Неподвижные (периодические) точки

Отметим в заключение, что информация о преобразованиях монодромии стандартным образом переводится на язык дифференциальных уравнений неподвижным или периодическим точкам соответствуют замкнутые траектории, инвариантным окружностям — инвариантные торы или бутылки Клейна и т. д. [c.55]

Негиперболические циклы. Исследуем гомоклинические траектории негиперболических циклов. В однопараметрических семействах общего положения могут встречаться негиперболические циклы, имеющие один мультипликатор 1 или —1 или пару невещественных мультипликаторов е " . Если остальные мультипликаторы лежат внутри (вне) единичной окружности, то будем говорить, что такой цикл — типа устойчивый (неустойчивый) узел по гиперболическим переменным. В противном случае цикл — типа седло по гиперболическим переменным. Аналогичные определения даются для неподвижной или периодической точки диффеоморфизма. Опишем устойчивые и неустойчивые множества негиперболических циклов, предполагая, что выполнены требования общности положения из 1 главы 2. [c.90]

В число особенностей фазового потока входят, в частности, неблуждающие фазовые точки (т. е. такие, что любая их окрестность пересекается с некоторой фазовой траекторией по меньшей мере дважды). К числу таких точек относятся, в частности, неподвижные точки, соответствующие стационарным решениям уравнений гидродинамики, и периодические точки, лежащие на замкнутых траекториях, соответствующих периодическим по времени решениям. Далее, к ним относятся предельные точки траекторий о)< [c.95]

Пример 10.3. Один из методов обнаружения иных планетных систем основан на исследовании периодического смещения линий поглощения в спектре звезды. Если щ — частота излучения неподвижным источником, то источник, движущийся со скоростью Vo = dro/dt излучает в направлении n электромагнитную волну частотой [c.73]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Чтобы описать поведение итераций негиперболического линейного отображения, следует сначала понять, что происходит внутри подпространства Е°. Это подпространство распадается в прямую сумму корневых подпространств Я , Е 1 и Ядд- для А = 1, А 1. В каждом из этих подпространств имеется соответствующее инвариантное собственное пространство, которые мы будем соответственно обозначать через Е , и Е . Первые два из этих пространств ведут себя достаточно просто, а именно все точки E неподвижны, все точки 0 периодические с периодом два. Более интересное поведение наблюдается в пространствах Е , когда А не вещественно, скажем, Л = е . Если одно из этих пространств непусто, то отображение А имеет такую инвариантную плоскость, что в соответствующей системе координат наше отображение в этой плоскости является поворотом на угол вокруг начала координат. [c.40]

Определение 1.7.1. Для преобразования f X X обозначим через Р (/) число неподвижных точек отображения /", т. е. число периодических точек / с (не обязательно минимальным) периодом п. [c.53]

Конечно, гиперболическая периодическая точка диффеоморфизма / периода п является гиперболической неподвижной точкой для и наоборот. Следовательно, для целей локального анализа обычно достаточно рассматривать только гиперболические неподвижные точки. [c.245]

Следствие 6.5.6. Каждая трансверсальная гомоклиническая точка для гиперболической неподвижной или периодической точки принадлежит замыканию множества периодических точек и, следовательно, является неблуждающей р]. [c.283]

Пусть теперь точка р является периодической наименьшего периода п > 1. Выберем окрестность и точки р так, что образы / ( /), г =0,1,.... .., п - 1, попарно не пересекаются и ни один из них не содержит никакую другую периодическую точку периода п или меньше. Введем систему координат в и, перенесем ее в / ( 7), г = 1,...,п —1,и рассмотрим отображения / г- и)пг иу Теперь выберем маленький диск I С/" ( 7) п/ (17), содержащий точку / (р) = /" Чр)> и будем далее действовать точно так же, как в доказательстве для неподвижных точек. Возникающее в результате возмущение совпадает с / вне диска V, имеет в V одну гиперболическую периодическую точку периода п, и никаких других периодических точек периода п или меньше. [c.299]

Определение 7.2.И. Неподвижная точка р локального потока называется трансверсальной, если единица не является собственным значением дифференциала в точке р любого отображения сдвига за время t, 1фО. Равносильное требование состоит в том, чтобы нуль не был собственным значением линейной части векторного поля в точке р. Периодическая точка р периода i > О данного потока называется трансверсальной, если единица является простым собственным значением дифференциала в точке р соответствующего отображения сдвига за время t. Равносильное требование состоит в том, чтобы р являлась трансверсальной неподвижной точкой отображения возвращения на трансверсальный к потоку маленький диск коразмерности один, содержащий р. [c.301]

