Динамика лагранжева

Так как физические свойства среды в эксперименте определяются для определенной массы частицы, то кинетику и динамику деформируемого твердого тела удобнее излагать в лагранжевых координатах. Необходимые соотношения для использования, часто более удобного, метода Эйлера можно получить из метода Лагранжа как предельные. [c.31]

Автор благодарен дирекции Университетского издательства в Торонто, которая предоставила ему возможность дополнить свою книгу этим материалом, относящимся к одному из наиболее поразительных открытий человеческого гения. В этой главе в очень сжатой форме, но последовательно изложены все основные идеи, принципы и результаты Эйнштейна, относящиеся к кинематике и динамике одной частицы. Общая теория преобразований Лоренца изложена при помощи гамильтоновых кватернионов. Они так удачно подходят для этой цели, что вряд ли найдется другой математический аппарат, столь же простой и компактный. Уравнения поля общей теории относительности, естественно, не вошли в эту книгу, однако здесь подробно рассматриваются динамические аспекты гравитационной теории Эйнштейна, в том числе три решающих эксперимента по проверке теории, поскольку они не выходят за рамки лагранжевой и гамильтоновой форм динамики. [c.14]

Важный переход от лагранжевой к гамильтоновой форме динамики можно совершить более непосредственным образом, без использования преобразования Лежандра, основываясь исключительно на методе неопределенных множителей Лагранжа. Рассмотрим заданную функцию Лагранжа L = q , qn, t). Будем рассматривать qi как некоторую вторую группу независимых переменных Wi, т. е, напишем [c.396]

Следует заметить, что исторически указанный выше путь для вывода уравнений (50 ), (50") является в существенных чертах тем, которым Гамильтон пришел к установлению связи между задачей интегрирования уравнений динамики и задачей интегрирования уравнений в частных производных, показав, что если известна главная функция S ( 119°), то можно определить посредством одних только операций вида (50 ), (50") общее решение лагранжевой системы (31) или, лучше, соответствующей гамильтоновой системы (31 ), [c.440]

Наконец, часто К удается представить в виде суммы функций, каждая из которых зависит лишь от одной координаты q (и, разумеется, от постоянных а или части их). Если для уравнения (16.5.4) существует полный интеграл такого вида, то говорят, что система допускает разделение выбранных координат. К таким системам относятся почти все системы элементарной динамики. Возможность разделения переменных зависит как от самой системы, так и от выбранных для ее описания лагранжевых координат. [c.291]

Принцип Гамильтона. Простейший из вариационных принципов динамики — принцип Гамильтона — уже был установлен нами в 3.7. Этот принцип допускает формулировку в любых координатах, в 6.3 мы выразили его в лагранжевых координатах и вывели из него лагранжевы уравнения движения. [c.529]

Интеграл Гамильтона и вторая лагранжева форма уравнений динамики [c.307]

Перейдем теперь к доказательству лагранжевой теоремы, что в начале наименьшего действия содержатся все уравнения динамики. [c.400]

Вопрос об определении места вариационных принципов механики в системе физических знаний заключается, конечно, в первую очередь в форме выражения этого принципа. Однако указанный вопрос не исчерпывается этой формой. Обычное толкование принципа наименьшего действия состоит в том, что его широкое применение в физике основано на удобной форме. Ряд авторов стоит на той точке зрения, что содержание принципа Гамильтона тождественно с содержанием основных уравнений динамики. Так, например, Кирхгоф говорит Принцип Гамильтона, д алам-беровы и лагранжевы дифференциальные уравнения поэтому совершенно равнозначны ). Такая точка зрения господствует в научной литературе XIX в. Тем не менее, отождествление содержания принципа Гамильтона и уравнений динамики представляет собой положение недостаточно обоснованное., Методологической основой этой концепции является непонимание соотношения между формой и содержанием вообще. Тот факт, что как в механике, так и вне ее принцип Гамильтона применяется в одной и той же форме, еще недостаточен для того, чтобы сделать вывод о том, что содержание этого принципа в том и другом случае одно и то же. Принцип Гамильтона выражает некоторое свойство неорганической природы, общее ряду форм движения, и постольку он применим к механическому движению как частному случаю. [c.864]

