Приближения в определении значений X, р, v и их производных

Аналогично для определения порядка аппроксимации вычисляют погрешность между точным 1-<фп и приближенным Lhn значениями производной в п-м узле [c.47]

Рис. 11-9. Приближенное определение значения функции по заданному значению ее ь соседней точке и производной.

Если МЫ имеем гладкую функцию двух независимых переменных w x, у), то по формулам, подобным (1) и (2), можно получить приближенные значения производных. Допустим, например, что рассматривается прямоугольная область (рис. 1) и что нам известны значения функции w в узловых точках регулярной квадратной сетки с размером ячейки б. Тогда для определения приближенных значений частных производных функций в некоторой точке О можно использовать следующие выражения [c.518]

Первый шаг. Первый шаг состоит в определении значений первой и второй производных от ), ц, V. А", К и Z в какой-либо момент, близкий к моментам наблюдения, скажем, к Ограничимся пока указанием, ITO это может быть сделано с достаточным приближением, не вдаваясь [c.178]

Приближения в определении значений ), )1, V и их производных.. В приложениях важно знать характер сделанных приближений и все ли нужные величины определены с одинаковой степенью точности. Очевидно, что на эти вопросы не может быть дано точного числового ответа, потому что рассматриваемые орбиты не определены. Но было отмечено, что значения т не должны быть слишком большими для сходимости рядов (28). Следовательно, значения т для моментов наблюдений можно рассматривать как малые величины, и мерой приближения служат главные отброшенные члены с низшими степенями т. Это придает определенность порядку приближения, и опыт показывает, что это является удовлетворительной мерой точности результатов, когда интервалы времени взяты в пределах, упомянутых в 113. [c.187]

Компактные схемы. Альтернативный путь построения схем высокого порядка состоит в использовании так называемых компактных аппроксимаций. Их сущность удобно Проиллюстрировать на примере приближенного определения производной функции по ее значениям в узлах. Если традиционное представление производной [c.11]

Можно заметить, что, поскольку для последней ступени ракеты Ря = 0, то из уравнений (84) и (85) после исключения К получим квадратное уравнение относительно олг нужный нам корень этого уравнения определяется уравнением (53). Но такой тип уравнения для других ступеней не годится. Вся система уравнений не решается прямым методом, и любой путь ее решения включает в себя подбор и определенное количество последовательных приближений. В частности, возможна такая последовательность решения. Сначала задаемся рядом подходящих значений оптимальных величин 2 . Затем из соотношений (83) последовательно, начиная с последнего, подсчитываем значения рп. Поскольку значение 0о1 известно, то, исключив из уравнений (84) и (85) при п=1 множитель К, получаем квадратное уравнение для определения Для того чтобы подсчитать уо2, подставляем найденное значение 01 в уравнение (82) при п=1. Всю эту процедуру можно последовательно повторить для подсчета аг и оз по уравнениям (84), (85) и (82) при п=2, 3 и т. д. После того как будут сделаны эти вычисления (не требующие применения метода последовательных приближений), берем уравнения (84) или (85), или какую-нибудь удобную их комбинацию, для проверки полученных значений X. Если все полученные значения Хп окажутся равны между собой, то значит выбранные значения параметров оптимальны для какой-то результирующей величины приращения энергии АЕ= АЕ)о, которая, однако, может быть отличной от потребной величины АЕ. Если же полученные значения X различны, то применяем метод возмущений, который заключается в том, что каждому значению г последовательно придается некоторое малое приращение Э2 , и, проделав весь расчет, найдем соответствующие и ВАЕ. Тогда можно подсчитать приближенные значения производных [c.728]

Поскольку при вычислениях АА, используется формула численного интегрирования наклонной строки с учетом конечных разностей третьего порядка, необходимо иметь по крайней мере четыре значения производной йХ/йхх. В начале вычислений мы имеем только одно значение производной в начальной точке определяемое по (З.Х.13) при условии, что для Х = 0 значение Х = 0. Для определения недостающих значений можно использовать, в частности, способ последовательных приближений. Этот способ заключается в уточнении полученных значений функций и их производных в первых точках. Расчеты производятся в следующем порядке. [c.657]

