Некоторые геометрические соображения

К понятию о главных осях можно прийти и из некоторых геометрических соображений. Исторически они были первыми, которые привели к этому понятию. Момент инерции относительно данной оси мы определили как [c.176]

В. Некоторые геометрические соображения [c.172]

В целях дальнейшего покажем, как можно доказать теорему с помощью некоторых геометрических соображений. Без ограничения общности мы можем считать, что все функции Wk t) вещественны, ибо в противном случае мы могли бы перейти от последовательности wk(t)y к последовательности, составленной из вещественных и мнимых частей функций Wk t), к затем соответствующим образом преобразовать последовательность чисел ft . [c.126]

Обратимся сначала к некоторым предварительным геометрическим соображениям. Пусть мы имеем некоторую плоскую кривую С (фиг. 27), отнесенную к прямоугольным осям Оу г , причем за положительное направление вращения вокруг точки G плоскости принимается то, которое идет от оси к оси Zq (через прямой угол). Обозначим через у , координаты произвольной точки О кривой, через GP — перпендикуляр, опущенный из О на касательную в точке О, через 6 — угол оси Gz относительно направленной прямой GP и через h — расстояние (положительное) GP. Относя, если необходимо, наши рассуждения к надлежащим образом ограниченной дуге кривой С, мы можем принять угол 6 за параметр, пригодный [c.209]

Величина переднего угла у в небольшой степени влияет на шероховатость поверхности. Но это влияние не связано с геометрическими соображениями, а происходит главным образом за счет изменения условий деформации металла. Так как с увеличением переднего угла деформация металла уменьшается, то будет иметь место и некоторое уменьшение шероховатости. [c.125]

Об инвариантных пространствах тензора напряжений и предельных поверхностях. Обратимся вначале к некоторым геометрическим представлениям, широко используемым главным образом из соображений наглядности в механике твердого деформируемого тела. Известно, что различные напряженные состояния тела могут быть представлены точками некоторого условного пространства напряжений. Координаты этих точек равны компонентам тензора напряжений. Этот прием широко используется для геометрической интерпретации различных критериев прочности. [c.232]

Ta высокая степень ясности, которая была внесена в область динамики твердого тела геометрическими исследованиями движения неизменяемой системы, заставляет ожидать значительного успеха гидродинамики от сближения ее с кинематикой изменяемой системы. К сожалению, геометрическая теория движения изменяемой системы находится только на первых ступенях своего развития. Все работы по этому предмету ограничиваются небольшим числом исследований движений простейших изменяемых систем и некоторыми общими соображениями о движении непрерывного изменяющегося тела, причем последние помещены по большей части в сочинениях по гидродинамике и по теории упругости. [c.5]

В ряде случаев нет даже необходимости рассматривать полностью распространение параксиального луча в резонаторе, а достаточно прибегнуть к некоторым простым геометрическим соображениям. Рассмотрим примеры, которые можно объединить названием — метод эквивалентного зеркала. [c.260]

Четвертый алгебраический интеграл дифференциальных уравнений Эйлера, найденный С. В. Ковалевской для рассматриваемого ею твердого тела, может быть получен с помощью геометрических соображений и изложен в виде некоторой теоремы. Мы формулируем [c.92]

Уравнения баланса дефектов в данной модели строятся из интуитивных геометрических соображений, как правило, без учета временной зависимости [24, 25]. В настоящее время используются представления калибровочных полей [26—28], что позволяет изучать процессы, обусловленные взаимосвязью механических изменений внутри структурного элемента с соседними элементами и внешними объектами [27, 28]. Обычно внутренняя (локальная, описывающая структурный элемент) и внешняя (глобальная) симметрии представляются группой Лоренца. В ряде работ, например [29], рассмотрены идеи нарушенной симметрии, в которых поведение дислокаций описано аналогично теории сверхпроводимости Гинзбурга — Ландау с некоторым параметром порядка. Следует отметить, что введение группы Лоренца как для внешних, так и для внутренних переменных не убедительно, поскольку в неоднородной среде отсутствует единственная скорость передачи сигнала — скорость звука. Теория, содержащая малый параметр, представляет собой скорее описание фазового перехода типа плавление , чем поведение механической среды, в которой заведомо отсутствуют какие-либо параметры порядка. [c.43]

