Стационарные и однородные случайные функции

А.6. Стационарные и однородные случайные функции [c.273]

Выражение (1.112) представляет собой обобщение на случай нестационарного и неоднородного процесса известного соотношения для стационарного и однородного случайного процесса, связывающего взаимный по времени и пространству спектр мощности и взаимную пространственно-временную корреляционную функцию. Из уравнения (1.112), осредняя по времени и пространству, получим связь [c.37]

Изучая турбулентность, Колмогоров предложил ввести новый важный класс функций, обобщающий класс стационарных или однородных случайных функций. Уже отмечалось, что поле скоростей в турбулентной среде, строго говоря, неоднородно, поскольку его средние значения по различным участкам турбулентной среды не совпадают друг с другом. Однако если рассмотреть скорости в двух различных точках и составить их разность, то эта разность оказывается практически однородной в широком диапазоне пространственных масштабов. Если неоднородную случайную функцию такого класса обозначить через /(г), то функция [/(г + fd) —/(г)] будет однородной, даже если функция /(г) сама по себе неоднородна. [c.275]

В математике такие случайные функции называются случайными процессами со стационарными приращениями, если речь идет о функциях времени, и локально однородными случайными функциями, если говорят о функциях пространственных координат. Такие функции удобнее всего описывать на основе так называемых структурных функций , которые рассматриваются в данном приложении (см. [275, 392]). [c.275]

Случай однородных и стационарных пространственно-временных полей. В случае, когда нагрузка f (х, t) и вибрационное поле и х, I) являются центрированными однородными и стационарными случайными функциями, их можно представить в виде интегральных канонических разложений [c.314]

Широкое распространение имеют случайные процессы, которые протекают во времени приблизительно однородно и имеют вид непрерывных случайных колебаний относительно некоторого среднего значения, а вероятностные характеристики процесса не зависят от выбора начала отсчета времени, т.е. инвариантны относительно сдвига по времени. В соответствии с этим случайная функция X(t) называется стационарной, если вероятностные характеристики случайной функции X t+t ) при любом f тождественно совпадают с соответствующими характеристиками X(t), что имеет место только в том случае, когда математическое ожидание и дисперсия случайной функ-ции не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов f - t). Стационарный процесс можно рассматривать как протекающий во времени неограниченно долго. В этом смысле стационарный процесс аналогичен установившимся колебаниям, когда параметры установившихся колебаний не зависят от начала отсчета времени. [c.90]

При достаточно стабильном технологическом процессе отклонения формы изменяются (на детали и в партии) приблизительно однородно, а отдельные реализации имеют вид непрерывных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с изменением неслучайного аргумента длины (длины периметра). При этих условиях отклонение формы корпуса будет представлять собой стационарную случайную функцию. Обычно стационарность отклонений фор. мы деталей, особенно корпуса в химическом аппара- [c.83]

Будем пока говорить только о стационарных случайных процессах и 1) и о временном осреднении точно те же рассуждения будут, разумеется, применимы и к однородным случайным полям и(х) на прямой. Определим прежде всего, что мы будем понимать под сходимостью случайной величины йт 1), задаваемой равенством (4.53), при 7 >оо к константе и 1) = и. Случайная функция йт будет считаться сходящейся при Т- оо к пределу 1/ (вообще говоря, являющемуся случайной величиной), если [c.202]

Рассмотрим теперь вкратце ситуацию, когда речь идет об однородных случайных полях /(х) и пространственном осреднении. Случай однородных полей на прямой, как уже отмечалось выше, вообще ничем не отличается от случая стационарных процессов. Что же касается однородных случайных полей на плоскости или в пространстве, то значения такого поля /(х) на любой прямой будут представлять собой однородное случайное поле на прямой. Поэтому если только корреляционная функция Ьии(т) пульсаций этого поля такова, что хотя бы для одного направления (единичного вектора) Го функция бии(тго) от т удовлетворяет условию [c.204]

Все сказанное выше по поводу спектрального разложения стационарных случайных процессов u t) (кроме того, что касается его экспериментального осуществления при помощи фильтров) просто переносится и на однородные случайные поля и х), В этом случае роль гармонических колебаний играют плоские волны а случайная функция 2(Асо) = 2( [со со2]) = 2(со2) — (соО [c.216]

