Г-функция, соответствующая характеристическому коэффициенту

При построении системы КОР используется метод Винера-Хопфа. Первоначально полученные замкнутые решения выражаются тройными интегралами, и при их реализации возникают различные вычислительные проблемы, связанные с медленной сходимостью обращений преобразования Лапласа. Спектральный анализ соответствующих характеристических функций позволил преодолеть эти трудности и построить эффективное решение, в котором все ряды и интегралы имеют экспоненциальную сходимость. Для сингулярных точек области получены асимптотические представления решений и явные формулы для коэффициентов интенсивности. Получены простые формулы для временных осадок штампа на прямоугольнике. Выполнены численные проверки сходимости, приводятся численные результаты по исследованию изменения коэффициента интенсивности напряжений в процессе консолидации. [c.574]

Таким образом, комбинируя результаты этих двух случаев, мы установили, что коэффициент устойчивости, соответствующий данной общей -функции, исчезает для некоторого промежуточного а Ь с. В дальнейшем будет показано, что в действительности только этот коэффициент и может исчезать. Чтобы отличить от оставшихся 2п коэффициентов устойчивости, которые всегда оказываются положительными, его называют характеристическим коэффициентом устойчивости порядка п . [c.167]

Само по себе это пе значит, что характеристический коэффициент действительно не обращается в нуль нри некотором а 6 с, но теперь 1 этот результат следует из полученного ранее заключения па стр. 167. Там было показано, что имеется только одна функция Li (всего их 2п + 1), для которой удовлетворяется j2 = f , т.е. для пеё соответствующий коэффициент устойчивости обращается в нуль. Это, вместе с результатом данного раздела, окончательно доказывает, что для любого данного порядка лишь характеристический коэффициент устойчивости может обратиться в пуль, и это происходит для некоторой конечной фигуры Якоби. [c.171]

Чтобы найти характеристический коэффициент любого данного порядка п, можно использовать следующее свойство при Ь = с соответствующая -функция сводится к — 1)". [c.175]

Уравнения, преобразованные к новым переменным (6.3), содержат неизвестные функции ерь (О и их первые производные, которые совпадают со скоростями распространения соответствующих разрывов. Для всех трех типов разрывов скорость распространения определяется местными значениями основных газодинамических параметров. При описании численных процедур мы предполагали, что величины и [ф ]<, которые входят в коэффициенты характеристических соотношений, берутся с нижнего слоя. Именно поэтому уравнения, определяющие искомые функции слева и справа от разрыва, разделяются. При этом имеем первый порядок точности относительно шага по времени. Однако с помощью стандартной техники пересчета можно построить алгоритм, дающий аппроксимацию второго порядка. При этом для сокращения объема вычислений целесообразно сначала провести расчет в окрестностях всех линий разрыва, а затем находить неизвестные величины во внутренних узлах. [c.148]

Сокращение потребного машинного времени для определения показателей качества систем достигается, во-первых, за счет исключения операции определения корней характеристических уравнений, а также корней, соответствующих полиномам правых частей уравнений систем, т. е. за счет исключения операции определения корней, соответствующих числителям и знаменателям передаточных функций систем. Кроме того, сокращение потребного машинного времени достигается за счет исключения необходимости осуществлять интегрирование уравнений систем. Оценка качества переходных процессов и оценка запасов устойчивости в методе эффективных полюсов и нулей осуществляются приближенно по простейшим аналитическим зависимостям, в которые непосредственно в явном виде входят коэффициенты уравнений. Использование этих зависимостей эквивалентно введению приближенных — эффективных корней уравнений (эффективных полюсов и нулей передаточных функций). [c.8]

Построим переходный процесс, соответствующий функции (II.4), операционным методом [22]. Для построения процесса указанным способом необходимо иметь значения корней знаменателя передаточной функции (характеристического уравнения). Для принятых значений коэффициентов знаменателя этой функции значения корней оказываются следующими [c.53]

По значениям постоянных времени Та, Т , Т , и Т , а также по значению коэффициента усиления К при помощи общеизвестных правил строятся асимптоты логарифмической амплитудно-частотной характеристики (рис. 6.4), причем участок 1—1 определяется значением коэффициента усиления /С, а уклон каждого последую-п его — порядком множителя, определяемого индексом постоянной времени Т начала этого участка. Так, сомножителем характеристического уравнения соответствует отрицательный уклон асимптоты в 20 дб на декаду для сомножителя первого порядка н 40 дб на декаду для сомножителя второго порядка, а для сомножителей, входящих Б числитель выражения передаточной функции, уклоны соответственно меняют знак. [c.179]