Теперь можно лучше понять на интуитивной основе смысл приближения га-го порядка к уравнению (4-3.12) для медленных течений, которое было приведено в разд. 4-3. Уравнения (4-3.21) — (4-3.23) дают явные выражения для приближений нулевого, первого и второго порядков соответственно. Можно непосредственно установить, что такие уравнения представляют собой частные случаи уравнения (6-2.1) (вспоминаем, что = 2D см. уравнение (3-2.28)). Понятие медленных течений можно сделать точным при помощи методики замедления см. уравнение (4-3.20). Если задана предыстория, непрерывная в момент наблюдения, то предыстория замедления, полученная из нее введением замедляющего множителя а, становится с уменьшением а непрерывной со всеми своими производными на все более и более широком интервале времени, предшествующем моменту наблюдения. В самом деле, если в определенной предыстории существует некоторая особая точка, то с убыванием а она смещается все дальше и дальше в прошлое. Таким образом, при помощи уравнения (6-2.1) все более увеличивается надежность предсказания правильного поведения. Одновременно уменьшается и значение п, необходимое для разложения предыстории в рамках заданного приближения. [c.213]

Точное аналитическое решение уравнения (6. 7. 19) может быть получено только для дискретного набора значений параметра W. Поэтому, для того чтобы не сужать область возможных значений W, решение этого уравнения проводится при помощи приближенного метода конечно-разностных схем [98]. Этот метод сводится к тому, что производная по каждой переменной заменяется разностью. Результаты численного решения уравнения (6. 7. 19) затем используются при определении профиля концентрации целевого компонента Ф (6. 7. 14). [c.274]

Модуль Юнга вычисляется обычно как непрерывная первая производная или касательный модуль кривой деформирования и обозначается Вычисление касательного модуля на каждом этапе нагружения сводится к определению секущего модуля - сек-Это аналогично аппроксимации непрерывной производной ее конечной разностью. С уменьшением шага нагружения точность приближения и затраты машинного времени возрастают. Разработка процедуры, позволяющей непрерывно вычислять производную в процессе всего нагружения с минимальным машинным временем, имеет важное значение. [c.93]

Принятые выше условия гладкости контура профиля и существования двух производных функции V (s) имеют значение для утверждений о существовании и единственности решения интегральных уравнений, а также для сходимости последовательных приближений. Если контур профиля имеет угловые точки, то, как указывалось, скорость в этих точках обращается в нуль или в бесконечность интегрируемого типа и все приведенные интегральные представления функций не изменяются для всего контура, за исключением угловых точек, в которых требуется специальное определение несобственных интегралов или исключение особенностей подынтегральных функций. [c.57]

Для определения первого приближения следует положить все производные р (t) р" (t) . .. p"(t), а также р (t) i и т. д. равными нулю, поскольку все они значительно меньше значения p t), а также р" (t) < р (t) p" t)[c.104]

Соотношения (7.81), (7.82) позволяют замкнуть систему уравнений в частных производных (7.79), которая описывает пространственное течение в ламинарном пограничном слое на треугольной пластине с заданной скоростью вдува на поверхности на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. На передних кромках пластины [г = 1) система уравнений вырождается в системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их решения позволяют найти все функции течения в пограничном слое на кромках. Следует отметить, что использовать для определения давления выражение (7.82) можно только до тех пор, пока при увеличении скорости вдува около поверхности пластины не начнет образовываться область невязкого в первом приближении течения [Нейланд В. Я., 1972]. В рамках рассматриваемой задачи это произойдет при таких скоростях вдува V [т] = 0) = Р (г), при которых значение коэффициента [c.349]

Последнее соотношение можно рассматривать как уравнение Пуассона по отношению к дH дt. Применяя теорему о среднем значении для определения дН д1 в точке Мо, мы можем приближенно распространить интеграл только на круг радиуса Го с центром в Мо, принимая, что величина производной дН д1 в точках окружности этого круга много раз переходит через нуль. Тогда [c.566]

Отсутствие нормальных напряжений на деформированных свободных поверхностях позволяет определить на них давление р. Поскольку р при неоднородной деформации — функция координат, найденные значения могут служить лишь граничными условиями, например, к уравнениям равновесия, в которые входят р и его производные, а девиаторные части напряжений и их производные записаны через производные перемещений по координатам. Таким образом, для определения давления и компонент перемещения по всему объему необходимо совместно решать всю указанную систему уравнений, что наиболее реально осуществить численными методами, используя для таких нелинейных систем методы приближенных вычислений — например разностные [315], и метод последовательных приближений [275]. [c.123]

Наиболее точным способом определения производной Я (р) следует считать экспериментальный. По результатам испытаний образцов по меньшей мере с двумя различными скоростями или по известному равновесному значению Яоо и значению Я, определенному при некоторой скорости нагрева о, получаем приближенное выражение производной через приращения АЯ и Ар [c.124]

