Теорема о продолжении

ПЕРФОРИРОВАННЫЕ ОБЛАСТИ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ. ТЕОРЕМЫ О ПРОДОЛЖЕНИИ [c.38]

Теоремы о продолжении вектор-функций, заданных в перфорированных областях [c.39]

Важно отметить, что функция У, определяемая равенством (7.7) для 5 вне 7 и (7.8) для внутри 7, является аналитической функцией от 5 не только вне и внутри 7, но также и на самой кривой 7. Иными словами, (7.8) — аналитическое продолжение (7.7) внутрь 7. Это следует из того, что функции и интегралы в (7.7) терпят разрывы, когда пересекает 7, и эти разрывы вносят вклад в дискретный член, равный предельному значению дискретного члена в (7.8). Поэтому можно в обратном преобразовании Лапласа деформировать путь интегрирования так, чтобы он пересекал 7 при условии, что для каждой области используется соответствующее выражение. С другой стороны, в силу выбора щ (неравенство (7.9)) отрезок [—1, 0], как легко видеть, является линией разрыва. Согласно хорошо известной теореме о преобразовании Лапласа, [c.199]

Теорема 4.2 (о продолжении вектор-функций для областей й типа П). Пусть 0, перфорированная область типа П. Тогда для вектор-функций из Я (О ) существует линейный оператор продолжения Р, Я ( 0 )->Я ( 2), такой, что [c.41]

Доказательство. Неравенство (4.26)—простое следствие неравенства Корна (2.3) в области Й (см. теорему 2.4 и теорему 4.2 о продолжении). Действительно, пусть Р, — оператор продолжения из теоремы 4.2. Тогда [c.44]

Решение. Векторы скоростей у , Уд и у соответственно точек А, ВиС (рис. 13.14, 6) в рассматриваемый момент времени расположены на прямой АВ (и ее продолжении), поэтому согласно теореме о проекциях скоростей [c.97]

Н. Е. Жуковский рассматривал установившиеся плоскопараллельные обтекания цилиндрического крыла бесконечного размаха поступательным набегающим потоком с постоянной скоростью. При решении плоской задачи о потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью цилиндрического крыла можно найти в двусвязной области потенциального потока решение с циркуляцией, отличной от нуля по контуру, охватывающему крыло. Соответствующий потенциал оказывается многозначным. При непрерывном кинематическом продолжении рассматриваемого обтекания на всю плоскость в соответствии с теоремой Стокса внутри крыла получается вихревое течение. [c.300]

Левая часть этого уравнения представляет собой функцию, аналитическую в нижней полуплоскости s, а правая — функцию, аналитическую в верхней полуплоскости s. Согласно принципу непрерывного продолжения левая и правая части этого уравнения являются аналитическим продолжением друг друга. Осталось выяснить поведение определенной таким образом функции, аналитической во всей плоскости s в бесконечно удаленной точке. Для этого применяем теорему абелева типа 1136]. Согласно условию [981 на ребре при г = + г/ —> О, а, = 0(r i 2) нетрудно показать, что аналитическая функция стремится к нулю на бесконечности. Тогда в силу теоремы Лиувилля она тождественно равна нулю во всей плоскости s. [c.151]

Последовательное применение схемы жестко-пластического тела связано с рядом затруднений, пока полностью не преодоленных. Прежде всего отметим, что решение, построенное по этой схеме, вообще говоря, может не совпадать с решением такой же упругопластической задачи при Е- -со. Отсутствуют теоремы, которые позволили бы судить о близости решений упруго-пластических задач к решениям жестко-пластических. Далее, требуется, чтобы напряжения в жестких частях имели приемлемый характер при продолжении их из пластической зоны и не достигали условия текучести, т. е. чтобы было Это условие трудно проверить, так как в жестких частях распределение напряжений неопределенное. [c.64]

Из обращения и (х) в нуль в окрестности х со, по свойству аналитичности, с помощью аналитического продолжения нахоДим и (.дг) = О, /х 0 , Теперь доказательство теоремы 2.13 получается из оценок (2.55), которые согласно основной лемме дают [c.102]