Пример. Теперь рассмотрим отображение д —> 5 , z>- 2 /(2)zl), продолженное на оо по правилу д оо) = оо, так что g w) = 2w / w вблизи W —0. Таким образом, оо — (негладкая) отталкивающая точка, в то время как нуль — сжимающая неподвижная точка. Отметим, что под действием д все точки, отличные от оо, стремятся к О, поскольку g(z) = z /2. Следовательно, в полной противоположности с рассмотренным ранее примером, отображение имеет только две периодические точки — нуль и оо. С другой стороны, д покрывает 5 дважды н д = ho f, гце h — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм z z/ 2 / z ). Таким образом, deg(p) = deg(/i о /) == = deg( h) deg(/) = deg(/) = 2. Так как единственные инвариантные меры для д — атомарные меры, сосредоточенные в нуле и в оо, то согласно вариационному принципу 4.5.3 hf g) = 0. [c.322]

В определенных случаях анализ индексов неподвижных точек с необходимостью приводит к заключению об экспоненциальной скорости роста числа периодических точек. В наиболее общей постановке этот вопрос является предметом теории Нильсена, которая объединяет гомотопии и гомологии, рассматривая индексы неподвижных точек различных поднятий данного отображения на универсальное накрытие. Среди ограниченного набора многообразий, которым уделяется специальное внимание в этой книге, эта теория дает нетривиальные результаты для отображений торов произвольных размерностей и поверхностей более высокого рода. Здесь мы сосредоточим внимание на отображениях торов, для которых основные идеи теории Нильсена могут быть представлены очень наглядно и без больших топологических затруднений. [c.338]

Теперь рассмотрим ш-предельное множество W точки р и предположим, что оно не содержит ни одной неподвижной точки. По следствию 3.3.7 множество W содержит рекуррентные точки. Как показано выше, они должны быть периодическими. Таким образом, можио выбрать периодическую точку [c.455]

Доказательство. Допустим, что А — нигде не плотное компактное инвариантное минимальное множество без неподвижных или периодических точек, и придем к противоречию. Выберем точку в множестве А и рассмотрим трансверсальный отрезок г класса 7°°, проходящий через эту точку, концы которого не содержатся в А. Выбирая трубчатую окрестность [c.463]

Легко видеть, что существует неподвижная точка, так что достаточно рассмотреть случай I > 0. Если х — периодическая точка с наименьшим возможным периодом р, то это периодическая точка отображения с периодом 2 , так что согласно лемме 15.3.4 р обладает периодической точкой наименьшего периода два. Простой период этой точки для отображения / равен 2 " = д. [c.505]

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда р является степенью двойки. Для этой цели мы используем конструкцию удвоения периода, известную как метод квадратного корня . Рассмотрим произвольное отображение / [0,1]—>[0, 1] и определим отображение / [О, 1]—>[0,1] так f x) = (2 -Ь /(3а ))/3 для х [0,1уЗ], f x) = х- 2/3 для х е [2/3, 1], а на отрезке [1/3, 2/3] доопределим / линейным отображением. Заметим, что f (x) = f 3x)/3 на отрезке [0,1/3], так что для каждой точки периода п отображения / мы получаем точку периода 2п для отображения /. Кроме того, ограничение последнего отображения на отрезок [1/3,2/3] является линейным растягивающим гомеоморфизмом и, следовательно, обладает единственной неподвижной точкой и не имеет никаких других периодических точек. Таким образом, периоды отображения / равны удвоенным периодам / и, кроме того, имеется дополнительная неподвижная точка. [c.507]

Доказательство. Начнем с исследования структуры множества переплетенных периодических точек. Рассматривая неподвижную точку как [c.512]

Теорема. Предположим, что /е — кривая С -диффеомор-физмов компактной поверхности М такая, что 1) при е==Ео /е, ишет диссипативную неподвижную седловую точку р и гомоклиническую траекторию простого касания Wp и Wl 2) /f трансверсально пересекает в точке /о. Тогда существуют значения 8>ео, для которых /е имеет бесконечно много устойчивых периодических траекторий. [c.148]

Часто пользуются понятием эфф. (действующего) значения 3, д., т. к. именно эту величину обычно измеряют в опыте. Эфф. 3. д. равно квадратному корню из ср. значения квадрата мгновенного 3. д. в заданной неподвижной точке пространства за соответствующий интервал времени (под мгновенным 3. д. понимается полное давление в какой-то момент времени в данной точке за вычетом статич. давления в той же точке). Если 3. д. меняется периодически, то временной интервал усреднения должен быть равен целому числу иериодов или. значительно превышать период. В синусоидальной звуковой волне эфф. 3. д. связано с амплитудой pf, 3. д. выражением Р РоЦ 2. Уровень 3. д.— это выраженное по шкало децибел отношение данного 3. д. к условно-пороговому значению 3. д. ро=2-10 Па. Единицей измерения 3. д. в системе СИ служит Ша=1 Н/м в системе СГС единица 3, д. 1 бар = 1 дин/см =10-1 Па иногда 3. д. измеряют в атмосферах (1 атм-10 бар). [c.74]

