Пространство двойственное

Пространство, двойственное к конечномерному пространству, изоморфно ему, В случае гильбертова пространства имеется естественный изоморфизм каждый непрерывный линейный функционал представляется в виде (у, ) для некоторого вектора . Иногда такое явление наблюдается н для других линейных пространств, но вообще оно не очень распространено. Рассмотрим, например, пространства измеримых функций, р-норма которых [c.700]

Более общим образом, в качестве коэффициентов групп гомологий можио взять любое коммутативное кольцо Д (вместо 2). При этом получаются группы гомологий Я (М, Л), которые являются модулями над К. Следует начать с рассмотрения формальных сумм симплексов с коэффициентами из Д и далее действовать, как прежде. В частности, если К — поле, то группа Н .(М, К) изоморфна и, таким образом, определяется свободной частью группы гомологий с коэффициентами из Ъ. Как упоминалось в 3, -я группа когомологий де Рама канонически изоморфна (интегрирование является спариванием) векторному пространству, двойственному кН.(М,Щ. [c.718]

Аффинная гиперплоскость в пространстве, двойственном линейному, задаётся содержащей нуль прямой в исходном пространстве и линейной 1-формой на этой прямой. Действительно, гиперплоскость У — у - У и= с определяет прямую ж у х= г х для любых y,z G У и 1-форму у х на этой прямой. Эта пара (прямая, 1-форма) определяет гиперплоскость, и любая такая пара определяет некоторую аффинную гиперплоскость. [c.238]

Очевидно, что форма а (и, и), заданная соотношением (2.4), непрерывна и коэрцитивна на и задача Неймана имеет единственное решение для каждого / из пространства, двойственного к НК [c.42]

V —пространство, двойственное гильбертову пространству, V С. Ti относительно скалярного произведения в 7i V(A)—область определения оператора Л Det—определитель [c.10]

Наиболее значительного сокращения числа неизвестных в многокомпонентной многофазной системе можно достичь, исключая из (22.9) все переменные. ....n. Такая возможность представляется благодаря особой, седловидной форме поверхности функции L(n, к) вблизи экстремума и ввиду очевидного термодинамического смысла множителей "к (см. (16.20)). Вычислительный процесс при этом организуется иначе вместо минимизации функции L в пространстве переменных п ведется поиск максимума этой функции по переменным к. Такую замену называют переходом от решения прямой задачи к решению сопряженной с ней двойственной задачи. В теории выпуклого программирования доказывают теоремы, позволяющие из формулировки прямой задачи по стандартным правилам составить соответствующую ей двойственную. В общем случае часть целевой функции двойственной задачи, от которой зависят координаты максимума, представляет собой функцию Лагранжа прямой задачи, а вместо ограничений л/< >>0 в прямой задаче выступают ограничения (22.10) в двойственной. Для рассмотренного выше частного примера из области линейного программирования двойственная к (22.2), (22.3) задача формулируется следующим образом найти максимум функции [c.188]

Если H = R, то L(V R) называется дуальным (двойственным или сопряженным) к I/ и обозначается V. Таким образом, V есть пространство непрерывных линейных функционалов, заданных на V. С использованием V в про- [c.326]

Введем пространство V, двойственное к V относительно билинейной формы (, )у и пару пространств Y и Y, приведенных в двойственность посредством билинейной формы (, )у-, элементы пространств Y и Y будем обозна чать р и р. Построим функционал Ф (и, p) V Y->R, предполагаемый выпуклым по паре аргументов (и, р), причем [c.338]

Замечание. Все теоремы о бифуркациях вырождений коразмерности 1 имеют двойственные формулировки на языке однопараметрических семейств и на языке гиперповерхностей в функциональном пространстве. Ниже теоремы формулируются в основном на языке семейств. [c.112]

Прохождение фотонов через вещество есть процесс поглощения и последующего испускания энергии фотонов атомами и молекулами этого вещества. Таким образом, излучение имеет двойственный характер, так как обладает свойствами непрерывности поля электромагнитных волн и свойствами дискретности, типичными для фотонов. Синтезом обоих свойств является представление, согласно которому энергия и импульсы сосредоточиваются в фотонах, а вероятность нахождения их в том или ином месте пространства — в волнах. Соответственно этому излучение характеризуется длиной волны (X) или частотой [c.361]

Во избежание возможной двойственности в понятиях вертикаль , ось фигуры , линия узлов , установим следующее правило знаков положительное направление неподвижной в пространстве оси идет вверх и определяет полупрямую (луч) вертикали . Положительное направление оси Z проходит через центр тяжести тела и определяет полупрямую (луч) оси фигуры . С вертикалью положительное направление оси Z образует угол 1З. Линия узлов представляет собою перпендикулярную к осям Z W Z полупрямую, образующую с направлением возрастания угла д правовинтовую систему. Величина s положительна. Далее, [c.187]

Двойственность разложения вектора Я объясняется тем, что в пространстве размерности Зи имеются линейно независимые системы из Зи векторов действительных частей и Зп векторов мнимых частей собственных векторов. [c.10]