После выхода первого издания настоящей книги авторам стало известно о работе Duffin R. [1], в которой доказаны теоремы о продолжении решений уравнения А (дх) и—0, при условии обращения в нуль на S а) вектора смещения, Ь) вектора напряжения, с) касательных составляющих напряжения и нормальной составляющей смещения, d) касательных составляющих смещения и нормальной составляющей напряжения. Метод доказательства — отличный от указанного выше упомянутые результаты относятся к статическим задачам и нашли интересные применения в доказательстве теорем единственности в задачах для полупространства (см. гл. III, 7). В работе Duffin [1] граничные задачи не рассматриваются. Существуют и другие теоремы продолжения в теории упругости, см. об этом Bramble [1, 2]. [c.597]

Э1га теорема является комплексным аналогом теоремы о продолжении решений линейных уравнений с вещественным временем на весь интервал непрерывности коэффициентов. [c.130]

Для вычисления п значений корреляционной функции требуется выполнить порядка niV умножений и сложений. При больших п и N это число может быть достаточно большим. Поэтому в этом случае, как и для вычисления цифровой свертки, рекомендуется сначала с помощью алгоритмов БПФ вычислить спектры Фурье анализируемых сигналов (или только один спектр, если вычисляется функция автокоррелиции сигнала), затем эти спектры перемножить, причем один из спектров заменяется своим комплексносопряженным, и выполнить обратное преобразование Фурье. Поскольку этот способ основан на теореме о циклической свертке теории дискретного преобразования Фурье, применяя его, необходимо позаботиться о правильном доопределении недостающих отсчетов анализируемых последовательностей. Один из лучших и наиболее естественных способов доопределения состоит в четном продолжении последовательностей по правилу [c.195]

Таким образом, квадрат радиуса заготовки равен площади прямоугольника, одна сторона которого равна длине образующей кривой Ь, а другая — двойному расстоянию от центра тяжести до оси вращения Оз = 2Rs). Это соответствует теореме о том, что перпендикуляр, опущенный нз вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы. На продолжении прямой АВ (фиг. 111, в), как па диаметре, откладываем величину Вз, строим полуокружность и восстанавливаем к прямой АС нерпендику.т1яр ВЕ в точке В. Тогда отрезок ВЕ [c.196]

Будем рассматривать движение с момента времени t в продолжение бесконечно малого промежутка времени -с. Пусть точка в течение этого промежутка проходит путь ММ, Разложим это движение на два на движение по касательной МР с постоянною скоростью V, которую имела точка в положении Ж, и на ьЕекоторое другое. Двигаясь по касательной МР с постоянной скоростью V, точка в промежуток времени х пройдет путь МЫ = -ух это движение совершается по инерции и потому не зависит от действующей силы. Другое движение будет совершаться по прямой ЫМ в направлении МЬ, или МЯ, где МЬ Д М Ы. Но М Ы есть девиация, поэтому на основании теоремы о девиации найдем, что МЬ направлена по полному ускорению и равна /т , [c.158]

В этом уравнении скорость известна полностью, вектор Уд перпендикулярен к ED, а вектор перпендикулярен к D . Проводя через точки рис перпендикуляры садтветственно к Ей и D, полуадем точку их пересечения d, определяющую вектор pd скорости точки D. Отрезок р/ на продолжении прямой dp, изображающий скорость Vp, на основании теоремы о подобии находим из пропорции [c.94]

Свойства экспоненциального отображения, в частности тот факт, что его дифференциал в начале координат является тождественным отображением, и гладкость зависимости ехр от х, гарантируют, что для достаточно малого е>0 каждое отображение С -близко к своему дифференциалу в начале координат, который просто представляет собой дифференциал Df)x> выраженный в наших координатах. Тогда, используя лемму о продолжении 6.2.7, можно продолжить отображения для некоторого е, < е на все пространство К . Обозначим продолженные отображения просто через Д. Таким образом, вдоль каждой орбиты f" x) ra z х еАмы получаем последовательность отображений Д = R" i удовлетворяющих условиям теоремы 6.2.8. В частности, еще раз уменьшая е до некоторого Eji мы можем сделать число 6, входящее в формулировку этой теоремы, произвольно малым. Переформулировка утверждения этой теоремы в терминах первоначального отображения / дает следующий результат, который обычно называется теоремой об устойчивых и неустойчивых многообразиях для гиперболических множеств. [c.272]