Пусть отрезок аЬ есть скачок уплотнения. Проведем из точки 1 на рис. 3.7 линию тока, которая пересечет отрезок 2—3 в некоторой точке 4 (на рисунке не обозначенной). Опуская из точки 4 перпендикуляр на скачок 1—3, а из точки 2 на линию тока 1—4, из геометрических соображений получим [c.100]

Пользуясь определением кривизны пространственной линии (1.3.4), можно показать, что эта величина равна длине индикатрисы касательной ). В обш ем случае индикатриса касательной представляет линию двоякой кривизны, но в некоторых случаях она вырождается в окружность (например, для винтовой линии), и тогда величину Q можно найти из геометрических соображений. Заметим только, что стремление свести эффект трения нити о поверхность к формуле Эйлера и рассматривать показатель степени [c.157]

На рис. 81 показана схема взаимного перемещения некоторой горизонтальной плоскости, контактирующей с эксцентрично вращающейся втулкой. Из геометрических соображений легко установить следующие зависимости. [c.108]

Задача 169. Два стержня круглого сечения (фиг. 306), защемленные в стену, закручиваются моментом УИ, приложенным к жесткой пластинке А. Найти угол поворота пластинки, если жесткости стержней на кручение соответственно равны Ск1 и Ск2, а на изгиб — С1 и С2. Решение. Пластинка А под действием момента М повернется относительно некоторой точки С на малый угол (фиг. 307, а). При этом концевые сечения стержней совершат линейное и угловое перемещения. Обозначим эти перемещения для первого стержня соответственно /1 и <Р1, а второго — /г и у 2-Из геометрических соображений следует [c.302]

Обратимся теперь к получению второй группы геометрических соотношений, дающих выражения для изменения главных кривизн и кручения стержня при переходе от его естественного недеформированного состояния к деформированному состоянию. Для этого, так же как и выше, используем некоторые кинематические соображения. [c.851]

Кроме трансляционной симметрии пространственная решетка обладает некоторой совокупностью симметрий направлений, т. е. характеризуется совокупностью операций, переводящих вектор решетки п в другой вектор решетки л, исходящий из той же точки. К таким операциям относятся 1) инверсия /, 2) повороты Се и Сц на 60° и 90° или целые кратные к ним и 3) отображения т в некоторых плоскостях. Вместе с тождественной операцией Е эти операции симметрии образуют точечную группу симметрии решеток Браве. Имеется 14 таких точечных групп и, соответственно, 14 различных решеток Браве, которые он ввел в 1848 г., исходя из геометрических соображений. Они подразделяются. на семь сингоний или систем (табл. I). Группа симметрии сингоний характеризуется элементами симметрии параллелепипеда со сторонами а, Ь, с и углами а (между а и Ь), р (между Ь и с) и у (между сна). [c.12]

Переход от произвольной системы координат К, в которой тензор инерции недиагонален, к системе К осуществляется с помощью некоторого линейного и ортогонального преобразования координат, называемого преобразованием к главным осям. В справедливости этого утверждения проще всего убедиться, исходя из геометрических соображений. Рассмотрим с этой целью момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, проходящей [c.285]

Давление двух касающихся тел. Геометрические соображения. Положим, что два тела давят друг на друга так, что результирующая сила между ними равна Р. Части обоих тел вблизи точки касания будут сжаты так, что некоторые малые области обеих граничных поверхностей будут касаться друг друга. Область поверхности касания мы будем называть поверхностью давления, а кривую, ограничивающую эту поверхность — контуром давления. Определим контур давления и распределение давления по поверхности касания ). [c.204]

При рассмотрении изотропных оболочек, несмотря на то что коэффициенты разрешающих уравнений P примерно одного порядка, мы, руководствуясь чисто геометрическими соображениями, можем некоторые из них полагать равными нулю. В случае анизотропных оболочек с аналогичными геометрическими характеристиками это можно делать с еще большим успехом. [c.297]

Например, если в длинных изотропных оболочках (случай X) можно принять Р1 = Рз = / 4 = Р5 = 0, ТО В ДЛИННЫХ анизотропных оболочках это тем более можно сделать, если больше указанных выше коэффициентов P . Такие примеры элементарны. В тех же случаях, когда из геометрических соображений можно некоторые из коэффициентов Р положить равными нулю, хотя ОНИ значительно больше, чем оставленные, этот вопрос должен быть рассмотрен особо. [c.297]

