Диффузионное приближение, граничные условия

Диффузионное приближение, граничные условия 103—105 [c.479]

Уравнения (4.5.17), (4.5.20) образуют систему дифференциальных уравнений диффузионного приближения. Получим граничные условия для этой системы уравнений. Для [c.173]

Уравнение (4.5.32) представляет собой граничное условие для системы дифференциальных уравнений (4.5.17), (4 5.20) диффузионного приближения. Коэффициенты в указанной системе уравнений являются функциями температуры, давления, концентраций поглощающих и излучающих компо- нентов, V ( ) и должны быть заданы. Если эти коэффи тенты известны (с увеличением оптической толщины среды эти коэффициенты быстро приближаются к своим асимптотическим значениям), то для однозначного решения задачи лучистого переноса в рамках диффузионного приближения достаточно задания на границе величин 5т-или Зр. [c.174]

Выражения (5-34) и (5-35) совместно с уравнением энергии и граничными условиями образуют расчетную систему уравнений диффузионного приближения. [c.152]

Граничные условия для диффузионного приближения так же, как и в случае дифференциально-разностного приближения, могут быть заданы в виде известной температуры и радиационных свойств граничной поверхности либо задается поверхностная плотность результирующего излучения. [c.152]

На основании проделанных выкладок получаем систему уравнений диффузионного приближения, состоящую из уравнений вектора потока излучения (5-34) или (5-35), уравнения энергии (5-36) и уравнений граничных условий (5-37) или (5-40). Нетрудно видеть, что, подставив выражение для согласно (5-34) или (5-35) в (5-36), получим одно дифференциальное уравнение относительно спектральной объемной плотности энергии излучения и , которое совместно с граничными условиями (5-37) или (5-40) является формально точным и замкнутым при задании в каждой точке объема величины Т или рез. V граничной поверхности — величины или ез, V [c.153]

Дополним расчетное уравнение (5-44) или (5-51) уравнением энергии и граничными условиями, в результате чего получим замкнутую систему уравнений диффузионного приближения для полного излучения. [c.158]

Исключая из (5-54) и (5-55) величины пад и эф и принимая во внимание (5-53), окончательно приходил к уравнению граничных условий диффузионного приближения для полного излучения (когда заданы температура и радиационные свойства граничной поверхности) [c.159]

Система уравнений (5-51) и (5-52) с граничными условиями (5-53) или (5-56) однозначно определяет решение задачи при задании граничных условий (величин Et,w или Е-рез) и при задан ии в каждой точке объема величин т]с или г)рез- Так же как и в случае спектрального излучения, эта система уравнений содержит коэффициенты Lii (i=l, 2, 3), т и а, являющиеся функционалами температурного поля, неизвестными заранее и определяемыми с помощью приближенных методов. Все сказанное относительно аналогичных коэффициентов в уравнениях диффузионного приближения для спектрального излучения относится и к коэффициентам полного излучения. [c.159]

Уравнения граничных условий к (5-65) получаются из соответствующих граничных условий диффузионного приближения для спектрального излучения (5-37) или (5-40). Подставив в (5-40) величину на границе с поверхностью, определяемую из (5-61), запишем (5-37) и (5-40 в виде [c.163]

Таким образом, для полного излучения температурное поле в среде в приближении радиационной теплопроводности описывается дифференциальным уравнением (5-76) с граничными условиями (5-77). В качестве граничных условий может быть задано либо поле температур на поверхности Ту,, либо поле полной поверхностной плотности результирующего излучения рез. Все особенности уравнений радиационной теплопроводности в отношении заранее неизвестных коэффициентов La (t=l, 3), m и а уже обсуждались при рассмотрении общего случая диффузионного приближения. [c.166]

Решение сопряженных задач подобного рода удается получить только в простейших случаях. Поэтому часто используется приближенная методика, описанная в 2-4. При наперед заданных граничных условиях решается отдельно диффузионная задача, а затем определяется суммарное термическое сопротивление. [c.125]

Метод последовательных приближений. Этот метод применительно к несжимаемой жидкости изложен в работе Швеца [Л. 32]. Суть его в следующем. В системе (1.2) — (1.4) в первом приближении пренебрегают инерционными членами и находят решение упрощенной системы с соответствующими граничными условиями. Следующее приближение получают, подставив первое в инерционные члены и решая полученную систему при нулевых граничных условиях. Сумма этого решения и первого приближения дает второе приближение и т. д. Толщины динамического, теплового и диффузионных пограничных слоев находят из условий [c.100]

Следует отметить ограничения в использовании диффузионного приближения. Оно справедливо внутри среды, но неприменимо вблизи границ, где не выполняются условия (9.13). Оно не дает полного описания физического процесса вблизи границ, так как не включает в рассмотрение члены, учитывающие излучение от граничных поверхностей. Однако внутри оптически толстой области влияние граничных эффектов пренебрежимо мало, поскольку излучение, испускаемое граничными поверхностями, не достигает внутренних слоев. [c.346]