Наоборот, предположим, что диффеоморфизм / структурно устойчив и имеет нетрансверсальную неподвижную точку з , т. е. такую точку, что f i )) = 1- По теореме Купки — Смейла у диффеоморфизма / существуют только изолированные неподвижные точки, потому что в любой окрестности / найдется диффеоморфизм Купки — Смейла, а следовательно, диффеоморфизм Купки — Смейла, топологически сопряженный с /. Поскольку = 1, существует сколь угодно малое С -возмущение /, имеющее отрезок с концами в неподвижных точках, содержаыщй а , т. е. диффеоморфизм / не является структурно устойчивым, что приводит к противоречию. Такое отображение может быть построено с помощью метода, используемого в лемме о продолжении 6.2.7, а именно путем построения приближения, которое совпадает с линейной частью в окрестности неподвижной точки. [c.301]

Пусть л е (5Q. Поскольку dQ — граница класса 9 и отображение ф принадлежит пространству Q R ), найдутся открытое множество Л с R , содержа щее х, и продолжение ф (обозначаемое снова ч ерез ф) фе 5 (0иЛ R ), такие что det V

О на множестве Q U Л. Это продолжение можно построить при помощи известных методов продолжения функций, заданных в областях с гладкой границей (см. Ne6as [1967]). Тогда по теореме о неявной функции существуют открытые множества i/ Л и U, содержащие точки х vi х = ф(х) соответственно и такие, что ф U U есть -диффеоморфизм. [c.260]

Теорема о релаксации напряжений (Колеман Нолл). Для любого фиксированного момента времени t и для любой предыстории градиента F из 3) предыстория постоянного продолжения p i,) также принадлежит 3) и предел (р(<,))тгри существует и представляет собой статические напряжения, соответствующие P(i) [c.381]

Исследования явления генерации вихрей во вращающейся жидкости над локализованными возмущениями рельефа дна ведут свое начало от работы Дж.Праудмена [57], в которой им была доказана теорема о независимости не вязкого движения быстро вращающейся жидкости от координаты, параллельной оси вращения. Спустя семь лет Дж.Тейлор [66] воспроизвел эту ситуацию в эксперименте и обнаружил образование цилиндрического вихря над локализованным возмущением дна. Вплоть до 1961 года эти работы не имели продолжения. [c.624]

Если значения Хк 1, 6 о ) при каком-либо i из интервала О < i < р, например при Ь = р/2, считать опять начальными значениями, то решение можно продолжить аналитически и за точку Ь = р. Пусть решение x t, а) при закрепленных = , а = а продолжено, как функция Ь, на весь интервал О < i < 1. Если тогда кривая х 1, , а ) при О < i < вся лежит в области регулярности /1(ж, а),. .., /т(ж, а), то, как это следует из теоремы о покрытии, из последовательного применения вышеупомянутых операций следует, что в достаточно малой окрестности II точки = , а = а решение x t, а) может быть продолжено на интервал О < < 1 и там будет оставаться регулярной функцией всех переменных t, а. По чем больше будет выбрано 1, тем меньше будет вообще окрестность II, в которой регулярность сохранится при аналитическом продолжении. Пужно заметить, что это рассуждение можно провести и для таких дифференциальных уравнений [c.187]

Доказательство сформулированного утверждения основывается на использовании теоремы о неявных функциях. В качестве точки Жо согласно неравенству (4.2) может быть выбрана произвольная точка области G. Значит, последовательным продолжением можно получить всю однозначную ветвь функции (4.8). Утверждение теоремы 4.1 легко переносится ва случай апа.питических дифференциальных систем, когда функции (4.8) являются аналитическими [c.110]

Часть IV книги посвящена в основном уравнению Гельмгольца и волновому уравнению. Здесь подробно изложена теория краевых задач для уравнения Гельмгольца в неощ>аниченных (внешних) областях, доказаны теоремы существования и единственности решений таких задач с условием излучения Зоммерфельда на бесконечности, причем для доказательства существования решения используются метюды теории потенциала, а также метод предельного поглощения и метод предельной амплитуды. Рассматривается вопрос о продолжении резольвенты в комплексную область, вопрос о частотах рассеяния, изучена задача об акустическом резонаторе и поведении его частот рассеяния, а также другие физические задачи, связанные с уравнением Гельмгольца. [c.8]

