Интеграл быстро осциллирующий

Введем объем элементарной ячейки кристалла О о и разобьем интегралы по объему в (3.8) на сумму интегралов по элементарным ячейкам, положение которых будем задавать векторами а /, где / — номер ячейки, пробегающий значения от 1 до N. В пределах одной элементарной ячейки плавные огибающие /,(г) и //(г) меняются слабо и их можно вынести из-под знака интеграла. Используя периодичность быстро осциллирующих блоховских сомножителей м(г), получим [c.41]

Как видно из рис. 3.20, в, при 51 оо последний интеграл есть сумма быстро осциллирующей части и некоторого среднего значе- [c.239]

При больших я подынтегральная функция быстро осциллирует и ее среднее значение мало всюду, кроме тех точек, в которых фаза стационарна. Это означает, что при больших Я наибольший вклад в интеграл дает окрестность точки, в которой [c.75]

Интеграл теперь вычисляется методом стационарной фазы. Чем больше х, тем быстрее осциллирует подынтегральная функция, и существенный вклад в интеграл дают лишь стационарные точки для величины % в функции у. Это означает, что при х > 1 наибольший вклад в интеграл дают значения у в окрестности точки уо, в которой [c.79]

При вычислении интеграла существенны два фактора величина подынтегральной функции и ее фаза. Если мнимая часть / не равна нулю, то при больших значениях со подынтегральное выражение будет быстро осциллировать и, следовательно, значения интеграла будут уменьшаться. Если же / имеет отличную от нуля действительную часть, то большие значения со будут приводить к увеличению подынтегрального выражения, причем это увеличение будет тем больше, чем больше Ке /. Первый эффект приводит к тому, что наибольший вклад в интеграл дают те области подынтегрального выражения, в которых фаза и = 1т / стационарна второй эффект приводит к тому, что вклад в интеграл дают те области, где ы = Ке / имеет максимум. Следовательно, если путь интегрирования можно сместить так, чтобы он проходил через точку о в таком направлении, вдоль которого и ) имела бы максимум в точке 2о. и одновременно фаза V (г) была бы в этой точке стационарна, то в пределе больших со весь вклад в интеграл / (со) будет давать малая окрестность точки го- [c.97]

МЫ установили, функция ехр ( 5) быстро осциллирует по сравнению с 01 (г ) и поэтому интеграл может быть приближенно вычислен при помощи метода стационарной фазы. [c.285]

Интегралы такого вида характерны для различных задач дифракции. Рассмотрим один из часто используемых методов их приближенного вычисления — метод стационарной фазы. Сущность его состоит в том, что в мнимый показатель экспоненты, стоящей под интегралом, входит безразмерный большой параметр рг > I. Поэтому с изменением переменной г подынтегральная функция быстро осциллирует, так что существенный вклад в интеграл вносит лишь малый учя юк оси г. включающий точку, где производная от подынтегральной функции по г обращается в нуль (отсюда название метода). [c.175]

Каустика лагранжева отображения может быть описана как множество точек д, в которых следующий интеграл (от быстро осциллирующей функции) убывает (при уменьшении длины волны К) медленнее, чем в типичных точках д [c.31]

Экспонента в зтом интеграле быстро осциллирует при больших к. Если / является характеристической функцией области О, то этот интеграл может быть преобразован к интегралу по границе, с фазой —2лг(х, к). [c.41]

Формально задача решена, однако исследование распространения воли с помощью формулы (16) сопряжено со значительными трудностями, так как точное вычисление интеграла в большинстве случаев невозможно, а его численный расчет нри больших i требует очень больших затрат вычислительных ресурсов. Связано это с тем, что функции os[ [c.100]

При наличии неустойчивости, когда в некоторой области значений к имеем со" к) > О, один из множителей в подынтегральном выражении при t —>- оо неограниченно растет, а другой становится бесконечно быстро осциллирующей функцией эти противоположные тенденции затрудняют оценку интеграла. [c.326]