Валоповоротное устройство служит для того, чтобы периодически проворачивать вал турбины при остывании. Оно необходимо потому, что после остановки агрегата остывание ротора турбины происходит в течение длительного времени, составляющего около 30 ч. Если в процессе остывания ротор будет находиться в неподвижном положении, то вследствие одностороннего теплового провеса ротора может возникнуть его прогиб. Периодически проворачивая вал турбины валоповоротиым устройством, можно предотвратить прогиб ротора. Это устройство представляет собой двухступенчатый вертикальный редуктор, с приводом от электродвигателя мощностью 7,0 кет. Число оборотов ротора турбины при включенном валоповоротном устройстве составляет 12 об1мин. Валоповоротное устройство смон тировано на верхней крышке корпуса опорно-уиориого подшипника, расположенного между компрессором и турбиной низкого давления. [c.36]

С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) пове,до-ние фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных па рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О (0<г<1), второй рис. 7.28,6 — появлению двух устойчивых состояний равновесия О, и О2, третий рис. 7.28, в — рождению неустойчивых периодических движений Г1 и Гг и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г — возникновению стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д — влинанию периодических движений Г1 и Гг в состояпия равновесия О1 и Ог и последний 7.28, е — появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастичности и системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастичность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. 3. [c.194]

При е = О будем иметь интегрируемое отображение координата у будет интегралом, и все точки, расположенные на окружности у = = onst, поворачиваются при отображении на угол у. Таким образом, невозмущенное отображение (3.13) не имеет гиперболических периодических точек. Однако при всех е > О точка х = у = О будет неподвижной точкой гиперболического типа. Собственные значения (мультипликаторы) линеаризованного отображения равны [c.275]

В простейшем виде блок-схема О. э. показана на рис. 1. Генератор развертки ГР, генерирующий папряженпе, линейно изменяющееся во времени, необходим для исследовання временных характеристик различных процессов. Напряшение с этого генератора неносредственно или через усилитель горизонтального отклонения УсХ подается на горизонтальные отклоняющие пластины трубки. Режим работы ГР зависит от характера исследуемого процесса. Если этот процесс — периодический, то ГР должен генерировать периодич. импульсы пилообразной формы (см. Генератор пилообразногб напряжения). Для получения неподвижного изображения па экране период повторения этих импульсов должен быть равен периоду исследуемого процесса или быть в целое число раз больше его (пе- [c.542]

Обобщенная задача двух неподвижных центров (см. ч. VI) также допускает круговые орбиты. Их устойчивость при постоянно действующих возмущениях исследована в работах [135], [136], [137], а для случая предельного варианта задачи двух неподвижных центров в [138]. Названная задача допускает в качестве частных рещений так называемые эллипсоидальные и ги-перболоидальные орбиты [47]. Эти орбиты лежат на эллипсоиде или на гиперболоиде вращения. Первые располагаются между двумя параллелями, и если являются периодическими, то после некоторого числа оборотов замыкаются, в противном случае имеем обмотку части эллипсопда. Гиперболоидальные траектории не являются спутниковыми орбитами, так как при оо материальная точка удаляется на бесконечность. С помошью связки интегралов В. Г. Демин [87] показал, что эллипсоидальные орбиты устойчивы по отношению к большой полуоси и эксцентриситету эллипсоида и гиперболоида, на которых происходит движение спутника. Устойчивость движения стационарных (или суточных) спутников рассмотрена в [89], [137]. [c.848]

Следствие 2.5.2. Полусопряжение о д с -F взаимно однозначно на всех периодических точках, за исключением неподвижных точек. Число прообразов любой точки, не стремящейся под действием отрицательных итераций к неподвижной точке, ограничено. [c.99]

Можно также определить гиперболичность периодической точки для с стемы с непрерывным временем, используя отображение Пуанкаре ( введения). А именно, пусть N — маленький диск коразмерности один, < держащий точку р, трансверсальный к векторному полю Тогда отоб] жение Пуанкаре (отображение возвращения) F V — N определено д некоторого открытого подмножества V с N, содержащего р, и F (p) = В этом случае точка р будет гиперболической периодической точкой пето