Однако научное значение классической динамики, в частности и ньютоновой динамики, не исчерпываются только физическими предсказаниями, которые делаются непосредственно на их основе. Ньютонова динамика состоит из совокупности математических выводов и заключений, полученных подчинением некоторых простых понятий некоторым простым законам. В математическом развитии предмета были развернуты общие схемы (в частности, лагранжев и гамильтонов метод), которые позволяют заменить первоначальные примитивные понятия более общими (такими как пространство конфигураций и фазовое пространство). Оказалось, что эти новые математические понятия могут быть использованы, чтобы представить физические понятия, отличные от тех, рассмотрение которых было источником понятий математических. Таким образом, ньютонова динамика породила новые физические выводы путем приложения внутренне присущих ей математических идей за пределами их исходной области применения. Примерами этого могут быть применение лагранжевых методов к теории электрических контуров и (что еще более удивительно) применение гамильтоновых методов в развитии квантовой механики. [c.14]

Общая динамическая теория занимает любопытное положение в физике. Исторически она была создана и развилась в форме ньютоновой динамики частиц и твердых тел. Но мы чувствуем настоятельную необходимость дать ей более широкую область применения, рассматривая ее как последовательную математическую теорию, приложимую к любой физической системе, поведение которой можно выразить в лагранжевой или гамильтоновой форме. Здесь возникает соблазн рассматривать эту теорию как чистую математику. [c.199]

По существу, они эквивалентны друг другу L-динамика есть форма Л-динамики, в, которой t рассматривается двояко как координата в пространстве QT и как параметр па кривой в QT. Мы объединим их под общим названием лагранжева динамика. [c.216]

Эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой динамики. Под лагранжевой динамикой мы понимаем теорию, изложенную в 64 и 65, основанную на однородном лагранжиане Л(а , х ) или на обычном лагранжиане [c.226]

После того как это сделано, безразлично, излагать ли динамику в терминах Л или L или положить в основу уравнение Q = О или Н. Соответствие устанавливается требованием равенства лагранжева и гамильтонова действий для произвольной кривой в пространстве QT. [c.226]

Динамика, основанная на выбранной двухточечной характеристической функции. В 72 двухточечная характеристическая функция S(x, х) была определена через лагранжеву функцию А х, х ) или уравнение энергии Q(a , у) = 0. Мы видели, что она удовлетворяет детерминантному уравнению [c.240]

ЛАГРАНЖЕВА И ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКИ 401 [c.401]

Лагранжева и гамильтонова динамики. Можно не класть в основу динамики уравнения движения в форме [c.401]

ИНТЕГРАЛ ГАМИЛЬТОНА И ВТОРАЯ ЛАГРАНЖЕВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ. [c.51]

Общие теоремы динамики системы материальных точек теоремы количеств движения и моментов количеств движения, а также теорема об изменении кинетической энергии имеют широкое применение при изучении движений сплошных сред и, в частности, жидкостей и газов. Они были уже применены в предыдущих параграфах при выводе основных уравнений механики сплошных сред, причем использовалось лагранжево представление движения. Остановимся на некотором своеобразии применения этих теорем, связанном с эйлеровым представлением движения. [c.75]

Возможны два способа описания движения частиц сплошной среды. Первый способ, широко распространенный в гидро- и аэродинамике, связан со следующим выбором метода описания движения среды все величины, характеризующие движение сплошной среды, задаются в координатах неподвижного пространства. Такой выбор независимых переменных был применен впервые Эйлером, и поэтому координаты называют эйлеровыми. Возможен и другой метод выбора независимых переменных в качестве независимых переменных выбирают начальные координаты какой-либо частицы жидкости в некоторый фиксированный момент времени в последующее время эта частица перемещается в пространстве, координаты неподвижного пространства являются функциями начальных координат частицы. Этот метод описания движения сплошной среды несколько напоминает метод, используемый в динамике материальной точки, и его связывают с именем Лагранжа, а соответствующие координаты называют лагранжевыми. Лагранжевы координаты широко используются в теории упругости, а также во многих воп])осах нелинейной акустики в газах, жидкостях и твердых телах. [c.15]