Эти модели еще недостаточно точно специализированы, чтобы их можно было рассматривать здесь вне связи с конкретными системами, для описания которых они предложены. Однако ряд теоретических построений в физике неупорядоченных систем был посвящен изучению распространения электронов или волн в случайной среде-, при этом аналитические характеристики последней определялись скорее из соображений математического удобства, а не в связи с какой-либо конкретной структурной моделью. Физическое или геометрическое значение этих характеристик разъясняется довольно редко, так что ценность выводов о локализации электронов, значениях ширины запрещенной зоны и т. д. оказывается проблематичной. По этой причине в настоящей главе мы вкратце остановимся на статистических характеристиках случайной функции (К) в пространстве К одного, двух или трех измерений и покажем, чем обусловлены некоторые геометрические ее свойства. Пусть К есть вектор координат на плоскости. Тогда функция (К) определяет высоту случайной поверхности-. [c.135]

Сначала надо отыскать проекции всех тех точек, которые могут быть определены из простых геометрических соображений, например, как точки пересечения контуров проекций илц некоторые другие. После этого надо построить так называемые характерные точки, которые выделяются своим особым расположением или по отнощению к плоскостям проекций, или по отношению к остальным точкам этой кривой. К этим точкам относятся, например, [c.244]

Такой вывод можно получить и из чисто геометрических соображений. Для этого докажем следующую теорему всякое перемещение свободного твердого тела из одного положения в другое можно осуществить поступательньш перемещением, равным перемещению полюса О, и одним поворотом тела вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс. Доказательство этой теоремы легко получить из рассмотрения рис. 249. [c.396]

Бесчисленное количество точек координатного поля соответствует множеству вариантов передачи, которые можно получить при одних и тех же числах зубьев, но различных коэффициентах коррекции. Эти передачи неравноценны по своим качественным показателям и из них надо выбирать наивыгодненшую. При этом необходимо иметь в виду, что некоторые точки поля не приемлемы по геометрическим соображениям, так как при соответствующих им значениях и I2 может наблюдаться интерференция (подрезание) зубьев, снижение коэффициента перекрытия и переход за предельное значение е = 1, заострение зубьев и переход за предельное значение = 0 (s —толщина зуба на окружности выступов). [c.456]

Движепне газа со скоростями, превышающими скорость звука, существенно отличается от дозвукового движения. Для того чтобы отметить эти особенности, рассмотрим некоторые иримеры. Пусть в плоскопараллельном дозвуковом потоке (М < I) находится источник слабых возмущений (рис. 5.1, а). Возмущения, вызываемые неподвижным источником О, распространяются относительно газа со скоростью звука а и одновременно сносятся потоком со скоростью W. Сигнал, посланный из начала координат, через время t достигнет окружности радиуса г = at, центр которой находится в точке X = wt. Очевидно, что со временем возмущения достигнут любой точки иространства. В сверхзвуковом потоке (М > 1) возмущения будут распространяться только внутри острого угла, образованного лучами, исходящими из источника возмущений (см. рис. 5.1, б). Линии О А, ОВ называются линиями Маха или характеристиками, угол, который они составляют с вектором скорости, называется углом Маха. Из геометрических соображений очевидно [c.101]

Некоторые важные для выполнения реальной конструкции механического шумоглушителя соображения можно почерпнуть из рассмотрения рис. 8. На нем даны зависимости потерь тяги от некоторых геометрических параметров турбулизаторов, расположенных в конце центрального тела (J = 1.1). Можно ожидать, что соответствующим выбором числа турбулизаторов, проницаемости и угла а достижимо уменьшение шума порядка SPNLM дБ (рис. 6 и 7) при дополнительных потерях тяги, равных 5 % (рис. 8). Полученное соотношение по экономической эффективности механического шумоглушителя в схеме сопла с центральным телом близко к соотношению, рекомендованному ИКАО APNLM/ g AR/R) 100 = 11.4. [c.491]

Влияние, которое оказывает тупой угол, можно оценить, сравнивая полукруглый вырез и 1/-образный вырез с углом в 120 имеющие одинаковый радиус закругления у основания выреза / = 2,5 мм н одинаковый теоретический коэффициент Kt = Si, полученный Для угла раствора выреза в 120 с учетом некоторых Других подходящих величин, например, глубины выреза (рис. 5.5). Если предположить, что характерное значение постоянной материала по Нейберу Л =0,092 мм (как принято у Куна и Хардрата [1009] для стали с Стд = 70,3 к/ /жлЛ), то по формуле (5.7) значение эффективного коэффициента для полукруглого выреза будет Ка = 2,25, а для угла раствора в 120° — только 1,71, Такое различие в значениях эффективного коэффициента оказалось больше, чем можно было ожидать при наличии одинаковых теоретических коэффициентов и радиусов закругления у основания выреза надо ожидать примерно равных градиентов напряжений в точках с равными наибольшими напряжениями. На значение практического коэффициента для полукруглого выреза эффект тупого угла не должен влиять и отсюда по геометрическим соображениям [c.125]

