инвариантов особенностей (числа Ходжа, спектры,...) в терминах геометрии целочисленных выпуклых многогранников — многогранников Ньютона. Много интересных формул такого типа содержится в [33]-[35]. Интересно отметить, что эта связь топологии особенностей с геометрией выпуклых тел полезна в обоих направлениях, так как она даёт возможность использовать связи между инвариантами особенностей (известными из топологии, алгебраической геометрии и т. д.) для получения чрезвычайно нетривиальных теорем комбинаторики выпуклых многогранников. (Доказательство Хованским и Прохоровым отсутствия групп отражений с фундаментальной областью конечного объема в пространствах Лобачевского размерности, превышающей 995, — один из примеров использования этой связи.) [c.33]

Рассмотрим точку (t,..., t) пересечения многогранника Ньютона с диагональю положительного октанта. Индексом 3 многогранника Ньютона называется величина 1Д. [c.33]

Пример 1. Индекс /3 многогранника Ньютона функции Морса +... + равен п/2. [c.34]

Индекс 7 многогранника Ньютона есть, по определению, размерность множества опорных гиперплоскостей к этому многограннику в точке (4,..., 4). [c.34]

В этой теореме нетипичные функции — это функции, для которых коэффициенты Тейлора членов, принадлежащих многограннику Ньютона, удовлетворяют некоторому нетривиальному алгебраическому уравнению. Если многогранник далёк (от нуля), то [c.34]

Другими словами, если многогранник далёк от нуля, то осциллирующий интеграл никогда не убывает быстрее, чем это предписано его многогранником Ньютона, и его старшая часть почти всегда в точности такая, как это предписано многогранником. [c.34]

Для функций п < 3 переменных такой пример невозможен, и условие на многогранник Ньютона в первом утверждении теоремы, касающееся 3, может быть опущено (индекс у Р) может быть равен [c.35]

Индекс /3 многогранника Ньютона 33 Индекс 7 многогранника Ньютона 34 Индекс кривой, не имеющей [c.331]

Па самом деле первый этап был уже описан выгие. Используя технику многогранников Ньютона [5 зиоднородную систему уравнений [c.93]

Е. Тангенциальные особенности. Первые приложения, ради которых и была развита (около 1966 г.) теория лагранжевых и лежандровых особенностей, относились к коротковолновым асимптотикам, в том числе — асимптотикам осциллирующих интегралов. Обзор этих приложений (вплоть до нахождения равномерных оценок интегралов при слиянии точек перевала, вычисления асимптотик через многогранники Ньютона, построения смешанных структур Ходжа, применений в теории чисел и теории выпуклых многогранников, оценок индекса особой точки векторного поля и числа особых точек алгебраической поверхности) можно найти в книге Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2 Монодромия и асимптотики интегралов.— М. Наука, 1984, и в докладе АрнольдВ.И. Особенности систем лучей. Международный конгресс математиков в Варшаве, 1983. [c.456]

Пусть Г — многогранник Ньютона. Рассмотрим росток го ломорфной функции f (С , 0)->-(С, 0), носитель которой содержится в Г. Умножение функции на моном х сдвигает ее носитель на вектор с неотрицательными координатами, поэтому носитель Хк / также содержится в Г. Следовательно, множество всех функций (степенных рядов), носитель которых содержится в Г, образует идеал в кольце ростков функций (7 (кольце формальных степенных рядов С[[х1,..., лс,]]). [c.37]

Приведенная теорема в сочетании с развитой в [245], [122] техникой торических разрешений особенностей позволяет вычислять число Милнора и дзета-функцию особенности через ее диаграмму Ньютона. (Определение многогранника Ньютона Г+(/) и диаграммы Ньютона Г((/) степенного ряда f см. в п. 3.1 главы 1.) [c.109]

В (183], (186] приведены также варианты офор.муЛ И.рова1Н-ных утверждений для случая ломаной фильтрации, причем главная относительно фильтрации часть отображения должна иметь конечную -коразмерность (аналог свойства Г-невырожденности функций, см. п. 2.3.12). В результате, например, получается топологическое докавательспно теоремы А. Г. Кушниренко о том, что число Милнора Г-невырожденной функции зависит ЛИШЬ от ее многогранника Ньютона (п. 2.3.12). [c.198]

J23. —, Многогранники Ньютона н род полных пересечений. Функц. анализ и его прил., 1978, 12, № 1, 51—61 [c.240]

Матрица пересечений особенности 64 Многогранник Ньютона 36, 171 Многообразие келерово 111 [c.254]

Теорема (А.Н.Варченко [33]). 1) Для типичной фазы, с данным многогранником Ньютона показатели 3 и у главного члена асимптотики равны индексам Р и у многогранника Ньютона при условии, что многогранник далёк (от нуля). [c.34]

Если многогранник не далёк, то типичный интеграл убывает не медленнее, чем это предписано многогранником Ньютона. В этом случае теорема оставляет возможность более быстрого убывания. Это значит, что в этом случае интеграл ведёт себя как в ситуации менее вырожденной особенности. Объяснение состоит в том, что вырожденная особенность, предписанная многогранником, может иметь чисто комплексную природу, не проявляющуюся в вещественной области. Теорема Варченко говорит о том, что такое чисто комплексное явление невозможно, если многогранник далёк. [c.34]

Варченко нашёл пример фазовой функции, для которой имеет место это чисто комплексное явление . Соответствующий многогранник Ньютона в 5-пространстве не является далёким [c.35]

Надстройка контактной триады 247 Надстройка проектирования 169 Надстройка симплектической триады 237 Невырожденное отобргжение периодов 96 Нейтральная гиперповерхность контактного потока 244 Нерегулярные орбиты 72, 81 Нормгьльное отобргьжение 26 Носитель ряда 33 Ньютона многогранник 33 [c.334]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...