Как и в случае стационарных случайных процессов, чем быстрее затухает на бесконечности (т. е. при Л= к ->оо) спектральная плотность / (к) однородного случайного поля, тем большее число раз можно дифференцировать его корреляционную функцию В(г) (т. е. тем более гладкой функцией она является) и наоборот, быстрота убывания на бесконечности корреляционной функции В (г) определяет степень гладкости спектра Р к). Оба этих утверждения являются простыми следствиями того, что функции Б (г) и (к) представляют собой преобразования Фурье друг друга, так что [c.219]

Рассмотрим в первую очередь идеализированный случай стационарной однородной турбулентности, в которой все гидродинамические поля являются однородными случайными полями в трехмерном пространстве и одновременно стационарными функциями [c.495]

Однородная турбулентность в безграничном пространстве является математической идеализацией, а предположение, о стационарности еще усугубляет дело, поскольку из-за наличия диссипации энергии стационарное течение вязкой жидкости должно иметь внешние источники энергии и поэтому не может быть однородным. Однако вывод формулы (10.31) требует лишь, чтобы течение было однородным в направлении 0x1. Это позволяет указать реальные течения, к которым могут быть применены полученные результаты. В частности, Бэтчелор отметил, что эти результаты могут быть непосредственно применены к простейшему турбулентному течению в длинной прямой трубе (Бэтчелор и Таунсенд (1956), Бэтчелор (1957)). В самом деле, пусть направление трубы совпадает с осью Ох тогда по этому направлению течение будет однородным. Рассмотрим компоненту 1 х) смещения жидкой частицы за время т по направлению Ох. Соответствующая лагранжева скорость йУ х)1йх=У х, 0 + г) будет, вообще говоря, нестационарной случайной функцией т, зависящей от выбора начального положе-ния частицы х в плоскости Ох хъ. Однако через некоторое время после момента выхода рассматриваемой частицы влияние ее на-чального положения х практически перестанет сказываться, так что далее функцию У х, tQ- -x) можно будет считать не зависящей от X и стационарной. В таком случае средняя продольная ско- [c.498]

Поскольку поле и (х, ) однородно и стационарно, лагранжева скорость У (/) также будет стационарной случайной функцией ее корреляционный тензор будет иметь вид [c.506]

Рассмотрим случайную функцию /(г, 1), стационарную во времени и однородную в пространстве. Тогда имеем [c.273]

Ид, в,с(- ) к теоретико-вероятностным средним значениям и(х)) может быть применена к однородным лишь в некоторой области случайным полям, если только размеры этой области достаточно велики (см. по этому поводу замечание на стр. 204, относящееся к стационарным случайным функциям). [c.206]

Рассмотрим, в первую очередь, идеализированный случай стационарной однородной турбулентности, в которой все гидродинамические поля являются однородными случайными полями в трехмерном пространстве и одновременно стационарными функциями от времени 1. В этом случае средняя скорость и является постоянной и в пространстве, и во времени и, следовательно, У (л, t) = tt X x, 1), 1 = и, К(т) = ит. Далее, пульса-ционная скорость жидкой частицы V (дг, I) здесь при всех х будет иметь одни и те же статистические характеристики и будет стационарной случайной функцией от 1, так что [c.474]

Все сказанное выше по поводу спектрального разложения стационарных случайных процессов и ( ) (кроме того, что касается его экспериментального осуществления при помощи фильтров) можно перенести и на однородные случайные поля (х). В этом случае роль гармонических колебаний играют плоские волны а случайная функция Z(Д(й) Z [(йр 2]) — 2(с 2) — Z( 1) от интервала оси частот (О здесь заменится случайной функцией 2(ДЛ) от многомерного интервала ДА = к, к"] — параллелепипеда (или, в случае полей на плоскости, прямоугольника) в пространстве волновых векторов к. Обозначив г йк) Z [k, А + йк ) = dZ к), можно записать спектральное разложение однородного случайного поля и х) в виде [c.20]