Найти приближенные значения первой производной для точек, определенных по кривой в предыдущей задаче. Полученные результаты сравнить с производными многочленов, найденных методом наименьших квадратов. [c.228]

Но при этом следует иметь в виду еще одно обстоятельство. В случае если данный функционал обладает экстремальными свойствами, то предложенные приближенные прямые методы дадут приближенное уравнение или численные данные, определяющие искомую экстремаль. Однако остается невыясненным, будет ли этот экстремум максимум или минимум заданного функционала, так как найденная экстремаль еще ничего не говорит об этом. Во-вторых (что, пожалуй, еще важнее), вполне возможен случай, когда заданный функционал имеет первую вариацию, равную нулю (что и доставляет нам определенную экстремаль / (д )], а экстремума все-тахи не имеет. Вполне строгое с математической точки зрения обоснование и требует исследования второй вариации функционала, как требуется исследование второй (или высших) производной в дифференциальной задаче. Для реальных же случаев применения вариационных методов в задачах вариационного характера при исследовании динамических систем можно избежать этих относительно тяжелых моментов исследования. Обычно решение вопроса о том, имеет ли экстремум характер максимума или минимума, решается легко самим существом задачи, а второе условие достаточности может потребовать после нахождения экстремали дополнительных подсчетов обратного характера, т. е. вычисления значений функционала по найденному виду у (х) в интересующей нас области х, как значений практически реализуемых, и некоторых изменений параметров найденной функции. [c.244]

Можно также для двух конкретных планет определить только численные значения этих функций и некоторых их производных. Число членов, которые должны быть вычислены, оказывается тогда не очень большим, так что работа намного облегчается, особенно если не требуется проводить приближения слишком далеко. С этой точки зрения наиболее важный вопрос состоит в определении верхней границы для каждого коэффициента, чтобы иметь возможность пренебречь членами, коэффициенты которых заведомо очень малы. [c.318]

В одном приближении [И] рассматривается применение уравнений (4.41)-и (4.44) для собственных значений и а соответственно к некоторой ограниченной области в пространстве. Для граничных условий предполагается линейное соотношение, подобное тому, которое представлено уравнением (3.12), устанавливающее связь между групповым потоком нейтронов на границе и его нормальной производной в виде,(/) g + бгП-V ф g — О, где п — нормальный единичный вектор, направленный наружу области, а — любая неотрицательная кусочно-непрерывная функция, определенная на границе. Это условие является достаточно общим,чтобы включать любое из граничных условий диффузионного приближения, упомянутых в разд. 3.1.5. Кроме того, предполагается, что поток и ток нейтронов непрерывны на поверхностях, а также, что поток нейтронов ограничен, а вторые производные непрерывны. Некоторые очень слабые условия накладываются также на групповые константы, однако они удовлетворяются в любой потенциально критической системе. [c.147]

Если изменение мощности происходит достаточно медленно, как в случаях ксенонового отравления или выгорания топлива, производной по времени в уравнении (9.18) можно пренебречь. Также можно пренебречь зависимостью Р и 1 ) от времени при расчете Q . Источник запаздывающих нейтронов можно объединить с источником мгновенных нейтронов, после чего рассчитывать собственную функцию, соответствующую собственному значению к, для определения форм-функции в любой заданный момент времени. Так как условия в реакторе постепенно меняются, то форм-функция будет также меняться, но в любой заданный момент I функцию можно рассчитать с учетом условий в этот же момент. Эта процедура, которую называют адиабатическим приближением [И], действительно при.менима для достаточно медленных изменений мощности реактора (.или потока нейтронов). Однако, как было показано, она может описывать основную часть пространственных эффектов в кинетике реактора даже для достаточно быстрых возмущений мощности, которые, например, сопровождают движение группы стержней управления [12]. [c.377]

Допустим пока, что Ах не подвержено влиянию первых двух классов ошибок, упомянутых в разд. 1 тогда оно целиком определяется уравнением (16). Частные производные, входящие в (16) в качестве коэффициентов, могут быть вычислены и выражены числами при этом почти всегда достаточно трех значащих цифр. Неизвестными в этих уравнениях являются j, которые необходимо определить. Из теории линейных алгебраических уравнений известно, что п уравнений типа (16) составляют необходимое и достаточное количество уравнений для определения неизвестных при условии, что все эти уравнения независимы, т. е. если определитель из коэффициентов левой части не обращается в нуль. Еслп этп уравнения независимы, то можно найти значения величин которые точно удовлетворят п уравнениям, и если бы наблюдения не были отягощены ошибками, то ничего больше не требовалось бы. Однако присутствие случайных ошибок в правых частях этих уравнений мешает определить истинные значения j можно найти лишь приближенные значения, которые будут ближе к истине или дальше от нее, смотря по тому, будут ли ошибки наблюдений меньше или больше. Влияние случайных ошибок можно ослабить при помощи увеличения числа наблюдений и числа уравнений. В астрономических задачах число используемых уравнений редко бывает меньше 2га и часто бывает еще больше когда необходима самая высокая степень точности, для определения нескольких неизвестных могут быть использованы несколько сотен и даже тысяч наблюдений. [c.192]