неподвижн точкой отображения F . [c.246]

Понятие трансверсальности играет также существенную роль в контексте теоремы Купки — Смейла дая потоков. Имеются два различных элемента структуры орбит потоков, а именно неподвижные и периодические точки, соответствующие периодическим орбитам отображений, и они должны рассматриваться отдельно. Мы уже ввели понятие гиперболичности для таких точек в определении 6.2.2. [c.301]

Некоторые из алгебраических данных индексного типа (см. 8.4) могу] быть определены не только для изолированных неподвижных точек, но посредством правильного обобщения, и для этих связных компонент. Та КИМ образом, глобальная топологическая информация для диффеоморфиэ MOB Артина — Мазура может быть получена при помощи аналога формулк Лефшеца. Подобным образом, можно изменить определение (3.1.3) дзета функции, связанной с ростом числа периодических орбит (см. п. 4.1 а), так чтобы включить все связные компоненты множества периодических точек. Для диффеоморфизмов Артина — Мазура эта измененная дзета-функция имеет положительный радиус сходимости. [c.312]

Хотя все упомянутые выше понятия являются глобальными, некоторые взаимоотношения между ними устанавливаются с помощью ключевого локального понятия индекса неподвижной (или периодической) точки отображения или неподвижной точки потока, которое отражает топологическое поведение отображения либо соответственно отображения сдвига за время t вблизи неподвижной точки. В частности, рассмотрение точек, имеющих отличный от нуля индекс, важно по ряду причин например, они не исчезают в результате С -возмущений системы. Центральным элементом для установления связи между упомянутыми понятиями служит формула Лефшеца, выражающая сумму индексов неподвижных точек через гомологические данные. Понятие индекса является основным и для теории Нильсена, которая позволяет оценить снизу число периодических точек через гомотопические данные. В следующей главе мы покажем, как понятия, связанные [c.314]

Пример. Пусть С = Си оо 52 — риманова сфера, т. е. одноточечная компактификация комплексной плоскости. Гладкая структура в окрестности оо задается координатой w = /z. Рассмотрим отображение / продолженное наоо по правилу/(оо) = оо. Тогда для точек г, близких к оо, мы имеем /(го) = вблизи гу = 0. Заметим, что deg / = 2, поскольку / покрывает сферу дважды и сохраняет ориентацию. Динамика же отображения / такова полюса О и оо являются притягивающими неподвижными точками, экватор z е С z = 1 инвариантен и ограничение / на него представляет собой просто растягивающее отображение окружности Е , определенное в (1.7.1). Все другие точки сходятся к одному из полюсов под действием итераций z к- z . Все периодические точки, отличные от полюсов, находятся на экваторе. Эти точки являются решениями уравнения z = /"(z) = z2". т. е. [c.321]

При рассмотрении степени отображений окружности было установлено, что понятие степени может использоваться для доказательства существования (большого количества) периодических точек. По существу мы подсчитывали число точек пересечения графика нашего отображения со сдвинутой диагональю в произведении К х Й универсального накрывающего пространства на себя. Более сложный вариант того же соображения пригоден в большей общности и использует в качестве главного инструмента понятие индекса неподвижной точки. Мы имеем в виду формулу Лефшеца, связывающую действие отображения / на группах гомологий с суммой индексов неподвижных точек. Эта формула описывает глубокую связь между глобальным поведением отображения, проявляющимся при действиях на группы гомологий, и локальным поведением в неподвижных точках, представляемом их индексом. В частности, если известно, что индексы неподвижных точек не могут быть большими (например, благодаря теореме Шуба — Сулливана), мы, таким образом, получим нижнюю границу для числа неподвижных точек и, следовательно, для числа периодических точек итераций отображения /. [c.333]

Этот пример показывает, в чем состоит трудность при использовании формулы Лефшеца для получения большого количества периодических точек одна периодическая точка может поглощать весь рост числа Лефшеца за счет отсутствия каких бы то ни было ограничений на индекс. Однако существование такой неподвижной точки, поглощающей рост числа Лефшеца, требует существенной негладкости g в оо. Теорема Шуба — Сулливана 8.5.1 показывает, что для дифференцируемых отображений последовательность ind . X ограничена равномерно по п для всех х. В такой ситуации часто бывает возможно доказать существование бесконечно большого количества периодических точек. В частности, теперь мы можем установить несколько следствий из предыдущих результатов н теоремы Шуба — Сулливана 8.5.1. [c.336]