В лагранжевой формулировке система одномерных уравнений газовой динамики имеет следующий вид [49] [c.118]

В работе содержится также детальный разбор как случая, когда точка и изменяющаяся масса имеют одинаковые скорости, так и случая, когда они имеют различные скорости. Лля второго случая Мещерский пользуется уравнениями (2.2) и, как и в первом случае, рассматривает уравнения движения несвободной точки. В частности, он выписывает аналог лагранжевой общей формулы динамики для точки переменной массы в виде [c.49]

Для решения задач динамики механических систем со многими степенями свободы методы, принятые в классической теории механизмов и машин, оказываются несостоятельными. Эти задачи требуют более мощного аппарата общей механики и математики, в частности применения дифференциальных уравнений движения механических систем в лагранжевых и канонических 1еременных, а также теории линейных и нелинейных колебаний. [c.53]

Живая сила голономной системы в лагрлнжевых координатах. В динамике голономных систем существенная роль принадлежит выражению живой силы в лагранжевых координатах. Пусть дана голономная система из 7V точек Р, (/=1,2.....Л/), имеющая п степеней свободы, тогда мы можем предположить (т. I, гл. VI, п. 1), что положения точек системы определяются параметрическими уравнениями вида (5) [c.233]

Приведенное мною мнение Остроградского было сообщено отчасти вместе с другими воззрениями профессору Брашману в 1853 г. в письме, которое было напечатано с некоторыми пропусками в первом томе Московского математического сборника в 1866 г. После того появилось в нашей литературе несколько рассуждений о начале наименьшего действия одни утверждали справедливость мнения Остроградского, что начало наименьшего действия в том виде, как его дает Лагранж, не имеет места другие, — что начало верно, но анализ Лагранжа ошибочен наконец, третьи, — что начало верно, что нет никакой ошибки в лагранжевом доказательстве. Присоединяясь к тем, которые утверждают последнее мнение, я постараюсь показать в этой записке источник того недоразумения, которое побудило Остроградского к вышесказанному обвинению Лагранжа в неточности анализа, и подтвердить новыми разъяснениями справедливость заключения, что в начале наименьшего действия (в том смысле, как понимает его Лагранж) в самом деле содержатся все уравнения динамики. [c.393]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

В лагранжевой динамике имеются два важных специальных случая выбора параметра х, а именно, % = s и %= t. Первый, будучи лоренц-ипвариантным, удобен [c.403]

Класснч. электродинамика не противоречит возможности существования маги, зарядов. Однако, в отличие от поля электрнч. зарядов и токов, иоле, создаваемое магн. зарядами, не может бглть описано с помощью нектор-нотенциала ((х=0, 1, 2, 3) непрерывного 110 всем пространстве. Поэтому при наличии магы. зарядов ур-иия движения заряж. частнц не выводятся из вариационного наименьшего действия принципа. В классич. электродипамике это не приводит к принципиальным трудностям (хотя п делает теорию несколько менее красивой), ио квантовую динамику невозможно сформулировать вне рамок гамильтонова формализма или лагранжева формализма, основанных на вариац. принципе. [c.687]

Плотность лагранжиана, используемого в задачах динамики (линейной или нелинейной) теории упругости, определяется выражением L = W — Т — Р, где W — плотность энергии деформации, Т — плотность кинетической энергии и Р — потенциал внешних сил. при лагранжевом подходе к описанию движения (материальные координаты Х[ являются независимыми переменными) в общем случае можно считать, что L — функция переменных У , / = (5У,/(ЗХ/(или, что эквивалентно, переменных /), Ui, Ui, а также независимых переменных Х, (для неоднородных систем) и t (для неголономных систем). Такнм образом, t [c.150]