Как и в случае стационарных случайных процессов, чем быстрее затухает на бесконечности корреляционная функция В (г) однородного случайного поля, тем большее число раз можно дифференцировать спектральную плотность этого поля Р к) (т. е. тем более [c.25]

Аналогом понятия процесса со стационарными приращениями в применении к случайным функциям от точки х является понятие локально однородного случайного поля (иначе — случайного поля с однородными приращениями). Под этим понимается такое случайное поле и (л ), все распределения вероятностей для разностей значений которого в некоторой совокупности пар точек не меняются при любом параллельном переносе всех рассматриваемых точек ). Аналогично случаю процесса со стационарными приращениями доказывается, что среднее значение приращений А,и(дс) = и(л - -г)—й(х) поля и(х) является линейной функцией вектора г [c.86]

Если и х) = и х1, Х2, Хз) — векторное изотропное случайное поле, то величины й1(х,. О, 0) и И2(лг1, 0. 0), очевидно, будут представлять собой однородные поля на прямой а 2 = а з = 0 (т. е. стационарные процессы от переменного л 1). а функции (г) и В г) будут корреляционными функциями этих полей на прямой. Отсюда вытекает, что одномерные преобразования Фурье функций [c.43]

Мы будем рассматривать главным образом стационарные случайные процессы, т. е. случаи, когда функции и Р однородны во времени [c.139]

Случайные процессы, с которыми приходится иметь дело на практике, часто можно с достаточной точностью описывать с помощью стационарных или однородных случайных функций. Однако такое описание оказывается справедливым только в пределах ограниченных временных и пространственных интервалов. При увеличении пространственных или временных интервалов средние значения могут изменяться, что, строго говоря, приводит к нестационарности и неоднородности. Примером может служить ветер в турбулентной атмосфере, среднюю скорость которого допустимо считать постоянной лишь в пределах органиченного временного интервала. [c.275]

Спектральное представление локально однородной случайной функции получается как трехмерное обобщение результата для процесса со стационарными приращениями. Выпищем спектральные представления для случайной функции / (г) и ее структурной функции )/ (г) [c.279]

Основное место в настоящей главе будет занимать вопрос о при-нении к случайным функциям одного или нескольких переменных е. к случайным процессам и случайным полям) методов гармони-ского анализа. Известно, что гармонический анализ, т. е. пред-1вление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье, ень широко используется в математической физике. При этом, нако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда фье возможно лишь для периодических функций, а в виде инте-ала Фурье лишь для функций, достаточно быстро убывающих на сконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и периодические, незатухающие на бесконечности функции, которые, эого говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье, этой точки зрения случайные функции оказываются даже имеющими ределенные преимущества перед обычными (не случайными) функ-ями. Дело в том, что для любых стационарных случайных оцессов и однородных случайных полей, для которых по саму их определению никакого затухания на бесконечности быть не [c.7]

Это представление стационарных случайных процессов и однородных случайных полей в виде суперпозиции гармонических колебаний или плоских волн является простейшим частным случаем возможного при весьма широких условиях представления случайной функции в виде суперпозиции компонент фиксированного фуикциоиального вида со случайными взаимно, некоррелированными коэффициентами (см., например, Яглом (1962, 1063). Ламли (1967)). Для случайных функций, определенных на Конечном интервале или в конечной пространственной области, такое обобщенное спектральное представление имеет вид разложения по специальной счетной системе ортогональных функций для функций в неограниченных областях оно записывается в виде интегрального разложения по континуальной системе функций, совпадающей с системой одномерных или многомерных гармоник лишь в случае стационарных процессов и однородных полей. [c.8]

Для управления процессами обработки на автоматических н полуавтоматических станках необходимо знать величину смещения уровня настройки во времени и параметры процесса. Примем, что последовательность размеров между двумя подна-стройками может быть представлена в виде реализации случайного процесса изменения размеров деталей (0- Для того чтобы при математическом описании процесса воспользоваться методами теории случайных функций, необходимо доказать, что указанный процесс можно рассматривать как стационарный. Первоначально проверяют гипотезу однородности дисперсий для ряда сечений пучка реализаций. Если аппроксимируя разброс опытных значений случайной функции с заданной точностью, получим линейную зависимость, то зто свидетельствует о возможности принятия гипотезы об однородности и постоянстве дисперсии для заданного уровня значимости. [c.88]