Теперь может быть введена поправка за аберрационное время первые лае производные от г можно вычислить из значений г-, г] и г , применяя к этому случаю формулы (32) р к д можно вычислить из (74), а более точные значения Р к можно определить из (86) и затем можно повторить вычисления, начиная с уравнений (46), или, чтобы повысить точность выражений для отношений площадей треугольников, можно применить метод Гаусса ( 134), или элементы могут быть вычислены без дальнейшего приближения или промежуточных величин. Формулы для вычисления элементов даем ниже. Пусть прямоугольные координаты в эклиптической системе суть дс,., y , г,, и наклонность эклиптики обозначена через е, которое не надо смешивать с г, определенным в (85). Тогда [c.229]

Условимся различать местный угол атаки бц,, образованный касательной к контуру обтекаемого тела в данной его точке с направлением невозмущенного потока, и аналогично построенный эффективный местный угол атаки 0 для эффективного, т. е. полученного наращиванием по нормали к обтекаемой поверхности толщины вытеснения б (х), определенной по (205), контура. Углы 0 и 0ц, сравниваются между собой для точек, принадлежащих одному и тому же сечению пограничного слоя. Разность этих углов 0 = = 0 — 0ц, при их малости может быть приближенно приравнена значению производной d8 ldx в точке того же сечения пограничного слоя. Напомним (конец 105), что в случаё сжимаемой среды — газа — под толщиной вытеснения следует понимать величину [c.702]

Оценка среднего значения производных (определение порядка величины производных) необходима при анализе дифференциальных уравнений конвективного теплообмена, в которых встречаются члены типа у (ду 110x1), ду110х1, д у11дх ,. Как правило, порядок величины производной необходимо знать для того, чтобы сравнить между собой отдельные члены и отбросить члены, малые по сравнению с другими. При этом сама функция у =[(хО) не известна (она является решением исследуемых уравнений), но интервалы изменения У1 и XI известны из граничных условий. Учитывая приближенность оценки величины производной, можно считать интервалы изменения величин I/ и х не малыми, а имеющими конечную величину, например В этом случае оценку порядка пер- [c.368]

Для приближенного определения производной в выражении (6.49) можно осуществить линейную апроксимацию функции (6.45) в окрестности заданных значений параметров, используя уравнение прямой, проходящей через две точки [c.276]

Определение первой и второй производных угловых координат из трех наблюдений 84) —114. Определение производных из более чем трех наблюденнй (180) —115. Приближения в определении значений V и их произзодных (187) — I1S. Выбор начала времени (188) — [c.13]

Чтобы получить значения Ф в каждой точке временного интервала, необходимо решить линейное дифференциальное уравнение (11.10). Существуют два распространенных метода решения уравнений такого типа. Один из них заключается в приближенной замене частной производной по времени ее конечно-разностным аналогом с применением центральной разностной схемы. Другой метод состоит в использовании конечных элементов, определенных теперь уже не в пространственной, а во временной области. Этот метод обсуждается в гл. 17 в связи с методом Галёркина. Здесь мы рассмотрим конечно-разностное решение. [c.205]

В областях, где К принимает действительные значения, ag — мнимые, величина 4> изменяется циклически в зависимости от радиальной координаты (экспоненциальная функция с мнимым показателем степени). В области же, где g становится действительной величиной, а К — мнимой,ч(.> монотонно уменьшается с увеличением радиуса. Эти два решения должны быть согласованы между собой, что ограничивает допустимые значения Р определенными собственными значениями Описанный метод приближенного решения волнового уравнения многим хороию известен благодаря широкому использованию в квантовой -механике при решении волнового уравнения Шредннгера. Обычно его называют приближением ВКБ. Решения (П2.14) неприменимы для точек, находящихся на оси, хотя этот метод можно легко приспособить для получения корректных решений н при г — 0. Из условия (П2.12) очевидно, что рассматриваемое приближение неправомочно, если производная dg/dr велика и если д мало. Это означает, что с переходными областями в окрестности Гх и па рнс. 6.2, где — О, нельзя обращаться просто, и приходится прибегать к специальным способам дли точного определения условий согласования решений на границе. [c.473]