Из приведенного выше рассмотрения эффекта УСИ становится очевидным, что порог для УСИ, строго говоря, не существует. Однако поскольку мощность Р УСИ быстро увеличивается с инверсией населенностей приблизительно как [ехр(огоЛ 20]/(о оЛ 20 см. (2.150) , то, когда пороговые условия, определяемые выражениями (2.153) и (2.153а), превзойдены, УСИ становится преобладающим механизмом релаксации для активной среды. Поэтому отсутствие истинного порога — это особенность, которая отличает УСИ от суперлюминесцснции. Другой отличительной особенностью является то, что если для суперлюминесценции длина активной среды должна быть меньше критической кооперативной длины 1с, то для УСИ такого ограничения не существует. Еще одна характерная особенность УСИ состоит в том, что телесный угол в этом случае устанавливается из геометрических соображений и, как правило, он много больше, чем для суперлюминесценции, для которой этот угол определяется дифракцией. Наконец, заметим, что преимуществом УСИ является то, что его можно использовать для получения достаточно хорошо направленного излучения в некоторых лазерах (генераторах) с высоким усилением (например, в азотных, или эксимерных лазерах), и в то же время УСИ может вызывать нежелательный эффект в лазерных усилителях с высоким усилением (например, в эксимерных лазерах, лазерах на красителях или на неодимовом стекле), поскольку оно снимает имеющуюся инверсию населенностей. [c.85]

Выделим из пучка трубку лучей, которые при повороте испытывают п отражений. Из простых геометрических соображений следует, что среди этих лучей имеется только один (с углом скольжения 0 = ф/2/г), который повернется точно на угол ф. Все остальные лучи при выходе из зеркала будут составлять с ним некоторый угол 60, причем 60 будет наибольшим для лучей на краях трубки 60 = 0п- Таким образом, первоначально параллельные лучи, испытав п отражений от поворотного зеркала, будут иметь на выходе угловой разброс А0 = 20 = tp/n. Следовательно, после отражения от цилиндрического зеркала у плоскопараллельного пучка диаметром d появляется угловой разброс А0 = 20шах = 2 т/2d/ro, который можно уменьшить за счет увеличения радиуса кривизны зеркала. [c.132]

Оценка величины ( os0i) не представляет особых трудностей, но решение этой и подобных задач, связанных со сферой, облегчается еще и некоторыми простыми геометрическими соображениями. На рис. 301 точка В является точкой инверсии для точки А, так что [c.444]

Таким образом, в каждый момент времени при плоскопарал-лельиом движении нормали к траекториям точек плоской фигуры проходят через одну общую точку — центр мгновенного вращения в частности, если движение будет поступательным, то все эти нормали будут параллельны между собой. Приняв во внимание эти чисто геометрические соображения, отметим положения п центров вращения на неподвижной плоскости (фиг. 50). Пусть это будут вершины ломаной С-2, С ь Со, С1, 2,. .., которая в пределе, при последовательном рассмотрении бесконечно большого числа бесконечно малых вращений, переходит в некоторую непрерывную кривую — неподвижную центроиду исследуемого плоского движения. [c.118]

По геометрическим соображениям некоторые двумерные статические задачи теории упругости удобно формулировать в полярных координатах гиб. После преобразования коордннат [c.211]

Метод точечных отображений как средство изучения динамических систем, придающее аналитическим проблемам геометрическую трактовку, существенно расширяющую возможности исследования, ведет свое начало от А. Пуанкаре, П. Боля, Я. Брауера и Дж. Биркгофа. При этом многие основные геометрические соображения, такие как теоремы о неподвижных точках, понятие индекса векторного поля, были привлечены извне, а некоторые, например, последняя геометрическая теорема Пуанкаре, и, вообще, теория отображений с инвариантной мерой, теория устойчивости, теория бифуркаций и ветвления решений, воникли в прямой связи с теорией динамических систем. [c.137]