Выражения для критерия Вг определяются из граничных условий IV рода, которые записываются при условии диффузионного приближения для лучистой составляющей сложного теплообмена и отсутствия источника тепла на поверхности строительных конструкций (не горючие конструкции) в следующем виде [c.249]

Как было отмечено, существует несколько. кинетических моделей, описывающих взаимодействие между дислокациями и примесными атомами. Однако все они имеют много упрощений. Точного аналитического решения задачи для диффузионного и дрейфового потока примесных атомов к дислокациям в реальных граничных условиях до сих пор не получено не только для динамического деформационного старения, но и для более простых случаев термического старения и статического деформационного старения [И, с. 161]. Н. М. Власов и Б. Я. Любое [11, с. 193] в результате рассмотрения кинетики образования атмосфер примесных атомов вокруг скопления краевых дислокаций в плоскости скольжения указывают, что диффузионное уравнение решается в приближении слабого взаимодействия, т. е. когда дрейф атомов примеси в поле напряжений скопления краевых дислокаций считается малым возмущением. Отмечено, что аналитическое решение задачи вне рамок приближения слабого взаимодействия, т. е. в реальных граничных условиях, связано с большими математическими трудностями. Наиболее вероятной моделью применительно к динамическому деформационному старению является, [c.240]

Уравнения диффузионного приближения (2.62), (2.65) представляют собой систему двух дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций координат плотности и потока излучения. К ним нужно присоединить граничные условия на границах сред с различными [c.129]

Таким образом, независимо от амплитуды волны, при сколь угодно высоких начальных температурах Ti излучает всегда самый нижний край волны, и поток излучения с поверхности фронта волны соответствует температуре, близкой к Гг. Ни в коем случае не следует думать, что здесь сыграло какую-то роль принятое нами для описания переноса излучения диффузионное приближение, приводящее к граничному условию (9.18). В самом деле, диффузионное условие (9.18) соответствует предположению [c.500]

Следует подчеркнуть, что граничное условие (9.24) является лишь приближенным. Фактически диффузионное приближение, как известно, само по себе справедливо лишь для области, достаточно удаленной от границ и источников. Можно получить некоторое представление о том, насколько приближенным яв- [c.200]

Эти уравнения получили название граничных условий Маршака [36].Их можно получить также с помощью вариационного принципа [37]. Следует отметить, что при I = 1 граничные условия Маршака эквивалентны требованию обращения в нуль тока входящих нейтронов, встречающемуся в диффузионном приближении. При 1 = 1 Р1 ( х) = х и граничное условие есть [c.76]

Граничные условия Маршака (2.71) дают возможность определить линейную длину экстраполяции о(0)/ ф о (0) , которая в этом случае оказывается равной 2/3 (в длинах свободного пробега), как и в обычном диффузионном приближении. [c.77]

Используя известные решения этого уравнения с точными у,, вместе с граничными условиями, выведенными изложенным выше способом, получаем разновидность диффузионного приближения [441. Хотя оно дает достаточно точные результаты, его обобщение на случай многих групп не может быть сразу полу чено, и поэтому этот подход почти не используется в книге. [c.78]

Так как Л = —ф, граничное условие Маршака в уравнении (ЗЛО) для диффузионного приближения представляют в виде [c.104]

Граничные условия, подобные (3.10) и (3.11), часто используются для описания свободной поверхности в плоской геометрии. В диффузионном приближении поток нейтронов обычно полагается просто равным нулю на некоторой экстраполированной границе (см. разд. 2.5.4). [c.104]

Обобщенное граничное условие в диффузионном приближении. В диффузионном приближении различные ситуации могут быть описаны обобщенным граничным условием [c.105]

Систему уравнений (3.16), (3.17) и (3.18) вместе с граничными условиями можно решить непосредственно. Но чтобы использовать решение в многогрупповом диффузионном приближении, рассматриваемом в гл. 4 [c.107]

Очевидно, что уравнения одного вида, а именно уравнения (3.53) и (3.54) для Рх-приближения и уравнение (3.55) для диффузионного приближения, применимы к плоской, сферической и цилиндрической (бесконечно длинный цилиндр) геометриям. Аналогично, для этих трех одномерных геометрий можно получить конечно-разностные уравнения, которые решаются, если исключить небольшие различия в граничных условиях, методом, описанным в разд. 3.2.3. Задачи в двухмерной геометрии оказываются более сложными, и они будут рассмотрены для диффузионного приближения в следующем разделе. [c.117]