Подытоживая, можно сказать, что полет вперед влияет на динамику продольного движения тем, что появляются момент тангажа от вертикальной скорости и вертикальное ускорение, вызванные угловой скоростью тангажа и инерционностью вертолета. Их произведение дает член —в характеристическом уравнении. Влияние скорости полета на корни легко установить, если рассматривать характеристическое уравнение как передаточную функцию некоторой разомкнутой системы с коэффициентом обратной связи Полюсы разомкнутой системы являются корнями характеристического уравнения для режима висения (строго говоря, это корни для режима висения, полученные с производными устойчивости, соответствующими полету вперед). Кроме того, имеется двойной нуль разомкнутой системы в начале координат. Режиму висения соответствуют два действительных корня для движений по тангажу и вертикали и два длиннопериодических слабо неустойчивых колебательных корня. За коэффициент обратной связи можно принять и л , поскольку производная Mw пропорциональна ц. Корневой годограф при изменении или, что то же самое, скорости полета, показан на рис. 15.10, где видно изменение корней продольного движения как при исходной неустойчивости по углу атаки от несущего винта (М >0), так и при устойчивости по углу атаки, создаваемой достаточно большим стабилизатором Ми, < 0). [c.754]

Из результатов экспериментальных исследований и логических соображений следует, что характеристическая функция Ф (А,) будет монотонно возрастающей и представится графически S-образной кривой (рис. 26) в координатах Ф X. При этом величина Я,,) соответствует пороговому значению коэффициента интенсивности К,,, ниже которого трещина не распространяется. [c.95]

Трансцендентное уравнение, его корни и соответствующие им однородные решения представляют собой своего рода характеристическое уравнение, собственные числа и собственные функции рассматриваемой канонической сингулярной задачи. Число собственных функций бесконечно, так как число корней трансцендентного уравнения бесконечно каждый корень непрерывно зависит от коэффициента Пуассона (и коэффициента трения при наличии кулонова трения), вообще говоря, входящего в трансцендентное уравнение. Модуль Юнга, очевидно, не может [c.54]

И, кроме того, для определенности и простоты принято, что пластинка нагружена равномерно распределенным давлением интенсивности Р, а коэффициенты Пуассона всех слоев равны между собой и v. Частное решение неоднородной системы (4.1.25) вычисляется методом неопределенных коэффициентов [150], а вектор-функции [и, W, W] , составляющие базис пространства решений соответствующей однородной системы, строятся в виде, аналогичном (4.1.13). Составив характеристическое уравнение [c.102]

Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений (4.1.33) эффективно вычисляется методом неопределенных коэффициентов [150], а вектор-функции [U, W, составляющие базис пространства решений соответствующей однородной системы, строятся в виде, аналогичном (4.1.13). Составив характеристическое уравнение [c.104]

Одним из эффективных методов составления исходных дифференциальных уравнений и решения соответствующих краевых задач теплопроводности и термоупругости для кусочно-однородных тел (многослойных, армированных, со сквозными и с несквозными включениями) в случае выполнения на поверхностях сопряжения их однородных элементов условий идеального термомеханического контакта, для многоступенчатых тонкостенных элементов, локально нагреваемых путем конвективного теплообмена тел, тел е зависящими от температуры свойствами, с непрерывной неоднородностью является метод [52], основанный на применении обобщенных функций [7, 18,22, 50,87] и позволяющий получать единые решения для всей области их определения. В этих случаях физико-механические характеристики и их комбинации кусочно-однородных тел, толщина (диаметр) многоступенчатых оболочек, пластин, стержней, коэффициент теплоотдачи с поверхности тела могут быть описаны для всего тела (поверхности) как единого целого с помощью единичных, характеристических функций, а физико-механические характеристики тел с непрерывной неоднородностью с зависящими от температуры физико-механическими характеристиками могут быть аппроксимированы с помощью единичных функций. В результате подстановки представленных таким образом характеристик в дифференциальные уравнения второго порядка теплопроводности и термоупругости неоднородных тел, дифференциальные уравнения оболочек, пластин, стержней переменной толщины (диаметра), дифференциальные уравнения теплопроводности или условие теплообмена третьего рода с переменными коэффициентами теплоотдачи приходим к дифференциальным уравнениям или граничным условиям, содержащим коэффициентами ступенчатые функции, дельта-функцию Дирака и ее производную [52]. При получении дифференциальных ура,внений термоупругости для тел одномерной кусочно-однородной структуры наряду с вышеописанным методом эффективным является метод [67, 128], основанный на постановке обобщенной задачи сопряжения для соответствующих дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Здесь за исход- [c.7]