Провели тщательное исследование статических задач теории упругости при конечных деформациях эта работа в дальнейшем была продолжена Флетчером [40] и распространена на задачи динамики линейной теории упругости, хотя к его утверждениям что уравнения (3.1)—(3.4) и (3.6) из [40] легко распространяются на случай упругих материалов при конечных деформациях, следует относиться с некоторой осторожностью. Сравнительно недавно Голебевская-Херрманн [42,43] опубликовала исследования законов сохранения в динамических задачах теории упругости при конечных деформациях, представленных как в лагранжевой, так и в эйлеровой системах отсчета. [c.151]

Интегральные вариационные принципы механики в форме Гельдера — Фосса подверглись критике со стороны М. Рети , который заметил, что они выражают лишь необходимое, а не достаточное условие действительности движения. Рети обобщил принцип Гельдера — Фосса таким образом, чтобы он представлял и достаточное условие действительного движения неголо-номной системы. Он установил также новый общий интегральный принцип неголономной механики (принцип Рети), из которого принцип Гельдера — Фосса вытекает как частный случай. Рети подверг критике и исследования Журдена, относящиеся к интегральным вариационным принципам динамики неголономных систем. Ф. Журден получил новый общий интегральный 92 принцип неголономной механики, отличный от принципа Рети (принцип Журдена), и показал, что он эквивалентен принципу Гельдера — Фосса. Между Рети и Журденом возникла дискуссия, в результате которой выяснилось, что в исследованиях Фосса и Рети понятие вариации трактуется не точно в смысле Гельдера. Развивая последовательно и систематически неклассический вариант Гельдера, Журден показал, какую форму в действительности должен иметь принцип Гельдера в лагранжевых координатах. [c.92]

В начале развития динамики неголономных систем дифференциальные 93 уравнения движения были выведены в различном виде Остроградским, Феррерсом и Раусом. Общая методика интегрирования этих уравнений не была разработана, а их структура, связанная с наличием декартовых координат или множителей неголономных связей, создавала значительные трудности при решении конйретных задач (о качении твердых тел). Таким образом,в конце XIX в. проблема составления динамических уравнений неголономной механики в лагранжевых координатах без множителей связей типа уравнений Лагранжа второго рода была вполне актуальной. [c.93]

Введенный Л. Эйлером метод неголономных координат оказался весьма плодотворным, и в неголономной механике им широко воспользовались для создания систематической теории аналитической динамики неголономных систем. Для составления дифференциальных уравнений движения неголономной системы в квазикоординатах были использованы два метода в одном из них оперируют системой лагранжевых скоростей, во втором — их линейными комбинациями (Воронец — Гамель) . При наличии нелинейных неголономных связей второй метод неприменим. На это обстоятельство впервые обратил внимание Л. Йонсенкоторый предложил в этом случае пользоваться неголономньши координатами, соответствующими нелинейным комбинациям лагранжевых скоростей (нелинейными неголономными координатами). Метод линейных и нелинейных неголономных координат раввива Г. Гамель [c.96]

Введение в классическую теорию. Наиболее глубоко задачи динамики точки переменной массы были проанализированы И.В. Меш ерским в его диссертации 1897 г. Здесь в предварительном Очерке литературы Меш ерский отметил, что первое известное ему исследование механических систем с непрерывным изменением масс принадлежит А. Кейли. Лалее он привел лагранжеву обилую формулу динамики для систем переменной массы в форме Кейли и остановился на решении двух его задач о движении цепей. Кроме того, Меш ерский сослался на ряд работ по небесной механике тел [c.47]

Аналитическую динамику для гинердвижения релятивистской материальной точки можно записать в нескольких вариантах, причем речь идет о записи одних и тех же уравнений в лагранжевой и гамильтоновой формах, но в разных функциональных обозначениях. [c.255]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...