Порядок точности разностной схемы можно повысить, если использовать более сложные квадратурные формулы, в которых производная / (т, Г) вычисляется не в одной, а в нескольких точках отрезка Itj, Tj+,1. При таком подходе возникает задача определения приближений / и соответственно решения и в этих промежуточных точках. Эти приближения вычисляются последовательно по мере продвижения по отрезку [Tj, Tj+,] от точки Tj к точке Tj+i. Так как при этом согласно (1.29) функция/(т, Т) равна производной от решения Т (т), то приближения для решения и строятся на основе оценок значений его производной — значений функции / (т, и). Поэтому в окончательных формулах приближение для / (т. Г) в определенной точке выражается через приближения / (т, Т) в предыду1цих точках, см. ниже формулы (1.47), (1.48). [c.32]

Строгие методы теории устойчивости движения могут быть распространены на распределенные системы. При этом, например, вместо функций Ляпунова вводят функционалы Ляпунова, производные от которых по времени в силу уравнений движения обладают определен-Егыми свойствами. По этим свойствам судят об устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения. Если модель распределенной системы линейна или если для выводов об устойчивости используют уравнения первого приближения (уравнения в вариациях), то анализ устойчивости приводит к некоторым обобщенным задачам о собственных значениях. [c.461]

Ита-к, дискретизируется как сама функция, так и область ее определения Q. При этом 1) в Q факсируется конечное число точек—глобальных узлов 2) область Q приближенно представляется в виде совокупности конечного числа непересекающихся подобластей — конечных элементов, связанных между собой определенным образом в глобальных узлах на их границах 3) рассматриваемую функцию локально аппроксимируют на каждом конечном элементе непрерывными функциями, однозначно определяемыми значениями функции (а в некоторых случаях — и значениями ее производных вплоть до некоторого порядка) [c.203]

Для определения точности вычисления основных характеристик продуктов сгорания при экстраполяции по содержанию примесей в компонентах топлива проведены специальные расчеты. Во втором томе настоящего Справочника [5] показано, что для получения минимальной погрешности линейной экстраполяции в интервале содержания примеси от нуля до ё тах, производная должна определяться как отношение конечных разностей, найденных по величинам параметров при значениях g = 0 и = 0,83 gmax При этом наибольшие погрешности должны быть при экстраполяции в районе ё 0,4 gmax и g = gn,ax. ДлЯ оценки точности экстраполяции специальными термодинамическими расчетами были определены точные значения параметров при содержании примесей в компонентах в количестве 0,4 таж и gmax ОнИ СОПОСТавЛЯЛИСЬ С приближенными значениями, найденными с использованием производных. [c.21]

Пример такого приближения дается в разд. 6.4.4, где показано, что из-за самосопряженности оператора поправочный член должен быть положительным Следовательно, точное значение функционала J о является минимальной величи ной, в соответствии с этим указывается систематическое приближение к точно му значению. Для потока Ф используется пробная функция, которая в эток случае идентична пробной функции дляФ+, с несколькими свободными пара метрами, которые варьируются до тех пор, пока не достигается минимальное значение функционала J. При этом производные от функционала по каждому из свободных параметров равны нулю. Это минимальное значение функционала является наилучшим приближением к точному значению, и суш,ест-вует четкий метод определения того, какая из пробных функций обеспечивает наилучшее приближение к точному значению функционала. [c.230]

Метод сеток, или метод конечных разностей, является эффективным инструментом теоретического изучения конвективных процессов. Основная идея метода такова. В области определения дифференциальной задачи выбирается конечное множество точек (узлов), называемое сеткой. Функции и производные в каждом узле приближенно заменяются (аппроксимируются) некоторыми линейными комбинациями значений соответствующих функций, входяищх в уравнения и краевые условия, в узлах сетки. В результате этих замен нелинейная дифференциальная задача ЕК сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций в узлах. Такую систему принято называть разностной задачей, или разностной схемой. Несмотря на нелинейность и большое, как правило, число неизвестных, разностная задача более предпочтительна для решения, чем исходная дифференциальная, так как допускает применение вычислительной техники. Найденное на ЭВМ решение разностной задачи (разностное решение) принимается за приближенное решение исходной задачи в узлах сетки. Оно имеет вид числовой таблицы, размер которой пропорционален количеству узлов. [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...