Нефть при заполнении и опорожнении резервуара, смачивая тонким слоем стенку резервуара, вследствие избирательного смачивания и гидрофобизации поверхности, оказывает двойственное влияние на разрушение стенки резервуара [14]. Поэтому пока конденсирующиеся из газовоздушного пространства резервуара легкие углеводороды не смоют со стенки пленку нефти, последняя в некоторой степени тормозит коррозионный процесс. [c.18]

Пусть X и Y — банаховы пространства, У — двойственное пространство для У, < , > — отношение двойственности на УХУ - Введем билинейную форму a u,w) на ХХУ следующим образом [c.195]

Дискретное уравнение (1.2), которое назовем дискретным аналогом ГИУ (1.1), получается из уравнения (1.1) с помощью возмущения метода Галеркина. Пусть Y — двойственное пространство для У, < , > — соотношение двойственности на Рассмотрим в пространстве Y для каждого h подпространство Yh размерности N h), где N (h) — размерность пространства В соответствии с методом Галеркина (см. 1 главы 1) сопоставим уравнению (1.1) дискретное уравнение в Хн [c.223]

Через Я ЦГ) обозначается двойственное к Я- (Г) пространство и через II-II двойственная норма. Тогда билинейная форма [c.233]

С-, ->г является соотношением двойственности между пространствами (Г) и Я- -НГ). [c.233]

Обозначим через V пространство, сопряженное (или двойственное) к пространству V относительно билинейной формы (функционала) двойственное к пространству У пространство строится при помош,и билинейной формы ( )у [c.109]

Итак, задача о трещине отрыва в упругом пространстве эквивалентна смешанной задаче (2.1), (3.14), (3.15) для полупространства Хз > О, которая, очевидно, двойственна задаче о вдавливании штампа с острой кромкой (1.14). [c.83]

Обратим внимание на двойственный характер всех основных категорий механики с одной стороны, понятия сила , масса , ускорение — суть абстрактные категории аксиоматической системы, для которых второй и третий законы Ньютона служат их определением, с другой стороны, эти понятия апеллируют к реальным объектам, с которыми имеет дело человеческая практика и на которых осуществляется реализация аксиоматической системы механики. Сила при этом представляет собой меру физического взаимодействия тел, измеряемую любыми физическими средствами "материальная точка — тело достаточно малых размеров. Реализацией понятия евклидово пространство является пространство неподвижных звезд, лучи света — реализации категории прямая линия . Декартовы координатные трехгранники, с помощью которых можно задавать положение любых тел в пространстве, могут [c.9]

Представленные в переменных о , они являются уравнениями на алгебре д группы С, а в переменных т—на двойственном линейном пространстве д. [c.28]

Размерность пространства Н (Л/, К) называется -мерным числом Бетти многообразия М оно обозначается Ьк М) или просто Ьк. Например, если М—п-мерный тор Т", то Ьк = (см., например, [54]). По теореме двойственности Пуанкаре Ьк = Ьп-к- Для связных многообразий 6о = = 1- Эйлерова характеристика выражается через числа Бетти по формуле М) = [c.136]

Преобразование Лежандра — вспомогательный математический прием, состоящий в переходе от функций на линейном пространстве к функциям на сопряженном пространстве. Преобразование Лежандра сродни проективной двойственности и тангенциальным координатам в алгебраической геометрии яли построению сопряженного банахова пространства в анализе. Оно часто встречается в физике (например, при определении термодинамических величин). [c.59]

Доказательство. Отличная от О точка пространства соответствует в двойственном пространстве аффинной гиперплоскости последняя состоит из линейных форм, равных 1 в этой точке [c.437]

Определение 2. Конфокальным семейством квадрик в евклидовом пространстве называется семейство квадрик, двойственных квадрикам одного евклидова пучка (квадрик в пространстве, двойственном рассматриваемому) [c.436]

Этот результат немедленно показывает, что пространство, двойственное к нормированному линейному пространству, непусто и что слабая топология хаусдорфова. [c.700]

Итак, мы видим, что всякая алгебра фон Неймана 92 есть С -алгебра. Последняя как банахово пространство двойственна некоторому банахову пространству (а именно банахову пространству 92, всех ультраслабых непрерывных функционалов на 92). Таким образом, 92 есть 1 -алгебра. Множество 92, называется множеством, преддвойс твенным множеству 92. [c.156]

Напомним, что пространство, двойственное к. 2" (О), можно отождествить с 2 °° (О) — пространством всех ц-существенно ограниченных функций, отображающих О в С. Относительно этого обстоят ельства и основных свойств пространства. 2 °° (О) см., например, книгу Данфорда и Шварца [91, гл. 4]. [c.223]

Вариационный принцип определяет отображение пространства кокасательного расслоения базового многообразия (в предыдущем примере — это пространство-время) в пространство симметрпческпх (т X т)-матриц (более точно, в симметрический тензорный квадрат пространства, двойственного слою). Это отображение однородно (элементы матрицы являются однородными многочленами степени (1 = 2г, если вариационный принцип содержит производные порядка г). Обратно, любая симметрическая матрица с такими свойствами является главным матричным символом системы Эйлера-Лагранжа некоторого вариационного принципа с квадратичным лагранжианом, включающим г-е производные. [c.282]