Аналитическая модель. Распределение потенциала двухэлектродной симметричной иммерсионной линзы всегда может быть записано в виде (3.183). Так как в уравнении параксиальных лучей (7.1), так же как и в выражениях для коэффициентов аберрации (уравнения (7.4) и (7.5)), присутствуют только отношения первой и второй производных к распределению потенциала, очевидно, что оптические свойства линзы зависят от функции распределения ф(г) и отношения потенциалов изображение— объект (Уг—С/о)/(У1—и ). Структура указанных уравнений показывает, что отношение потенциалов входит в них в нелинейном виде, поэтому нужно всякий раз решать эти уравнения для каждого отношения потенциалов, за исключением очень малых значений этого отношения, когда могут быть использованы формулы тонкой линзы, и очень больших значений, когда некоторые уравнения могут быть упрощены. Можно аппроксимировать характеристические оптические величины степенными рядами отношения потенциалов [44], но результирующее выражение также будет чрезмерно громоздким, а его точность будет зависеть от диапазона отношения напряжений. Зависимость этих величин от отношения напряжений для реальных линз будет исследована в соответствующих разделах численными методами. [c.389]

Как мы видели в предыдущих разделах, задача об устойчивости периодического движения, приводящаяся к исследованию устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, может быть разрешена при помощи построения соответствующей функции Ляпунова или вычислением характеристических показателей, являющихся корнями характеристичного уравнения. [c.116]

По теореме Ляпунова, приведенной в разделе 3 3 главы I, отсюда следует, что коэффициенты характеристического уравнения, соответствующего каждой из систем (5.57) и (5.58), также являются аналитическими, голоморфными функциями от параметра, которым в нашей задаче является эксцентриситет е. [c.261]

Используя все предыдущие формулы, находим по формуле (3) характеристическую функцию течения, возникшего от данной набегающей на берег волны (6). При тп Ф О эта функция имеет в точке = О полюс порядка 2тд и поведение соответствующей величины т) определяется в бесконечности формулами (6), в которые не входит число т. Поэтому существует сх) прогрессивных волн, имеющих заданное выражение (6) для своих ординат в бесконечности, причем главная часть разложения в ряд Лорана около нуля характеристической функции течения будет состоять из т слагаемых с произвольными коэффициентами Ах, А2,. . ., [c.202]

Решение уравнений колебаний при флаттере. Поскольку аэродинамические члены уравнения зависят от К, аналитическое решение задачи о флаттере более сложно, чем решение задачи об устойчивости, когда выполняются соотношения аэродинамики установившихся течений. В этих условиях (зависимости от К) обычно используют следующий метод решения. Выбирают некоторое значение К, а соответствующие ему значения Н, и А берут по графикам этих функций, полученным экспериментально. Предполагается, что решения уравнений (6.61) и (6.63) относительно к я а пропорциональны которое и подставляют в эти уравнения. Определитель, составленный из коэффициентов при амплитудных значениях Н н а, приравнивают. нулю как основное условие устойчивости. В результате получают характеристическое уравнение четвертой степени относительно неизвестной частоты флаттера со, которое необходимо решить. Полученное решение в общем виде записывают как со = 1 + причем со Ф О, и, следовательно, соответствует затухающим (при соа > 0) или нарастающим (при соз С 0) колебаниям. Затем выбирают новое значение К и вычислительный процесс повторяется до тех пор, пока решение не будет чисто мнимым (или очень близким к этому), т. е. пока соа О, так что со со . Такому решению соответствует режим флаттера при действительной частоте СО1. Пусть Ко представляет значение К, для которого со со . В таком случае критическая скорость флаттера равна [c.183]

В толщиномере РТЦП-2, предназначенном для контроля толщины цинкового покрытия стальной полосы, для стабилизации коэффициента усиления блок высоковольтногопреобразователя, питающий сцинтилляционный счетчик, вырабатывает две последовательности импульсов. Блок обработки информации представляет результаты измерений в микрометрах на цифровом табло и в виде функции длины полосы на самописце. Блок амплитудной селекции и автоматической стабилизации коэффициента усиления обеспечи-, вает преимущественное выделение участка спектра, соответствующего характеристическому излучению цинкового покрытия, что позволяет, в конечном итоге, повысить чувствительность измерения в области малой толщины покрытия. Температура полосы должна быть не более 80 °С. [c.397]

Для случайной величины с абсолютно непрерывной функцией распределения модой называется любая точка максимума плотности вероятности. Отношение центрального момента порядка 3 к корню порядка 3 из квадрата дисперсии называется коэффициентом распределения вероятностей. Отношение центрального момента порядка 4 к квадрату дисперсии характеризует эксцесс распределения - числовую характеристику сглаженности плотности вероятностей относительно ее моды. Коэффициент разложения логарифма характеристической функции в ряд Тэйлора в окрестности нуля называется семиинвариантами,ил и кумулянтами соответствующей случайной величины. [c.88]

