Суперпозиция гармонических колебаний

Тогда частное решение (6.I.7) будет суперпозицией гармонических колебаний [c.322]

Суперпозиция гармонических колебаний [c.38]

СУПЕРПОЗИЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 39 [c.39]

Мы хотим представить реакцию q(t) в виде суперпозиции гармонических колебаний. Для этого нужно несколько тригонометрических тождеств, которые мы сейчас выведем. Пусть f(x)= os х. Очевидно, что os (x+i/)+ os х—у)= =2 os X os у, т. е. [c.53]

Боковые полосы. Таким образом, модулированное по амплитуде напряжение V(t) является суперпозицией гармонических колебаний, состоящих из колебания с частотой .р несущая частота) и многих гармонических колебаний с частотами < ср+ мод верхняя полоса частот) и со р — со од нижняя полоса частот). Для того чтобы излучаемые бегущие волны передавали информацию о звуке в области частот от О до 20 кгц, необходимо, чтобы напряжение V t) было представлено суперпозицией гармонических компонент с угловыми частотами со в частотном диапазоне от самой низкой частоты, присутствующей в нижней боковой полосе, до самой верхней частоты в верхней боковой полосе. Таким образом, излучаемые частоты занимают диапазон [c.253]

Вернемся теперь к выражению (45) для ]) t) как суперпозиции гармонических колебаний и перепишем его, имея в виду, что бсо- -О. Используя выражения (54) и (56), можем записать [c.265]

Интеграл Фурье. Выражение (61) является примером непрерывной суперпозиции гармонических колебаний. Его называют также интегралом Фурье. Оказывается, что любая ( разумная ) непериодическая функция г з( ) может быть представлена (в общем случае) интегралом Фурье [c.266]

Это почти гармоническое колебание может быть записано как суперпозиция гармонических колебаний с частотами Шо> Wo+[c.291]

Отметим, что для негармонических колебаний нельзя употреблять термин круговая частота , поскольку, как будет показано ниже, такие колебания являются, как правило, суперпозицией гармонических колебаний с различными частотами. Период же является по-прежнему одной из главных характеристик колебаний. Фазовый портрет не [c.17]

Мы рассмотрим, прежде всего, задачу о суперпозиции гармонических колебаний (скалярных и векторных) одинаковой частоты. Как мы увидим, здесь весьма существенную роль играет разность фаз. [c.31]

Суперпозиция гармонических колебаний с близкими частотами [c.48]

Решение представляет суперпозицию гармонических колебаний, причем последнее слагаемое в формуле (25.13) имеет амплитуду, зависящую от частоты вынуждающей силы. Резонанс осуществляется при ш = шо, и решение теряет смысл х = оо, так как не учтено сопротивление движению). При и, значительно отличающейся от 0)0, последним членом можно пренебречь и рассматривать только простое гармоническое колебание. Особый интерес представляет движение системы вблизи резонанса. Рассмотрим это движение. [c.220]

В приложениях стационарный случайный сигнал удобно рассматривать как суперпозицию гармонических колебаний в непрерывном интервале частот, проведем его описание с этих позиций. В качестве введения к разработке такого подхода рассмотрим в первую очередь некоторые основные результаты гармонического анализа. Для изучения обсуждаемых здесь вопросов в более строгой постановке отсылаем читателя, например, к [А2.1] и [А2.2]. [c.345]

Спектральная плотность характеризует распределение энергии случайной функции, рассматриваемой в виде бесконечной суперпозиции гармонических колебаний со случайными амплитудами и фазами по частотам. [c.165]

Таким образом, собственные колебания упругого тела представляются в виде суперпозиции гармонических колебаний [c.249]

Отсюда сразу следует, что функции qj(t) для всех /, вообще говоря, получаются суперпозицией п гармонических колебаний с собственными частотами (o . [c.239]

Таким образом, представления об интерференции немонохроматических пучков и об интерференции пучков в виде волновых цугов приводят к идентичным выводам о распределении интенсивности в интерференционной картине. Приведенные выше соображения о разложении волновых цугов на монохроматические колебания нашли свое количественное выражение в том, что функции с (т), s (т) оказываются суперпозицией гармонических составляющих с амплитудами, пропорциональными спектральной плотности интенсивности колебаний. [c.100]

Суперпозиция части или всех гармонических колебаний, описываемых выражениями (18.16) и (18.17), охватывает все те собственные колебания, которые могут возникнуть в стержне со свободными концами. Кратковременное внешнее воздействие, обладающее очень широким спектром частот, способно возбудить практически все нормальные колебания, свойственные системе. Число этих нормальных колебаний теоретически бесконечно велико (поскольку k может быть любым), но практически оно, конечно, ограничено хотя бы вследствие того, что воздействие имеет конечную продолжительность и поэтому не может возбудить сколь угодно быстрых колебаний. [c.667]