Для подкритической системы с источником отмеченных выше уравнений вместе с граничными условиями для каждой группы, аналогичными тем, которые были описаны в гл. 3, оказывается достаточно для полного определения задачи. Они, следовательно, должны определять единственное решение. Это-было строго доказано для многогруппового диффузионного приближения н для голого гомогенного реактора (см. разд. 1.5.4) [9]. [c.144]

Уравнения, приведенные в предыдущем разделе для собственных значений и а в многогрупповых уравнениях Р -и диффузионного приближений, используются для определения собственных функций, которые удовлетворяют соответствующим граничным условиям. В разд. 1.5.3, 1.5.5 было показано, в каком смысле эти собственные значения существуют для полного уравнения переноса, и теперь необходимо рассмотреть их свойства в много- [c.146]

В одном приближении [И] рассматривается применение уравнений (4.41)-и (4.44) для собственных значений и а соответственно к некоторой ограниченной области в пространстве. Для граничных условий предполагается линейное соотношение, подобное тому, которое представлено уравнением (3.12), устанавливающее связь между групповым потоком нейтронов на границе и его нормальной производной в виде,(/) g + бгП-V ф g — О, где п — нормальный единичный вектор, направленный наружу области, а — любая неотрицательная кусочно-непрерывная функция, определенная на границе. Это условие является достаточно общим,чтобы включать любое из граничных условий диффузионного приближения, упомянутых в разд. 3.1.5. Кроме того, предполагается, что поток и ток нейтронов непрерывны на поверхностях, а также, что поток нейтронов ограничен, а вторые производные непрерывны. Некоторые очень слабые условия накладываются также на групповые константы, однако они удовлетворяются в любой потенциально критической системе. [c.147]

Наиболее известным случаем приближенного решения уравнений Навье — Стокса являются решения уравнений пограничного слоя (Шлихтинг [1968]). Это могут быть аналитические решения, автомодельные решения, полученные численным интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений, и, наконец, неавтомодельные решения дифференциальных уравнений в частных производных. Отметим, что разница в рассмотрении уравнений пограничного слоя и полных уравнений Навье — Стокса состоит не только в пренебрежении диффузионными членами в направлении основного потока, но и в постановке граничных условий на внешней границе. [c.488]

Массоперенос к плоской пластинке, обтекаемой поступательным потоком. Исследуем стационарную конвективную диффузию к поверхности плоской пластинки, продольно обтекаемой поступательным потоком вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса (течение Блазиуса). Предполагается, что массоперенос осложнен объемной реакцией. В приближении диффузионного пограничного слоя соответствующая задача о распределении концентрации описывается уравнением и граничными условиями [c.219]

Более точной является двухгрупповая диффузионная модель реактора. Она позволяет приближенно учесть различие пространственного распределения нейтронов разных энергий. В этой модели плотность потока быстрых и надтепловых нейтронов Фо (г) описывается с помощью одного диффузионного уравнения, а поток тепловых нейтронов Фо(г) —с помощью другого уравнения. Рещения этих уравнений в каждой области (активная зона, отражатель, зона воспроизводства и др.) сщиваются > с соответствующими рещениями в прилегающих областях при подходящих граничных условиях для каждой группы с учетом требований, налагаемых на решения в центре и на внешней границе реактора. Интенсивность источников тепловых нейтронов в каждой области пропорциональна плотности потока быстрых нейтронов, а в областях, содержащих делящийся материал, интенсивность источников группы быстрых нейтронов пропорциональна плотности потока тепловых нейтронов. [c.40]

Таким образом, для описания детальной структуры нейтронного поля в реакторной ячейке необходимы довольно сложные и трудоемкие численные расчеты. Для практических расчетов можно пользоваться приближенными методами, например односкоростным диффузионным приближенне.м. При этом задача решается так же, как в рассмотренном выше случае реактора с отражателем, только роль активной зоны выполняет блок горючего, а роль отражателя — замедлитель. Единственное различие — в граничном условии на внешней границе ячейки. Поскольку из каждой ячейки выходит столько же нейтронов, сколько в нее попадает, на границе ячейки результирующий ток нейтронов должен быть равен нулю. [c.44]

Применительно к решению теплотехнических вопросов диффузионное приближение нашло свое дальнейшее развитие в работах Г. Л. Поляка [Л. 51] и С. И. Шорина [Л. 25, 68]. В своих исследованиях оба автора исходят из более общих позиций, не делая (как Росселанд) допущения о приближении к термодинамическому равновесию между средой и излучением. В ]Л. 51] диффузионное выражение вектора потока излучения представлено в виде градиентной формулы от сферической поверхностной плотности излучения ( ° = f//4). Автор сформулировал в общем виде граничные условия к диффузионному приближению и решил с его помощью ряд конкретных задач радиационного теплообмена. [c.144]