Обратимся снова к формуле (8.9). В подынтегральное выражение входит медленно меняющаяся амплитудная функция и быстро меняющаяся фазовая. Если на промежутке интегрирования величина г, + изменяется таким образом, что фаза ( 1 + г) меняется на большое число периодов, то вещественная и мнимая части подынтегрального выражения быстро осциллируют. Как показано в 8, даже если изменение суммы г, + Г2 составляет всего 10 длин волн, то для вычисления интеграла может потребоваться порядка 10 слагаемых. Если же это изменение составляет десятки и сотни длин волн, то расчет становится невозможным и при помощи [c.54]

Трудность вычисления интеграла при больших значениях р заключается в том, что подынтегральная функция быстро осциллирует, так как ее фаза быстро меняется вдоль пути интегрирования. Если на некоторых участках модуль подынтегральной функции велик, а фаза быстро меняется, то на этих участках имеет место чередование [c.152]

Пусть суш,ествуют такие области переменной интегрирования t, где функция д плавно меняется. Кроме того, предположим, что в некоторых областях переменной t функция д, наоборот, быстро возрастает, спадает либо осциллирует, и, как следствие, экспонента exp[г (t ж) быстро меняется. Если функция / меняется медленно по сравнению с этими осцилляциями, то такие области не дают вклада в интеграл. Очевидно, что интеграл набирается на тех участках, где функция д меняется плавно, то есть где [c.698]

Чтобы понять причину сходимости интеграла Френеля Е, достаточно заметить, что подынтегральное выражение описывает окружность в комплексной плоскости по мере роста переменной t. Скорость обхода при этом всё время возрастает из-за квадратичной зависимости В результате подынтегральное выражение осциллирует всё быстрее и быстрее, что гарантирует сходимость интеграла. [c.705]

Здесь полезно отметить, что, если отсутствует мгновенный отклик, значение А (оо) будет равно нулю отдельная б-функция с запаздыванием т дает в Л (ю) вклад os ют — г sin сот. Эта величина осциллирует при со оо. Полная величина А (со) будет, однако, получаться путем интегрирования по х произведения подобного вклада на достаточно плавную функцию от т. [Фактически такой функцией является / (т).] Быстрые осцилляции этой величины по т для больших со приводят к тому, что интеграл стремится к нулю при со- оо. [c.550]

Другими словами, если многогранник далёк от нуля, то осциллирующий интеграл никогда не убывает быстрее, чем это предписано его многогранником Ньютона, и его старшая часть почти всегда в точности такая, как это предписано многогранником. [c.34]

Для вычисления интегралов такого типа используется приближенный метод, называемый методом стационарной фазы. Смысл его состоит в следующем. Быстрые осцилляции экспоненциальной функции приводят к тому, что интеграл есть всюду малая величина, кроме той области, в которой показатель экспоненты имеет стационарное значение, т. е. не изменяется в первом порядке изменения кг. Если имеется такая точка стационарности, в которой фаза ф ( , г]) осциллирующей функции имеет максимум или минимум, то область в окрестности этой точки дает наибольший вклад в интеграл. Поэтому находится точка или точки стационарности фазы осциллирующей функции и ф ( , г]) разлагается в ряд в окрестности этой точки до членов второго или третьего порядка малости (если член второго порадка малости обращается в нуль). Медленно изменяющиеся функции определяются в точке стационарности и выносятся из-под знака интеграла. Остающиеся [c.255]

Член, не зависящий от Д/с, сокращается с члепол , пропорциональным А в j(r) остается только малый диамагнитный член Ландау. Подынтегральное выражение быстро осциллирует около нуля и дает вклад в интеграл только при R = 0. [c.715]

Будем считать, что контур спектральной линии симметричен относительно центра, т. е. f(x)— четная функция от х. Тогда последний интеграл в (5.22) равен нулю. Второй интеграл, если его рассматривать как функцию от А, изменяется медленно по сравнению с быстро осциллирующим множителем os qA, так как для узкой спектральной линии f(x) равно нулю всюду, за исключением малой окрестности центра (т. е. вклад в интеграл дают только значения X, для которых Ul f o). Вводя обозначения [c.225]

Наиболее существенная часть интеграла происходит от окрестности 8 = (д . Надо принять во внимание, что e p 2nikn )—быстро осциллирующая функция. Но само п меняется плавно и может быть разложено по степеням г— [c.162]