Акустические нагрузки. Задача о колебаниях упругих систем под действием акустического излучения работающих двигателей приобрела в последние годы большую важность в связи с так называемой проблемой акустической усталости конструкций [6, 43]. Экспериментальные данные по частотным спектрам пульсаций давления в различных точках акустических полей работающих двигателей приведены в работах [42, 43, 49]. Пространственную корреляцию в принципе можно рассчитывать в соответствии с теорией Лайт-хилла [52], исходя из решения неоднородного волнового уравнения. В некоторых случаях, однако, пространственную корреляцию можно оценивать на основании чисто геометрических соображений [32]. [c.534]

Атомы данного элемента могут образовать, если исходить только из геометрических соображений, любую кристаллическую решетку. Однако устойчивым, а следовательно, реально существующил типом является решетка, обладающая наиболее низким запасом свободной энергии. Так, например, в твердом состоянии литий, натрий, калий, рубидий, цезий, молибден, вольфрам и другие металлы имеют объемноцентрированную кубическую решетку алюминий, кальций, медь, серебро, золото, платина и др. — гранецентрированную, а бериллий, магний, цирконий, гафний, осмий и некоторые другие — гексагональную. [c.39]

Пример (внешний биллиард). Рассмотрим строго дифференциально вып)ослую ограниченную область D с ориентируемой границей В и следующую динамическую систему, определенную на дополнении R lnt ), где Int D обозначает внутренность D. Для всякой точки р R Int существует единственная такая прямая I, касательная к В в точке д, проходящая через р, что направление от р к д положительно по отношению к ориентации 1 ивой В. Пусть р — такая точка на прямой I, что д является серединой отрезка, соединяющего р и р . Отображение р ь-> р, переводящее точку р в р, назьюается внешним биллиардным отображением. Множество R Int D может быть параметризовано путем сопоставления точке р угла а, образуемого прямой I с некоторым фиксированным направлением в и расстояния г от точки р до точки д. Наличие свойства закручивания в этих координатах очевидно из геометрических соображений (см. также упражнение 9.3.5). [c.359]

При исследовании различных физических систем часто удается представить обнаруженные свойства и закономерности в форме законов симметрии. Эти законы выражаются в инвариантности (независимости вида) уравнений движения рассматриваемой физической системы относительно некоторых определенных преобразований. Если, например, уравнения движения инваркантны относительно ортогональных преобразований декартовых координат в трехмерном пространстве, то можно сказать, что в данном случае симметрия проявляется в эквивалентности определенным образом ориентированных Друг относительно друга систем отсчета при описании движения соответствующей физической системы. Эквивалентными системами отсчета принято называть такие системы, в которых тождественные 5шления протекают одинаковым образом, если для них созданы одинаковые начальные условия. Наоборот, если в физической теории постулируется эквивалентность некоторых систем отсчета, то уравнения движения должны бьпъ инвариантны относительно преобразований, связывающих координаты в этих системах. Так, например, постулат теории относительности об эквивалентности систем отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, выражается в инвариантности уравнений движения относительно преобразований Лоренца. Класс эквивалентных систем отсчета для данной задачи часто определяется из наглядных геометрических соображений, относящихся к модели рассматриваемой физической системы, как это имеет место для симметричных молекул, кристаллов и т. д. [c.8]

Тем не менее, не приходится сомневаться в образовании некоторого количества водорода вероятно, он образуется и при растрескивании в щелочах. Надо считать, что водород, образующийся в результате катодной реакции, сначала состоит из отдельных атомов, которые затем соединяются в молекулы. Однако некоторое количество этих атомов может продиффун-дировать в металл и образовать молекулярный водород во внутренних пустотах. Если это происходит в пустоте, расположенной на пути растущей трещины, то давление развиваемое в пустоте, будет содействовать приложенному растягивающему напряжению (которое по геометрическим соображениям у кончика трещины увеличивается) в ускорении развития трещины. Мысль о том, что внутреннее давление водорода, развивающееся в Пустоте, составляет значительную часть механической силы, приводящей к разрушению, могла бы служить объяснением, почему изломы отличаются чистотой и в них часто не наблюдается твердых продуктов коррозии, несмотря на очевидность факта участия коррозии во всем процессе (поскольку растрескивание может быть ускорено анодной поляризацией и замедлено, или вообще приостановлено катодной поляризацией). [c.631]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...