Доказательство. Пусть N = (i mP Q,) и/,-, 1<1<Л/ ,—базис двойственного пространства для P/((i2). В силу теоремы Хана —Банаха о продолжении непрерывных линейных функционалов существуют такие непрерывные линейные формы, определенные на пространстве и обозначаемые опять/,-, 1<1 Л/ , что для всякого p Pf, Q) имеем(р) = 0, 1 < Л, тогда и только тогда, когда р = 0. Покажем, что сутдествует такая постоянная (Q), что [c.119]

Xj t) постоянна в окрестности t = 0. Выберем некоторый луч г i = re от О до 00, (О г оо), не проходящий через конечное число исключительных значений параметра t. Покажем, что можно аналитически продолжить функцию t Zj t) на некоторую окрестность этого луча так, чтобы Zjit) была периодической точкой отображения с мультипликатором Xj = onst. Для доказательства этого факта проверим, что множество таких п G [0 оо], для которых такое продолжение возможно и при О г Г1, одновременно и замкнуто, и открыто. Оно замкнуто, поскольку любая предельная точка периодических точек с заданным мультипликатором Xj ф 1 сама периодична с тем же мультипликатором, а открыто, поскольку любая такая периодическая точка, по теореме о неявной функции, гладко зависит от i в некоторой открытой области i-плоскости. Теперь, аналитически продолжая функцию вдоль луча к i = 00, мы видим, что отображение z z также имеет цикл с мультипликатором Xj, таким, что А = 1. Но каждая периодическая точка этого предельного отображения — это О или оо [c.180]

Аналитическое выражение для семейства равновесий в косимметричных системах обыкновенных дифференциальных уравнений удается найти только в пространствах малых размерностей. Результаты [3, 4] позволили реализовать эффективную численную процедуру продолжения непрерьшного семейства некосимметричных равновесий по скрытому параметру. Метод вычисления основан на косимметричной версии теоремы о неявной функции, которая впервые сформулирована в [3], а в наиболее полном виде дана в [4, 6]. [c.56]

Изложим далее некоторые соображения геометрического характера. На рис. 45 обозначены абсолютные МЦВ Рао и Pjo звеньев и и относительные МЦВ P ,a звеньев zt, и и P звеньев z и z . Положение абсолют-ного МЦВ Рса найдем на пересечении линий / о — Pd и Pao — Рьау т- 6- на перессчении продолжений коромысла I и коромысла /3. Соединив все МЦВ плавной кривой, получим центроиду ЦР о (рис. 45). Тогда можно записать по известной теореме следующие два выражения [c.116]

Физически продолжение линии фазового равновесия ва тройную точку возможно. Обе сосуществующие фазы при этом находятся в растянутом состоянии и удовлетворяют условию Ркрисг Яж- Эмпирич. ур вие приводит к асимптотике йР йТ —> О при Т — -0, к-рая согласуется с теоремой Нернста. Поиск высокотемпературной асимптотики линий П, не привёл к универсальному результату. В отличие от равновесия жидкость — пар критическая точка на линии равновесия кристалл — жидкость не обнаружена. Её появление считается невозможным, что объясняется различием симметрии кристалла и жидкости. [c.593]

По-видимому, впервые инвариантные интегралы появились еще в работах Максвелла при определении тензора напряжений электромагнитного поля. В статической теории упругости аналогичные интегралы весьма искусственным методом ввел в 1951 году Эшелби [2], который не обратил на них должного внимания и фактически использовал лишь для вычисления конфигурационной силы, действующей на упругую неоднородность в форме эллипсоида. В 1968 году Райс [5], не знакомый с работ ой Черепанова [3], чисто эвристически взял один из интегралов Эшелби (он назвал его /-интегралом) и непосредственно доказал его инвариантность при помощи теоремы Гаусса - Остроградского. Все общие результаты Эшелби и Райса являются некоторыми частными случаями результатов Черепанова [3], опубликованных раньше статьи Райса независимо от работ Эшелби и полученных совершенно другим, более общим методом (см. продолжение на стр. 205). [c.128]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Как известно, Кантор доказал, что континуум не счётно-бесконе-чен ) это противоречит доказательству Ришара. Возникает вопрос какое из двух доказательств верно. Я утверждаю, что оба доказательства верны и что противоречие, о котором идёт речь, лишь кажущееся. Для обоснования этого утверждения я приведу новое доказательство теоремы Кантора. Предположим, что задан отрезок АВ и правило, по которому каждой точке этого отрезка ) поставлено в соответствие целое число. Для простоты условимся обозначать точки соответствующими им целыми числами. Разделим наш отрезок двумя произвольно выбранными точками А и А2 на три части, которые назовём подо-трезками первой ступени каждую из этих частей, в свою очередь, разделим на три части и получим подотрезки второй ступени мысленно представим себе этот процесс продолженным до бесконечности, причём длины подотрезков у каждой границы должны уменьшаться. Точка [c.211]