Таким образом, температурное поле в среде для приближения радиационной теилопроводности описывается уравнением (5-65) с граничными условиями (5-66), согласно которым на стенке может быть задано либо поле температур Ej. либо поле Е Так же как в диффузионном приближении, тиближение радиационной теплопроводности содержит величины неизвестных заранее коэффициентов Лгг(г = 1, 2, 3), т я определяемых с той или иной степенью точности. Все вышесказанное об этих коэффициентах для случая диффузионного приближения остается справедливым и для приближения радиационной теплопроводности. [c.163]

Ясно, что вблизи передней и задней кромок датчика приближение пограничного слоя неприменимо и членом пренебрегать нельзя. Положение осложняется тем, что реальная скорость химический- реакции конечна и, следовательно, в тех же областях электрода необходимо должны существовать зовы с чисто кинетическим и диффузионно-кинетическим контролем (граничное условие (16)). Следовательно, решение Левека может быть использовано только для достаточно широких датчиков и при этом лишь для достаточно быстрых реакций. В рассматриваемых же условиях необходимо решать обцую систему (3) - (4). [c.334]

Проведем приблизительную оценку величины обедненного никелем приграничного мартенситного слоя за время нагрева от 300 до 400°С со скоростью 0,3 град/мин ( 20 000 с). Полагаем, что медленный нагрев от 300 до 400°С равнозначен изотермической выдержке (20 000 с) при средней температуре 350°С. Согласно диаграмме равновесия [10], в сплаве, содержащем 30,5ат. % N1, равновесное содержание никеля в я- и у-фазах составляет соответственно 7 и 47%. Считаем, что для установления равновесной и постоянной ковдентрации на границе аустенит-мартенсит требуется достаточно магтое время, которым можно пренебречь. Из-за приближенности расчета не учитываем разницу в скоростях подвода и отвода никеля от границы раздела. Воспользуемся решением второго диффузионного уравнения Фика для указанных граничных условий при неизменном содержании никеля в средней части мартенситного кристалла [ 198] [c.135]

Это уравнение называют уравнением Шварцшильда — Милна. Мы не станем подробно останавливаться на этой проблеме, так как она детально описана в литературе [31, 40] и, хотя и представляет значительный исторический и теоретический интерес, является лишь частной проблемой, практические приложения которой ограниченны. Следует отметить, что точное решение этой проблемы можно разделить на две части, причем одна из них подчиняется диффузионному уравнению и удовлетворяет тому же граничному условию, которое использовалось в диффузионном приближении. Этот вопрос рассматривается в гл. 9. [c.257]

Справедливость приближения Вигнера—Зейца проверялась, в частности, прп расчете переноса тепловых нейтронов с помощью диффузионного приближения [25]. Очень важен выбор граничных условий для цилиндрической ячейки. В реальной ячейке можно было бы использовать граничные условия отражения или периодичности (см. разд. 3.1.5), но в эквивалентной цилиндрической ячейке ситуация становится менее ясной. На первый взгляд, может оказаться приемлемым задание на цилиндрической поверхности граничных условий отражения нейтронов. Если поток нейтронов задается в цилиндрической системе координат, описанной в разд. 1.7.1, то граничные условия отражения сводятся к требованию [c.127]

Требуется найти изменение полной интенсивности размножения а при добавлении небольшого количества материала на поверхности сферической системы. Вместо рассмотрения возмущенной и невозмущенной систем с различными границами можно наложить граничные условия на поверхности с радиусом, достаточно большим для того, чтобы включить в себя обе системы и затем использовать теорию, развитую в разд. 6.3.2. Найти выражения для Да, в рамках теории переноса нейтронов (с энергетической зави снмостью) и в многогрупповом диффузионном приближении. [c.247]

Несмотря на очевидную сложность, данная схема обладает некоторыми пренмуществами. У нее формальная ошибка аппроксимации составляет = О (А 2, Ах , Ау ). Это одношаговая схема, и поэтому здесь не возникает проблем, связанных с граничными условиями. Для этой схемы тождественно выполняется равенство 0 = 1 и тождественно сохраняются величины и кинетическая энергия v , эти свойства схемы делают ее особенно удобной для решения задач гидродинамической устойчивости. Поскольку схема сохраняет величину , она не подвержена нелинейной неустойчивости Филлипса [1959], возникающей из-за обусловленных неразличимостью ошибок (такие ошибки имеют место, но остаются ограниченными, так как остается ограниченным). Хорошие свойства этой схемы, относящиеся к фазовой ошибке и обобщающие ее на случай метеорологических уравнений в приближении р-плоскости , рассмотрены Граммельтведтом [1969]. Используя подход Дюфорта— Франкела (разд. 3,1.7), Феста [1970] включил в данную схему диффузионные члены. [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...