Так же как для систем с двумя степенями свободы, в рассматриваемых системах можно ввести нормальные координаты. Число нормальных координат равно числу степеней свободы системы. Движение каждой нормальной координаты происходит независимо от остальных. Поэтому каждая нормальная координата совершает гармоническое колебание с собственной, или нормальной, частотой. Любые свободные и вынужденные колебания можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний. [c.281]

Таким образом, при собственных колебаниях системы каждая нормальная координата совершает гармоническое колебание с соответствующей собственной частотой. Любое собственное колебание представляет суперпозицию нормальных колебаний. [c.285]

Отсюда следует, что рассматриваемое движение является суперпозицией двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты, что в общем случае приводит к эллиптической орбите. Известным примером такого движения служат малые колебания сферического маятника. Заметим, между прочим, что обычные фигуры Лиссажу получаются в результате сложения двух взаимно перпендикулярных синусоидальных колебаний, частоты которых относятся как целые числа. Следовательно, движение под действием центральной силы / = —kr дает нам простейшую из фигур Лиссажу. [c.84]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Координаты 1, I2, In называются главными или нормальными координатами колебательной системы колебание, при котором изменяется лишь одна главная координата, а остальные все время равны нулю, называется главным колебанием. Мы говорим, что в главном колебании соответствующая главная координата возбуждена, а остальные координаты находятся в покое. Как видно из формулы (9.1.14), в г-ж главном колебании координата изменяется по гармоническому закону с периодом 2п рг- Всего имеется п таких периодов, не обязательно различных их называют собственными периодами или периодами свободных колебаний системы. Периоды свободных колебаний являются инвариантами системы и не зависят от лагранжевых координат, выбранных первоначально для описания системы. Главное колебание с наибольшим периодом и, стало быть, с наименьшей частотой, т. е. колебание с наименьшим р, называется основным колебанием. Поскольку q зависят от I линейно, любое колебание может быть представлено как суперпозиция главных колебаний. [c.142]

Координаты бу, в которых кинетическая и потенциальная энергии системы выражаются каноническими квадратичными формами с диагональными матрицами коэффициентов, называются главными координатами системы. Гармонические колебания (5.23) с частотами называют главными колебаниями системы. Свободные колебания системы в координатах фу являются суперпозициями главных колебаний системы. [c.158]

Колебательное движение многоатомной молекулы всегда может быть представлено как суперпозиция / независимых гармонических колебаний ), каждое с характеристической частотой v . Число нормальных мод / для га-атомной молекулы равно / = Зга — [c.181]

Мандельштам и Ландсберг сразу поняли, в чем дело. Как мы указывали При выводе формулы Зельмейера для показателя преломления, в поле световой вблны с напряженностью электрического поля электрон внутри молекулы (рассматрив ась одноатомная водородоподобная молекула) совершает колебания, и молекула приобретает дипольный момент р — 0 ,В. Поляризуемость молекулы, с классической точки зрения, определяется мгновенным положением ее атомного ядра. Однако и само ядро не находится в покое, совершая хаотическое тепловое двидсение. Последнее означает, что и поляризуемость не остается постоянной, а меняется во времени. Такую изменяющуюся во времени поляризуемость можно представить в виде суперпозиции гармонических колебаний, частоты которых определяются колебаниями атомного ядра. Уже упоминалось, что такие собственные частоты молекулы лежат в инфракрасном диапазоне колебаний. Следовательно, и в этом случае возникает модуляция колебаний индуцированного дипольного момента Когда электрическое поле Е меняется во времени по гармоническому закону с частотой а . [c.149]

Путем разложения быстропеременных электромагнитных полей в интегралы Фурье поля можно представить в виде суперпозиции гармонических колебаний различных частот. При усреднении по времени членов, квадратичных по составляющим полей, которые содержатся в формулах для и, 1, Т 1к, произведения величин, относящихся к различным частотам, исчезают, и остаются только квадратичные члены с произведениями компонент Фурьё, отвечающих одной и той же частоте. Поэтому энергия, импульс, потоки энергии и импульса излучения представляются в виде линейной суперпозиции членов, соответствующих разным частотам. Это позволяет ввести понятие интенсивности излучения данной частоты 1у (Я, г, I) и выразить макроскопические величины через интегралы [c.147]

Если p и Y равны нулю, то говорят, что реакция q линейна. (Она подчиняется в этом случае совершенно линейному закону Гука для пружины.) Линейная реакция 9(/)=a( os o)i + os СО2О является суперпозицией гармонических колебаний с частотами (Oj и oj- (В этом случае вы не слышите F ) Член с коэффициентом [5 определяет квадратичную нелинейность, а следующий член — кубическую. [c.53]