Геометрически преобразования Лежандра объясняются возможностью двойственного олисания. поверхности в многомерном пространстве с одной стороны, такая (rf-f-1)-мерная поверхность может быть задана в виде зависимости (d-f-l)-ft координаты от остальных d координат, U=U tji,. .., да), т, е. набором точек в пространстве (U, qu. .., Qd), с другой стороны, в виде набора координат касательных плоскостей к поверхности lJ(qu qa) в каждой ее точке (сама поверхность является тогда огибающей семейства плоскостей), Если функция Ь ци. .., Qd) всюду строго"выпуклая (см. с. 185), то никакие две ее точки не могут иметь касательных плоскостей с одинаковыми координатами и оба способа представления являются однозначными и взаимообратимыми. [c.80]

Будем предполагать, что операторы А В действуют в одном и том жо гильбертовом пространстве V V—область определения А и В, V —обласп, значений, где V —сопряженное к V, причем существует пространство Н, такое, что V плотно в Я, тогда Я можно отождествить с некоторым подпространством V, если Н отождествляется со своим двойственным имеют место вложения V с. Н а V. Скалярное произведение в Н будем обозначать <, >. На практике, как правило, И = цф), а V представляет собой пространство типа W (Q) (или подпространство чтого пространства) [c.330]

Метод численного решения. При численном решении контактной задачи область, занимаемая контактирующими телами, расчленяется по поверхности контакта на подобласти, и для них последовательно решаются краевые задачи с известными граничными условиями на Г и Г (4.1), (4.2) и смешанными граничными условиями на Г , уточняемыми в процессе итераций. Процесс решения, в свою очередь, расчленяется на два чередующихся этапа а - поиск границы площадки контакта к б - уточнение ее конфигурации в пространстве. На каждом из этих этапов используется двойственная вариационная постановка контактной задачи (см. табл. 4.4). При решении вариационной задачи считаются выполненными предварительные условия экстремальности соответствующего функционала, однако в процессе итерации могут нарушаться естественные условия экстремальности. Так как истинное решение задачи (й, ст) принадлежит произведению множеств VXKk имеет место равенство [c.144]

Двойственность природы света — наличие у него одновременно характерных черт, присущих и волнам, и частицам,— является частным случаем корпускулярноволнового дуализма. Эта концепция была впервые сформулирована именно для оптич. излучения она утвердилась как универсальная для всех частиц микромира после обнаружения волновых свойств у материальных частиц (см. Дифракция частиц) и лишь затем была экспериментально подтверждена для радиоизлучения (квантовая электроника). Открытие квантовых явлений в радиодиапазоне во многом стёрло резкую границу между радиофизикой и О. Сначала в радиофизике, а затем в физ. О. сформировалось новое направление, связанное с генерирование.м вынужденного излучения и созданием квантовых усилителей и квантовых генераторов излучения (мазеров и лаз ов). В отличие от неупорядоченного светового поля обычных (тепловых и люминесцентных) источников, излучение лазеров обладает большой временной и пространств, упорядоченностью (когерентностью), высокой монохроматичностью (Лг/У достигает см. Монохроматическое излучение), [c.419]

Пусть X и Y — гильбертовы пространства, / — каноническая нзометрия (оператор Рисса) из Y на двойственное Y пространство У. Метод наименьших квадратов является частным случаем метода Галеркина при условии, что в системе линейных алгебраических уравнений (. 18) [c.198]

Другим примером векторного расслоения является кокасательное расслоение — ассоциированное расслоение внешних форм на х[М). Это двойственное к х расслоение т =(7 Л1, q, М). T" M = UTpM — кокасательное расслоенное пространство. [c.52]

Пусть W, W —двойственные п-мерные линейные пространства над полем вещественных чисел. Их элементы будем обозначать соответственно через х, у. Пусть у, х) — значение ковектора у на векторе х. Рассмотрим функцию V — К, определенную формулой [c.385]

Эйнштейн первым понял двойственную природу электромагнитного излучения, обладающего одновременно и волновыми и корпускулярными свойствами. Он писал Мы должны предположить, что однородный свет состоит из зерен энергии... световых квантов ,. .. несущихся в нустом пространстве со скоростью света . [c.18]

Чтобы осуш,ествить неявное свертывание в нашем символе J, необходимо сделать отождествление отождествить наше п-мерное физическое пространство Е с двойственным ему Е посредством евклидовой структуры д. На языке символов мы Зсшвляем, что Е = Е, д = И. Мы не вносим никаких изменений в обозначени. Теперь мы попросту считаем законным свертывание элемента из Е Е. Итак, скобка двойственности, которая в действительности представляет собой не более, чем обозначение самого элементарного свернутого произведения, благодаря нашей договоренности становится скалярным произведением. [c.34]

В терминах двойственного пространства теорема 1 означает, что всякая гиперплоскость, не проходящая через О в п-мерном евклидовом пространстве, касается ровно п квадрик евклидова пучка, причем векторы, ведущие из О в точки касания, попарно ортогональны (рис. 248 справа). [c.437]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...