Блок V вычисляет значения коэффициентов и корней характеристического уравнения (8-17). Если теплообменник конвективный, корни ри р2, рз вычисляются по а. горитму Кордана. Для радиационного теплообменника вычисляются два корня ри рз, а для трубопровода один р = —Лг. Этот же блок в соответствии с логической информацией о типе теплообменника вычисляет значение функций Яп. [c.131]

Рассмотрим задачу определения границы устойчивости для заданного значения /J. Характеристическое уравнение для границы флаттера (на которой s = ш) может быть разрешено относительно жесткости системы управления в виде =/((о), где / — комплексная функция частоты флаттера ш, учитывающая зависимость аэродинамических коэффициентов от С (ЙэФф). Решение определяется требованием о том, чтобы и, следовательно, / были действительными. Функция /(ш) вычисляется для ряда значений ш, а нули функции Pm(f) находятся графи-чески или численно. Жесткость проводки управления на границе флаттера определяется действительной частью /(ш) при частотах флаттера, соответствующих нулям Im(f), т. е. е = = Re(/). Повторяя эту последовательность вычислений для ряда значений /, можно установить границу флаттера. Для квази-статического случая, рассмотренного в предыдущем разделе, при [c.592]

Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей степени связанные между собой светорассеянием за счет возмущения (соответствующие матричные элементы оператора возмущения относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате такого приближенного представления решений система (3.1) из бесконечной переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффициентов йуп, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее следует стандартная процедура требование существования ненулевых решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится р значений /3. Каждому из них соответствует свой набора , определяющий одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приближении. [c.150]

Фундаментальные результаты по устойчивости в критических случаях изложены в работе Г. В. Каменкова (1939). Здесь изложены результаты автора 1935—1936 гг., а также рассмотрен ряд новых случаев, в частности, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, двух пар чисто мнимых корней при условии отсутствия резонанса и общий случай т нулевых корней с т группами решений, 2п чисто мнимых (при отсутствии резонанса) и д корней с отрицательными вещественными частями. Исследовались также аналогичные случаи для уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь рассмотрен вопрос о возможности перехода от полной системы уравнений возмущенного движения к укороченной , содержащей лишь критические переменные, и показано, что такой переход всегда возможен в несущественно особенных случаях при суждении об асимптотической устойчивости или неустойчивости. В случае же неасимптотической устойчивости знак производной функции V может быть изменен членами порядка, большего N. Показано также, что критическая система с т-кратным нулевым корнем, которому отвечает т групп решений, и с2тг чисто мнимыми корнями при отсутствии резонанса преобразуется в новую систему уравнений с (иг + г)-кратным нулевым корнем, которому соответствует т п групп решений. Для систем с г-кратным нулевым корнем с п группами решений доказано, что для неустойчивости невозмущенного двин ения достаточно, чтобы хотя бы на одном вещественном нетривиальном решении системы уравнений [c.56]

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2р переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутстви я резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и ограниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для укороченной системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего [c.59]

Следовательно, доказательство утверждения (и) 421 будет закончено, если только по крайней мере один из двенадцати характеристических показателей s для уравнений в вариациях окажется при соответствующих значениях масс пц отрицательным и иррациональным. Удостовериться в последнем можно путем исследования корней уравнения det sE — А) =0. Эти громоздкие 1Г элементарные исс.иедования аналогичны тем, о которых указывалось в 381. Выполняя их в данном случае, найдем, что если точка равновесия = aj уравнений (29i) соответствует треугольному решению, то восемь корней уравнения det sE — А) = О из двенадцати принадлежат, как и в 382, к устойчивому типу. Если исключить эти корни, то остающееся биквадратное уравнение легко разрешимо. Один из его корней s = s(/ i, т , /из) оказывается отрицательным при произвольных тщ, т , тпз и его значение зависит от масс гщ (входящих в коэффициенты уравнения). Кроме того, этот корень s = s(mi, /иг, гпз) принимает иррациональное значение, так как он является алгебраической, а следовательно, непрерывной функцией пц. [c.415]

Смотреть страницы где упоминается термин Г-функция, соответствующая характеристическому коэффициенту : [c.175] [c.172] [c.118] [c.43] [c.248] [c.397] [c.450] [c.235] [c.6] [c.67] [c.239] [c.126] [c.91] [c.298] [c.33] [c.490] [c.503] [c.397]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...