Для доказательства теоремы удобно сделать следующее представление для конфигурационного многообразия твердого тела. Всякий поворот по теореме Эйлера может быть задан осью конечного поворота е и углом правовинтового вращения вокруг нее (р. Образуем в трехмерном пространстве вектор <ре, где О < у < тт. Между множеством положений тела и точками введенного шара взаимнооднозначного соответствия нет, поскольку поворот вокруг е на угол тг дает то же самое положение тела, что и поворот вокруг оси —е на угол тт. Однако если мы отождествим диаметрально противоположные точки поверхности этого шара, то получим множество, находящееся с поворотами во взаимно однозначном соответствии. Все замкнутые траектории в шаре могут быть разделены на два типа внутренние траектории (рис. 15а) и траектории с выходом на поверхность и последующим продолжением из диаметрально противоположной, тождественной точки (рис. 156). [c.50]

Теорию крыла конечного размаха позволило создать использование основополагающей теоремы Н. Е. Жуковского о связи подъемной силы с циркуляцией и модели течения с присоединенным вихрем, так что эта теория является логическим продолжением и развитием идей, составляющих фундамент теории крыла бесконечного размаха, В 1910 г. С. А. Чаплыгин в докладе на тему Результаты теоретических исследований о, движении аэропланов сформулировал общие представления о вихревой системе крыла конечного размаха. В 1913 и 1914 гг. им были получены первые формулы для подъемной силы и индуктивного сопротивления. Они были доложены на третьем воздухоплавательном съезде в Петербурге. В дальнейшем основное распространение получила теория несущей линии, предложенная в Германии Л. Прандтлем для крыльев большого относительного удлинения. В рамках этой схемь было получено интегро-дифференциальное уравнение, связывающее изменение циркуляции и индуктивный скос потока. Задача свелась к отысканию различных приближенных методов его решения. В работе Б. Н. Юрьева (1926) был применен геометрический прием, в котором использовалось предположение о том, что распределение циркуляции близко к эллиптическому и что отклонения от этого распределения повторяют форму крыла в плане. Аналитические методы, применявшиеся на начальном этапе развития теории для получения приближенных решений, состояли в требовании удовлетворения основному уравнению в ограниченном числе точек по размаху. Так, в методе тригонометрических разложений В. В. Голубев (1931) заменил бесконечный тригонометрический ряд тригонометрическим многочленом, сведя бесконечную систему уравнений к конечной системе, в которой число неизвестных соответствует числу членов разложения циркуляции и числу точек на крыле. С целью более точного учета формы крыла в плане при ограниченном числе решаемых алгебраических уравнений Я. М. Серебрийский (1937) предложил для решения интегро-дифференциального уравнения использовать способ наименьших квадратов. [c.92]

Из леммы, в частности, следует, что функция Ф равномерно непрерывна на орбите О(а ) и, следовательно, продолжается единственным образом до непрерывной функции на множестве Л, которую мы также обозначим Ф. Утверждение о единственности из нашей теоремы установлено, так как выбор Ф(а ) определяет Ф однозначно. (В качестве альтернативного доказательства заметим, что если Фо/-Ф = Фо/-Ф, тоФ-Ф — непрерывная /-инвариантная функция, следовательно, в силу топологической транзитивности она является константой.) Ясно, что продолжение обладает тем же самым гёльдеровым показателем. В заключение заметим, что р и фо/-Ф — непрерывные функции иа множестве Л, которые совпадают на плотном множестве. Следовательно, они равны и Ф является решением когомологического уравнения. [c.612]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...