При изменении z второй член правой части (9.112) быстро осциллирует, поскольку соответствующая ему длина волны лежит в он-тическом диапазоне. Так как N z, t) на расстояниях порядка оптической длины волны меняется лишь в малой мере, то вклад этого члена в интеграл в среднем близок к нулю и им, следовательно, можно преиебречь. Если, далее, первый член в правой части разложить по формуле [c.254]

При больших X эта подынтегральная функция чрезвычайно быстро осциллирует на концах интервала У = О и ] = х, по которому производится интегрирование. Поэтому с очень большой степенью точности интегрирование можно распространить от —оодо -ноо, после чего интеграл вычисляется точно. [c.80]

При г->0 интеграл в показателе экспоненты в (12.205) должен таким образом расходиться. Этот интеграл будет либо мнимым, либо действительным, если потенциал f соответственно положительный или отрицательный. Следовательно, если потенциал отвечает притяжению, то функция г з бесконечно быстро осциллирует и за счет предэкспоненциального множителя стремится к нулю при г -> 0. Это должно быть справедливо для обоих решений уравнения, поскольку они являются комплексно сопряженными друг к другу. Однако если потенциал вблизи начала координат соответствует отталкиванию, то интеграл в (12.205) стремится к +i oo. При этом одно решение будет очень быстро стремиться к нулю, тогда как другое будет быстро возрастать до бесконечности. Сравнительно медленно стрел1ящийся к нулю предэкспоненциальный множитель не может повлиять при этом на характер решений. [c.364]

При выполнении условия (29) можно пользоваться первым членом равложения (28) не только в области р < х — х ), но и при всех р, так как вклад в интеграл (18) от той области, где условие (29) нарушается, мал (он имеет порядок Ре). В действительности интеграл по области р>Яо Я (х — х ) с ядром, замененным по формуле (28), не совпадает с интегралом по этой же области, вычисленным с точным ядром. Однако, так как оба ядра имеют в этой области одинаковый быстро осциллирующий характер, то оценка (27) имеет место для обоих ядер. [c.287]

Полная теория распространвЕшя импульса. При исследовании интеграла (39.5) учтем, что Q (а))/(б — tw) является сравнительно медленно меняющейся функцией со, в то время как экспонента — быстро осциллирующая функция. Главная часть интеграла получается за счет областей вблизи точек стационарной фазы и = <0о, определяемых из уравнения d p/dw = ф = О, причем фаза <р дается выражением [c.244]

Практическое выполнение расчетов по формуле (8.9) сводится к вычислению двойного интеграла по поверхности отражателя. Если форма тела и расположение точек М,, таковы, что на промежутке интегрирования фаза к г, + меняется в значительных пределах, то вещественная и мнимая части подынтегрального выражения быстро осциллируют. Поэтому количество точек, в которых должно вычисляться подынтегральное выражение при численном интегрировании, может оказаться весьма большим. Так, например, если величина Гх -Ь -Ь Га меняется на 10 длин волн, то это значит, что количество полупе-риодов осцилляций равно20. Взяв на каждом полупериоде пять точек для численного интегрирования, получаем, что общее количество точек по одной из координат равно 100, а по обеим координатам 10 . [c.52]

Интеграл (21.12) можно вычислить методом перевала. При kr > 1 экспонента является быстро осциллирующей функцией. Если к тому же расстояние R значительно превосходит длину области h вдоль оси цилиндра (см. рис. 46), в которой колебательная скорость отлична от нуля, то функция Bo( sina) меняется на промежутке интегрирования значительно медленней, чем экспоненциальный множитель [для того чтобы это показать, следует, например, сравнить скорость изменения экспоненты и выражения (21.16а), полученного ниже для равномерного распределения возбуждения очевидно, что при R h экспонента осциллирует намного быстрее, чем Вд (к sin а)]. [c.156]

В дальней зоне г велико, и, следовательно, аргумент в скобках быстро меняется с изменением ф. Наличие быстро осциллирую-1цей функции приводи к уменьшению- вклада в интеграл от [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...