Заметим, что в случае проективной плоскости поднятие д на ориентируемое двулистное накрытие также является периодической точкой, так что мы можем сразу считать, что многообразие М ориентируемо. Рассмотрим маленький трансверсальный отрезок 7, содержащий д. В силу непрерывности отображение возвращения на этот отрезок определено в некоторой окрестности точки д в 7. Выберем одностороннюю окрестность I точки д настолько малой, что первая точка пересечения с 7 не содержится в I, ИО бесконечно многие ее образы возвращаются в I. Параметризация этой окрестности параметром нз [О, 5) дает непрерывное отображение / по-лзгинтервала [О, 6) на полуинтервал [О, 8 ) с неподвижной точкой 0. Орбита точки р дает бесконечно больщое количество точек х 6 (О, 5), для которых х) < X, поэтому либо /(х) < X для всех х 6 [О, 5), либо полуинтервал [О, 6) содержит неподвижную точку у. Последний случай невозможен, так как тогда отрезок [О, у] будет инвариантен относительно / и, следовательно, найдется инвариантное относительно потока кольцо, которое отделяет орбиту точки д от орбиты р, так что д ш р). Но если /(г) < х, то все точки X 6 (О, 5) положительно и монотонно стремятся к 0. Так как времена возврата на / ограничены, это значит, что отрезки орбиты точки р между двумя последовательными возвратами сходятся к орбите д, так что ш р) совпадает с орбитой д. [c.456]

Если р= I, то нуль является неподвижной точкой отображения f x) = = х -х) VI нет никаких других периодических точек, поскольку все точки притягиваются к нулю. Если р = 2, положим - Как мы ввдели выше, [c.507]

Т и —гладкое многообразие. Нетрудно вндеть, что М представляет собой двумерную сферу с четырьмя дырками (упражнение 17.2.1). Поскольку f(—x) = -f x), мы получаем индуцированное отображение / М —уМ, которое дифференцируемо и инъективно. Заполняя S M четырьмя отталкивающими точками (одной неподвижной и тремя периодическими точками периода три), получаем диффеоморфизм / 5 5 с гиперболическим аттрактором (получающимся при проектировании множества А на М). Это и есть аттрактор Плыкина р]. [c.541]

Доказательство. Сначала докажем, что пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий для Р состоит не более чем из одной точки. Будем рассуждать от противного и предположим, что у 6 И "(х) П И (х) и уф X. Выберем окрестность Р точки х с локальной структурой произведения, которая не содержит у. Поскольку множества Р) = г У г)ПР ф ф0 и Р) = г г)ПРф0 открыты, Ш (Р)пШ (Р) представляет собой окрестность точки у. Так как по следствию 6.4.19 периодические точки плотны в = Т", существует поднятие у /-периодической точки из множества И (Р) П И (Р) Р. Но П Р 0 и И (у) ПРф0, так что благодаря наличию стр туры произведения на Р найдется точка х W y ) П П Р. Таким образом, без потери общности мы можем считать, что у 6 х) П 1У (х), уфх я х — поднятие неподвижной точки отображения / (быть может, после перехода к некоторой итерации). Меняя, если нужно, поднятие Р отображения /, мы можем считать, что х — неподвижная точка отображения Р. -гомоклиническая точка у по следствию 6.5.6 является неблуждающей точкой, так что, поскольку периодические точки плотны в iVW(P), найдется периодическая точка г отображения Р вблизи у. Но если п — период г, то тем самым показано, что отображение Р" имеет две неподвижные точки, вопреки лемме 18.6.3. [c.591]

Две неподвижные точки, даугих периодических точек иет. [c.738]

Покажите, что индексы периодических точек любого данного периода равны, и используйте формулу Лефшеца для числа неподвижных точек. [c.745]

Используя (3.3.34) и (3.3.35), можно показать, что если как х, так и Т х являются неподвижными точками отображения (или 1 , то л является также и неподвижной точкой отображения В 3.4 мы воспользуемся этим методом для определения периодических точек отображения Улама. Грин использовал этот метод для нахождения периодических точек большого периода в случае стандартного отображения [165] и в задаче Хенона—Хейлеса [166]. В обоих случаях отображение, а значит, и нечетная степень отображения представимы в виде произведения инволюций. Поэтому периодические точки этих отображений можно найти рассмотренным методом. Так, например, отображение можно представить в виде произведения двух инволюций следующим образом [c.214]

Регулярная и стохастическая динамика (0) -- [ c.43 , c.125 , c.127 , c.130 , c.195 , c.214 , c.215 , c.228 , c.229 , c.232 , c.234 , c.234 , c.242 , c.242 , c.250 , c.250 , c.253 , c.253 , c.276 , c.276 , c.277 , c.277 , c.430 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...