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ случайных функции — описание случайных ф-дий g [х] при помощи статистич. моментов 1-го и 2-го порядка ( (х)) п ( (a i) (j 2)). Аргумент случайной ф-ции х может иметь любую размерность. Если (л ) — гауссова случайная ф-ция, полностью определяемая первым и вторым моментами, то К. т, даёт её полное описание. Обычно К. т. применяют для таких физ. задач, к-рые описываются линейными ур-нпями вида (я ) ( г) = F x), где Ь х) — нек-рый линейный оператор, F х) — случайная ф-ция. В. этом случае можно получить ур-ния и для статистич. моментов L x) x)) F [х]), ([L(j i)S(.ri)][L( 2)5(3 2)]>=(/ (3 i)/ (a a)). Для нелинейных задач К. т. обычно имеет приближённый характер. К. т. наиб, приспособлена для описания однородных (стационарных) случайных ф-цпй, для К-рых справедлива Винера — Хинчина теорема. К. т. используют в большинстве физ. приложений случайных ф-ций, напр, в теории флуктуаций и теории когерентности. [c.465]

Для составления моментных соотношений в задачах стохастической устойчивости выше были использованы уравнения теории марковских процессов, справедливые при дробно-рациональных спектральных плотностях. Спектры реальных воздействий во многих случаях имеют более сложную структуру. Это относится, например, к пространственно-временным случайным функциям, описывающим атмосферную турбулентность, волнение морской поверхности [19] и т. д. При произвольном виде спектральных плотностей анализ моментных соотношений может быть выполнен при помощи метода интегральных спектральных представлений. Эффективность этого метода обусловлена стохастической орто-гональностью стационарных случайных процессов и однородных полей. Спектры стационарных процессов удовлетворяют соотно- [c.151]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

Обобщением понятия стационарности для случайных полей является понятие однородности. Случайное поле называется однородным, если его среднее значение постоянно, а корреляционная функция не меняется при одновременном смещении пары точек г, и Гг в одном U том же направлении, на одпу и ту же величину, т. е. если [c.36]

Если в однородном и изотропиом случайном поле выделить какую-либо прямую линию и значения поля рассматривать лишь на этой прямой, то в результате получим случайную функцию одного переменного х. К ней можно применить все результаты, относяш,иеся к стационарным случайным функциям. В частности, можно записать разложение корреляционной функции в интеграл Фурье [c.37]

Будем сначала для определенности говорить только о стационарных случайных процессах и 1) и о временном осреднении точно те же рассуждения (лишь с заменой времени t пространственной координатой х) будут, разумеется, применимы и к однородным случайным полям и х) на прямой. Начнем с того, что четко определим, что мы будем понимать под сходимостью случайной величины йтЦ), задаваемой раБенством (4.57), при Тоо к константе u t) = и. Нам будет удобно считать случайную функцию йт сходящейся при Т оо к пределу и (вообще говоря, являющемуся случайной величиной), если [c.208]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Будем Считать, что 1Поскольку 1 х) меняется непрерывно, в таком случае всегда будет существовать такое значение Ху < Тр, что при X < т, практически наверное выполняется неравенство / (т) Ь. Тогда при т < Т1 возмущения с масштабами порядка или больше Ь будут лишь переносить наши две жидкие частицы как целое, не меняя их взаимного расположения. Поэтому на взаимное движение пары частиц будут влиять лишь турбулентные возмущения с масштабами. много меньшими к которым применимы гипотезы подобия Колмогорова (при условии, что число Не достаточно велико). Отсюда вытекает, что при т < Т1 и достаточно большом Ке плотность вероятности рЩх . 1о, X, о) будет непосредственно зависеть от лС] и (в силу однородности и стационарности локальной структуры), а будет изотропной функцией векторов I к 1 , зависящей только от т и от параметров V и е. Далее, поскольку смещение первой частицы У (т) определяется в основном крупномасштабными турбулентными возмущениями (с масштабами порядка Ь или больше), следует ожидать, что при Т<Т1 и большом Не случайные векторы У (т) и /(т) будут статистически независимы. Следовательно, [c.476]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...