Любая разумная функция /(О может быть представлена суперпозицией гармонических колебаний. Если/( ) не периодическая функция в()емени, то суперпозиция непрерывна (по частоте) и выражается через интеграл Фурье [c.281]

Это представление стационарных случайных процессов и однородных случайных полей в виде суперпозиции гармонических колебаний или плоских волн является простейшим частным случаем возможного при весьма широких условиях представления случайной функции в виде суперпозиции компонент фиксированного фуикциоиального вида со случайными взаимно, некоррелированными коэффициентами (см., например, Яглом (1962, 1063). Ламли (1967)). Для случайных функций, определенных на Конечном интервале или в конечной пространственной области, такое обобщенное спектральное представление имеет вид разложения по специальной счетной системе ортогональных функций для функций в неограниченных областях оно записывается в виде интегрального разложения по континуальной системе функций, совпадающей с системой одномерных или многомерных гармоник лишь в случае стационарных процессов и однородных полей. [c.8]

Таким образом, мы видим, что смещения ,- представляют собой суперпозицию гармонических колебаний. Колебания с одной частотой эквивалентных атомов в разных ячейках в силу (9.4) оказываются периодически сдвинутыми по фазе. Длина волны каждого колебания, очевидно, равна А - = 2тг к . Другими словами, каждому нормальному колебанию, выбранному так, чтобы оно преобразовывалось по неприводимому представлению грухшы трансляций, соответствует плоская волна с волновым вектором, равным вектору к этого ххредставления. [c.109]

Теперь мы можем построить общее решение линейного уравнения движения. В случае гармонических колебаний движение атомов в цепочке, в силу линейности уравнения движения, можно предстз Вить в виде суперпозиции бегущих волн типа (5.21), каждая из которых характеризуется волновым числом k, частотой со и амплитудой А . Тогда смещение мы можем записать в виде [c.149]

Именно устойчивость формы гармонических колебаний по отношению к широко распространенному классу линейных систем и определяет то исключительное положение, которое занимают гармонические колебания среди всех других форм колебаний. Устойчивость формы играет решающую роль не только в случае гармонической внешней силы, когда эта устойчивость позволяет заранее утверждать, что в линейной системе вынужденные колебания будут гармоническими, и тем самым свести задачу о вынужденных колебаниях только к определению амплитуды и фазы гармонического вынужденного колебания. Так как в линейных системах справедлив принцип суперпозиции, то и в случае негармопической внешней силы решение задачи [c.622]

О вынужденных колебаниях легко находится разлол<ив негармоническую внешнюю силу в гармонический спектр, можно свести задачу к предыдущей — определению амплитуд и фаз вынужденных колебаний, возникающих под действием гармонических составляющих спектра внешней силы. Именно то, что в линейных системах, описываемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и являющихся очень широко распространенным классом систем, имеют место как устойчивость формы гармонических колебаний, так и принцип суперпозиции, придает исключительный физический интерес математическому приему разложения периодической функции в спектр, т. е. именно в гармонический ряд, а не в ряд каких-либо других функци11. [c.622]

Искомые переменные системы уравнений - это элементы вектора узловых перемещений П, которые в любой момент времени должны удовлетворять условиям равновесия системы при наличии сил инерции и рассеяния энергии. Решение этой системы уравнений вьшолняется либо прямым методом Ньюмарка, либо методом суперпозиции форм колебаний. К такому типу анализа относятся динамика переходных процессов, модальный анализ, отклик на гармоническое воздействие, спектральный анализ и отклик на случайную вибрацию. [c.59]

Подставив эти значения со,- в аргументы (8.4.19) членов разложения в кратный ряд Фурье, получим, что все движение аналитически представляется в виде суперпозиции простых гармонических колебаний с основными частоталш V,-. Таким образом, частоты движения получаются из полной энергии, выраженной через переменные действия. Частные производные Е по У,- дают непосредственно частоты системы. [c.287]

Спектральная мядель. Развитые турбулентные течения связаны с наличием большого числа степеней свободы, поскольку они представляют собой суперпозицию вихрей разных размеров и направлений. В связи с трудностями описания таких течений рас-СТйатривают упрощенные модели. В дальнейшем ограничимся рассмотрением одномерной модели течения, характеризующейся усредненной скоростью и и средним квадратическим значением продольной составляющей пульсационной скорости и. Считая турбулентные пульсации скорости в потоке стационарными, представим случайные колебания и t) на временном интервале [-Т, Т] в виде бесконечного ряда гармонических колебаний с различными частотами aj = 2л]/Т и случайными амплитудами и, [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...